基于粗糙直觉模糊弗兰克幂运算的多标准群体决策方法在农业用地选择中的应用

《Fuzzy Information and Engineering》：Agricultural Land Selection by Using Multicriteria Group Decision-Making Based on Rough Intuitionistic Fuzzy Frank Power Operations

　　摘要：农业产业在任何农业国家的进步中发挥着至关重要的作用。因此，土地的利用对农业工程师来说是一项具有挑战性的任务。农业工程师需要确定不同类型土地是否适合种植各种作物。在这种关键情况下，多标准群体决策（MCGDM）技术在决策过程中起着重要作用。为了解决这些问题，本文利用直觉模糊粗糙（IFR）集（IFRS）理论、Frank运算以及幂聚合算子（PAOs），分析了一组新的聚合算子（AOs），包括IFR Frank幂加权平均（IFRFPWA）、IFR Frank幂有序加权平均（IFRFPOWA）、IFR Frank幂有序混合平均（IFRFPHWA）、IFR Frank幂加权几何平均（IFRFPWG）和IFR Frank幂有序混合几何平均（IFRFPHWG）算子。此外，还提出了一些必要的公理，如有界性、单调性和幂等性。为了突出这种诊断方法的重要性，本文通过一个实际的数值问题进行了说明。为了检验所提出方法的适用性，将其与其他现有的AOs进行了比较，并讨论了所提模型的敏感性分析。最后，本文得出了明确的结论，并指出了所提模型的局限性及未来的研究方向。

第1节 引言
适当选择土地对于作物生长的重要性不容忽视；它对经济发展、农村生计、粮食生产以及环境效应的可持续性至关重要。为了满足全球不断增长的人口的需求，必须有足够的农业用地。农民在肥沃的土地上种植蔬菜、水果和牲畜饲料等产品。适合种植作物的土地可以确保粮食安全，通过提高作物产量和质量来减少饥荒和营养不良等问题的发生。此外，农业用地还满足了人类的食物需求，并在每个国家的经济可持续性中发挥着重要作用。农业用地也是许多农村社区的支柱，为改善经济状况提供了就业机会。在包括收割、种植和畜牧业在内的关键农业领域，相关领域如运输、农业企业和食品加工也提供了就业机会。农业生产产生的收入刺激了当地经济的发展。此外，农业用地还有助于实现生态系统的平衡，以及缓解气候变化和保护生物多样性。良好的农业管理能够维持土壤肥力、生物多样性和水质。减少环境退化、降低温室气体排放并提高生态系统韧性的农业策略包括轮作、保护性耕作和农林业。

1.1 模糊集理论和粗糙模糊集理论的历史背景
由于清晰集理论不允许对信息进行聚合，导致结果介于[0, 1]区间之间，因此存在局限性。Zadeh [1]引入了模糊集（FS）的概念，其中包含了隶属度项（MT）。MT的范围始终在单位区间[0, 1]内。许多研究人员使用FS来解决不确定性问题，例如Garg等人[2]建立了不充分梯形数据的排序方法，Bihari等人[3]提出了基于梯形模糊数的应用，Meher和Jeevaraj[4]建立了基于Fermatean模糊AOs的群体决策应用。但由于FS结构上的根本缺陷，这一概念并未广泛普及。Atanassov [5]引入了直觉模糊集（IFS）的新概念，在单位区间[0, 1]内同时考虑了MT和NMT两项。Pawlak [6]提出了粗糙集（RS）的概念，通过引入下近似空间和上近似空间的新概念。Dubois和Prade[7]通过将MT纳入[0, 1]范围内的下近似和上近似，增强了RFS的概念，使其成为比简单FS更强大的工具，能够更精确地聚合信息。后来，Cornelius等人[8]在[0, 1]区间内增加了NMT，发展了直觉RFS（RFS）的概念，从而处理了MT和NMT的信息。

1.2 决策科学
考虑到上述因素，专家们选择适合作物种植的土地仍然具有挑战性。在早期，多标准群体决策（MCGDM）非常复杂且困难。许多数学家和科学家为决策科学（DMS）做出了重要贡献，提出了多种理论，旨在解决与模式识别、相似性度量和聚类分析相关的实际问题。例如，Zhang等人[9]提出了基于Aczel-Alsina（AA）运算的MCGDM思想，Khan等人[10]和Selvaraj等人[11]讨论了基于IF幂Heronian AOs的MCGDM应用。Hussain等人[12]利用Pythagorean FS（PyFS）信息开发了MCGDM概念，Li[13]提出了基于比率比较方法的MCGDM概念。Liu等人[14]开发了基于q-rung正交对FS的MCGDM技术，Mahmood等人[15]和Bashir等人[16]讨论了基于Bonferroni平均的MCGDM数据聚合算子，还发现了适用于双重犹豫图FS（PFS）的MCGDM方法。此外，AOs在决策科学中的数据聚合中起着重要作用。在决策科学领域，许多数学家做出了重要贡献，他们确定了多种AOs，例如Ahmmad等人[17]为直觉模糊RS（IFRS）确定的AA算子，Mahmood等人[18]为数据聚合确定的置信度级AOs。Yahya等人[19]提出了基于IFRS的AOs用于MCGDM问题，Ali等人[20]使用区间值IFRS结构开发了AOs。Rani和Garg[21]提出了基于IFS概念的决策问题AOs。Liang和Liu[22]以及Mahmood等人[23]利用IFS结构定义了优先级AOs。Khan等人[24]还提出了基于优先级度的IFRS AOs。

1.3 研究动机和目的
本文基于RS理论。由于RS涉及下近似和上近似，因此被认为是数据聚合的强大工具，它比简单FS包含更多信息。通过利用PAO和Frank运算律，本文提出了一组新的AOs，包括IFRFPWA、IFRFPOWA、IFRFPHWA、IFRFPWG和IFRFPHWG算子，并讨论了这些AOs的一些基本性质及其证明。然后，将基于新推导出的IFRFPWA和IFRFPWG算子构建MCGDM算法。此外，该方法将应用于农业土地领域的实际问题，以促进作物的最佳生长。为了详细说明这些AOs的适用性和重要性，本文与其他现有方法进行了比较研究。

