MDBGAN：一种基于多阶段双分支GAN技术的页岩三维随机重建方法

《International Journal of Coal Science & Technology》：MDBGAN: A 3D stochastic reconstruction method for shale using a multi-stage dual-branch GAN

　　摘要
二氧化碳封存和储存的重要方法之一是将二氧化碳储存在地下地质结构中。页岩的数字重建技术的发展对于精细刻画页岩储层的二氧化碳封存特性具有巨大潜力，但实际页岩的复杂结构使得精确重建非常困难。近年来，生成对抗网络（GAN）作为一种有价值的工具出现，并因其强大的特征学习和提取能力而成功应用于数字岩石的模拟。然而，GAN面临一些挑战，例如需要大量的训练样本和耗时的重建过程。为了克服这些挑战，本文提出了一种使用多阶段双分支判别器GAN的新颖方法来随机重建页岩。该模型设计允许从单张训练图像中充分提取结构特征，并通过共享相邻阶段之间的共同参数来提高效率。此外，判别器的两个分支分别判断重建内容的内部结构和场景布局，从而确保页岩重建的质量。通过将我们的方法与其他几种重建方法进行比较，证明了我们的方法在特征提取和重建多样性方面都具有优越的性能。

1 引言
碳捕获、利用和储存（CCUS）在缓解全球气候变化方面至关重要（Ye等人，2025年）。封存二氧化碳的重要技术手段之一是将捕获的二氧化碳储存在地下页岩储层或煤层中（Wan等人，2024年；Economides等人，2009年）。由于二氧化碳在煤或富含有机物的页岩表面的吸附量几乎是甲烷的两倍，当二氧化碳被煤或页岩吸附时，它开始取代甲烷类气体。在这种情况下，只要压力和温度保持稳定，二氧化碳将长时间被困住，最终以吸附状态和自由状态存在于地下页岩储层和煤层中（Aminu等人，2017年；Yang等人，2023b年）。研究页岩结构对于评估地下二氧化碳封存效果至关重要，因为页岩的孔隙对提高CCUS效率至关重要（Blunt等人，2013年）。采用高精度成像设备的物理实验技术已成功精确描绘了有限尺寸岩石样本的内部结构（Liu等人，2024年）。广泛使用的方法如双束系统扫描电子显微镜和聚焦离子束（SEM-FIB）（Baruchel等人，2008年）以及计算机断层扫描（CT）（Madonna等人，2012年）能够检测到密集储层岩石的内部结构，但这些方法成本高昂且实验过程繁琐。同时，成像设备的物理空间限制了页岩重建的规模（Zhang等人，2023a年）。为了补充物理方法并克服其局限性，数值重建方法如序列指示重建（Alabert 1987年）和截断高斯场（Beucher等人，2006年）被认为更具成本效益（Wu等人，2018年、2020年；Zhang等人，2023b年、c年）。然而，这些方法只能捕捉地质变量之间相对简单的关系，可能无法准确重建页岩的复杂内部结构。

自从Strebelle（2002年）提出单范数方程模拟（SNESIM）以来，多点统计（MPS）技术已被成功应用于生成3D孔隙空间图像（Okabe和Blunt 2004年）。然而，上述数值重建方法由于无法重用以往模拟的统计数据，每次模拟通常需要较长的时间。Feng等人（2019年）将传统的MPS方法与深度学习结合，从而大幅提高了重建速度，为随机介质重建提供了新的思路。最近，机器学习技术被广泛用于多孔介质或数字岩石的重建（Zhang和Zhang 2025年；Mirzaee等人，2023年）。作为机器学习的一个分支，深度学习技术在从真实岩石的训练图像（TIs）中提取特征方面表现出色（Wang等人，2021年）。此外，它们基于GPU的架构显著加快了各种模拟任务的重建过程（Wu等人，2023年）。Mosser等人（2017年）率先使用生成对抗网络（GAN）对多孔介质进行建模，他们的开创性工作表明GAN的模拟结果有效地捕捉了TIs的关键特征。受其工作的启发，Zhao等人（2021年）采用了致密砂岩的TIs，并实现了3D深度卷积GAN（DCGAN）。Liu等人（2019年）使用数据增强来增加GAN中的样本多样性。Zhu等人（2024年）采用了改进的金字塔Wasserstein GAN（IPWGAN）来可靠地生成大规模复杂随机介质的图像。随着GAN及其变体的发展，越来越多的学者开始研究页岩的重建和评估（Tahmasebi等人，2020年）以及孔隙尺度上的页岩气流动（Yang等人，2023a年）。

