一种基于广义非负矩阵分解（GNMF）的方法，用于分析时间分辨光谱数据

《The Journal of Physical Chemistry A》：A Generalized NMF-Based Method for Analyzing Time-Resolved Spectroscopic Data

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时间分辨光谱是研究物理和化学过程的广泛使用的工具。由于数据的固有复杂性，这些结果的分析往往具有挑战性，因为数据编码了参与反应的多种物质的化学性质和时间演化。许多现有的分析方法都不令人满意，因为它们依赖于对研究过程的不合理的数学或机理假设而引入了偏差。在这里，我们介绍了一种基于非负矩阵分解（NMF）的通用分析策略。该方法采用自下而上的无模型方法，可以通过主动选择引入具有物理基础的数学约束，从而实现对复杂光谱数据序列的无偏分析。这种策略的优势在于能够成功地对模拟不同类型化学反应和时间分辨拉曼光谱中遇到的典型挑战的数据进行反卷积。

1. 引言
时间分辨光谱对于研究各种物理和化学过程至关重要。成熟的振动方法，如（共振）拉曼光谱，可以探测振动模式，实现对物理过程和化学反应相关结构变化的实时跟踪。(1,2) 然而，时间分辨拉曼（或其他光谱）实验的数据通常很复杂，难以提取特定的化学信息。每个拉曼光谱是参与反应的化学物质的光谱特征的叠加。每种物质对整个光谱的相对贡献随时间变化，原则上可以从一次时间分辨实验中提取出每个组分的時間演化。然而，根据所研究系统的不同，数据的分析往往会因为不同物质的光谱相似性及其不同的共振增强程度而变得复杂。(3) 手动反卷积此类数据需要事先了解系统的化学知识或对研究过程的假设，这不可避免地会引入人为偏差，并可能导致数据误解。此外，即使对于已知的化学系统，（共振）散射截面也很难预测。相比之下，从纯数学角度解决问题的方法可以对这些数据进行无偏分析。其中一些技术基于表示时间和频率分辨数据的矩阵的分解。(4) 但是，要获得问题的唯一解通常需要对数据矩阵的属性做出严格的数学假设，下面将详细说明其中的一些假设。这可能会导致数学偏差的引入，这可能比人为偏差带来更大的问题，因为具体方法中引入的数学假设和约束可能是非物理的，许多用户可能并不知道这些假设。在这项工作中，我们将描述一种基于非负矩阵分解的替代分析工具，它采用自下而上的无模型方法，可以通过主动选择包含具有物理基础的数学约束。

文章的组织结构如下：在第2.1节中介绍了基本的NMF方法，并讨论了一些已知的基于NMF的算法示例。在第2.2节和第2.3节中，描述了这些方法中通常使用的数学约束的实际问题，并提出了一种替代策略。在第2.4节中，介绍了通用NMF基矩阵分解方法的算法。在第2.5节中，展示了该算法对不同类型数据的性能。第3节提供了讨论和展望。

2. 方法论和结果
2.1. 数学背景
矩阵分解是一种降维技术，它将一个矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积。NMF的一般目标是将非负数据矩阵转换为两个非负子矩阵。这种方法适用于分析具有非负条目的数据矩阵，这在许多光谱实验中是常见的，其中记录了绝对吸收、发射或散射。特别是对于拉曼光谱，NMF是一种适用的分解工具，这一点已在前文中得到证明。(5,6) 对于上述技术，反映化学物质浓度剖面的信号的时间演化也不可能为负，因此输入矩阵的非负性是一个主要要求。(4,7)

图1显示了NMF处理的示意图。让我们将时间分辨光谱数据表示为输入数据矩阵M，其维度为m × n，其中m对应于波数元素，n对应于记录光谱的时间点。因此，数据矩阵的每个条目表示特定波数和特定时间点的光谱信号强度。这样，每一列包含特定时间点的光谱（作为波数的函数强度），每一行包含特定波数下强度的时间演化。在分解过程中，我们试图将M近似为两个非负子矩阵W和χ的乘积：

