基于纹理感知的重新网格化技术，用于实现具有纹理感知特性的几何体处理

《ACM Transactions on Graphics》：Texture-Aware Remeshing for Texture-aware Geometry Processing

　　摘要：3D艺术家通过结合几何形状和纹理来创造物体及其外观，使用几何和图像处理工具。然而，在标准的UV纹理映射表示中，几何处理很难考虑纹理。但是，当纹理被表示为顶点颜色时，我们展示了纹理感知的几何处理变得直接可行。不幸的是，大多数带纹理的网格都是用UV参数化的，因此在实践中大多数几何处理工具简单地忽略了纹理。这种顶点颜色网格的稀缺问题通过一种新的重新网格化方法得到解决，该方法通过每个三角形的重新网格化将纹理提升到顶点颜色上，同时保持输入的外观。这种新的重新网格化方法接收带有UV和纹理映射的网格，并生成顶点颜色网格，然后用于展示如何通过纹理感知的修改将顶点颜色整合到多种应用中。具体来说，我们在表面分割、Tutte参数化、表面纹理处理算法（如边缘检测）以及使用纹理梯度的矢量场操作上测试了纹理感知的几何处理。对于每个应用，与仅使用几何的算法或在UV空间中执行的图像处理算法相比，纹理信息产生了不同且在某些方面有所改进的结果。

1 引言
在3D建模中，几何形状和纹理是两个关键要素。修改几何形状和纹理的效果是相互交织的，然而几何处理往往不考虑纹理，而纹理处理也不考虑几何形状，尽管有大量的带纹理的网格可用。处理纹理的难度在于纹理和几何形状的不连续表示：网格是嵌入在R3中的图，而纹理是R2中的像素网格，它们通过UV参数化结合在一起。由于这些表示不同，网格元素（面和顶点）和纹理值（纹理像素）之间没有一一对应的映射，这使得将它们作为一个整体来处理变得困难。同样，纹理中的像素对应于3D表面上的任意区域，甚至可能是非平面的，这使得纹理处理变得复杂。将纹理表示为2D图像是为了渲染，允许使用高频纹理处理粗糙的几何形状，但不适合几何处理，因为对网格的修改可能会扭曲纹理，且拓扑变化定义不明确。为了使算法对艺术家来说更易于使用，我们认为几何处理算法考虑纹理是有用的，图像处理算法也应该考虑几何形状。

纹理感知的几何处理的基本障碍是纹理和几何形状的不连续表示。当纹理被定义为顶点颜色而不是通过UV映射时，处理几何形状和纹理就变得相当直接。虽然带有顶点颜色的网格适合纹理感知的几何处理，但这样的网格很少见，因为艺术家通常通过UV参数化在图像上绘制纹理，而顶点颜色需要密集的几何形状。为了弥补顶点颜色网格的缺乏，本研究设计了一种新的重新网格化方法，该方法通过每个三角形的重新网格化将纹理提升到顶点颜色上，同时保持输入的外观。这种新的重新网格化方法接收带有UV和纹理映射的网格，并生成顶点颜色网格，然后用于展示如何通过纹理感知的修改将顶点颜色整合到多种应用中。具体来说，我们在表面分割、Tutte参数化、表面纹理处理算法（如边缘检测）以及使用纹理梯度的矢量场操作上测试了纹理感知的几何处理。对于每个应用，与仅使用几何的算法或在UV空间中执行的图像处理算法相比，纹理信息产生了不同的、在某些意义上有所改进的结果。

2 相关工作
2.1 纹理表示
之前已经提出了不同的纹理表示方法，包括网格颜色（面/边/顶点颜色）[Palacios和Zhang 2007b, Yuksel 2017]、半边纹理[Barbier和Dupuy 2022, Burley和Lacewell 2008]以及体积纹理[Lefebvre和Hoppe 2006, Tarini 2016, Tarini等人2004]，以替代UV映射进行渲染。替代UV映射的动机是由于其复杂性和由接缝和扭曲引入的伪影。本工作专注于使用每个顶点颜色的纹理感知几何处理，但这并不适合渲染。之前的工作也没有提供构建方法，其中的一个核心元素是从现有的带纹理网格构建顶点颜色。