传统的深度学习方法从TIs中提取不同的特征，但当训练数据不足时，它们的特征提取能力和学习能力将受到限制。在岩石重建中可能会出现真实样本不足的问题。目前获取岩石训练图像的主要挑战体现在高成本、钻探和样本制备的难度上，导致模拟所需的训练数据相对缺乏。另一个问题是，使用某些传统深度学习方法重建数字岩石也是一个耗时的过程。面对这个问题，一些学者选择使用二位图像作为输入图像，结合VAE与GAN（Zhang等人，2021a年、b年）或在GAN中引入条件数据（Feng等人，2018年；Shams等人，2021年）来增强图像生成能力。在本文中，我们提出了一种用于页岩随机重建的模型，采用了称为MDBGAN的多阶段双分支判别器GAN。我们的方法包括在不同阶段将单个页岩TI缩放到不同大小。然后将这个缩放后的TI作为每个阶段的输入，从而实现多尺度特征的高效学习。通过共享相邻阶段之间的训练参数，我们显著减少了训练时间。该模型仅使用单张图像作为TI，因此可以解决训练数据不足的问题。同时，双分支判别器结构分别使用内容分支和布局分支来确定内部内容和场景布局的真实性，从而使模型能够同时获得高质量和多样化的结果。此外，一旦网络建立完成，它可以通过重用参数显著加快页岩的随机模拟速度，在多次模拟任务中显示出比传统方法显著的速度提升。

2 相关工作
2.1 GAN
GAN是由Goodfellow等人（2014年）引入的一种无监督学习架构。它基于零和游戏原理运行，其中两个参与者，生成器（G）和判别器（D），以对抗方式生成新数据。GAN学习数据的整体特征分布，并生成与真实样本（TIs）具有相似分布的生成数据。图1展示了GAN的结构，包括生成器G和判别器D。

图1
GAN的结构
在图1中，z表示遵循特定分布（例如高斯分布）的随机噪声。生成器G接收随机噪声z并产生合成样本G(z)。相比之下，判别器D的输入是一个样本，该样本可能是真实的（对应于真实样本x）或伪造的（对应于伪造样本），其功能是确定给定样本是否为真实样本。当生成器和判别器进行交替训练时，达到平衡状态。此时，判别器准确区分伪造样本的概率约为50%，表明它无法区分真实样本和伪造样本。

2.2 单图像GAN
为了克服特定环境中训练数据有限的挑战，近年来研究人员一直在探索利用单张图像中的信息来开发深度学习模型的方法。其中一种方法是引入单图像GAN（SinGAN）（Shaham等人，2019年），这是一种基于单张图像通过噪声到图像映射实现无条件随机生成的GAN变体。在SinGAN的基础上，ConSinGAN（Hinz等人，2021年）通过引入并发多阶段训练策略进一步改进了该方法。MOGAN（Chen等人，2021年）将手动标记的兴趣区域和图像的其余部分合并到单张图像中，实现了生成多样性，同时保留了原始图像的合理布局。

为了避免受到感知场的限制并更好地捕捉TI的整体特征，大多数单图像GAN偶然设置了多阶段金字塔结构。这种结构将训练过程分为几个阶段，每个阶段的输入图像都是原始TI的不同缩放版本。这种方法允许从全局结构提取信息到局部细节。在缩放较小的TI阶段，感知场内捕获的特征可以有效地表示粗略但大范围的图像信息。相反，在缩放较大的TI阶段，固定感知场内的特征可以准确地表示小范围但详细的信息。因此，模型逐渐从低阶到高阶分别学习TI的整体布局和具体细节。如前所述，由于获取成本高和难度大，数字岩石的训练数据通常不足，但多阶段的概念可以“创建”不同规模的额外TI，提供理想的解决方案。

2.3 扩张卷积
卷积中，感受野决定了捕获信息的大小。通常有两种方法使用标准卷积来扩展感受野。一种是在卷积操作之前对图像进行下采样，但这会牺牲分辨率并可能丢失重要特征。另一种是扩大核大小，这会导致更多硬件需求。Dilated卷积（Chen等人，2014年）首次通过插入空节点（也称为“孔”）来扩展核大小来解决上述问题。然后，具有少量有效节点和一些孔的卷积核可以被视为更大的感受野。表示核中两个相邻节点之间距离的扩展因子控制了孔的距离。

图2比较了扩展后的卷积核与标准卷积核。如图2所示，添加孔使卷积核的感知范围从原来的3×3扩大到5×5。这意味着对于相同的输入特征图，扩展卷积核可以观察到更多的全局特征并提取更多有代表性的信息。与此同时，两个版本的卷积所拥有的有效节点数量（图中的蓝色区域）是相同的，这意味着扩展卷积不会显著增加硬件负载，从而在硬件负载和核大小之间取得了平衡。图2 这张图像的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片 两个版本的卷积核：a 标准核；b 标准卷积；c 扩张核（膨胀 = 1）；d 扩张卷积

2.4 RFB-Little模块
为了提高网络的特征提取能力，Liu等人（2017年）提出在接收场块（RFB）中使用扩张核来模拟具有多层结构的人脑接收场。如图3a所示，RFB对相同的输入特征图执行三种不同的组合卷积操作。RFB的layer2和layer3都使用了传统卷积和扩张卷积的组合，但不同之处在于layer3的感知场比layer2更大，特别是“dilation conv_2”比“dilation conv_1”大得多，尽管两个核的有效面积保持不变。“collect”操作在三个层的交集处进行，意味着三个输出沿着通道叠加并通过conv_5在维度上进行压缩。图3 这张图像的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片 RFB和RFB-L模块的结构

