《Light-Science & Applications》：On the precision models of fringe projection profilometry: unification, simplification and connection
摘要：条纹投影轮廓测量（FPP）是最著名的非干涉式高精度3D形状测量技术之一，可用于测量1毫米到1米范围内的尺寸，在精密工程中的应用日益广泛。面对更高精度要求所带来的挑战时，彻底理解现有FPP方法的精度至关重要。本文通过理论分析基于垂直条纹（Ver3）、水平条纹（Hor3）和最优角度条纹（OptE3）的三种重建方法，建立了一个通用的统一精度模型，并从中发现了一个通用的勾股定理关系，明确了OptE3的最佳精度。随后我们简化了该模型，以揭示系统几何结构对配置的影响，从而简化了操作流程。首先考虑了一个特殊但非限制性的情况，即投影仪的光轴垂直于FPP的基线，由此得到一个中间统一的精度模型。我们发现这三种方法的有效基线遵循一个特殊的勾股定理关系。其次，我们从投影仪的外部参数出发，详细说明了相机光轴与投影仪光轴之间的角度，最终得到了一个简化的统一精度模型。这个简化模型在几何上易于理解，因此有助于在给定精度预算的情况下确定系统中投影仪和相机的位置和方向，并为此开发了一个FPP-Planner软件工具。此外，我们从理论上将FPP与立体视觉和激光三角测量进行了比较。我们的研究成果已经通过实验得到了验证。这些理论模型有望提升甚至改变FPP的设计和性能评估方式。
引言：三维（3D）形状测量技术为现代智能制造、自动驾驶、医疗诊断、历史地标的数字记录等领域提供了直接而强大的工具。由于对环境的敏感性较低，非干涉式光学方法在创新应用中迅速崭露头角，例如自动驾驶中的立体视觉和面部识别中的散斑投影。作为一种3D测量技术，条纹投影轮廓测量（FPP）以其高精度（可达数微米）和高速度（千赫及以上）而备受关注，并在测量1毫米到1米范围内的尺寸时取得了众多成功应用。一个典型的FPP系统仅需一个投影仪、一个相机和一台计算机。如图1所示，直线条纹图案被投射到物体上，由于物体表面的影响而发生变形，然后由相机捕获。通过比较直线和变形后的图案，可以重建物体的形状。为了实现这一目标，对于每个相机像素\(\left(u}^{c},{v}^{c}\right)\)，需要找到一个对应于同一3D物体点\(\left(x}^{w},{y}^{w},{z}^{w}\right)\)的投影仪像素\(\left(u}^{p},{v}^{p}\right)\)，因为\(\left(u}^{c},{v}^{c}\right)\)和\(\left(u}^{p},{v}^{p}\right)\)来自这些条纹图案的相同相位值。一旦确定了相机像素和投影像素的对应关系，\({u}^{c},{v}^{c},{u}^{p}\)和\({v}^{p}\)中的每一个都提供了一个与\(\left(x}^{w},{y}^{w},{z}^{w}\right)\)相关的光线追踪方程，总共得到四个方程。数学上，这三个方程中的任意三个都足以计算出\(\left(x}^{w},{y}^{w},{z}^{w}\)。
图1：一个典型的FPP系统
由于在条纹投影方向和重建所需方程数量上的灵活性，文献中形成了并使用了以下几种方法：
(i) Ver3：投影垂直条纹图案。对于每个\(\left(u}^{c},{v}^{c}\right)\)，通过相位测量和相位解包获得其绝对相位。然后寻找具有相同相位值的投影仪像素线，从而确定\({u}^{p}\)。基于\({u}^{c}\)、\({v}^{c}\)和\({u}^{p}\)的三个方程足以重建3D物体点。这种方法称为Ver3，方便地反映了使用垂直条纹进行投影以及三个方程进行重建的事实。它是应用最广泛的方法之一。
(ii) Hor3：该方法与Ver3类似，但投影水平条纹，并寻找与\(\left(u}^{c},{v}^{c}\right)\)对应的\({v}^{p}\)，然后解基于\({u}^{c}\)、\({v}^{c}\)和\({v}^{p}\)的三个方程。由于系统配置的原因，Hor3的使用较少，但其理论重要性与Ver3相同。
(iii) OptE3：选择沿系统极线的最优角度的条纹角度进行投影。对于相机中的每个\(\left(u}^{c},{v}^{c}\right)\)，像其他方法一样获得其绝对相位。然后在投影仪中找到具有相同相位值的线条，这条线通常不再是水平的或垂直的。这条线与极线的交点给出了与\(\left(u}^{c},{v}^{c}\right)\)对应的\(\left(u}^{p},{v}^{p}\)。基于\({u}^{c}\)、\({v}^{c}\)、\({u}^{p}\)和\({v}^{p}\)的四个方程可用于重建，但实际上其中一个方程是多余的，因此只需要三个方程。OptE3的命名表明了投影中使用了最优角度、系统特征中的极线以及三个用于重建的方程。这种方法最近才开发出来，其独特之处在于系统配置（硬件）和最优条纹角度（算法）紧密相关。尽管我们参与了OptE3的开发，但我们选择这种方法进行研究是为了在本文中发现其重要作用，而不是出于个人偏好。了解上述每种方法的精度特性对于测量至关重要。为此，我们为Ver3建立了一个完整的精度模型。虽然这个精度模型可以直接扩展到Hor3，但由于OptE3更为复杂，将其扩展到OptE3并不简单。因此，在参考文献20中提出的初步OptE3精度模型中追求了简洁性，这遗憾地掩盖了OptE3与Ver3/Hor3之间的深层联系。这一点将在“材料与方法”部分提到。因此，我们非常有动力更清晰地理解这三种方法，并将以更系统的方式重新审视它们的精度模型。结果，我们发现了它们之间的具体相似性，首次将它们统一为一个模型。这个统一模型使我们发现了一个通用的勾股定理关系：Ver3/Hor3/OptE3精度的倒数构成了一个精度直角三角形（PRT）。这种关系有助于选择合适的重建方法——流行的Ver3和Hor3使用起来更简单，而最新的OptE3在相同的几何配置下具有更高的精度。
上述通用统一模型由投影仪和相机的许多内部和外部参数表示。这些参数是无形的，需要进行校准。因此，进行了两步模型简化。在第一步简化中，我们限制\({t}_{3}^{p}=0\)，即投影仪的光轴垂直于FPP的基线，同时不失去通用性。然后我们可以简化统一模型并揭示不同方法的几何作用。特别是为Ver3/Hor3/OptE3定义了有效基线，这包括了焦距和几何基线。有趣的是，PRT将演变成一个有效基线直角三角形（EBRT）。随着有效基线的延长，EBRT清晰地表明了每种方法的精度性能。研究表明，Ver3的精度仅依赖于\({t}_{1}^{p}\)而与\({t}_{2}^{p}\)无关，反之，Hor3的精度依赖于\({t}_{2}^{p}\)而与\({t}_{1}^{p}\)无关。