1.4 本文的组织结构
本文的其余部分组织如下：第2节讨论了一些有助于更好地理解所推导AOs的基本术语。第3节介绍了IFRVs的Frank运算规则以及PAOs和新提出的IFRFPWA、IFRFPOWA和IFRFPHWA算子。第4节基于新推导出的IFRFPWA和IFRFPWG算子构建了MCGDM算法，并提供了与农业用地相关的实际数值示例。第5节进行了全面的比较分析。第6节解释了所提模型的敏感性分析。最后，第7节讨论了明确的结论、局限性及未来的研究方向。

第2节 前言
本节提供了一些与FS、IFS和IFRS相关的基本概念，包括得分函数的概念。这些基本概念有助于理解本文提出的方法。

定义1. [1] 假设K是一个非空集合。以下方程表示K中的一个FS M：M={n,WM(n)|n∈k}，其中W(n)∈[0,1]，表示MT满足条件0?WM(n)?1。
定义2. [25] 假设K是一个非空集合。一个IFS N~表示为N~={n,(WN~(n),o¨N~(n))|n∈k}，其中0?WM(n)?1是n在K中的MT，0?WNˉ(n)?1是n在K中的NMT。犹豫度H=(1?(WN~(n)+O¨N~(n)))，也满足条件0?(WN~(n)+O¨N~(n))?1。为了方便起见，直觉模糊值（IFVs）表示为N~=(WN~,o¨N~)。
定理1 考虑N~1=(WN~1,O¨N~1)和N~2=(WN~2,O¨N~2)。对于这两个IFVs，一些基本运算如下：N~1∪N~2=(max(WN~1,WN~2),min(O¨N~1,O¨N~2)；N~1∩N~2=(min(WN~1,WN~2),max(O¨N~1,O¨N~2)；N~1⊕N~2=(WN~1+WN~2?WN~1WN~2,O¨N~1O¨N~2)；N~1?N~2=(WN~1WN~2,O¨N~1+O¨N~2?O¨N~1O¨N~2)；N~1?N~2当WN~1?WN~2且o¨N~1?o¨N~2时成立。N~C1=(o¨N~1,WN~1)是N~1的补集。??1= (1?(1?WN~1)Υ,o¨ΥN~1)?Υ?1。N~r1=(WrN~1,(1?(1?O¨N~1)Υ))。
定义3 [26] 假设K是一个非空集合，L∈ IFS (K×K)是一个清晰的直觉模糊（IF）关系，在某些条件下，例如?a?∈K时，关系L是自反的，如果βL(a?,a?)=1且?L(a?,a?)=0。?(a?,t)∈K×K，L是对称关系，如果βL(a?,t)=βL(t,a?)且?L(a?,t)=?t(t,a?)。?(a?,s)∈K×K，L是传递关系，如果βt(a,s)??a∈Z{βt(a?,t)∨βL(t,s)}且?L(a?,s)??a∈Z{?L(a?,t)∧?L(t,s)}。
定义4 [27] 假设f是K上的一个IF关系，L∈ IFS (K×K)，K作为讨论的通用集合。序对(K,f)被称为IF近似空间。关于IF近似空间(K,f)，每个正常决策论点G?? IFS (K)的下近似和上近似分别表示为OE–––(G?)和OE(G?)，定义如下：0?βOE–––(G?)(n)+vOE–––(G?)(n)?1且0≤βOE–––(G?)(n)+vOEˉˉˉˉˉ(G?)(r^)?1。因此，OE–––(G?),OEˉˉˉˉˉˉ(G?):IFS(K)→IFS(K)被称为下近似和上近似算子。序对OE(G?)=(OE–––(G?),OEˉˉˉˉˉˉ(G?))={(n,(WOE–––(n),o¨OE–––(n))),(n,(WOEˉˉˉˉˉ(n),o¨OEˉˉˉˉˉ(n)))被称为IFRS。为了方便起见，如果粗糙值（IFRVs）表示为?，则(G?)=(OE–––(G?),OEˉˉˉˉˉˉ(G?)={(W–––,0¨–),(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ)}。
定义5. [28] 假设OEi={(W–––i,O¨¨i),(Wˉˉˉˉˉi,Oˉˉˉˉi)}是IFRVs，期望值Eˉˉˉˉ的方程可以表示为E~(OE)=(W–––i?o¨–i)+1+(Wˉˉˉˉˉi?o¨ˉˉˉi)2。
定义6. [28] 假设OEi={(W–––i,o–¨i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}是IFRVs，得分函数y的方程可以表示为y(OE)=((W–––i?o¨–i)+(Wˉˉˉˉˉi?o¨ˉˉˉi))×E~(G?):y(OE)∈[?1,1]。
定义7. [28] 假设OEi={(W–––i,O¨¨i),(Wˉˉˉˉˉi,O¨ˉˉˉˉi)}是IFRVs，准确度函数T的方程可以表示为T?(OE)=((W–––i+o¨–i)+(Wˉˉˉˉˉi+o¨ˉˉˉi))×E~(G?):Ω~(OE)∈[0,1]。
定义8. [28] 假设OEi={(W–––i,O¨i),(Wˉˉˉˉˉi,O¨ˉˉˉˉi)}和OEj={(W–––j,O¨¨j),(Wˉˉˉˉˉj,O¨ˉˉˉˉj)}是IFRVs集合，这些数之间的距离可以表示为D(OEi,OEj)={(W–––i?W–––j)+(o¨–i?o–¨j)+(Wˉˉˉˉˉi?Wˉˉˉˉˉj)+(o¨ˉˉˉi?o¨ˉˉˉj)}2。