受到RFB的启发，RFB-Little（RFB-L）模块旨在结合多种标准和扩展卷积，期望在不增加额外计算负担的情况下利用两种卷积的优势。如图3b所示，“collect”操作总共有三个输入。第一个是conv_1，第二个是conv_1和“dilation conv_1”的组合输出，第三个是conv_1、conv_2和“dilation conv_2”的组合输出。需要注意的是，RFB-L中的卷积层数量和大小都比RFB中的要少。然而，由于采用了结合三个分支和“collect”操作的设计概念，RFB-L可以在保持特征提取质量的同时减少网络层中的参数数量，从而加快模型的训练速度。

3 方法论
3.1 MDBGAN的结构
SinGAN将训练过程分成多个独立的阶段，确保每个阶段在进入下一个阶段之前都完全完成。SinGAN的不同阶段是独立训练的，并在训练开始时随机初始化。由于相邻阶段中不同大小的TI在特征分布上有很高的相似性，这允许相邻阶段的模型具有相对接近的网络参数。因此，可以推断出上述独立训练和不同阶段的随机初始化导致SinGAN的训练时间增加，从而对SinGAN的训练速度产生了负面影响。因此，我们的方法旨在同时训练网络的多个阶段。这种策略增强了各个阶段之间的信息交换，提高了模型性能并减少了训练时间。图4显示了MDBGAN的架构。生成器分为N+1个阶段。一个阶段的初始网络参数将遵循其前一个阶段的参数，而不是随机初始化，即第n阶段（n=0, 1, …, N-1）的模型参数将作为第n+1阶段的初始参数。为了加速重建过程，即在更高分辨率区域显示较低分辨率的图像，我们使用了三线性插值（Rajon和Bolch 2003）进行3D重建。为了降低单图像重建中的过拟合风险，SinGAN和其他模型提出学习不同尺度上的基于块的分布。尽管这些方法克服了记忆效应（Isola等人2017年），但它们未能识别关键图像信息以及图像场景的布局。结果，它们经常导致图像块的不连贯洗牌和物体的扭曲，从而在数字岩石重建中产生扭曲、不连续和不真实的布局。因此，我们提出了一个双分支判别器，该判别器同时关注输入图像的内容分布和布局位置。MDBGAN的判别器由一个卷积层、一个RFB-L模块、一个内容分支（\({D}_\text{CB}\)）和一个布局分支（\({D}_\text{LB}\)组成。其中，两个分支分别负责确定图像的内容分布和布局位置。受到注意力机制（Woo等人2018年）的启发，我们通过\({D}_\text{CB}\)中的全局平均池化提取内容，并通过\({D}_\text{LB}\)中的卷积操作获得布局。图4 这张图像的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片

在判别器中，假设RFB-L模块输出的中间特征F的大小为C×H×W，分别代表通道、高度和宽度。然后将F分别输入到\({D}_\text{CB}\)和\({D}_\text{LB}\)中。基于F，\({D}_\text{CB}\)通过AvgPooling计算每个池窗口的平均值来估计不同通道特征对主要信息的重要性或显著性，从而消除C×H×W的空间信息，生成一个C×1×1的特征图。此时，F的空间位置被忽略。同样，基于F，\({D}_\text{LB}\)通过卷积操作（Conv3d）评估场景中物体的空间位置并消除其通道信息，形成一个1×H×W的特征图。总之，\({D}_\text{CB}\)用于确定物体的内容而不考虑空间位置，而\({D}_\text{LB}\)仅关注图像布局或物体位置。注意\({D}_\text{CB}\)和\({D}_\text{LB}\)仅从RFB-L模块接收有限的信息，以防止过拟合，有助于克服训练数据的记忆效应并确保重建的多样性。

在第0阶段，即初始阶段，随机噪声\({z}_{0}\)被输入到第一个卷积层。然后生成器利用\({z}_{0}\)生成一个伪造的图像（重建0）；之后判别器评估输入图像的真实性并相应地调整生成器的参数。每个阶段（第0阶段除外）的生成器输入包括初始化的噪声和从前一个阶段上采样的特征图像。一旦损失函数训练在第n阶段达到终止条件，例如达到预设的迭代次数，就会采取两个行动。首先，训练过程进入第(n+1)阶段。其次，插入一个新的RFB-L模块以提取额外的特征。但是，判别器保持不变。每个阶段都输入随机噪声，并将前一阶段的图像特征缩放到当前阶段。之后，引入另一个RFB-L模块。最后，经过一个卷积层后得到结果。第n阶段的参数被转移到第(n+1)阶段以训练新阶段，即新添加的RFB-L模块和第(n+1)阶段的卷积层的参数重用第n阶段的参数。同样，第(n+1)阶段的判别器保持其原始结构并重用第n阶段的判别器参数，而不是重新初始化它们。MDBGAN的第(n+1)阶段的参数主要来源于第n阶段。这种使用从前阶段获得的参数的方法使它们更接近最终值，与每个阶段随机初始化相比，训练第(n+1)阶段的参数所需的更新次数更少，从而显著减少了训练时间。这个过程重复进行直到第N阶段。