图1. 通过NMF将数据矩阵分解为两个子矩阵的示意图。

对于r种物质，矩阵W是一个m × r矩阵，其中列包含了各个物质的纯光谱，而矩阵χ是一个r × n矩阵，其中行包含了这些物质的动力学信息。

在没有进一步约束的情况下，NMF问题是未定义的，其解也不是唯一的。因此，NMF问题通常转化为一个可以通过目标函数解决的优化问题。这个目标函数最终根据物理或数学假设约束输出数据，使其尽可能接近原始矩阵M。虽然大多数NMF算法寻找W和χ的近似解，但有些算法通过使用不同的优化策略找到精确解，例如通过仅改变第一个矩阵W，就可以根据优化后的W重新计算第二个矩阵χ。（6,7）

NMF已成为分析光谱时间序列和分子动力学轨迹等领域的流行工具。接下来，我们将概述一般的工作流程和最重要的实现方法，作为说明NMF在这些问题中应用时存在的挑战的基础。(5,6,8)

NMF方法通常需要根据要考虑的物种数量进行初始化。奇异值分解（SVD）是另一种常见的矩阵分解方法，也可用于此目的。SVD将任何实数矩阵分解为正交子矩阵。SVD的解总是存在的，并且其奇异值是唯一的，这使得它适用于任何光谱时间分辨数据。然而，无法对其解引入额外的约束，如非负性约束。因此，SVD的适用性相当有限。虽然对于某些光谱方法来说，出现负条目可能不是问题，但将数据分解为正交子矩阵的一般方法通常在物理上并不合理，因为同时假设光谱和动力学以及波数和时间元素的正交性通常是缺乏根据的。例如，如果光谱数据包含来自相似化学物质的信息，它们的光谱特征不应该是正交的。尽管如此，由于其简单性和广泛的应用性，SVD经常被用作NMF方法中的初始化工具。(9) SVD特别有助于确定数据中的重要组件数量，这对于基于NMF的分析是必要的。

典型的使用NMF分析光谱数据的工作流程如下：
步骤1. 获取光谱数据矩阵M。
步骤2. 执行SVD分析：检查奇异值并确定有意义的组件的大致数量（例如，通过奇异值的明显下降）。
步骤3. 根据SVD的见解选择NMF所需的化学或物理组件的数量r。
步骤4. 应用选定的具有rank r的NMF方法。
步骤5. 在给定的约束条件下优化目标函数的值。
步骤6. 恢复光谱子矩阵W和浓度剖面χ。

现有的基于NMF的时间分辨光谱数据分离方法主要在优化程序和优化标准上有所不同。常见的算法，如连续投影算法和顶点组件分析，可以用来几何地生成矩阵分解的解。

连续投影算法将初始矩阵M的值表示为r维单纯形上的点坐标，然后假设纯物质对应于该单纯形的顶点坐标。该算法从假设其中一个顶点对应于M中欧几里得范数最大的列开始搜索这些顶点。这是一个非常快速且通用的算法。然而，它应用了没有物理背景的严格假设，并且不考虑任何最优性约束。(10) 因此，连续投影算法已被扩展为连续非负投影算法，在其中引入了非负性约束。(11) 基于此，描述了一种用于时间分辨光谱数据的分离NMF方法。(5) 在这种方法中，连续非负投影算法被用来计算动力学子矩阵χ，而光谱子矩阵W则是基于原始矩阵M的值和通过最小化标准∥∥???????∥∥∥M?wχ∥=!=!min计算得到的。在这种方法中，组分光谱的可分离性被视为关键约束，意味着每个光谱至少有一个不重叠的贡献。(12) 另一方面，顶点组件分析试图在不假设可分离性的情况下解决单纯形优化问题。然而，它依赖于对数据的预先了解。在这里，假设包含特定时间点光谱的M的列最接近最优单纯形的顶点，因此无需迭代搜索它们。换句话说，至少需要大致知道所研究过程中涉及的纯单个组分的光谱。虽然顶点组件分析是一种相对简单且可靠的方法，但实际上这个条件可能会更加复杂，因为它要求实验数据包含几乎所有可提取物质的纯光谱，这意味着在某些时间点所有物质的相对浓度都必须为1，这在实验中并不总是可能的。(13,14)