2.2 重新网格化
重新网格化是一种工具，用于改善诸如三角形质量、四边形拓扑、防水性和流形性等属性，同时保持网格的外观。关于每个主题都有许多先前的工作，例如基于矢量场的四边形重新网格化[Pietroni等人2021, Huang等人2018b, Jakob等人2015]、更一般函数的重建[Gibson 1998, Ju等人2002, Zhao等人2023]、基于Voronoi/Delaunay的方法[Cheng等人2003, Sharp等人2019a, Surazhsky等人2003, Valette等人2008]、局部更新[Valette等人2008]、物理感知的重新网格化[Ferguson等人2023]，以及最近的可微表示[Rakotosaona等人2001, Son等人2024]。此外，一些最近的方法丢弃输入数据，使用Marching Cubes[Rakotosaona等人1987]重建网格，以生成防水、流形的低多边形网格[Chen等人2023]。本工作中的重新网格化类似于之前的方法，生成视觉上相似的网格，并具有额外的属性，在我们的案例中是顶点颜色。所提出的重新网格化旨在将纹理提升到网格上。从技术上讲，这类似于带有镶嵌的位移映射，但我们不是使用细分操作符[Catmull和Clark 1998, Stam 1998]，而是从纹理网格进行常规的重新网格化。我们结合了两种新的每个三角形的重新网格化方法，将带有UV和纹理的网格重新采样为以每个顶点颜色为主且拓扑与输入相同的四边形网格。这些重新网格化方法可以混合使用，提供每个三角形的自适应重新网格化，或者与每个输入顶点的直接重采样结合使用。然后，使用QEM [Hoppe 1999]简化输出网格。这种重新网格化方法将纹理网格精确地提升到网格上，而不是先进行细分然后再进行烘焙。

除了重新网格化之外，我们还为四种不同的应用开发了纹理感知的几何处理方法：网格分割、Tutte参数化、纹理处理和矢量场生成。每种应用都是传统网格纹理管线的一部分，包括图表化、UV参数化、纹理修改和重新拓扑化。
对于网格分割，我们开发了一种方法，在最小化每个图的颜色方差的同时，共同最小化可展开性或平面性，其中可展开性指的是可以不拉伸地展平为2D。所提出的方法基于层次化面聚类[Garland等人2001]，但使用了两个损失项，一个基于“三角形网格的可展开性”[Stein等人2018]，另一个衡量与图表平均颜色的偏差。通过最小化可展开性或平面性，在构建参数化时分割区域产生的变形更小，通过最小化颜色变化可以减少像素数量，如Luo等人[2023]所示。
对于网格参数化，我们展示了如何将顶点颜色与Laplacian网格处理结合使用，通过在6维联合XYZ和λRGB空间中使用具有内在公式的纹理感知Laplacian来进行Tutte参数化[Tutte 1963]。这种纹理感知Laplacian在将纹理重新烘焙到UV空间时更好地保留了清晰的纹理特征。
然后，我们展示了多种适应顶点颜色的图像处理算法，包括Canny边缘检测[Canny 1986]、纹理平滑和Floyd–Steinberg抖动[Floyd和Steinberg 1976]。我们选择这些算法是因为它们不适合处理UV纹理，因为UV之外的区域和扭曲或旋转的UV三角形会导致问题。
最后，我们考虑了由网格表面上的颜色梯度定义的矢量场。表面上的矢量场可以用于构建参数化[Corman和Crane 2025, Tarini等人2011]、重新网格化[Alliez等人2003, Huang等人2018b, Jakob等人2015, Pietroni等人2021]，或用于阴影绘制[Palacios和Zhang 2007a, Praun等人2001]。由于之前的工作主要考虑几何形状，因此构建参数化和重新网格化可能与纹理不对齐，尽管这样做可能有助于消除参数化的扭曲。从纹理梯度构建矢量场也是从用户交互构建矢量场的另一种方法，而无需自定义应用程序。

3 总结
本工作的贡献（如图1所示）如下：
图1. 以几乎无损的方式重新网格化输入的几何形状和纹理，可以应用于许多领域，包括恒定颜色图表分割、纹理感知的UV参数化、表面纹理处理算法和纹理矢量场生成。维也纳自然历史博物馆（Franz Viehb?ck的Sokol太空服）。
(1) 将图像纹理提升到顶点颜色的重新网格化方法，通过下游应用得到了验证。
(2) 一种平面/可展开的恒定颜色图表化算法，经过与行业工具的对比验证，其最大可展开性和平面性最低，由Stein等人[Stein等人2018]在测试模型上测量。
(3) 通过Tutte参数化和纹理平滑展示了纹理感知的Laplacian公式。
(4) 为顶点颜色适应的图像处理算法，如抖动和边缘检测。
(5) 展示了如何使用纹理梯度进行重新网格化和可视化。