3.2 每个阶段的重建大小
我们模型中每个阶段的性能在很大程度上取决于不同阶段的图像大小，因为特征的内容（如细节或总体布局）与图像大小密切相关。假设Ln、Wn和Hn（n=0, 1, …, N）分别是第n阶段生成图像的长度、宽度和高度。在我们的方法中，第n阶段的重建大小，称为\({SIM}_{n} (= (\({L}_{n},\:{W}_{n}\:,\:{H}_{n}\)))，定义如下：
$$\:{SIM}_{n}={SIM}_\text{TI}\times\:{m}^{\left(\right(N-1)/\text{log}N)\text{*}\text{l}\text{o}\text{g}(N-n)+1},$$
（1）
其中\({SIM}_\text{TI}\)是原始TI的大小；\({N}\)是首先预设的最终阶段的编号。在进行3D重建时，m定义如下：
$$\:m={\left(\text{min}\right({L}_{0},\:{\:W}_{0},\:{\:H}_{0})/\text{min}(L\text{*}\theta\:,W\text{*}\theta\:,H\text{*}\theta\:\left)\right)}^{1/(N-1)},$$
（2）
$$\:\theta\:=\text{min}(\text{max}\left({L}_{N},\:{W}_{N}\:,\:{H}_{N}\right)/\text{max}(L,W,H\left)\right),$$
（3）
其中(L, W, H)是原始图像的大小。每个阶段的重建图像和真实图像具有相同的维度。

3.3 MDBGAN的损失函数
与传统的GAN不同，每个阶段的生成器（称为\({G}_{n}\)）与判别器的两个分支（即\({D}_\text{CB}\)和\({D}_\text{LB}\)一起工作。第n阶段的整个损失函数定义如下：
$$\:{\mathcal{L}}_\text{all}\left({G}_{n},D\right)=\underset{{G}_{n}}{\text{min}}\:\underset{{D}_\text{CB},{D}_\text{LB}\:}{\text{max}}{\mathcal{L}}_\text{adv}\left({G}_{n},{D}_\text{CB},{D}_\text{LB}\right)+{\gamma\:\mathcal{L}}_\text{rec}\left({G}_{n}\right),$$
（4）
其中\({\mathcal{L}}_\text{rec}\)是重建损失；\(\:\gamma\:\:\)是分配给\({\mathcal{L}}_\text{rec}\left({G}_{n}\right)\)的权重。对抗性损失\({\mathcal{L}}_\text{adv}\)定义为：
$$\:{\mathcal{L}}_\text{adv}\left({G}_{n},{D}_\text{CB},{D}_\text{LB}\right)={\mathcal{L}}_{{D}_\text{CB}}+{\mathcal{L}}_{{D}_\text{LB}},$$
（5）
其中\({\mathcal{L}}_{{D}_\text{CB}}\)和\({\mathcal{L}}_{{D}_\text{LB}}\:\)代表在WGAN-GP（Gulrajani等人2017年）中定义的损失函数：
$$\begin{aligned} {\mathcal{L}}_{{D_{{\text{*}}} }} \left( {G_{n} ,\:D_{*} } \right) & = {\mathbb{E}}_{{\tilde{x}_{n} \sim \:p_{\text{data}} \left( {\tilde{x}_{n} } \right)}} \left[ {D_{*} \left( {\tilde{x}_{n} } \right)} \right] \\ & - {\mathbb{E}}_{{x_{n} \sim \:p_{\text{data}} \left( {x_{n} } \right)}} \left[ {D_{*} \left( {x_{n} } \right)} \right] + \alpha \:{\mathcal{L}}_{\text{gp}} , \\
\end{aligned} $$
（6）
$$\:{{\mathcal{L}}_\text{gp}=\mathbb{E}}_{\widehat{x}\sim\:{p}_{\widehat{x}\text{}}}\left[{({\parallel\:{\nabla\:}_{\widehat{x}}D\left(\widehat{x}\right)\parallel\:}_{2}-1)}^{2}\right],$$
（7）
$$\:{\stackrel{\sim}{x}}_{n}=\left\{\begin{array}{c}G\left({z}_{0}\right),n=0\\\:G\left({z}_{n},{\stackrel{\sim}{x}}_{n-1}\uparrow\:\right),n=1,...,N\end{array}\right.$$
（8）
其中\({D}_{\text{*}}\)代表\(\:{D}_\text{CB}\)或\(\:{D}_\text{LB}\)；输入图像由\(\:\:{x}_{n}\)表示，而第n阶段生成的图像由\(\:{\stackrel{\sim}{x}}_{n}\)表示。从第n-1阶段到第n阶段的上采样结果由\(\:{\stackrel{\sim}{x}}_{n-1}\uparrow\:\)表示。此外，\({\mathcal{L}}_\text{gp}\)代表梯度惩罚项，\(\:\widehat{x}\sim\:{p}_{\widehat{x}\text{}}\)表示沿着从真实数据分布(\({p}_\text{data}\left({x}_{n}\right)\)和伪造数据分布(\({\stackrel{\sim}{x}}_{n}\))采样的点之间的水平平面的采样。符号?表示梯度计算，\(\:\alpha\:\)是分配给\({\mathcal{L}}_\text{gp}\)的权重，默认值为0.1。