在第二步简化中，我们研究了相机光轴与投影仪光轴之间的角度\(\omega\)，这是一个影响FPP性能的重要参数。这个角度\(\omega\)包含在一个旋转矩阵\({R}^{p}\)中，但当我们选择了适当的系统硬件后，将从\({R}^{p}\)中明确这个角度。这导致了我们最终的和简单的实际精度模型，该模型对于具有给定误差预算的系统设计非常有用。基于这个模型，开发了一个FPP-Planner，用于精度意识强的FPP系统设计。
最后，我们将我们的模型与立体视觉和激光三角测量进行了联系。由于张在2006年敏锐地将投影仪视为逆相机，FPP一直被视为立体视觉，这一点为研究人员和从业者所熟知。由于FPP和立体视觉都通过三角测量来重建3D几何结构，因此预计它们的性能相当。本文从它们量化的精度模型的等价性支持了这一观点。对于激光三角测量，它与FPP在基于三角测量的重建方面相似，但主要的测量源是散斑。角度\(\omega\)的影响在激光三角测量中得到了明显的讨论，表明距离测量误差与\(\sin ({\rm{\omega }})\)成反比。通过一些理论推导，我们展示了FPP和激光三角测量的精度模型是一致的，这一点既有趣又令人惊讶。
在本文中，我们采用了一种分析方法，从全面、通用但有效的模型开始，通过详细和冗长的分析将其简化为一个简单的模型。有人可能会认为，这样的最终模型可以从理想的FPP设置中轻松获得，其中投影仪和相机的位置和方向与我们在最终分析阶段的情况相似。虽然这确实可以提供一些关于FPP精度的见解，但它也揭示了理论与实践之间的差距，因为实际系统永远不会是理想的。我们采取了相反的方法，首先获得了一个通用的统一模型，该模型始终适用于校准后评估任何实际FPP系统的精度。通过为简化设置明确的几何条件，阐明了通用模型和特定模型之间的近似误差差距。这种简化的模型对于正确支持系统设计更为有用。我们相信，我们的工作对于应对工业界的更高精度要求（如先进制造和半导体行业）具有价值。本文中呈现的详细理论分析也可以扩展到由远心镜头、Scheimpflug镜头等组成的FPP系统。一项相关工作建立了用于优化系统参数以提高精度的框架，而我们的论文则专注于精度。
由于这项工作是基于我们之前的工作（20,22），我们突出了它们之间的差异。虽然参考文献20开发了OptE3，但本研究将Ver3/Hor3整合到了一个框架中。虽然参考文献22强调了Ver3的完整模型，但本研究深入探讨了3D重建，建立了Ver3/Hor3/OptE3之间的关系，并简化了结果以获得几何洞察。此外，本文进一步基于精度模型进行系统设计，并将FPP与立体视觉和激光三角测量联系起来。因此，这项工作独特地统一了FPP精度模型，连接了这些相关方法，并桥接了实际FPP系统设计和理论精度分析。我们工作的整体结构在下面的图2中展示，其中我们的主要发现表现为三个统一模型（通用模型、中间模型和简化模型），这些模型使得FPP系统的预先和后期评估成为可能，FPP-planner使得系统设计成为可能，并揭示了不同光学测量方法（FPP、立体视觉和激光三角测量）之间的有趣联系。因此，我们的主要贡献总结如下：
(i) 为Ver3/Hor3/OptE3建立了一个通用的统一精度模型，揭示了它们之间的PRT关系。该模型可用于校准后现有FPP系统的后期评估；
(ii) 在\({t}_{3}^{p}=0\)的条件下推导出一个中间统一精度模型，明确了几何长度并揭示了EBRT关系。此外，我们分析了在实际系统中需要严格满足这一条件的程度。这个模型清楚地表明，Ver3、Hor3和OptE3之间的差异源于它们使用不同的有效基线；
(iii) 通过明确和阐明光轴角度的作用，进一步推导出一个物理上简单直观的精度模型。此外，我们系统地评估了在模型中忽略视野（FOV）项所带来的误差；
(iv) 基于简化的精度模型，我们提出了一种实际的系统设计策略，并开发了FPP-Planner软件，可以直接帮助工程师设计和优化FPP系统；
(v) 通过精度量化，我们将FPP与立体视觉和激光三角测量联系起来，有趣的是，它们具有相似的精度特性。图2：我们工作的整体结构。该图像的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像。右侧是来自FPP的三种精度模型，从通用（GUPM）到中级（IUPM）再到简化版（SUPM）。左侧的两种其他光学测量方法（立体视觉和激光三角测量）通过精度模型被定量且牢固地连接成一个家族；此外，FPP-Planner通过精度模型将理论与实践链接成一个封闭的设计循环。
结果
我们研究的目的是为不同的FPP方法（Ver3/Hor3/OptE3）提供骨干精度模型，这是通过深入的理论分析实现的。FPP的原理依赖于称为针孔模型的物理现象，这在补充说明1中有简要回顾。此外，Ver3/Hor3/OptE3的四步FPP工作流程，包括（i）校准，（ii）条纹投影和相位计算，（iii）像素对应，以及（iv）3D重建，在下面的A、B（包括B1、B2和B3）和C部分分别进行了总结。虽然简化可能与之前的研究类似，但我们强调这一过程是应用于统一模型的，并且有新的有趣发现，这将在B部分中看到。
A：模型统一
在文献中，已经获得了Ver3的精度模型，而Hor3的精度模型尚缺失，OptE3的精度模型则采用不同的公式。通过将这些模型发展成相同的风格，这些不同的方法首次被统一为一个整体。这些精度模型的详细理论推导在“材料与方法”部分给出，Ver3/Hor3/OptE3的模型分别表示为方程（37）、（38）和（43）。尽管这些模型很复杂，但现在可以很容易地观察到它们之间意想不到的相似性。通过一个合理的假设\({\sigma }_{{\varphi }^{{Ver}3}}^{2}={\sigma }_{{\varphi }^{{Hor}3}}^{2}={\sigma }_{{\varphi }^{{OptE}3}}^{2}={\sigma }_{\varphi }^{2}\)，这些模型可以表示为以下一般的统一精度模型（GUPM）：
$$
{\sigma }_{{z}_{M}}=\frac{P}{{\alpha }_{M}}\frac{T}{2\pi }{{\rm{\sigma }}}_{\varphi }
$$
其中
$$
{{\rm{\alpha }}}_{M}=\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{cc}
\left|{Q}_{u}\right|, & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{for\; M}={Ver}3
\end{array}
\begin{array}{cc}
\left|{Q}_{v}\right|, & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{for\; M}={Hor}3
\end{array}
\begin{array}{cc}
\sqrt{{Q}_{u}^{2}+{Q}_{v}^{2}}, & \,\,\,{for\; M}={OptE}3
\end{array}
\end{array}\right.