第3节 IFRV信息的Frank聚合算子及提出的聚合算子
本节探讨了基于IFRVs数据的Frank t-范数（TN）和t-余范数（TCN）。我们讨论了两种情况：Frank TNM和TCN，称为Frank和Frank项。
定义9. [29] 从[0,1]2→[0,1]的函数。以下是Frank TN和TCN的定义：使用TCN和TN运算，定义了两个IFRVs的并集和交集的通用形式。
定义10 考虑OEi={(W–––i,O––¨i),(Wˉˉˉˉˉi,O˙ˉˉˉˉi)}和OEj={(Wj;O––¨j),(Wˉˉˉˉˉj,O¨ˉˉˉˉj)}是IFRVs集合；因此，IFRVs的并集和交集分别定义为方程(9)和(10)。
定义11 考虑OE1={(W–––1,O¨1),(Wˉˉˉˉˉ1,O¨ˉˉˉˉ1)}和OE2={(W–––2,O––¨2),(Wˉˉˉˉˉ2,O¨ˉˉˉˉ2)}是IFRVs集合。和Y1和乘积Y2可以分别定义为方程(11)和(12)。
定义12 假设zf是一个TN，λf是一个TCN，并且zf是IFRVs的Frank乘积，λf是IFRVs的Frank和。我们可以取OE1={(W–––1,O––¨1),(Wˉˉˉˉˉ1,o¨ˉˉˉ1)}和OE2={(W–––2,o¨–2),(Wˉˉˉˉˉ2,o¨ˉˉˉ2)}是两个IFRVs。因此，OE1⊕f和OE1?f表示Frank和λf，S。
定理2 考虑OE1={(W–––1,O¨1),(Wˉˉˉˉˉ1,O¨ˉˉˉˉ1)}和OE2={(W–––2,O¨¨2),(Wˉˉˉˉˉ2,o¨ˉˉˉ2)}是IFRVs，且χ1,χ2?1。因此，以下规则成立：OE1⊕OE2=OE2⊕OE1；OE1?OE2=OE2?OE1；χ1(OE1⊕OE2)=χ1OE1⊕χ1；OE1?OE2=χ1OE1⊕χ2；(OE1?OE2)χ1=(OE1)χ1?(OE2)χ1；(OE1)χ1?(OE1)χ2=(OE1)(χ1+χ2)。

3.1 幂聚合算子
定义13 我们可以描述Yager [30]的幂聚合算子（PAO）。?(OE1,OE2,…,OEη)=⊕ηi=1∑i=1η(1+ξ(τi))τi∑i=1η(1+ξ(τi))。
定义14 ξ(τi)=∑i=1η(Sup(τi,τj))。
此外，sup(τi,τj)表示τi和τj满足以下条件：Sup(τi,τj)∈[0,1]；Sup(τj,τi)=sup(τi,τj)；(3)Sup(τi,τj)?sup(τa,τb)意味着|τi?τi|<|τa?τb|。

3.2 直觉模糊粗糙幂加权平均算子
AOs的概念在决策科学中非常重要，因为它有助于将来自不同专家的不同数据整合为一个单一值。在这部分中，我们将介绍和描述以下AO的概念：IFRFPWA、IFRFPOWA和IFRFPHWA运算符。

**定义14** 假设OEi={(W–––i,O¨––i),(Wˉˉˉˉˉi,O¨ˉˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPW A运算符的函数(f(H))k→f(H)描述如下：IFRFPWA(OE1,OE2,…,OEη)=⊕ηi=1PiOEi=P1OE1⊕P2OE2⊕…⊕PηOEη。

**定理3** 假设OEi={(W–––i,O¨––i),(Wˉˉˉˉˉi,O¨ˉˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是WV，且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPWA运算符的函数(f(H))k→f(H)描述如下：证明见附录部分。

**定理4（幂等性）** 假设OE{(Wˉˉˉˉˉi,O¨ˉˉˉi),(W–––i,O––¨i)}={(Wˉˉˉˉˉ,O¨––),(W–––,O¨–)}=OE。证明见附录部分。

**定理5（有界性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是IFRVs的AO。假设OE?i=min{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}且OE+i=max{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}。因此，OE?i?IFRFPWA(OE1,OE2,…,OEη)?OE+i。

**定理6（单调性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}和OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(W–––～i,o¨–～i)}对于所有i=(1,2,…,ξ)，其中这些表示IFRVs，因为Wˉˉˉˉˉi?Wˉˉˉˉˉ～i，W–––i?W–––～i，o¨ˉˉˉi?o¨ˉˉˉ～i，o¨–i?o–¨～i，所以IFRFPWA(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWA(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定义15** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,O¨ˉˉˉˉi),(W–––i,O¨––i)}是一组IFRVs，且WV为∑ηi=1，Pi∈[0,1]的OEi。IFRFPOWA运算符是映射：Z?n→Z?，描述如下：IFRFPOWA(OE1,OE2,…,OEη)=⊕ηi=1(OEq(i)Pi)。

**定理7** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,O¨ˉˉˉi),(W–––i,O¨–i)}是一组IFRVs。使用IFRFPOWA程序计算OEi值也会得到IFRVs。

**定理8** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是WV，且∑ki=1，Pi∈[0,1]。之后，IFRFHPWA运算符需要具备一些基本特性。幂等性：假设OEi=β在β={(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}上。那么，IFRFPOWA(OE1,OE2,…,OEη)=β。

**定理9** 假设(OEi)?={(minWˉˉˉˉˉi,maxo¨ˉˉˉi),(minW–––i,maxo¨–i)}和(OEi)+= {(maxWˉˉˉˉˉi,mino¨ˉˉˉi),(maxW–––i,mino¨–i)}。因此，(OEi)??IFRFPOWA(f(H1),f(H2),…,f(Hk))?(OEi)+。