方程（6）-（8）首次在WGAN-GP中提出，该模型基于WGAN（Arjovsky等人2017年），其中定义了梯度惩罚（GP）（方程（7））。WGAN-GP利用Wasserstein距离来估计伪造数据和真实数据之间的特征分布差距，并使用GP来缓解梯度消失和模型崩溃的问题。此外，为了确保重建图像具有与TI相似的特征，定义了一个作为约束的重建损失：
$$\:{\mathcal{L}}_{\text{rec}} \left( {G_{n} } \right) = \left\| {\tilde{x}_{n} - x_{n} } \right\|_{2}^{2} .$$
（9）
计算\({\mathcal{L}}_\text{rec}\left({G}_{n}\right)\)是直接的。然而，它可能导致模型过拟合。为了解决这个问题，使用了权重\(\:\gamma\:\)（= 10，如方程（4）所定义），以实现平衡并减轻过拟合的风险。

3.4 MDBGAN的主要功能和参数
表1、表2和表3提供了关于生成器和判别器的具体参数和函数的详细信息。

表1 RFB-L模块的主要参数
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表2 生成器的主要参数
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表3 判别器的主要参数
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3.5 MDBGAN的流程
MDBGAN的流程在图5中详细描述，包括以下步骤：
(1) 输入单一TI的页岩。
(2) 为模型建立初始参数，并使用方程（1）计算多个阶段的重建大小。
(3) 通过优化方程（4）中描述的损失函数来训练当前模型。
(4) 如果满足当前阶段的终止条件，则将后续阶段纳入训练序列，并返回步骤3。如果没有满足条件，则当前训练继续在其当前阶段进行。这个过程重复进行，直到所有阶段都完成训练。
(5) 保存模型参数并生成结果。

图5 MDBGAN的流程
应该注意的是，MDBGAN中的每个阶段都有一个预定义的迭代次数作为终止条件。在每次迭代中，生成器和判别器分别独立训练，并且只交换一次。

4 实验结果和分析
SinGAN和ConSinGAN是两种可以使用单一TI重建3D数字贝叶岩的深度学习方法。这两种方法都遵循与MDBGAN类似的缩放策略，为比较它们的性能提供了基础。在这项研究中，我们结合使用SinGAN和ConSinGAN与MDBGAN进行比较分析。此外，我们考虑到页岩主要由孔隙和裂缝组成。因此，我们重建了两种类型的页岩样本。一种类型关注一般孔隙，而另一种类型强调明显的裂缝。这使我们能够在不同的场景下评估MDBGAN的性能。重建质量的评估涉及多种指标，例如多点连通性（MPC）曲线（Krishnan和Journel 2003）、多样性以及Minkowski函数等。

4.1 页岩数据的准备
4.1.1 数据预处理
实验用页岩数据是通过在中国石油研究院廊坊分院的纳米CT扫描（分辨率：50纳米）获得的（Zhang等人2023a）。样本包含一般孔隙和明显的裂缝。原始CT图像是一系列连续的Z方向上的2D灰度图像。为了将这些图像分割成描述孔隙和固体空间的二值图像，我们采用了基于灰度值分布计算的分割方法（Otsu 1979）。图6展示了一个页岩样本的二维横截面（1016 × 1024像素）。我们获取了大约500个这样的二维横截面，并将它们顺序堆叠起来形成一个三维图像。然后我们从三维图像中切出了{{TI}}_total（128 × 128 × 727体素）用于后续实验，其外观如图7所示。可以看出图7中包含了一般孔隙和明显的裂缝。因此，我们可以在一般孔隙和异质裂缝的重建上验证我们的方法。

图6
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通过纳米CT扫描得到的原始页岩样本的横截面（1016 × 1024像素，白色代表固体空间，黑色代表孔隙空间，背景除外）

图7
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{{TI}}_total（128 × 128 × 727体素）的外部图像

4.1.2 实验数据
为了确保实验数据的代表性，我们首先确定了代表性基本体积（REV）（Costanza等人2011），它指的是具有相对稳定性质的最小体积。在我们的实验中，我们使用MPC方法确定了REV的大小。REV的大小由以下公式定义：
$$\begin{aligned} {\text{MPC}}\left( n \right)\, & = {\mathbb{E}}\{ S(i) \cdot \:S(i + 1) \cdots \: \cdots \:S(i + \left( {n - 1} \right){\text{*}}h)\} \\ & = {\mathbb{E}}\left\{ {\prod \: _{{j = 0}}^{{n - 1}} S(i + j{\text{*}}h)} \right\}, \\
\end{aligned}$$
（10）
其中位置i的属性值表示为S(i)；h代表滞后距离，n代表单方向上的体素数量。在我们的实验设置中，S(i)对于孔隙空间的值为1，对于固体空间的值为0。图8显示了从TItotal计算出的MPC曲线在X、Y和Z方向上的情况。可以观察到，MPC曲线在滞后距离为76、79和61时达到稳定状态，因此图8表明REV为76×79×61体素。判断MPC曲线是否达到稳定状态的标准是曲线的绝对斜率小于一个阈值（0.05）。