$$
P={\left[{r}_{31}^{p}\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}{z}^{w}+{r}_{32}^{p}\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}{z}^{w}+{r}_{33}^{p}{z}^{w}+{t}_{3}^{p}\right]}^{2}
$$
$$
{Q}_{u}={f}_{u}^{p}\left[\left({r}_{11}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{31}^{p}\right)\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+\left({r}_{12}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{32}^{p}\right)\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+\left({r}_{13}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{33}^{p}\right)}
$$
$$
{Q}_{v}={f}_{v}^{p}\left[\left({r}_{21}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{31}^{p}\right)\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+\left({r}_{22}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{32}^{p}\right)\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+\left({r}_{23}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{33}^{p}\right)}
$$
有趣的是，\({Q}_{u}\)和\({Q}_{v}\)对我们来说并不陌生——它们分别是方程（A11）右侧的分子和分母（见补充说明1）。
尽管上述模型仍然看起来很复杂，但值得注意的是，Ver3/Hor3/OptE3的精度仅相差一个因子\({{\rm{\alpha }}}_{M}\)，这揭示了以下关系：
$$
{\sigma }_{{z}_{V{er}3}}:{\sigma }_{{z}_{{Hor}3}}:{\sigma }_{{OptE}3}}=\frac{1}{s{in}\left({\theta }_{{opt}}\right)}:\frac{1}{\left|c{os}\left({\theta }_{{opt}}\right)\right|}:1
$$
或者以另一种形式表示为：
$$
{\left(\frac{1}{{\sigma }_{{z}_{V{er}3}}}\right)}^{2}+{\left(\frac{1}{{\sigma }_{{z}_{{Hor}3}}}\right)}^{2}={\left(\frac{1}{{\sigma }_{{OptE}3}}}\right)}^{2}
$$
我们将方程（7）称为一般勾股关系，如图3a所示，其中三角形被称为精度直角三角形（PRT）。这一结果也是通过不同的视角最近得出的，并因此得到了理论上的支持。图3a和方程（7）可以看作是一种分解，但三角形各边的量目前还没有物理意义。这一统一通用模型的发现及其随之而来的意义如下：
（i）不同的方法Ver3/Hor3/OptE3可以被视为一个整体，尽管它们各自的实用操作不同。它们的精度通过一个有趣的通用勾股关系相关联，其中OptE3具有最小的标准差，因此精度最高；
（ii）这个公式是一个恒等式，与系统配置无关。因此，这个模型是通用的和基本的，因为它适用于任何系统配置；
（iii）只要FPP系统经过校准，其精度就可以完全评估，这可以用来补充使用标准测试样本进行的现有实验评估。
图3：Ver3/Hor3/OptE3之间的勾股关系。该图像的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图像。
a. Ver3、Hor3和OptE3的一般勾股关系；b. 假设\({t}_{1}^{p} > 0\)和\({t}_{2}^{p} > 0\)时的有效基线三角形的特殊勾股关系。否则，应使用它们的绝对值。
B1：通过长度划分进行的第一次模型简化
尽管GUPM是通用的，但它不方便实际使用，并且由于存在太多参数而隐藏了可能的物理直觉。这些参数需要在校准过程中确定，因此在系统设计和配置之前很难知道。我们的简化将使精度模型更接近工程师的实际操作，并以可解释和量化的形式表达。
作为简化的第一步，我们设置\({t}_{3}^{p}=0\)。这种设置要求投影仪的光轴垂直于连接相机和投影仪中心的线。这并不立即显而易见，详细的证明在下面的B2部分提供。此外，设置\({t}_{3}^{p}=0\)意味着投影仪的极点位于无穷远处，在这种情况下，最优条纹图案会变成倾斜的条纹而不是圆形的。通过这样做，我们可以定义一个共同项：
$$
P_{0}={r}_{31}^{p}\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+{r}_{32}^{p}\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+{r}_{33}^{p}
$$
利用这个项，方程（3–5）中的\(P\)、\(Q}_{u}\)和\(Q}_{v}\)分别简化为\(P'\)、\(Q_{u}'\)和\(Q_{v}'\)，如下所示：
$$
P'^{'}={\left({z}^{w}\right)}^{2}{P}_{0}^{2}
$$
$$
Q_{u}'=-{f}_{u}^{p}{t}_{1}^{p}{P}_{0}
$$
$$
Q_{v}'=-{f}_{v}^{p}{t}_{2}^{p}{P}_{0}
$$
因此，方程（A11）中的最优角度简化为：
$$
\tan({\theta }_{{opt}})=\frac{{Q}_{u}'{\Q}_{v}'}=\frac{{f}_{u}^{p}{t}_{1}^{p}}{{f}_{v}^{p}{t}_{2}^{p}
$$
这是一个常数，不再随\(\left({u}^{c},{v}^{c}\right)\)变化。这个方程使我们能够构建另一个直角三角形，如图3(b)所示。虽然传统的几何基线是两个光学中心之间的距离：
$$
B_{0}=\sqrt{{\left({t}_{1}^{p}\right)}^{2}+{\left({t}_{2}^{p}\right)}^{2}
$$
我们考虑了焦距，并将有效基线定义为图3b中三角形的斜边：
$$
B_{e0}=\sqrt{{\left({f}_{u}^{p}{t}_{1}^{p}\right)}^{2}+{\left({f}_{v}^{p}{t}_{2}^{p}\right)}^{2}
$$
这个定义考虑了垂直和水平焦距作为校准参数可能会有所不同的情况。尽管如此，在\({f}_{u}^{p}={f}_{v}^{p}=f\)的情况下，我们可以回到一个简单的形式，即\(B_{e0}={B}_{0}f\)。根据图3b，\(B_{e1}={f}_{u}^{p}{t}_{1}^{p}\)和\(B_{e2}={f}_{v}^{p}{t}_{2}^{p}\)分别是\(B_{e}\)的垂直和水平投影。因此，我们将这个三角形称为有效基线直角三角形（EBRT），其特殊勾股关系为：
$$
{\left({B}_{e1}\right)}^{2}+{\left({B}_{e2}\right)}^{2}={\left({B}_{e0}\right)}^{2}
$$
与PRT相比，EBRT显示出更清晰的分解物理意义，因为它涉及有效基线。然而，EBRT需要满足\({t}_{3}^{p}=0\)的条件，这将在讨论的A部分进一步讨论。
利用方程（8–11）中的简化项和有效基线\({B}_{e}\)的定义，我们可以将GUPM重写为中间统一精度模型（IUPM）：
$$
{\sigma }_{{Z}_{M}}=\frac{\left|{P}_{0}\right|{\left({z}^{w}\right)}^{2}}{{\left({B}_{e}\right)}_{M}}\frac{T}{2\pi }{\sigma }_{\varphi }
$$
其中
$$
{\left({B}_{e}\right)}_{M}=\left\{\begin{array}{l}
\begin{array}{cc}
{B}_{e1}={B}_{e0}s{in}\left({\theta }_{{opt}}\right) & \,\,\,\,\,{for}\,M={Ver}3
\end{array}
{B}_{e2}={B}_{e0}\begin{array}{cc}\left|c{os}\left({\theta }_{{opt}}\right)\right|\, & \,{forM}={Hor}3
\end{array}
\begin{array}{cc}
{B}_{e0} & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{for}\,M={OptE}3
\end{array}\right.