**定理10** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}和OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(W–––～i,o¨–～i)}对于所有i=(1,2,…,ξ)，其中这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i。由于Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i)?(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)且(W–––～i,o¨–～i)?(W–––i,o¨–i)，所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定义16** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。一个维度为n的映射IFRFHPWA: Z?n?Z?称为IFRFHPWA运算符。IFRFHPWA(OE1,OE2,…,OEη)=⊕ηi=1PiOEi。

**定理17** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。现在，使用IFRFPHWG程序计算OEi值也会得到IFRVs。

**定理18** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是WV，且∑ki=1，Pi∈[0,1]。之后，IFRFHPWA运算符需要具备一些基本特性。幂等性：假设OEi=β在β={(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}上。那么，IFRFPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=β。

**定理19** 假设(OEi)?={(minWˉˉˉˉˉi,maxo¨ˉˉˉi),(minW–––i,maxo¨–i)}和(OEi)+= {(maxWˉˉˉˉˉi,mino¨ˉˉˉi),(maxW–––i,mino¨–i)}。因此，(OEi)??IFRFHPWG(f(H1),f(H2),…,f(Hk))?(OEi)+。

**定理20** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}和OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(W–––～i,o¨–～i)}对于所有i=(1,2,…,ξ)，其中这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i。由于(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i)?(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)且(W–––～i,o¨–～i),(W–––～i,o¨–～i)，所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定义18** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs，且WV为IVRV的∑ηi=1，Pi∈[0,1]的OEi。IFRFPOWG运算符是映射：Z?n→Z?，描述如下：IFRFPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1(POEq(i)i。

**定理21** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。使用IFRFPOWG程序计算OEi值也会得到IFRVs。

**定理22** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是WV，且∑ki=1，Pi∈[0,1]。之后，IFRFPHPWG运算符需要具备一些基本特性。幂等性：假设OEi=β在β={(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}上。那么，IFRFPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=β。

**定理23** 假设(OEi)?={(minWˉˉˉˉˉi,maxo¨ˉˉˉi),(minW–––i,maxo¨–i)}和(OEi)+= {(maxWˉˉˉˉˉi,mino¨ˉˉˉi),(maxW–––i,mino¨–i)}。因此，(OEi)??IFRFHPWG(f(H1),f(H2),…,f(Hk))?(OEi)+。

**定理24** 设(OEi)?=\{(OE1,OE2,…,OEη)}，其中i=(1,2,…,ξ)，这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i。由于(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)且(W–––～i,o¨–～i)，所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定义19** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。一个维度为n的映射IFRFHPWA: Z?n→Z?称为IFRFHPWA运算符。IFRFHPWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1OEPii。

**定理25** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。现在，使用IFRFPHWG程序计算OEi值也会得到IFRVs。

**定理26** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是WV，且∑ki=1，Pi∈[0,1]。之后，IFRFPHPWG运算符需要具备一些基本特性。幂等性：假设OEi=β在β={(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}上。那么，IFRFPPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=β。

**定理27** 假设(OEi)?={(minWˉˉˉˉˉi,maxo¨ˉˉˉi),(minW–––i,maxo¨–i)}和(OEi)+= {(maxWˉˉˉˉˉi,mino¨ˉˉˉi),(maxW–––i,mino¨–i)}。因此，(OEi)??IFRFHPWG(f(H1),f(H2),…,f(Hk))?(OEi)+。

**定理28** 设(OEi)?=\{(OE1,OE2,…,OEη)}，其中i=(1,2,…,ξ)，这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i。由于(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)且(W–––～i,o¨–～i)，所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定理29** 证明与定理3相同。

**3.3 直觉模糊弗兰克幂加权几何运算符** AO的概念在决策科学中非常重要，因为它有助于将来自多位专家的不同数据整合为一个单一的值。在这部分中，我们将介绍和描述以下AO的概念，如IFRFPWG、IFRFPOWG和IFRFPHWG运算符。

**定义17** 假设OEi={(W–––i,o¨–i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPWG运算符的函数(f(H))k→f(H)描述如下：IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1OEPii=OEP11?OEP22?…?OEPηη。

**定理11** 假设OEi={(W–––i,o¨–i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPWG运算符的函数(f(H))k→f(H)的证明见附录部分。

**定理12（幂等性）** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}={{(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}=OE。证明见附录部分。

**定理13（有界性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是IFRVs的聚合运算符（AO）。假设OE?i=min{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}且OE+i=max{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}。因此，OE?i?IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?OE+i。

**定理14（单调性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}和OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(W–––～i,o¨–～i)}对于所有i=(1,2,…,ξ)，其中这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i，且Wˉˉˉˉˉi?Wˉˉˉˉˉ～i，Wi?W～i，o¨ˉˉˉi?o¨ˉˉˉ～i，o¨–i?o–¨～i。所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～ξ)。

**定义18** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs，且WV为IVRV的∑ηi=1，Pi∈[0,1]的OEi。IFRFPOWG运算符是映射：Z?n→Z?，描述如下：IFRFPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1(POEq(i)i。

**定理15** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。使用IFRFPPOWG程序计算OEi值也会得到IFRVs。

**定理16** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ki=1，Pi∈[0,1]。之后，IFRFPHPWG运算符需要具备一些基本特性。幂等性：假设OEi=β在β={(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}上。那么，IFRFPPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=β。

**定理17** 假设(OEi)?={(minWˉˉˉˉˉi,maxo¨ˉˉˉi),(minW–––i,maxo¨–i)}和(OEi)+= {(maxWˉˉˉˉˉi,mino¨ˉˉˉi),(maxW–––i,mino¨–i)}。因此，(OEi)??IFRFHPWG(f(H1),f(H2),…,f(Hk))?(OEi)+。

**定理18** 设(OEi)?=\{(OE1,OE2,…,OEη)}，其中i=(1,2,…,ξ)，这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i。由于(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i)?(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)且(W–––～i,o¨–～i)，所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定理19** 证明与定理3相同。