图8
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{{TI}}_total的MPC曲线

为了确保后续实验的有效性，我们从TItotal中选择了两个页岩数据集进行重建：一个包含显著的裂缝，另一个包含一般孔隙。首先，我们从TItotal中提取了一个名为TIgeneral的3D页岩子图像（包含一般孔隙，孔隙率为19.03%，803体素）作为一般孔隙的训练数据。然后，我们从中提取了另一个名为TIfrac的3D页岩子图像（包含显著裂缝，孔隙率为18.17%，803体素）作为裂缝的训练数据。

4.2 含有一般孔隙的页岩的重建结果
4.2.1 重建结果
为了评估我们方法的有效性，我们对SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN获得的重建结果进行了比较分析。这些深度学习技术仅使用单个TI就能够重建3D数字岩心。所有三种方法的重建图像都由803体素组成，与TIgeneral相同。图9展示了TIgeneral以及三种方法生成的重建图像的外观和横截面视图（X = 40, Y = 40, Z = 40）。在可视化中，固体空间用黑色表示，而孔隙空间用灰色表示。可以观察到，所有三种方法的重建图像都显示出与TIgeneral相似的不规则孔隙结构。

4.2.2 孔隙空间的比较
TIgeneral和重建结果中的孔隙空间由连接的和孤立的孔隙空间组成。图10展示了TIgeneral的孔隙空间（总孔隙空间、连接孔隙空间和孤立孔隙空间）以及使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的结果（如图9所示）。这些图像是使用Avizo（2015）提取的。值得一提的是，孔隙网络模型是从连接孔隙空间中得出的。此外，为了收集平均数据，我们使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN生成了十个额外的页岩重建。TIgeneral的总孔隙率、连接孔隙率和孤立孔隙率的值以及重建的平均值在表4中提供。此外，表5列出了孔隙和喉部参数（数量和直径）。显然，由于MDBGAN与TIgeneral的相似性更高，因此其性能优于其他方法。

图9
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分别使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的含有 general 孔隙的岩层（803 体素）

图10
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TIgeneral 的孔隙空间和重建结果（图9）中使用 SinGAN、ConSinGAN 和 MDBGAN 的孔隙和孔隙网络模型

表4 TIgeneral 的孔隙率值以及分别使用 SinGAN、ConSinGAN 和 MDBGAN 重建的十个结果的平均值（表4 中的最佳统计数据已加粗）

表5 TIgeneral 的孔隙和喉部参数（数量和直径）以及使用 SinGAN、ConSinGAN 和 MDBGAN 重建的十个结果的平均值（表5 中的最佳统计数据已加粗）

4.2.3 MPC 的比较
图11展示了TIgeneral的MPC曲线以及分别在不同方向（X、Y和Z）上计算的SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建结果的平均值。由于缺乏定量分析，直接从图11中确定最接近TIgeneral的曲线是具有挑战性的。为了解决这个问题，我们引入了一个差异度（DD）来衡量两条曲线之间的差异。DD由以下公式定义：
$$\:DD\left(\text{real,rec}\right)=\:\sum\:_{h=1}^{n}{({X}_{h}-{x}_{h})}^{2},$$
（11）
其中real和rec代表TI和重建结果，\:{X}_{h}\)和\:{x}_{h}分别是real和rec在距离h处的属性值。较大的DD表示real和rec之间的相似性较小。通过计算图11中MPC曲线的DD，表6显示了TIgeneral与重建结果之间的DD。MDBGAN生成的MPC曲线与TIgeneral的相似度最高。

图11
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TIgeneral的MPC曲线以及使用 SinGAN、ConSinGAN 和 MDBGAN 在三个方向上重建的十个结果的平均值：a X方向，b Y方向，c Z方向

表6 TIgeneral 与 SinGAN、ConSinGAN 和 MDBGAN 重建结果之间的 DD（表6 中的最佳统计数据已加粗）

4.2.4 渗透率的比较
使用Avizo（2015）计算了TIgeneral的渗透率以及通过三种方法获得的十个重建结果的平均渗透率，如表7所示。在三种方法中，MDBGAN生成的重建结果在所有三个方向上的渗透率都与TIgeneral非常接近。

表7 TIgeneral的渗透率以及分别使用 SinGAN、ConSinGAN 和 MDBGAN 在三个方向上重建的十个结果的平均渗透率（表7 中的最佳统计数据已加粗）

4.2.5 多样性的评估
多样性对于评估重建质量很重要，它一方面显示了十个生成结果的多样性，另一方面显示了十个生成结果与TIgeneral之间的相似性。引入了多尺度切片-Wasserstein距离（MS-SWD）的概念来量化图像在多尺度空间结构方面的差异（Karras等人2017）。Song等人（2021a, b）提出了MS-SWD和多尺度缩放（MDS）的结合，称为MS-SWD-MDS，将所有模拟结果分为子组并计算每个子组的MS-SWD。然后将捕获每个子组内特征分布的MS-SWD值转换并投影到二维空间中，这意味着它们可以使用二维图像来表示。为了直观地展示每种重建方法生成的图像的多样性，我们使用MS-SWD-MDS将所有生成结果和TIgeneral的特征分布投影到二维图像中进行比较。
图12显示了SinGAN、MDBGAN和ConSinGAN生成的十个重建结果的散点图和相应的密度等高线图。在散点图中，每个点代表TIgeneral或一个重建图像，而等高线代表它们的分布密度。可以看出，MDBGAN的重建结果之间具有很好的多样性，但它们的分布仍然与TIgeneral相当接近，因为MDBGAN的等高线几乎集中在TIgeneral周围，这意味着MDBGAN的重建结果与TIgeneral既有相似之处也有足够的差异。