$$
这种重新表述清楚地表明，Ver3/Hor3/Opt3的标准差\({\sigma }_{{Z}_{M}}与物体距离\({\left({z}^{w}\right)}^{2}\)成正比，与相应的有效基线\({\left({B}_{e}\right)}_{M}\)成反比，使理论表达更加直观和实用。如果在测量任务中允许，较短的测量距离和较长的有效基线会带来更高的精度。
对于一个已经配置好的FPP系统，其参数为\({{\boldsymbol{t}}}^{p}=({t}_{1}^{p},{t}_{2}^{p},0)\)，IUPM的意义如下：
（i）它揭示了基线的重要性和有趣的特殊勾股关系。特别是，OptE3具有最长的有效基线\({\left({B}_{e}\right)}_{M}\)，因此具有 highest 精度。OptE3同时利用了\({t}_{1}^{p}\)和\({t}_{2}^{p}\)，从而为性能提升提供了更大的自由度，即通过增加\({t}_{1}^{p}\)或\({t}_{2}^{p}\)或两者；
（ii）对于Ver3，其有效基线\({B}_{e1}\)是\({B}_{e}\)的垂直投影，因此（a）有效基线变短，其精度不会超过OptE3的精度；（b）\(B_{e1}\)仅依赖于\({t}_{1}^{p}\)。如果\({t}_{1}^{p}\)接近0，结果会很糟糕。为了提高精度，应使\({t}_{1}^{p}\)变长；（c）\(B}_{e1}\)与\({t}_{2}^{p}\)无关，因此即使投影仪和/或相机上下移动，精度也保持不变。这些点在实践中已经观察到，更像是一种经验。Hor3与Ver3类似：（a）其精度不超过OptE3的精度；（b）\(B}_{e2}\)仅依赖于\({t}_{2}^{p}\)；（c）\(B}_{e2}\)与\({t}_{1}^{p}\)无关；
（iii）从重建的角度来看，Ver3可以被视为\({t}_{2}^{p}=0\)的OptE3的一个特例。我们测试过，当\({f}_{u}^{p}\approx {f}_{v}^{p}\)，且\({t}_{1}^{p}/{t}_{2}^{p}\ge 3\)，即\(\sin \left({\theta }_{{opt}}\right) > 0.95\)时，OptE3和Ver3之间的精度差异不超过5%。同样，Hor3也可以被视为\({t}_{1}^{p}=0\)的OptE3的一个特例。然而，Ver3和Hor3具有简单性的优势；
（iv）为了选择实际使用的方法，OptE3可以利用有效基线，特别是在需要紧凑FPP系统时；当没有空间限制时，具有足够长\({t}_{1}^{p}\)的Ver3和具有足够长\({t}_{2}^{p}\)的Hor3都是满足精度要求的良好选项。作为备注，在FPP系统设置过程中，应注意\({t}_{1}^{p}\)和\({t}_{2}^{p}\)的值，以便更好地理解系统配置并可能进行调整。
B2：通过角度划分进行的第二次模型简化
尽管方程（16）中的模型比方程（1）中的简单，但项\(\left|{P}_{0}\right|\)仍然包含无形的校准参数。有趣的是，这个项也可以简化。我们引入了相机和投影仪的光轴之间的角度（\(\omega\)），这会影响系统的几何和机械设计。由于\(\omega\)隐藏在旋转矩阵\({R}^{p}\)中，据我们所知，在FPP文献中很少讨论。我们现在的目标是从\({R}^{p}\)中划分出\(\omega\)。
我们在附录A中提到了CCS，它已被选为世界坐标系。同样，还有一个投影仪的坐标系（PCS）。一个点可以在这两个系统中表示为\({\left[{x}^{c},{y}^{c},{z}^{c}\right]}^{T}\)和\({\left[{x}^{p},{y}^{p},{z}^{p}\right]}^{T}\)。根据方程（A4）（见补充说明1），我们有
$$
\left[\begin{array}{c}{x}^{p}\\ {y}^{p}\\ {z}^{p}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}^{p} & {r}_{12}^{p} & {r}_{13}^{p}\\ {r}_{21}^{p} & {r}_{22}^{p} & {r}_{23}^{p}\\ {r}_{31}^{p} & {r}_{32}^{p} & {r}_{33}^{p}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^{c}\\ {y}^{c}\\ {z}^{c}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_{1}^{p}\\ {t}_{2}^{p}\\ {t}_{3}^{p}\end{array}\right]
$$
设\(\overrightarrow{{O}_{c}{A}_{c}\)是沿相机光轴的单位向量，我们有\({O}_{c}^{c}={[0,0,0]}^{T}\)和\({A}_{c}^{c}={[\mathrm{0,0,1}]}^{T}\)，用CCS表示。将它们代入方程（18），它们在PCS中的坐标分别为\({O}_{c}^{p}={[{t}_{1}^{p},{t}_{2}^{p},{t}_{3}^{p}\,]}^{T}\)和\({{A}_{c}^{p}=\left[{r}_{13}^{p}+{t}_{1}^{p},{{r}_{23}^{p}+t}_{2}^{p},{r}_{33}^{p}+{t}_{3}^{p}\right]}^{T}\)。因此，\(\overrightarrow{{O}_{c}{A}_{c}\)在对于策略I，\({z}^{w}\) 是根据实际需求预先确定的，投影仪的位置（因此 \({B}_{e}\)）和相机的方向（因此 \(\omega\)）是根据精度要求设计的。这对应于图4a中显示的FPP配置，其中 \({O}^{C}{O}^{P}\) 保持垂直于投影仪的光轴。对于策略II，\({z}^{p}\) 是预先确定的，而相机是可调的，如图4b所示。在这种情况下，我们表示 \({z}^{w}={z}^{p}/\cos \left(\omega \right)\)，并将其代入方程(21)中的SUPM。原始SUPM及其三个变体在表1中进行了总结，以便参考。在我们目前的工作中，我们考虑了SUPM中由相位解包算法33预定义的\(T\)。应该注意的是，图4只是一个简化的示意图。实际上，由于光学系统的测量范围，图4中的\({z}^{p}\)/\({z}^{w}\)代表一个范围而不是单一值，更详细的分析将在未来的工作中进行。
为了使设计更加实用，还应指定相位误差\({\sigma }_{\varphi }\)，关于这一点，我们在之前的工作中提供了详细的讨论22。对于初始系统设计，我们采用以下模型22，$$${\sigma }_{\varphi }^{2}=\frac{4}{N{\mu }_{e.{Sat}}}$$ （24）其中N是相位移动步数，\({\mu }_{e.{Sat}}\)是从传感器制造商那里获得的传感器饱和容量。这个模型的优点是简单，呈现最低的相位误差，并作为精度限制。显然，更高的N和\({\mu }_{e.{Sat}}\)可以提高精度，但前者需要更长的数据采集时间，而后者表明相机质量更高且通常更昂贵。因此，N和\({\mu }_{e.{Sat}}}被视为可设计参数，这也反映在表1中。基于表1，我们原型化了一个FPP-Planner34软件，详细信息在材料和方法的部分B中给出。
C：与其他基于三角测量的3D重建技术的联系由于条纹投影、立体视觉和激光三角测量都基于三角测量，它们自然具有高度相似性，甚至在某种“模糊”的方式下被认为是相同的。例如，自从Zhang在2006年18年将投影仪视为一种逆向相机以来，FPP就被直观地认为是立体视觉，这是许多研究人员和实践者所知道的。此外，从亥姆霍兹互易原理的角度也可以看出这种相似性，即在FPP中的投影仪充当实际相机的每个像素的虚拟相机，这一点在单像素图像35、36、37中已经得到了广泛认可。凭借本文中建立的精确模型，我们现在能够定量地确认它们的等效性，这是在计量学中一个主要关注的问题。这种处理也扩展到了激光三角测量。由于每种基于三角测量的方法都有其自身的光学、机械和算法特性，这种联系并不意味着我们的FPP精确模型可以立即用于指导其他基于三角测量的方法的设计。