**3.3 直觉模糊弗兰克幂加权几何运算符** AO的概念在决策科学中非常重要，因为它有助于将来自多位专家的不同数据整合为一个单一的值。在这部分中，我们将介绍和描述以下AO的概念，如IFRFPWG、IFRFPOWG和IFRFPHWG运算符。

**定义17** 假设OEi={(W–––i,o¨–i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPWG运算符的函数(f(H))k→f(H)描述如下：IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1OEPii=OEP11?OEP22?…?OEPηη。

**定理11** 假设OEi={(W–––i,o¨–i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPWG运算符的函数(f(H))k→f(H)的证明见附录部分。

**定理12（幂等性）** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}={{(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}=OE。证明见附录部分。

**定理13（有界性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是IFRVs的聚合运算符（AO）。假设OE?i=min{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}且OE+i=max{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}。因此，OE?i?IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?OE+i。

**定理14（单调性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}和OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(W–––～i,o¨–～i)}对于所有i=(1,2,…,ξ)，其中这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i，且Wˉˉˉˉˉi?Wˉˉˉˉˉ～i，Wi?W～i，o¨ˉˉˉi?o¨ˉˉˉ～i，o¨–i?o–¨～i。所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～ξ)。

**定义18** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs，且WV为IVRV的∑ηi=1，Pi∈[0,1]的OEi。IFRFPOWG运算符是映射：Z?n→Z?，描述如下：IFRFPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1(POEq(i)i。

**定理15** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。使用IFRFPPOWG程序计算OEi值也会得到IFRVs。

**定理16** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ki=1，Pi∈[0,1]。之后，IFRFPHPWG运算符需要具备一些基本特性。幂等性：假设OEi=β在β={(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}上。那么，IFRFPPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=β。

**定理17** 假设(OEi)?={(minWˉˉˉˉˉi,maxo¨ˉˉˉi),(minW–––i,maxo¨–i)}和(OEi)+= {(maxWˉˉˉˉˉi,mino¨ˉˉˉi),(maxW–––i,mino¨–i)}。因此，(OEi)??IFRFHPWG(f(H1),f(H2),…,f(Hk))?(OEi)+。

**定理18** 设(OEi)?=\{(OE1,OE2,…,OEη)}，其中i=(1,2,…,ξ)，这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i。由于(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)且(W–––～i,o¨–～i)，所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定理19** 证明与定理11相同。

**3.3 直觉模糊弗兰克幂加权几何运算符** AO的概念在决策科学中非常重要，因为它有助于将来自多位专家的不同数据整合为一个单一的值。在这部分中，我们将介绍和描述以下AO的概念，如IFRFPWG、IFRFPOWG和IFRFPHWG运算符。

**定义17** 假设OEi={(W–––i,o¨–i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPWG运算符的函数(f(H))k→f(H)描述如下：IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1OEPii=OEP11?OEP22?…?OEPηη。

**定理11** 假设OEi={(W–––i,o¨–i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ηi=1，Pi∈[0,1]。因此，IFRFPWG运算符的函数(f(H))k→f(H)的证明见附录部分。

**定理12（幂等性）** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}={{(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}=OE。证明见附录部分。

**定理13（有界性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是IFRVs的聚合运算符（AO）。假设OE?i=min{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}且OE+i=max{(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}。因此，OE?i?IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?OE+i。

**定理14（单调性）** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}和OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(W–––～i,o¨–～i)}对于所有i=(1,2,…,ξ)，其中这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i，且Wˉˉˉˉˉi?Wˉˉˉˉˉ～i，Wi?W～i，o¨ˉˉˉi?o¨ˉˉˉ～i，o¨–i?o–¨～i。所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～ξ)。

**定义18** 假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs，且WV为IVRV的∑ηi=1，Pi∈[0,1]的OEi。IFRFPOWG运算符是映射：Z?n→Z?，描述如下：IFRFPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=?ηi=1(POEq(i)i。

**定理15** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。使用IFRFPPOWG程序计算OEi值也会得到IFRVs。

**定理16** 设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是一组IFRVs。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ki=1，Pi∈[0,1]。之后，IFRFPHPWG运算符需要具备一些基本特性。幂等性：假设OEi=β在β={(Wˉˉˉˉˉ,o¨ˉˉˉ),(W–––,o¨–)}上。那么，IFRFPPOWG(OE1,OE2,…,OEη)=β。

**定理17** 假设(OEi)?={(minWˉˉˉˉˉi,maxo¨ˉˉˉi),(minW–––i,maxo¨–i)}和(OEi)+= {(maxWˉˉˉˉˉi,mino¨ˉˉˉi),(maxW–––i,mino¨–i)}。因此，(OEi)??IFRFHPWG(f(H1),f(H2),…,f(Hk))?(OEi)+。

**定理18** 设(OEi)?=\{(OE1,OE2,…,OEη)}，其中i=(1,2,…,ξ)，这些表示IFRVs，因为OEi?OE～i。由于(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i)?(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)且(W–––～i,o¨–～i)，所以IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

**定理19** 证明与定理11相同。

**第4节 基于模糊直觉弗兰克幂运算的多标准群体决策** MCGDM方法专注于IFRS理论和AO。在这个竞争激烈的社会中，决策管理（DM）的重要性随着社会经济环境的发展而不断增加。因此，分析师做出合适且知情的判断变得具有挑战性。在使用MCGDM结构以实现更有效的结果时，一群有能力的专家的贡献在现实世界中至关重要。因此，MCGDM具有很高的能力和纪律性，可以增强和检查各个领域中的众多冲突需求，以获得更合适和现实的决策结果。此外，专家提供了他们对IFRV的评估值，我们回顾并建议使用弗兰克幂加权聚合技术结合IFRVs。借助IFR的初步数据和生成的模型，我们将阐明以下内容：假设第i个定义了一组决策属性，第n个定义了一组替代方案。在建议的技术中，替代方案表示为Tbi(i=1,2,…,n~)，属性可以通过pi(i=1,2,…,ι¨)表示，决策专家表示为d′i={d′1,d′2,…,d′η}。设P=(P1,P2,…,Pη)q是权重向量（WV），且∑ki=1，Pi∈[0,1]。构建了IFR，幂聚合方法的基本框架如下：