图12
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TIgeneral 和使用 SinGAN、ConSinGAN 和 MDBGAN 重建的十个结果的 2D MS-SWD-MDS 投影（散点图和密度图）

4.2.6 Minkowski 函数的比较
Minkowski 函数是指描述三维物体拓扑的统计函数（Mosser等人2017）。这些函数提供了三个估计值，分别代表孔隙率、比表面积 \({S}_\text{V}\) 和欧拉特征 \(\:{\chi\:}_\text{v}\)。孔隙率显示了孔隙空间体积与整个样本体积的比率。相对于总体积进行归一化的 \({S}_\text{V}\) 在捕捉整体几何特征方面非常重要，即：
$$\:{S}_\text{V}=\frac{1}{V}\int\:\text{d}S,$$
（12）
其中 \(\:V\) 是体积，\(\:S\) 是表面面积。
\({\chi\:}_\text{v}\) 描述了多孔介质的连通性，定义为：
$$\:{\chi\:}_\text{v}=\frac{1}{4\pi\:V}\int\:\frac{1}{{r}_{1}{r}_{2}}\text{d}S,$$
（13）
其中 r1 和 r2 表示表面S的主曲率半径。Minkowski 函数是使用MorphoLibJ开源软件库（Legland等人2016）计算的。所有统计数据基于从SinGAN、MDBGAN和ConSinGAN获得的十个重建的平均值。图13显示了SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN的三个Minkowski函数的箱形图，其中红色虚线代表TIgeneral。可以得出结论，MDBGAN在所有三个Minkowski函数方面都与TIgeneral最为接近，表明其性能优于其他三种方法。

图13
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基于SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN的十个重建结果的三个Minkowski函数的箱形图。a 孔隙率，b 比表面积，c 欧拉特征

4.2.7 运行时间和CPU/GPU/内存使用的比较
FID（Lucic等人2018）是一种用于衡量两组图像之间相似性的指标。它已被证明与人类对视觉质量的感知有很强的相关性，常用于评估生成图像的质量，包括GAN生成的图像（Zhang等人2021a, b）。较低的FID分数表示图像质量较高。
我们的实验是在以下硬件配置上进行的：Intel 1.60 GHz i5-8250U CPU、GeForce RTX 3080（10 GB显存）和16GB内存。我们在SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN进行十个重建过程中记录了硬件统计信息，然后对这些重建进行了FID评分。表8列出了十个重建的CPU/GPU/内存使用情况、训练时间和FID分数。得益于MDBGAN中简洁有效的RFB-L模块，重建的质量得到了保证（通过最低的FID证明），并且时间和GPU内存优势也得到了保持。