C1：立体视觉典型的立体视觉系统由两个相机组成。与FPP不同，它不主动将光投射到物体上，而是被动捕获图像。因此，立体系统中的对应处理通常比FPP更具挑战性。一种常见的方法是将极线约束与基于强度的对应结合起来。为了简化这个过程，最广泛使用的策略是极线校正，它将对应的点沿着相同的水平图像线对齐38。校正后，旋转矩阵R变为单位矩阵，平移向量t通常满足\({t}_{2}={t}_{3}=0\)。左相机的坐标系被选为WCS。立体视觉系统的传统精确模型是$$${\sigma }_{z}=\frac{{\left({z}^{w}\right)}^{2}}{{B}_{0}f}{\sigma }_{d}$$（25）其中\({B}_{0}\)是传统的基线；f是相机焦距；\({\sigma }_{d}\)是像素对应在空间距离上的精确度。注意，在原始形式中3使用δz和δd在方程（25）中，这两个都是随机变量。我们使用了它们的标准差代替。
我们进一步检查了方程（21）中SUPM的参数。首先，我们考虑一个宏观系统，其中\(\omega\)很小，比如说\(\omega \le {10}^{^\circ }\)，且\(\cos \left(\omega \right)\approx 1\)；其次，我们看一个正常情况，即\({f}_{u}^{p}={f}_{v}^{p}=f\)，因此\({\left({B}_{e}\right)}_{M}={\left(B\right)}_{M}f\)；第三，我们将相位中的像素对应转换为空间距离中的对应，并重写\(T/2\pi \times {\sigma }_{\varphi }={\sigma }_{d}\)。结果表明，我们的FPP的SUPM模型变为$$${\sigma }_{{Z}_{M}}=\frac{{\left({z}^{w}\right)}^{2}}{{\left(B\right)}_{M}f}{\sigma }_{d}$$（26）方程（25）和（26）之间唯一的显式区别是\({\left({B}_{e}\right)}_{M}\)。注意，对于OptE3方法，即\(M={OptE}3\)，我们有\({\left(B\right)}_{M}={B}_{0}\)，使得方程（25）和（26）完全相同。这一事实不仅从精度方面等同于FPP和立体视觉，还突出了OptE3方法的理论意义。
C2：激光三角测量正如引言中提到的，激光三角测量中的噪声源是散斑。关于散斑噪声对激光三角测量精度限制的影响，Hausler研究小组进行了深入研究，并确定了不确定性的最终限制为$$\delta }_{z}=\frac{C}{2\pi }\frac{\lambda }{\sin ({u}_{{obs}})\sin ({\rm{\omega }})$$（27）其中C是散斑对比度，\(\lambda\)是激光波长，\({u}_{{obs}}\)是观测孔径。在参考文献2、23中，角度被表示为\(\theta\)；然而，为了与本文保持一致，我们用\({\rm{\omega }}\)代替它。基于几何光学和参考文献23的图1，\(\sin ({u}_{{obs}})\)可以近似为：$$\sin \left({u}_{{obs}}\right)=\frac{D}{2{z}^{w}}$$（28）将方程（28）代入方程（27），我们得到$$\delta }_{z}=\frac{C\lambda }{\pi D}\frac{{z}^{w}}{\sin ({\rm{\omega }})}\propto \frac{{z}^{w}}{\sin \left({\rm{\omega }}\right)}$$（29）假设D被视为常数，方程（29）突出了几何结构的影响。
对于FPP，我们只考虑OptE3，并假设\({f}_{u}^{p}={f}_{v}^{p}=f\)，因此\({B}_{e0}={B}_{0}f={z}^{w}f\sin \left(\omega \right)\)。如图4所示。因此，方程（21）可以重写为$$\sigma }_{{Z}_{M}}=\frac{{z}^{w}\cos \left(\omega \right)}{\sin ({\rm{\omega }})}\frac{T{\sigma }_{\varphi }}{2\pi f}$$（30）当\(\omega\)很小时，比如说\(\omega \le {10}^{^\circ }\)，这在激光三角测量系统中通常是这种情况，我们有\(\cos \left(\omega \right)\ge \cos \left(10{\rm{^\circ }}\right)=0.985\)。因此我们将\({\rm{c}}{\rm{os}}\left({\rm{\omega }}\right)\approx 1\)应用到方程（30）中，得到$$\sigma }_{{Z}_{M}}\approx \frac{{z}^{w}}{\sin ({\rm{\omega }})}\frac{T{\sigma }_{\varphi }}{2\pi f}\propto \frac{{z}^{w}}{\sin \left({\rm{\omega }}\right)}$$（31）通过比较方程（29）和（31）中呈现的两个模型，很明显激光三角测量和FPP的精度确实与系统几何结构相关。
由于本文涉及多个精确模型，为了方便起见，它们在表2中进行了总结。
讨论FPP的测量精度的理论理解在实际计量学中非常重要。因此，讨论理论与实践之间可能存在的差距是很重要的。
A：模型建立中的假设从GUPM到IUPM我们假设\({t}_{3}^{p}=0\)。实际上，严格满足这一点是困难的。我们检查了这个假设在多大程度上是合理的。通过使用方程（A11），我们计算了\({\theta }_{{opt}}\)关于\({t}_{1}^{p}\)和\({t}_{2}^{p}\)的导数。幸运的是，我们发现即使当\({t}_{3}^{p}\ne 0\)时，只要比率\({R}_{t}\)足够大，方程（8–17）仍然有效，其中\({R}_{t}\)定义为$$\({R}_{t}=\max \left({t}_{1}^{p}/{t}_{3}^{p},{t}_{2}^{p}/{t}_{3}^{p}\right)$$（32）取两个输入参数中的较大值。在参考文献39中也提出了类似的观点，即当\({t}_{3}^{p}\)与\({t}_{1}^{p}\)或\({t}_{2}^{p}\)相比非常小时，近似成立。我们对十五种不同配置的FPP系统进行了模拟和实际实验，发现只要满足\({R}_{t}\ge 30\)的条件，从方程（A11）和（A12）获得的最优角度的相对误差不超过0.7%。
从IUPM到SUPM我们忽略了方程（8）右侧的前两项（详见补充说明3）。考虑到分析中的这两个注意事项，并且不失一般性，我们进一步考虑水平视野（FOV）和垂直视野（FOV）相同的情况，那么我们可以容易地估计方程（8）中前两项相对于第三项的值。例如，合理地取\({\rm{FOV}}={20}^{\circ }\)和\(\omega \le 10{\rm{^\circ }}\)21、32，我们发现前两项的总和不超过第三项的4.4%。实际上，正如我们在广泛的实验中所显示的，这种近似误差通常低于2%，其中水平和垂直半视野角度分别约为9.64°和8.01°，\(\omega\)的范围大约是从4.5°到8°。
B：统一精确模型的适用性由于GUPM是在针孔成像假设下建立的，只要这个假设成立并且校准质量令人满意，它就适用于FPP系统。简化模型IUPM和SUPM是通过受控近似从GUPM派生出来的，当相关的近似误差可以容忍时，它们仍然有效，具有更清晰的物理解释和更有效的系统设计的优势。
C：模型对误差源（FPP系统变量）的敏感性我们还分析了模型对误差源的敏感性。由于GUPM涉及大量的系统参数，我们关注SUPM。方程（21）中呈现的SUPM与系统变量\(\omega\)、\({z}^{w}\)、\({\left({B}_{e}\right)}_{M}\)和\({\sigma }_{\varphi }\)有关。\({\sigma }_{{Z}_{M}}\)对这些变量的敏感性反映了设计与配置之间的差距。我们定义变量f的相对误差为\({\epsilon }_{f}={\delta }f/f\)，f对误差源g的敏感性为\(\partial f/\partial g\)，然后我们得到$$\epsilon }_{{\sigma }_{{Z}_{M}}}(\omega )={s}_{g}{\epsilon }_{g}$$（33）其中\({s}_{\omega }=\tan \left(\omega \right)\omega\)（当\(\omega =10\)°时约为0.03）；\({s}_{{z}^{w}}=2\)；\({s}_{{\left({B}_{e}\right)}_{M}}=1\)；\({s}_{{\sigma }_{\varphi }}=1\)，因此可以忽略\(\omega\)的误差源，测量精度对测量距离最敏感。作为一个理解系统精度的试验结果，我们可以假设相对误差是相同的，即\({\epsilon }_{g}=\epsilon\)，那么系统精度的总相对误差可以表示为$$\epsilon }_{{\sigma }_{{Z}_{M}}}={\left[{\left({s}_{{z}^{w}}\right)}^{2}+{\left({s}_{{\left({B}_{e}\right)}_{M}}\right)}^{2}+{\left({s}_{{\sigma }_{\varphi }}\right)}^{2}\right]}^{1/2}\epsilon \approx \sqrt{6}\epsilon$$（34）这意味着在最坏的情况下，系统参数的相对误差可能会放大\(\sqrt{6}\approx 2.45\)倍。例如，如果这些系统参数偏离了10%，那么系统精度将会偏离24.5%。通过设置更严格的目标精度，可以很容易地纠正这种放大。如材料和方法的部分B5中所展示的，当需要\({\sigma }_{{z\_TP}}\)的重建精度时，设定了更严格的精度\({\sigma }_{{z\_TP}}/2\)。