另一个与前述两种算法相关的几何优化方法是PCCA+。(15,16) PCCA+解决一个优化问题，以找到包含数据点的最小单纯形。该算法的实现方式是先生成一个初始的非最优单纯形，然后通过局部优化方法调整该单纯形，直到达到目标函数的局部最小值。原则上，最小单纯形的优化标准对于一般的光谱问题并没有物理上的依据，这意味着PCCA+可能导致对M的非物理分解。

虽然所概述的NMF实现被证明在数学上是有效且稳健的，但它们在物理和化学问题上的有效性尚未得到充分证实，这限制了它们在特定情况下的应用。因此，在本研究中，我们评估了NMF方法中通常使用的约束，以制定一种通用且可适应的NMF策略，以限制人为和数学偏差。

2.2. 基于NMF的方法中的典型约束
之前提到的基于NMF的方法通常依赖于复杂的数学算法。高效应用这些优化算法需要预处理实验数据，如下所述，这限制了这些算法的普遍适用性。此外，预处理可能会扭曲数据，并在分析开始之前就引入误解的风险。(1) 标准化是典型NMF实现中最常见的问题之一。矩阵优化方法通常要求在优化之前对原始数据矩阵进行逐行和/或逐列的标准化。这样可以使矩阵更容易和更有效地进行排序和聚类。就实验数据而言，这意味着光谱和动力学都必须进行标准化，这通常会导致数据的严重扭曲。例如，在监测物理或化学过程的时间分辨拉曼实验中，一些物质（中间体或组分）可能由于拉曼散射截面低而无法检测到。假设所有重要中间态都可见可能会导致严重的误解。具体来说，共振拉曼效应可能导致浓度相同的化学成分的光谱强度存在显著差异。因此，对这些数据进行归一化在物理上是不合理的。(2) 对某些成熟的NMF策略成功至关重要的另一个要求是数据的分离性。在当前背景下，分离性意味着矩阵分解的解应该具有不重叠的光谱成分和不同的时间轨迹。为了解决分离性问题，算法会寻找产生“最不同”成分的解，其简单的数学解释是正交性。基于SVD的方法和其他使用正交性作为优化标准的方法就是这样的例子。然而，对于现实世界的问题来说，这个约束似乎过于严格，而且与非负性条件存在竞争。此外，对于光谱数据来说，正交性标准很难解释和满足。在实际情况中，通常包括结构和光谱上相似的成分，这些成分不会遵守这样的约束。(3) 另一些约束可能来源于对研究过程的机制假设。为了数学上描述化学或物理过程的动力学，成熟的NMF分析中经常使用马尔可夫过程模型，因为它仅基于系统的当前状态就可以预测其演变。(17,18) 一般来说，对于现实世界的化学或物理问题来说，确认马尔可夫行为可能是困难的。尽管典型的无记忆性通常得到满足，尤其是对于化学过程，但系统的定义及其状态并不简单。对于分子物种发生解离或结合的反应，系统的马尔可夫状态与被研究的分子物种并不相同，因此无法从化学意义上解释光谱和动力学性质。此外，还需要知道研究系统的当前状态，而这并不总是可能的，因为可能存在光谱上无法检测或无法区分的中间体。由于实际的反应机制通常是不透明的（而是需要通过时间分辨实验来确定），在分析中应用其他动力学模型也存在很大问题。2.3. 优化约束的减少严格的数学约束是大多数NMF算法应用的必要条件。然而，考虑到上述因素，这些约束在分析时间分辨光谱数据时可能导致严重的问题或限制NMF方法的适用性。鉴于这些约束和数据预处理带来的问题，我们提出了一种从头开始的方法来改进基于NMF的算法。我们以将非物理约束减少到最低限度的方式对其进行表述。一方面，这种方法消除了分析引起的误解；另一方面，它提供了一种简化且通用的方法，适用于更广泛的数据和科学问题。