**步骤1：** 选择每个替代方案Tbi在标准pi下的专家决策者的评估信息，然后生成一个决策矩阵E=(OEi)m×n={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}m×n。

**步骤2：** 在这个阶段，对聚合矩阵进行归一化，因此我们还需要归一化E=(OEi)Cm×n=?????OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(Wi,o–¨i)}（收益类型）OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}（成本类型）?????。

**步骤3：** 使用专家的WV和提出的方法，得到替代方案Tbi(i=1,2,…,n~)的IFRVs Pi(1,2,…,η)。

**步骤4：** 使用预测方程确定期望值。接下来，使用得分方程确定得分值y(G?)，用于对替代方案Tbi进行排序。

**4.1 使用提出的MCGDM方法进行农业用地选择** 许多持续出现的自然因素，如土壤特性和气候指数，被纳入土地适宜性研究中。此外，它还考虑了几个缺乏适当测量标准的社会经济标准，这些标准通过语言参数表示，例如“市场附近”、“较近”、“很远”等。使用布尔逻辑描述环境和社会经济因素的模糊性和不准确性是困难的。当没有关于某个问题的数据时，可以采用概率方法；然而，部分或不准确的数据不能被利用。IFRS是一种有用的工具，可以尽可能精确地表示这种不清晰的数据。专家的知识在不同决策层面上被纳入土地适宜性评估中。专家并不总是确定的，但IFRS是处理他们专业知识带来的不确定性和疑问的宝贵工具。许多学者在土地评估中使用了模糊逻辑，但他们只解决了与数据相关的不确定性，而没有考虑与专家信息相关的疑问。旁遮普省是巴基斯坦面积第二大的省份，面积超过205,344平方公里，位于南亚，介于北纬27°44'至34°15'和东经69°20'至75°20'之间。旁遮普省有47个气象站。年平均降雨量为273–676毫米。四个明显的季节是夏季、冬季、春季和秋季。该部门通过24条主要渠道和分配渠道的51,990个输出为农民提供灌溉资源，覆盖其22,700平方公里的网络。整个研究区域的温度范围在-2°C至43°C之间，夏季最高温度为50°C，冬季最低温度为-10°C。该地区拥有巴基斯坦最好的灌溉网络。旁遮普省的农业产业生产大量的小麦、水稻、棉花、甘蔗和蔬菜。还包括油籽、玉米、水果和豆类。旁遮普省有许多工厂，生产各种产品，包括纺织品、重型机械、糖和农业机械。图1显示了用于农业选择的土地。

**本研究旨在调查该地区以确定潜在的土地用途类型。** 考虑的因素包括农业气候区、当前的农业框架、当地饮食习惯、主要农业市场和设施、社区的社会经济状况以及识字率。通过咨询土壤科学、农业和公共政策发展方面的专家，确定了研究区域的潜在土地用途类型。在选择该研究区域时考虑的各种土地用途类型（作物）包括：甘蔗、蔬菜、小麦、水稻。

**图1 显示了研究区域。** 需要识别与当前情况相关的评估因素、目标和属性。选择的一组参数需要支持最终目标，并公平反映决策情况。众所周知，根据所研究的系统，属性或标准的集合会有所不同。选择评估因素的过程不是预先确定的。选择需求涉及一个迭代周期。帮助选择评估标准的工具包括公众意见研究、数据分析和科学搜索。在决定土地适宜性时，考虑了以下评估标准：土壤、灌溉、气候、地形。图2展示了选择土地的主要属性。根据参考文献[31]，在目标和质量之间的相互作用中存在一个有序的框架。目标可以在最高层次上进行区分，而属性可以在较低层次上分解。研究层次结构可以在图3中看到。图3深入研究了所考虑的属性。

4.2 数据收集、专家小组和属性论证
数据收集：我们研究中使用的数据来自权威来源和专家评估。我们从旁遮普灌溉部门和农业推广服务处收集了土壤和灌溉信息，从旁遮普的47个气象站收集了气候数据，以及来自地区农业委员会和已发布的调查报告的地形和土地利用特征。
专家小组：为了确保判断的稳健性和可靠性，我们选择了一个由三位领域专家组成的小组，包括一位具有10-15年土壤肥力和作物适宜性评估经验的土壤科学家，一位专门研究水资源管理和运河灌溉系统的灌溉工程师，以及一位关注市场准入、交通基础设施和农村发展的农业经济学家。这些选定的专家提供了语言评估。然后，他们的评估被系统地转换为IFRVs，以捕捉他们判断中的确定性和犹豫。

属性论证：根据专家建议和关于农业土地评估的先前文献，选择了以下四个属性：土壤肥力决定了作物的产量潜力和养分支持；灌溉对于依赖运河的旁遮普农业至关重要；气候条件基于影响作物生长的季节性温度和降雨模式；地形条件意味着海拔和坡度影响灌溉分布和机械化农业。专家们提供的语言变量被转换为IFRVs，确保了决策矩阵中明确地捕捉到了模糊性和专家的犹豫。

步骤1：编译每个替代方案pi相对于L属性的专家决策评估结果，然后生成DM E=(OEi)m×n，如表1-3所示。
步骤2：由于这两个值都是收益，因此不需要对它们进行标准化。
步骤3：使用IFRFPWA和IFRFPWG运算符，将决策者的数据编译成他们的W，以生成聚合的DM矩阵，如表4所示。
步骤4：使用预期公式找到预期值，然后使用得分函数找到得分值，如表5所示。