D：不太规则的物体形状的影响所提出的模型不依赖于全局物体几何形状，因为FPP是一种逐点测量技术。对于具有边缘和高坡度的物体表面，条纹反射率的降低或部分遮挡主要表现为条纹对比度的变化，这可以通过统一模型中采用的相位噪声模型\({M}_{P-F}\)来适应。对于具有多材料表面的物体——一个重要且受到积极研究的主题40、41——投影的条纹可能会受到内部反射或次表面散射的影响，导致相位方差项偏离\({M}_{P-F}\)中假设的严格形式。尽管如此，本工作中提出的统一精确模型仍然可以作为分析精度趋势的有用的一阶近似。
E：其他可能因素的影响还有其他可能影响FPP测量精度的因素：（i）给定一个FPP设置，系统参数的校准不确定性不仅影响测量准确性，也影响测量精度，因为这些参数存在于我们的精确模型中；（ii）投影仪的非线性是一个众所周知的误差源，但本文中没有明确考虑，因为有效的校正方法已经建立，而且这些效应在现代投影系统中不再是主要的限制19、42；（iii）实际情况可能会使测量结果偏离其理论预测，包括测试样本的表面纹理特性、振动和照明条件。虽然这些内容值得研究，但我们在本文中的考虑如下：
(i) 在实际应用中，如果可能的话，应尽量保持测量环境接近理想状态；
(ii) 在非理想环境下，如本节B部分所讨论的，我们建议在系统设计阶段采用更严格的目标精度要求。这样，即使环境条件恶劣，我们的理论模型仍然可以输出精度限制，从而作为测量能力和潜在改进的指导方针；
(iii) 在我们在常规实验室进行的广泛实验验证中，如“材料与方法”部分所展示的，理论结果与实验结果相当吻合，即使受到各种因素的影响。例如，我们的实验结果显示，理论预测与实际测量精度之间的差异保持在5%以内。另一个例子是，我们基于理论模型的FPP规划器成功指导了本文“材料与方法”部分B5中的实际系统设计。
FPP技术已经被研究了四十多年，但关于理论精度模型的讨论还不够深入。因此，我们采用理论方法来增强对FPP技术的理解。尽管这些模型的表述较为复杂，我们首次正式推导出了Ver3/Hor3/OptE3的理论表达式，并将它们结合起来。这使我们能够看到它们之间紧密的联系。这些公式在下面的A部分给出，而我们的发现则在“结果与讨论”部分进行了描述。此外，所有的发现都得到了本节B部分中全面验证的支持。
**A. Ver3、Hor3和OptE3的精度模型**
对于Ver3，我们在补充说明2的第(ii)步中获得的图像坐标系中的绝对相位分布表示为\({\varphi }^{{Ver}3}\left({u}^{c},{v}^{c}\right)\)，其中\(\left({u}^{c},{v}^{c}\right)\)和\(\left({u}^{p},{v}^{p}\right)\)分别表示相机像素和投影像素。投影出的垂直条纹的相位被设计为水平和线性增加。然后，对应过程得出 $$u^{p}=\frac{{\varphi }^{{Ver}3}\left({u}^{c},{v}^{c}\right)}{2\pi }T$$ (35)，其中\(T\)是条纹周期。在重建过程中，我们将方程(A2)和(A3)代入方程(A5)（见补充说明1），得到 $$z}_{{Ver}3}^{w}\left({u}^{p}\right)=\frac{{t}_{3}^{p}\left({u}^{p}-{u}_{0}^{p}\right)-{f}_{u}^{p}{t}_{1}^{p}}{\left\{\begin{array}{c}\left[{f}_{u}^{p}{r}_{13}^{p}-{r}_{33}^{p}\left({u}^{p}-{u}_{0}^{p}\right)\right]+\frac{{u}^{c}-{u}_{0}^{c}}{{f}_{u}^{c}}\left[{{f}_{u}^{p}r}_{11}^{p}-{r}_{31}^{p}\left({u}^{p}-{u}_{0}^{p}\right)\right]\\ +\frac{{v}^{c}-{v}_{0}^{c}}{{f}_{v}^{c}}\left[{f}_{u}^{p}{r}_{12}^{p}-{r}_{32}^{p}\left({u}^{p}-{u}_{0}^{p}\right)\right]\end{array}\right\}}$$ (36)，其中重建的深度由像素坐标以及相机和投影仪的内参和外参表示。根据方程(35)，我们有 \({\sigma }_{{u}^{p}}^{2}={\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}{\sigma }_{{\varphi }^{{Ver}3}}^{2}\)，其中\(\sigma\)代表标准差；进一步根据方程(35)，\({u}^{p}\)是已校准的FPP系统的唯一变量，因此我们有 \({\sigma }_{{z}_{{Ver}3}}^{2}={\left(\frac{\partial {z}_{{Ver}3}^{w}}{\partial {u}^{p}}\right)}^{2}{\sigma }_{{u}^{p}}^{2}\)。通过结合这两个结果，可以得出测量深度的方差为 $$\sigma }_{{z}_{{Ver}3}}^{2}=\frac{{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}{\left[\begin{array}{c}{r}_{31}^{p}\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}{z}^{w}+{r}_{32}^{p}\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}{z}^{w}\\ +{r}_{33}^{p}{z}^{w}+{t}_{3}^{p}\end{array}\right]}^{4}}{{\left\{{f}_{u}^{p}\left[\begin{array}{c}\left({r}_{11}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{31}^{p}\right)\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+\\ \left({r}_{12}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{32}^{p}\right)\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+\left({r}_{13}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{33}^{p}\right)\end{array}\right]\right\}}^{2}}{\sigma }_{{\varphi }^{{Ver}3}}^{2}$$ (37)，该结果之前的研究已经发表在相关文献中。