从概念上讲，我们提出了一种可定制的自下而上的方法来设置目标函数。在基本配置中，最小化了优化标准的数量以避免任何非物理约束。然后可以引入适用于特定问题的额外标准，以物理和化学概念为基础来缩小解决方案的数量。最初的目标是移除所有约束，除了最一般的约束，特别是纯光谱和各个成分浓度轨迹的非负性。为了有效优化，还包含了光谱可分离性的额外约束。然而，后者是特定于问题的，可以在相关条件改变的情况下进行修改或删除。与其他上述方法不同，我们的方法在浓度轨迹上没有限制，例如行和不等于1的要求，也不假设马尔可夫过程。值得注意的是，这意味着应用于浓度的唯一条件是非负性。因此，这里采用的因子分解基本上是无模型的，因此不受关于研究过程或不合理数学约束的先入之见的影响。子矩阵的优化主要是针对光谱进行的。我们认为这种方法更为合理，因为通常评估成分光谱的出现比评估复杂反应的成分浓度剖面更容易。例如，拉曼光谱及相关量（如同位素位移）可以通过电子结构方法（如密度泛函理论）来计算，这允许验证NMF预测的光谱并识别相关的中间体。最后，为了遵循我们采用的简化策略，我们使用了明确且稳健的最小二乘优化方法来最小化目标函数。当前的设置是将目标函数设置为对应于选定优化标准的变量的线性组合，这些变量的值可以选择为最大化或最小化。这样的设置还意味着可以根据用户的选择对不同的标准进行加权。该算法被组织为一个两步过程：第一步优化主要目标函数，第二步优化具有额外问题特定约束的可定制目标函数。该算法在MATLAB中实现，但也可以轻松转移到所选的编程环境中。2.4. 分析时间分辨光谱数据的代码接下来将详细描述上一节中介绍的实施方法。第一步优化主要目标函数的伪代码如算法1所示，并在后面进行说明。虽然我们的方法不需要数据预处理，但我们发现诸如基线校正和噪声过滤等基本程序可以显著提高性能，例如在拉曼光谱中存在荧光背景的情况下。值得注意的是，这些程序经常用于光谱数据分析中。它们既不受NMF方法的数学框架的限制，也不会在使用得当时扭曲数据。然而，关于此类预处理的决策应该根据具体情况做出，特别是对于信噪比较低和成分较弱的数据。如果合理，我们会使用MATLAB中的datasmooth函数通过Savitzky-Golay方法过滤噪声，并通过样条拟合函数减去基线。如果没有这些步骤，算法会将背景作为单独的物种分离出来，从而不必要的限制了NMF程序的效率。步骤1. 为了获得光谱W和动力学χ矩阵的初始值，执行SVD（M = USV）。这里U和V是两个正交的子矩阵，S是一个包含M的奇异值的对角矩阵。选择这种方法是因为它是一种简单的一步方法，可以自动获得满足W0χ0 = USV = M的W0 = US和χ0 = V矩阵，前提是SVD的秩与分析中考虑的成分数量相匹配。具体步骤如下：首先对10个成分执行SVD，因为数据中预期的成分数量显然较少。因此，如果矩阵M的维度为m × n，则W0的维度为m × 10，χ0的维度为10 × n。为此，使用了MATLAB中的svds函数，该函数允许指定成分的数量。然后用户可以根据矩阵S中的奇异值估计真实的成分数量r，并将该估计值返回给算法进行进一步处理。这样，初始矩阵W0和χ0被截断为选定的m × r和r × n维度。我们想强调，从SVD估计成分数量是基本实现中唯一需要用户决策的步骤，因此可以被视为无模型方法的一个限制。虽然这种潜在的人为偏差也可以通过使用数学标准来确定秩来消除，但我们认为，在没有先验问题知识的情况下，依赖用户决策并系统地测试秩的影响更为明智。