图4显示了表4的得分值。
图3显示了决策矩阵?3。
表4显示了聚合结果。
表5显示了得分值。
图中的蓝色块显示了IFRFPWA运算符的聚合结果，橙色块表示IFRFPWG运算符的组合值。
表6展示了发现的信息。在所有可能性中，使用IFRFPWA运算符Tb2是最佳选择；然而，使用IFRFPWG运算符Tb2也是最佳选择。专家们可以选择使用IFRFPWA或IFRFPWG运算符来聚合数据。

第5节 比较研究
本节旨在对新开发的运算符与其他现有AOs进行比较分析。在特定范围内减少数据丢失的情况下，可以使用IFRVs这种现代框架来传达模糊数据。在过去的几年中，引入了许多AOs。在这里，我们试图通过将它们与其他AOs进行统计比较来确定所提出的Frank幂运算符的正确性。我们使用了Hussain等人[32]提出的IFR Dombi加权平均（WA）（IFRDWA）和IFR Dombi加权几何（WG）（IFRDWG）运算符，Qadir等人[33]提出的IFR Einstein WA（IFREWA）和IFR Einstein WG（IFREWG）运算符，以及Garg等人[2]提出的IFR Schweizer Sklar WA（IFRSSWA）和IFR Schweizer Sklar WG（IFRSSWG）运算符。结果显示在表7中。
另一方面，许多其他现有的AOs无法处理以IFRVs形式给出的信息，例如Ullah等人[34]提出的复杂t-球形模糊（CTSFPWA）优先WA（CTSFPWA）和CTSFPWG）运算符，以及Khan等人[35]开发的t-球形模糊WA（TSFWA）和t-球形模糊WG（TSFWG）运算符。Zhang等人[9]提出了q-等级正交对模糊AA WA（q-ROFAAWA）和q-等级正交对模糊AA WG（q-ROFAAWG）运算符。讨论的AOs无法聚合基于模糊粗糙集（FRS）的信息，因为它们的结构仅适用于MT和NMT，而不适用于下界和上界近似。因此，新提出的AOs可以使用简单的IFS和FRS基础信息来处理以前存在的AOs。

表7 对所提出的运算符与一些现有运算符的评估
许多现有的AO框架，如Bu等人[36]的FRS、Wang等人[37]的复杂FRAO（CFRAO）、Khan等人[38]的Hamacher IFR AO（HIFRAO）和Mishra等人[39]提出的q-等级正交对模糊AO（q-ROFAO）以及其他类似方法，无法处理我们提出的问题，因为它们没有设计来处理完整的IFRS框架。这些方法要么忽略了NMT，要么无法同时整合下界和上界近似。此外，类似于Choquet的积分与粗糙属性模糊度量也无法处理需要处理高阶不确定性的IFRS。Khan等人[35]的TSFWA和TSFWG以及Zhang等人[9]的q-ROFAAWA和q-ROFAAWG也因同样的原因而失败。这些框架仅处理基于成员关系的结构，无法模拟IFRSs固有的双重近似和犹豫成分。

图5中的块显示了AOs的得分值，而图显示了比较研究的几何方面。块1中显示的总结果来自我们提出的运算符；块2中显示的总结果来自Garg等人[2]，块3中显示的总结果来自Qadir等人[33]，块4中显示的总结果来自Hussain等人[32]。图5展示了与其他现有AO的比较分析。

5.1 性能基准测试和比较评估
表7系统地将我们提出的IFRFPWA和IFRFPWG运算符与在不同模糊集框架下开发的现有AOs进行了比较。排名列显示了每个运算符应用于农业土地选择案例研究时产生的替代方案排序。
我们提出的运算符有效地对所有替代方案进行了排名，同时保留了IFRS框架内的MT和NMT。我们提出的AOs，如IFRFPWA和IFRFPWG，验证了它们在没有数据丢失的情况下处理复杂和模糊决策的能力。现有的AOs，如Hussain等人[32]、Qadir等人[33]和Garg等人[2]，提供了有效的排名，但一致性较低，因为这些AOs未能结合Frank幂运算的灵活性，且权重无法计算。因此，与IFR Frank幂运算符相比，这些AO在处理更大和更不精确的数据集时不够稳健。
许多AO失败是因为它们的框架无法处理IFRV框架，例如FRAO、CFRAO、HIFRAO和q-ROFAO，它们无法同时持有成员和非成员项以及下界和上界近似。Imran等人[40]提出的区间值直觉模糊Bonferroni均值（IVIFBM）本质上是二维的，因为IVIFBM需要区间值直觉模糊信息。相比之下，我们提出的运算符是一维的，基于IFRVs构建的。因此，IVIFBM方法在这种情况下无法对替代方案进行排名。

这些比较结果表明，只有我们提出的AOs，如IFRFPWA和IFRFPWG运算符，能够提供完整、一致和稳健的排名。它们的优越性源于对IFRV结构的充分利用，包括MT、NMT、下界和上界近似。Frank幂的灵活性调整了对极端和模糊值的敏感性，并使用幂方法来计算属性的权重。

第6节 敏感性分析
本部分的主要目标是通过改变选定AOs中的组装参数来研究已建立的模型。我们将参数&从3变化到20。我们观察到使用IFRFPWA运算符时，Tb2是最优的替代方案，排名顺序为Tb2>Tb3>Tb1>Tb4>Tb5。使用IFRFPWG运算符后，最优选择仍然是Tb2，但排名可能会改变。我们观察到，在已建立的IFRFPWA中排名顺序保持不变，而在IFRFPWG运算符中会有一些变化，无论选择哪个参数。在表8中，我们展示了敏感性分析的所有结果。

表8 替代方案的排名
从表8中我们观察到，将参数值从3变化到20并不会改变组合结果的顺序。使用IFRFPWA和IFRFPWG运算符的最佳选项仍然是Tb2。图6提供了组合结果的图形理解。