表8 十个3D重建的CPU/GPU/内存平均使用情况、训练时间和平均FID分数（表8 中的最佳统计数据已加粗）

4.3 含有明显裂缝的页岩的重建结果
4.3.1 重建结果
为了评估重建含裂缝页岩样本的质量，使用了SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN进行十个裂缝重建结果的重建。在重建由803体素组成的页岩图像时，使用TIfrac作为输入。图14展示了TIfrac的外观和切片，以及一个重建图像（803体素）。值得注意的是，只有ConSinGAN和MDBGAN能够部分再现断裂结构。图14中的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片：TIfrac以及使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的一个结果（803个体素）。4.3.2 孔隙空间的比较：图15展示了TIfrac的孔隙空间和孔隙网络模型，以及使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的结果（见图14）。孔隙网络模型对应于连接的孔隙空间。值得注意的是，MDBGAN得到的结果与TIfrac的相似度高于SinGAN和ConSinGAN。为了进一步评估性能，表9列出了使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的十个结果的总体孔隙度、连通孔隙度和孤立孔隙度的平均值。此外，表10列出了与TIfrac相比的平均孔隙参数和喉部参数（数量和直径）。MDBGAN在整体性能上与TIfrac的匹配度最高。图15中的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片：TIfrac的孔隙空间和孔隙网络模型，以及分别使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的结果。表9：TIfrac的孔隙度值以及分别使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的十个结果的平均值（表9中最好的统计数据以粗体显示）。全尺寸表格：表10：TIfrac和分别使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的十个结果的平均孔隙参数和喉部参数（表10中最好的统计数据以粗体显示）。4.3.3 MPC的比较：尽管在断裂中经常观察到明显的各向异性，但三个方向上的MPC曲线仍能部分捕捉到断裂的变化趋势。图16展示了TIfrac的平均MPC曲线，以及通过SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN在三个方向上重建的十个结果。此外，表11展示了TIfrac与图16中重建结果之间的MPC差异（DDs）。值得注意的是，MDBGAN重建的曲线与TIfrac的相似度最高。图16中的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片：TIfrac的MPC曲线，以及通过SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN在三个方向上重建的十个结果的平均值：a X方向，b Y方向，c Z方向。表11：图16中计算出的TIfrac与SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建结果之间的MPC差异（表11中最好的统计数据以粗体显示）。全尺寸表格：4.3.4 渗透性的比较：TIfrac的渗透性以及使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的结果的平均渗透性是使用Avizo（2015）计算得出的，如表12所示。显然，通过MDBGAN获得的重建结果在所有三个方向上的渗透性与TIfrac最为相似。表12：TIfrac的渗透性，以及分别使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN在三个方向上重建的十个结果的平均渗透性（表12中最好的统计数据以粗体显示）。全尺寸表格：4.3.5 多样性的评估：根据第4.2.5节的内容，图17展示了TIfrac以及使用SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的十个结果的散点图和密度图，并通过MS-SWD-MDS进行了投影。很明显，MDGAN的重建结果显示出显著的多样性，但与TIfrac的相似度最高。图17中的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片：TIfrac的2D MS-SWD-MDS投影（散点图和密度图），以及由SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的结果。4.3.6 Minkowski泛函的比较：同样地，如第4.2.6节所述，图18展示了TIfrac和通过SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的十个结果的三个Minkowski泛函（孔隙度、比表面积和欧拉特征）的分布。很明显，MDBGAN在这些泛函方面与TIfrag更吻合。图18中的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片：基于SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN重建的十个结果的三个Minkowski泛函的箱形图：a 孔隙度，b 比表面积，c 欧拉特征。4.3.7 运行时间和CPU/GPU/内存使用的比较：我们使用FID评估SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN的重建结果，并根据第4.2.7节中相同的硬件平台记录它们的统计数据。表13列出了生成十个重建结果的平均CPU/GPU/内存使用量、训练时间和FID分数。结果显示，MDBGAN的性能仍然优于SinGAN和ConSinGAN，证明了RFB-L模块和MDBGAN中的双分支判别器的有效性。表13：SinGAN、ConSinGAN和MDBGAN生成十个3D重建结果的平均CPU/GPU/内存使用量、训练时间和FID分数（表13中最好的统计数据以粗体显示）。全尺寸表格：4.4 关于判别器中双分支的讨论：为了评估判别器中双分支（即\(:{D}_\text{CB}\)和\(\:{D}_\text{LB}\)的功能，我们在两种条件下使用MDBGAN对TIgeneral进行了十次重建：条件1- 不使用双分支；条件2- 使用双分支。图19展示了这两种条件下的重建结果。仅凭视觉检查很难判断重建质量。图20显示了两种条件下TIgeneral和重建图像的平均MPC曲线。两种条件下的MPC曲线都与TIgeneral足够接近，但通过MPC曲线（见图20）计算出的TIgeneral与重建结果之间的定量差异（DDs）更能直观地判断重建质量，如表14所示。显然，条件2下的重建结果更接近TIgeneral。图19中的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片：不同条件下的MDBGAN重建结果（条件1：未使用双分支；条件2：使用双分支）。图20中的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片：TIgeneral的MPC曲线，以及MDBGAN在三个方向上重建的十个结果的平均值：a X方向，b Y方向，c Z方向。表14：通过MPC曲线（见图20）在三个方向上测量的TIgeneral与MDBGAN重建结果之间的DDs（表14中最好的统计数据以粗体显示）。全尺寸表格：表15列出了条件1和2下十个重建的时间。可以看出，与条件2相比，条件1在第一次重建中消耗的时间较少，因为条件1不需要对双分支进行额外计算，但在其余9次重建中，这两种条件的速度相当。因此，对于大量重建任务来说，条件2在重建质量上有一定的优势，但不会比条件1花费更多的时间。表15：条件1和2下MDBGAN的十个重建的运行时间（表15中最好的统计数据以粗体显示）。全尺寸表格：5 结论：页岩内部结构的重建对于碳捕获和储存研究具有重要意义，因为页岩可以作为这一目的的理想介质。然而，使用传统方法表征和建模页岩的内部结构存在重大挑战。页岩结构的复杂性，通常包括孔隙和明显的异质性断裂，进一步增加了任务的复杂性。因此，我们提出了MDBGAN来重建页岩的数字模型。通过将重建结果的孔隙度、渗透性、孔隙-喉部参数和其他属性与其他深度学习方法进行比较，证明了MDBGAN具有显著优势，包括：（1）判别器中的双分支结构可以分别确保结果的多样性和合理性，通过关注TI中的内容和模式的位置。（2）MDBGAN的多阶段架构的优势在于仅使用一个3D TI进行模型训练，并通过在不同阶段之间共享参数来减少训练时间。这使得模型能够从单个TI中获取全面和具体的数据，涵盖全局和局部特征。（3）RFB-L模块的引入有助于增强特征学习能力，而不会显著增加硬件的负担。（4）在第一次重建之后，MDBGAN可以存储并重新应用参数，从而快速完成后续重建，这对于处理大量重建任务非常有用。然而，MDBGAN在第一次重建过程中仍然耗时较长。我们将在后续工作中进一步关注加快MDBGAN速度的问题。