后者可以通过在后续分析中改变确定的成分数量来实现，从而探索所做选择的影响。特别是在预期有贡献较弱的成分的情况下，这样做可能是明智的。步骤2. 接下来，定义一个大小为r × r的变换矩阵A，初始填充为随机值。根据目标函数的标准优化这个变换矩阵，并用它来确定正确描述研究问题的目标矩阵W和χ。在下一步中制定优化函数和标准，然后每次优化迭代时更新变换矩阵以及相应的W和χ矩阵的值。具体来说，目标矩阵被计算为W = W0A和χ = A–1χ0，从而自动满足Wχ = M的关系。与之前的几种方法相比，这种方法的优势之一是它使用的是数据的精确表示而不是近似值。步骤3. 根据变换矩阵A的当前值和目标矩阵W和χ的相应值定义和评估优化标准。针对每个标准计算惩罚值如下：• W不是负数：v1 =minimum(Wmin)2 – 确定整个矩阵W中最小的元素，然后使用其平方值作为惩罚v1，使其尽可能接近零。• χ不是负数：v2 = –minimum(χmin,0) – 确定矩阵χ中最小的元素，并特别针对负值进行区分，从而使用所有负值中最小的值作为惩罚v2。这样，我们排除了所有部分负数的动力学轨迹。• 纯光谱的重叠最小：v3 = ∥|Wi|·|Wj|∥ – 计算物种i和j的光谱之间的重叠，即两个光谱的标量积的范数。实际上，这是对所有光谱对同时进行评估的。这是通过计算当前光谱子矩阵W的绝对值与转置子矩阵WT的绝对值的乘积，然后取其范数来完成的。得到的值作为惩罚值v3。取绝对值确保了惩罚中也考虑了可能的负值。对于预期光谱会有重叠的数据集，可以通过在惩罚值v3中添加权重系数0 ≤ a< 1来软化这一标准，即v3-soft = a·v3。步骤4. 然后将目标函数表示为各个惩罚值的简单总和：v = v1 + v2 + v3。通过最小二乘优化程序来最小化该函数，以变换矩阵A的值为目标。在MATLAB中，使用fminsearch程序通过改变矩阵A的值来找到目标函数的最小值。优化变换矩阵而不是光谱和浓度剖面的目标矩阵W和χ是一种常见的有效方法，可以减少问题的维度。从变换矩阵A的随机值开始，根据每个标准的惩罚值计算目标矩阵W和χ。然后最小化目标函数并确定矩阵A的优化后的条目。这个过程重复n次迭代，每一步将新的目标函数值与之前的所有值进行比较，并选择对应于目标函数整体最小值的矩阵Af来设置W和χ的最终值。最佳迭代次数是根据优化改进和计算时间的增加之间的折中来经验性确定的。对于实验数据，建议的默认迭代次数为n = 1000。在定义了转换矩阵Af的优化值之后，重建得到的光谱和动力学表现如下：Wf = W0Af 和 χf = χ0Af–1。由于我们的方法不依赖于最大光谱强度或最大浓度进行归一化处理，因此可能需要在之后进行代表性的可视化处理，具体步骤如下所述。对于复杂情况或已有光谱先验信息的情况，增加一个优化程序以进一步提高目标矩阵的准确性是合理的。这个优化使用不同的算法实现，但其方法与第一个算法相同，只是目标函数和优化标准有所不同。与初始算法不同，额外的算法仅包含解决初始算法后仍存在的问题所需的特定于问题的优化标准。在额外算法中，优化过程是非迭代的，并使用第一个算法得到的结果作为初始值。在此基础上，第二个算法在一定的范围内寻找重新优化的值。这种方法假设第一个算法的结果已经非常接近真实值，其偏差小于设定范围。在这种情况下，通过在该范围内寻找重新优化的值就可以找到真实值。额外的算法需要根据每个具体问题进行调整，有时还需要根据第一个算法的具体结果进行调整。