对于Hor3，深度方差的推导与Ver3类似，不同之处在于：(a) 使用水平条纹进行投影；(b) 在对应方程中用\({v}^{p}\)代替\({u}^{p}\)；(c) 使用方程(A2)、(A3)和(A6)（见补充说明1）来重建\({z}_{H{or}3}^{w}\)。精度模型推导如下： $$\sigma }_{{z}_{Hor3}}^{2}=\frac{{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}{\left[\begin{array}{c}{r}_{31}^{p}\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}{z}^{w}+{r}_{32}^{p}\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}{z}^{w}\\ +{r}_{33}^{p}{z}^{w}+{t}_{3}^{p}\end{array}\right]}^{4}}{{\left\{{f}_{v}^{p}\left[\begin{array}{c}\left({r}_{21}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{31}^{p}\right)\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+\\ \left({r}_{22}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{32}^{p}\right)\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+\left({r}_{23}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{33}^{p}\right)\end{array}\right]\right\}}^{2}}{\sigma }_{{\varphi }^{{Hor}3}}^{2}$$ (38)
对于OptE3，定向条纹图案的相位分布设计为 $$\phi ^{{OptE}3}\left({u}^{c},{v}^{c}\right)=\frac{2\pi }{T}\left[{u}^{p}\sin\left({\theta }_{{opt}}\right)+{v}^{p}cos\left({\theta }_{{opt}}\right)\right]$$ (39)。通过解方程(A7)（见补充说明1)和(39)，可以得到对应关系： $$u^{p}=\frac{{l}_{2}{\phi ^{{OptE}3}\left({u}^{c},{v}^{c}\right)+\frac{2\pi }{T}{l}_{3}cos\left({\theta }_{{opt}}\right)}{\frac{2\pi }{T}\left[{l}_{2}sin\left({\theta }_{{opt}}\right)-{l}_{1}cos\left({\theta }_{{opt}}\right)\right]}$$ (40)， $$v^{p}=\frac{{l}_{1}{\phi ^{{OptE}3}\left({u}^{c},{v}^{c}\right)+{\frac{2\pi }{T}l}_{3}sin\left({\theta }_{{opt}}\right)}{\frac{2\pi }{T}\left[{l}_{1}cos\left({\theta }_{{opt}}\right)-{l}_{2}sin\left({\theta }_{{opt}}\right)\right]}$$ (41)。回想一下，在OptE3中，只需要三个方程就可以完成重建。因此，我们可以使用方程(A2)、(A3)和(A5)（见补充说明1)来推导Ver3的结果，其中\({u}^{p}\)由方程(40)给出；或者使用方程(A2)、(A3)和(A6)来推导Hor3的结果，其中\({v}^{p}\)由方程(41)给出。虽然两种方法得出的结果相同，但我们选择前者进行解释。进一步推导可以得到 $$\sigma _{{z}_{{OptE}3}}^{2}\left({u}^{p}\right)=\frac{{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}{\left[\begin{array}{c}{r}_{31}^{p}\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}{z}^{w}+{r}_{32}^{p}\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}{z}^{w}\\ +{r}_{33}^{p}{z}^{w}+{t}_{3}^{p}\end{array}\right]}^{4}}{{\left\{{f}_{u}^{p}\left[\begin{array}{c}\left({r}_{11}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{31}^{p}\right)\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+\\ \left({r}_{12}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{32}^{p}\right)\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+\left({r}_{13}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{33}^{p}\right)\end{array}\right]\right\}}^{2}}\frac{{\left({l}_{2}\right)}^{2}}{{\left({l}_{1}\right)}^{2}+{\left({l}_{2}\right)}^{2}}{\sigma _{{OptE}3}}^{2}$$ (42)，这个结果之前的研究已经发表在相关文献中。通过进一步代入方程(A8)和(A9)（见补充说明1)到方程(42)，我们首次得到了OptE3的精度模型： $$\sigma _{{z}_{{OptE}3}}^{2}=\frac{{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}{\left[\begin{array}{c}{r}_{31}^{p}\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}{z}^{w}+{r}_{32}^{p}\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}{z}^{w}+\\ {r}_{33}^{p}{z}^{w}+{t}_{3}^{p}\end{array}\right]}^{4}}{\left(\begin{array}{c}{\left\{{f}_{u}^{p}\left[\begin{array}{c}\left({r}_{11}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{31}^{p}\right)\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+\\ \left({r}_{12}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{32}^{p}\right)\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+\left({r}_{13}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{1}^{p}{r}_{33}^{p}\right)\end{array}\right]\right\}}^{2}\\ +{\left\{{f}_{v}^{p}\left[\begin{array}{c}\left({r}_{21}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{31}^{p}\right)\frac{\left({u}^{c}-{u}_{0}^{c}\right)}{{f}_{u}^{c}}+\\ \left({r}_{22}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{32}^{p}\right)\frac{\left({v}^{c}-{v}_{0}^{c}\right)}{{f}_{v}^{c}}+\left({r}_{23}^{p}{t}_{3}^{p}-{t}_{2}^{p}{r}_{33}^{p}\right)\end{array}\right]\right\}}^{2}}{\sigma _{{OptE}3}}^{2}$$ (43)。需要澄清的是，Ver3的精度模型在方程(37)中已经得到；Hor3的精度模型在方程(38)中通过简单模仿Ver3的推导就可以得到；OptE3的精度模型在方程(42)中已经部分得到。我们只是添加了一个微小且简单的步骤，将其转化为方程(43)中的新形式，这在之前的研究中并未获得或重视，因为它看起来更复杂。然而，这些看似微不足道的步骤使我们能够看到这些模型之间的重要且令人惊讶的相似性，从而导致了我们在“结果与讨论”部分展示的工作。