图6的观察表明，在已建立的IFRFPWA和IFRFPWG运算符中改变参数值不会改变排名顺序。当我们使用IFRFPWA时，排名保持不变，但在IFRFPWG中排名会发生变化。我们注意到，当我们使用已建立的IFRFPWA和IFRFPWG运算符时，最佳替代方案保持不变。

第7节 结论
本文详细介绍了IFS的背景，以突出每种IFS的结构限制。通过数值示例，解释了如何使用IFRS框架来缓解现有框架的弱点。之后，指出了FS和IFS的具体相似性度量，并探讨了它们的缺点。创建了一些新的相似性度量来概括这些现有的度量。对新相似性度量的讨论得益于对其复杂性的多次观察和说明。新提出的运算符被用来解决一个土地选择问题，其中数据以IFRVs的形式给出，结果与早期的发现相当。我们得出结论，当前的AOs无法处理这种类型的数据，而通过使用新的AOs解决了IFRSs背景下的另一个问题。此外，还可以为IFRSs创建一些聚合操作，并将其用于分组、决策和其他领域。

7.1 局限性
我们建立的IFR Frank幂运算符在IFR框架内提供了有吸引力的组合。但是，我们建立的AOs无法完全聚合所有可能的模糊信息范围，特别是在高度复杂和不一致的数据集中。该方法假设专家评估是完整且相对一致的，这在现实世界场景中可能并不总是可行的。在这种情况下，可能会发生一些信息丢失。当下界和上界近似之和大于一时，我们的AOs会失败。

7.2 未来方向
我们计划基于Khan等人[41]讨论的AA操作和Khan等人[24]利用的一些优先AOs，扩展我们的研究，以q-等级正交对FS为基础。Mahmood等人[42]提出了t-球形模糊集的理论，并研究了Khan等人[43]提供的q-等级正交对FS下的FRS理论。

附录
定理3的证明
通过应用数学归纳法证明所需结果，考虑η=2并使用Dombi运算原则得到。在η=2时，结果是稳定的。考虑到η=ξ也能得到所需结果，因此可以证明η=ξ+1。因此，如果η?ξ+1，则满足条件。通过数学归纳法，如果η>1，则可以得到结果。假设PηOEη是IFRVs，它们满足⊕ηi=1PηOEη是IFRVs。

定理4的证明
假设OEi={(W–––i,o¨–i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}；(i=1,2,…,η)。

定理5的证明
假设OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}是IFRFPVs的AOs。假设OE?i=min{OE1, OE2,…,OEξ}={(Wˉˉˉˉˉ?i,o¨ˉˉˉ?i),(W–––?i,o¨–?i)}且OE?i=max{OE1,OE2,…,OEξ}={(Wˉˉˉˉˉ+i,o¨ˉˉˉ+i),(W–––+i,o¨–+i)}。我们发现Wˉˉˉˉˉ?i=min(Wˉˉˉˉˉi),o¨ˉˉˉ?i=max(o¨ˉˉˉi),W–––?i=min(W–––i),o¨–?i=max(o¨–i),Wˉˉˉˉˉ+i=max(Wˉˉˉˉˉi)且W–––+i=max(W–––i),o¨ˉˉˉ+i=min(vi),o¨–+i=min(o¨–i)。因此，可以确定不等式。然后，OE?i?IFRFPWA(OE1,OE2,…,OEη)?OE+i。

定理6的证明
假设任何IFRVs OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)}和OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,oˉˉˉ～i),(W–––～i,θ¨––～i)} i=(1,2,…,ξ)。可以将OEi?OE～i应用于此值。因此，IFRFPWA(OE1,OE2,…,OEη)?IFRFPWA(OE～1,OE～2,…,OE～η)。

定理11的证明
通过应用数学归纳法证明所需结果，考虑η=2并使用Dombi运算原则得到。在η=2时，结果是稳定的。考虑到η=ξ也能得到所需结果，因此可以证明η=ξ+1。因此，如果 η?ξ+1，则满足该标准。通过数学归纳法，当 η>1 时，也可以得出该结果。如果 PηOEη 都是 IFRVs（国际财务报告准则值），那么 ?ηi=1OEPii 也必须是 IFRVs。根据之前的研究，IFRFPWG（OE1,OE2,…,OEξ）也基于 IFR 近似空间（η,OE）构成一个 IFRV。定理 12 的证明：假设 OEi={(W–––i,o–¨i),(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi)}；(i=1,2,…,η)。定理 13 的证明：假设 OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)} 是 IFRFVs 的 AOs（适当对象）。假设 OE?i=min{OE1, OE2,…,OEξ}={(Wˉˉˉˉˉ?i,o¨ˉˉˉ?i),(W–––?i,o¨–?i)} 且 OE?i=max{OE1,OE2,…,OEξ}={(Wˉˉˉˉˉ+i,o¨ˉˉˉ+i),(W–––+i,o¨–+i)}。我们可以得出 Wˉˉˉˉˉ?i=min(Wˉˉˉˉˉi), o¨ˉˉˉ?i=max(o¨ˉˉˉi), W–––?i=min(W–––i), o¨–?i=max(o¨–i), Wˉˉˉˉˉ+i=max(Wˉˉˉˉˉi) 以及 W–––+i=max(W–––i), o¨ˉˉˉ+i=min(vi), o¨–+i=min(o¨–i)。因此，不等式可以确定为 OE?i?IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?OE+i。定理 14 的证明：假设任意 IFRVs OEi={(Wˉˉˉˉˉi,o¨ˉˉˉi),(W–––i,o¨–i)} 和 OE～i={(Wˉˉˉˉˉ～i,o¨ˉˉˉ～i),(W–––～i,o¨–～i)}（i=(1,2,…,ξ)）。可以应用 OEi?OE～i 到这个值上，从而得出 IFRFPWG(OE1,OE2,…,OEξ)?IFRFPWG(OE～1,OE～2,…,OE～ξ)。作者声明：作者没有与本文内容相关的利益冲突需要声明。