接下来，我们以一个数据集为例，描述第二个算法（称为算法2），在该数据集中，某些物种在光谱上与其他物种明显分离，而它们的积分强度差异较大。在NMF分析中，这可能导致最强物种与其他较弱的物种混合。这种情况在时间分辨拉曼实验中尤为重要，因为可能产生具有不同共振增强程度的中间体。在这种情况下，我们可以选择某些特定物种预期会有贡献的光谱范围，也可以选择其他特定物种预期不会有贡献的光谱范围，并据此制定可分离或部分可分离的优化标准。由于第二个算法采用与初始算法相同的方法，因此上面仅说明了优化标准的新内容，而目标函数的最小化过程在后面进行描述。

对于r种物种，定义一个从频率f = a到f = b的光谱范围，在该范围内只期望有一种物种m的光谱贡献。我们用Siab表示每种物种i对此范围的光谱贡献。然后计算惩罚值，即除物种m外所有纯物种光谱在该特定频率范围内的绝对强度积分之和：vm = ∑i=1,i≠mr∫ab|Siab(f)|?df。此外，我们还可以定义一个从频率f = c到f = d的光谱范围，在该范围内不期望物种m的贡献：Sicd是每种物种对此范围的光谱贡献，相应的惩罚值为vm′ = – ∑i=1,i≠mr∫cd|Sicd(f)|?df。最后，总体目标函数定义为v = vm + vm′。在MATLAB中，使用fminsearchbnd函数来最小化目标函数的值，该函数会一步找到满足目标函数最小值且位于初始值一定范围内的矩阵A的值。

2.5 代码性能演示

为了展示新开发的NMF方法的性能，我们生成了模拟时间分辨拉曼光谱学中典型情况的人工数据集。与实验数据不同，这些数据集中的各个光谱和浓度剖面都是已知的确切值，这有助于可靠地评估算法的性能。为了说明其优势，我们考虑了不同类型的动力学情景。其中一个数据集代表具有无相关动力学特性的任意时间轨迹，另一个数据集模拟了一级化学反应并伴有分支现象。通过这些案例，我们展示了我们无约束方法对这两种类型数据的适用性：一种是没有适用动力学模型的情况，这对之前的算法来说是一个严重的问题；另一种情况是虽然有明确的可适用动力学模型，但在代码中并未预先包含这些信息。

第一个人工数据集由三个独立的光谱组分组成，这些组分由部分重叠的洛伦兹线表示（光谱子矩阵W）。这些线的强度随时间的变化反映了潜在种群的变化（动力学子矩阵χ），这些变化是人工设计的任意时间轨迹，不反映任何预定义的动力学模型。作为输入，代码接收整体数据矩阵M（尺寸为1000 × 172），表示为M = Wχ，目的是恢复包含各个组分的光谱和动力学的子矩阵W和χ。如上所述，子矩阵的初始值是通过SVD获得的。用户可以根据奇异值选择组分的数量，在当前例子中，已知物种数量为3。第二步定义一个3 × 3的转换矩阵A，其中填充随机值。第三步保持不变，唯一的优化条件是新得到的子矩阵W′和χ′是非负的，并且光谱之间的重叠最小。第四步使用fminsearch例程根据这些条件迭代优化矩阵A的值，大约进行500次迭代就足够了。第五步计算出最终的矩阵W和χ。由于第一步就得到了几乎精确的结果，因此不需要额外的优化步骤。图2显示了得到的光谱和时间轨迹（实线），真实结果（各个物种的预设光谱和时间轨迹）用虚线表示。所采用方法的准确性非常高，原始数据和重建数据完全重合。

图2
图2. 对于具有3种物种和无相关动力学特性的人工数据，使用NMF提取的结果。(A) 各个物种的光谱。(B) 各个物种的动力学。

图3
图3. 对于具有3种物种和无相关动力学特性的人工数据，添加噪声后的NMF提取结果。数据矩阵M中也加入了噪声。(A) 各个物种的光谱。(B) 各个物种的动力学。高分辨率图像。

在分析第二个人工数据集之前，我们将简要讨论结果的后期处理及其表示方法。由于优化方法不直接处理光谱和动力学矩阵W和χ，而只处理转换矩阵A，因此得到的两个矩阵都是相对的，并且与真实值有所差异，即??????????????=??????????·??和??????????????=????????????，故Wresult=Wtrue·C?和χresult=χtrueC(1)。