**B. 实验验证**
为了验证我们的理论分析结果，我们使用DLP投影仪（型号：DLP6500，分辨率：1080×1920）和配备25毫米镜头的相机（型号：MER2-502-79U3M-L，型号：HN-P-2524-20M）开发了一系列具有不同配置的FPP系统。所有系统都满足方程(32)中讨论的\({R}_{t}\ge 30\)条件。我们使用张和黄的方法对系统进行了校准。分别采用三步相位位移方法和最优三频率方法进行缠绕相位恢复和绝对相位重建。其他先进的相位解包算法也是可行的选择。
**B1. 恒定最优角度的验证**
由于\({\theta }_{{opt}}\)在图3所示的一般和特殊勾股关系中都有出现，因此在FPP系统中起着至关重要的作用，我们首先验证它几乎是恒定的，如方程(12)所示。我们构建了十个具有不同相机和投影仪位置的FPP系统（FPP #1-#10）。在这些系统中，水平投影基线大于垂直投影基线（\({B}_{e1} > {B}_{e2}\)），导致\({\pi /4\le \theta }_{{opt}}\le 3\pi /4\)。例如，对于第一个FPP系统（FPP #1），通过校准得到的内参和外参矩阵为：
$$A^{c}=\left[\begin{array}{ccc}7323.853 & 0 & 1214.116\\ 1 & 7321.837 & 1012.628\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$ (44)
$$A^{p}=\left[\begin{array}{ccc}3397.550 & 0 & 913.608\\ 1 & 3402.537 & 493.024\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$ (45)
$$\left[\begin{array}{cc}{R}^{p} & {t}^{p}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0.975 & 0.017 & 0.220 & -85.924\\ -0.026 & 0.999 & 0.041 & -83.360\\ -0.220 & -0.046 & 0.975 & 1.105\end{array}\right]$$ (46)
根据这些矩阵，可以通过方程(A11)计算出\({\theta }_{{opt}}\)，其值随\(\left({u}^{c},{v}^{c}\right)\)变化，并且也可以通过方程(12)计算出\({\theta }_{{opt}}=0.7998\)。它们的差异在图5中显示，最大相对误差小于0.5%。
**B2. 勾股关系的验证**
我们现在继续验证勾股关系PRT和EBRT。有趣的是，图3b中的EBRT关系是几何上的，因此自然是成立的。我们接下来验证方程(6)和(7)中的PRT，分别测量了三种方法Ver3/Hor3/OptE3的精度。通过定义 $$Q={\left[{\left({\sigma }_{{OptE}3}/{\sigma }_{{Ver}3}\right)}^{2}+{\left({\sigma }_{{OptE}3}/{\sigma }_{{Hor}3}\right)}^{2}\right]}^{\frac{1}{2}}$$ (47)，则方程(6)和(7)等价于 \(Q=1\)，这将得到验证。使用所有三种方法测量了一个峰谷差小于0.005毫米的陶瓷板。为了减少镜头不可避免的畸变影响，使用相机中心的400×480像素作为感兴趣区域（ROI）。每个ROI中的点云数据(\({x}_{0}^{w},{y}_{0}^{w},{z}_{0}^{w}\))被拟合到一个根据我们在方程式（20）中的理论结果，\(\omega ={\cos }^{-1}\left({r}_{33}^{p}\right)={9.25}^{\circ }\)。其次，我们独立测量了这个角度。如图9a所示，我们生成了一个交叉图案，交叉图案的中心对应于距离投影仪主点最近的整数像素位置。投影仪将这个图案投射到一个白色平板上，在平板上形成了一个清晰的图像。相机捕捉到了板上的交叉图案图像。如图9a所示，形成了一个三角形\({O}^{c}M{O}^{P}\)，其边长分别为\(\left|M{O}^{c}\right|=770\,{mm}\)、\(\left|M{O}^{p}\right|=720\,{mm}\)和\(\left|{{O}^{p}O}^{c}\right|=165\,{mm}\)。利用余弦定理，我们得到\(\omega {\prime} =\beta ={12.12}^{\circ }\)。图9：角度\(\omega\)的测量原理。这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片a 交叉中心和角度关系图的成像过程。b 角度\(\alpha\)的测量原理。第三，通过比较校准结果和测量结果，发现两者之间有\({\omega {\prime} -\omega =2.87}^{\circ }\)的差异。这是因为\(M{O}^{c}\)通常不是相机的光轴，即投影仪和相机的光轴通常是斜线且不相交。因此，我们进一步测量了角度\(\alpha\)以进行补偿，如图9b所示。在三角形\({m}_{0}^{c}{O}^{c}{m}_{+}^{c}\)中，$$\tan \left(\alpha \right)=\frac{\sqrt{{\left({{u}_{+}^{c}-u}_{0}^{c}\right)}^{2}+{\left({{v}_{+}^{c}-v}_{0}^{c}\right)}^{2}}}{{f}_{u}^{c}}$$ (50) 其中\(\left({u}_{0}^{c},{v}_{0}^{c}\right)\)和\({f}_{u}^{c}\)已经校准为(1198.505,1039.370)和\(7299.880\)，而\(\left({u}_{+}^{c},{v}_{+}^{c}\right)\)的测量值为(1617,1075)。我们得到\(\alpha\)为\({3.29}^{\circ }\)。我们通过\(\omega {\prime} {\prime} \approx \beta -\alpha ={8.83}^{\circ }\)来补偿这个角度，绝对误差减少到\({\omega }^{{\prime} {\prime} }-\omega ={0.42}^{\circ }\)，相对误差为4.5%，这验证了方程式（20）。如前所述，相机和投影仪的光轴并不相交，但我们在这里假设它们相交。因此，我们强调这只是一个估计值。B5. 精度模型和FPP系统设计软件的验证我们首先验证了方程式（21）中的SUPM。此外，我们展示了在FPP-Planner软件指导下进行的FPP系统设计案例研究。根据参考文献22，我们实验中使用的相机具有\({\mu }_{e.{Sat}}=10345{e}^{-}\)的饱和容量和\(K=0.0232\,{DN}{\left({e}^{-}\right)}^{-1}\)的增益。我们通过以下步骤验证了FPP #1-#10的方程式（21）：(i) 将N?=?3和\({\mu }_{e.{Sat}}\)代入方程式（23）计算相位标准差；(ii) 将计算出的相位标准差、每个物体平面位置\({z}^{w}\)、条纹周期T以及方程式（45–46）中的校准参数代入方程式（21）。结果如图10所示，其中洋红色数据代表理论设计的系统精度，蓝色数据对应于FPP #1的实验测量精度。图10这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片实际模型与实验数据的验证结果如图所示，设计与测量精度之间存在差异，这是预期之中的。这种差异源于方程式（24）在理想情况下提供了相位标准差的理论极限\({A}^{c}={B}^{c}={I}_{{sat}}/2\)，其中\({A}^{c}\)和\({B}^{c}\)分别是条纹的背景和调制强度，\({I}_{{sat}}\)是饱和强度。实际上，理论精度极限优于实验精度，为FPP设计阶段提供了良好的参考值。然而，在实践中，由于物体表面属性，通常\({B}^{c}\)?