在我们的方法中，两个子矩阵的乘积等于原始矩阵M，因此得到的矩阵满足以下方程：????????????????????????????=(??????????·??)(????????????)=????????????????????=??Wresultχresult=(Wtrue·C)(χtrueC)=Wtrueχtrue=M(2)。

在后期处理中，我们简单地对光谱和动力学进行了归一化处理。这样，与预处理阶段的归一化不同，分析过程中动力学轨迹不会变形。此外，得到的矩阵可以调整以适应选定的实验值，例如某个光谱线的已知最大强度或某个物种在定义时间点的浓度。这样，整个矩阵将被设置为真实值。

对于第二个人工数据集示例，我们建立了一组对应于一级反应分支过程的微分速率方程，该过程将物种A通过两个中间体B和C转化为物种D：
- 物种A（拉曼沉默）：d??Adt=???1??A???2??Ad
- 物种B：d??Bd??=??1??A???3??Bd
- 物种C：d??Cd??=??2??A???3??Cd
- 物种D：d??Dd??=??3??B+??4??Dd
其中k1 = 0.05, k2 = 0.1, k3 = 0.01, k4 = 0.1，IA(0) = 1, IB(0) = 0, IC(0) = 0, ID(0) = 0。反应的动力学示意图见图4左侧。

图4
图4. 一级和二级反应的动力学示意图。高分辨率图像。

推导出的积分速率定律用于设置组分的时间轨迹，而光谱由部分重叠的洛伦兹线表示。这里考虑了两种情况：第一种情况包含3个组分：两个形成速率和光谱非常相似的反应中间体B和C，以及一个在光谱和动力学上分离的产品D。我们将反应物A视为拉曼沉默物种。这种情况很重要，因为它复现了开发该算法的实验数据集。在第二种情况中，考虑了4个组分：上述的3个物种和现在被纳入拉曼活性类别的反应物。

图5
图5. 对于遵循一级基本步骤分支反应动力学模型的3组分数据集，NMF提取的结果。高分辨率图像。

使用这些积分速率定律设置了组分的时间轨迹，而光谱由部分重叠的洛伦兹线表示。我们考虑了两种情况：第一种情况包含3个组分：两种反应中间体B和C，它们的形成速率和光谱非常相似，以及一个在光谱和动力学上分离的产品D。我们将反应物A视为拉曼沉默物种。这种情况很重要，因为它模拟了开发该算法的实验数据集。在第二种情况中，考虑了4个组分：上述的3个物种和现在被纳入拉曼活性类别的反应物。

图6
图6. 对于包含一个在光谱特性和时间演变上分离良好的可观察反应物物种的4组分系统，NMF提取的结果。NMF分离的结果显示在图中。然而，我们注意到物种C的光谱存在偏差：即使实施了额外的优化步骤，该物种的光谱特征仍然与物种B的部分特征混合在一起。这种偏差也导致了动力学轨迹的准确性下降。尽管动力学轨迹的一般趋势和速率被正确地复制了，但一些恢复的动力学组分与真实轨迹有所偏差。除此之外，所有物种的光谱和动力学都被以可接受的准确性提取出来，因此可以恢复反应机制和涉及化合物的光谱特征。

通过比较3组分和4组分数据集的结果，可以识别出决定算法性能准确性的关键因素。如上所述，光谱和动力学上相似的物种的存在对算法不会造成问题。然而，物种数量的增加可能会以与问题复杂性无关的方式限制结果的总体准确性。我们特别指出，在4组分数据集中额外包含的物种实际上是很好地分离的，这说明结果中的任何不准确性都与优化程序本身有关，而不是NMF方法本身。

下一个例子是另一个人工创建的数据集，它模拟了一个二级化学反应，相应的动力学示意图见图4右侧。这里考虑了3个组分。同样，光谱是通过组合多个洛伦兹线创建的，并且不同组分之间的重叠被控制在较低水平。对于时间轨迹，我们调整了之前使用的微分方程系统，使其能够表示一种在拉曼光谱中不活跃的物种A，该物种通过中间物种B和C的结合反应生成产物物种D。这一过程由新的微分方程系统描述：

物种A（拉曼不活跃）：\(d\mathbf{I}_A \dot{d}t = -\kappa_1\mathbf{I}_A - \kappa_2\mathbf{I}_A\)
物种B：\(d\mathbf{I}_B \dot{d}t = \kappa_1\mathbf{I}_A - \kappa_3\mathbf{I}_B\mathbf{I}_C\)
物种C：\(d\mathbf{I}_C \dot{d}t = \kappa_2\mathbf{I}_A - \kappa_3\mathbf{I}_B\mathbf{I}_C\)
物种D：\(d\mathbf{I}_D \dot{d}t = \kappa_3\mathbf{I}_B\mathbf{I}_C\)

其中 \(\kappa_1 = 0.05\), \(\kappa_2 = 0.025\), \(\kappa_3 = 0.1\)，并且 \(I_A(0) = 1\), \(I_B(0) = 0\), \(I_C(0) = 0\), \(I_D(0) = 0\)。

该系统通过数值方法求解，所得解用于描述各物种的真实时间演化过程。NMF反卷积的结果如图7所示。在这种情况下，光谱和浓度轨迹几乎完全分离，除了物种D的光谱中存在一些小的负干扰之外，与真实光谱和动力学数据（以虚线表示）有很好的吻合。这展示了无模型算法的一个重要优点：由于该算法不依赖于对研究过程的物理或化学性质的任何输入或假设，反应级数并不重要，级数的增加也不会影响算法的性能。从更广泛的角度来看，这意味着该算法可以在没有预先了解其机制的情况下处理各种复杂过程。这与全局分析或目标分析（例如（19）形成鲜明对比，后者需要对研究过程有深入的理解才能获得有意义的结果并避免对数据的严重误解。此外，我们无模型方法的另一个关键优势是能够将光谱成分的识别及其时间演化与对研究过程的化学或物理建模分开进行，而且这种建模不会干扰数据的反卷积过程。如果可行，可以通过设计目标函数来考虑现有的信息，但并不需要建立一个完整的模型。

**图7**：遵循一级和二级基本步骤的分支反应动力学模型的人工数据的NMF提取结果。(A) 各个物种的光谱。(B) 各个物种的动力学。

**高分辨率图像下载**：MS PowerPoint幻灯片3.

**讨论与结论**

总之，我们展示了一种新开发的基于NMF的时间分辨光谱数据分析方法。该方法是一种通用的矩阵分解工具，本质上是无模型的，并且在优化过程中不受隐式非物理约束的影响。与现有的NMF方法相比，我们的新方法更为简单，采用自下而上的方法，从用户可以根据具体问题和合理假设调整的最少约束开始。这样，所有为了获得唯一且物理上合理的解所做的选择都是可追溯的，从而可以将分析中的可能偏差降至最低。

本研究提出了一个概念性工作，为时间分辨光谱学领域内外的各种实验问题的方法论解决方案奠定了基础。展望未来，可以根据具体需求进一步改进该方法，例如针对特定实验方法。这可能包括在适当的情况下重新引入严格的边界条件和约束，以提高性能。此外，还可以重新考虑已引入的约束，以便将该方法推广到其他实验技术中。这主要适用于光谱的非负性条件限制，因为某些光谱方法（如差分光谱法）得到的光谱可能包含负成分。需要强调的是，当前的方法是一种通用的矩阵分解方法，并不一定依赖于非负性条件。此外，所使用的最小二乘法是最优化过程中的一种简单且广泛可用的方法。然而，这一优势也带来了一定的局限性。转向更先进的优化工具可能会进一步提高方法的整体性能：一方面可以减少计算时间并提高准确性，特别是在迭代次数较多的情况下；另一方面，对于高维问题，无论NMF方法的实现方式如何，全局优化都会变得较为困难。我们预计，未来在这方面的发展将进一步扩展该方法在研究具有更多中间物种的复杂过程中的应用范围。