4 相关工作
4.1 纹理表示
之前已经提出了不同的纹理表示方法，包括网格颜色（面/边/顶点颜色）[Palacios和Zhang 2007b, Yuksel 2017]、半边纹理[Barbier和Dupuy 2022, Burley和Lacewell 2008]以及体积纹理[Lefebvre和Hoppe 2006, Tarini 2016, Tarini等人2004]，以替代UV映射进行渲染。替代UV映射的动机是由于其复杂性和由接缝和扭曲引入的伪影。本工作专注于使用每个顶点颜色的纹理感知几何处理，这不适合渲染。之前的工作也没有提供构建方法，其中的一个核心元素是从现有的带纹理网格构建顶点颜色。
4.2 重新网格化
重新网格化是一种工具，用于改善诸如三角形质量、四边形拓扑、防水性和流形性等属性，同时保持网格的外观。关于每个主题都有许多先前的工作，例如基于矢量场的四边形重新网格化[Pietroni等人2021, Huang等人2018b, Jakob等人2015]、更一般函数的重建[Gibson 1998, Ju等人2002, Zhao等人2023]、基于Voronoi/Delaunay的方法[Cheng等人2003, Sharp等人2019a, Surazhsky等人2003, Valette等人2008]、局部更新[Valette等人2008]、物理感知的重新网格化[Ferguson等人2023]，以及最近的可微表示[Rakotosaona等人2001, Son等人2024]。此外，一些最近的方法丢弃输入数据，使用Marching Cubes[Rakotosaona等人1987]重建网格，以生成防水、流形的低多边形网格[Chen等人2023]。本工作中的重新网格化类似于之前的方法，生成视觉上相似的网格，并具有额外的属性，在我们的案例中是顶点颜色。所提出的重新网格化的目的是将纹理提升到表面。从技术上讲，这类似于带有镶嵌的位移映射，但我们不是使用细分操作符[Catmull和Clark 1998, Stam 1998]，而是从纹理网格进行常规的重新网格化。我们结合纹理的方法也接近Hormann和Greiner [2000]的方法，该方法对规则三角形网格进行参数化，将其适配到2D参数化上，然后提升到3D。
4.3 纹理感知的几何处理
在众多几何处理任务中，我们回顾了几种从结合几何形状和纹理中受益的任务：可展开/平面分割用于图谱构建、UV参数化、矢量场生成和Laplacian网格处理。这些大多数与下游任务中的纹理有关，因此我们认为结合几何形状和纹理是有益的。
可展开/平面分割。已经有很多工作将网格分割成与圆盘同构的区域[Attene等人2008, Eck等人1995, Julius等人2005, Lévy等人2002, Eck等人1995, Zhang等人2012, Yan等人2012]，以及多图几何图像[Tewari等人2004, Sander等人2002, Zhou等人2004, Sander等人2003, Sander等人2001, Sander等人2003]。这是一个关键的现实世界问题，因为像[Donya Labs AB 2022, Nerurkar 2021, Young 2017, Zhou等人2004]这样的工具首先将3D模型分割成类似圆盘的区域。之前的分割工作基于二次曲面[Garland和Heckbert 1997, Garland等人2001]或法线锥[Wang等人2017, Zhou等人2004]，其中“法线锥”根据面与平均法线的偏差进行聚类。尽管最近在测量三角形网格可展开性的指标方面有所进展[Stein等人2018]以及一些后续工作[Zhao等人2023, Zhao等人2022, Binninger等人2021]（基于较早的工作[Liu等人2006]），提供了可平坦性的度量，可以修改为测量平面性。除了几何度量之外，最近的纹理压缩方法可以压缩接近恒定颜色的UV图表[2023, Knodt等人2023]。Luo等人[2023]重新网格化输入，使得每个图的颜色接近恒定，但引入了条带效应。相反，我们将带有顶点颜色的网格分割成接近恒定颜色的区域，没有使用恒定阈值。我们的方法同时分割了可展开/平面区域和恒定颜色区域，这是之前没有做过的。关于分割的早期工作的综述可以在Floater和Hormann [Floater等人2005]中找到。
UV参数化。将表面参数化为与圆盘同构的任务至关重要，因为这是纹理化的标准方法。当前的方法侧重于最小化几何扭曲，如等距（保持距离）和保角[Rabinovich等人2017, Sorkine等人2002, Schmidt等人2006, Poranne等人2017, Li等人2018]。这些方法在网格表面上提供均匀的纹理分辨率，并最小化绘制区域的扭曲。然而，在实践中，艺术家使用非均匀缩放，给某些区域更多的细节。当前的仅使用几何形状的方法没有考虑这些信息，因为它们不考虑现有的纹理。为了理解如何结合纹理，我们考虑了用于测量扭曲的指标，例如[Sorkine等人2007, Smith等人2015, Hormann等人1999]在构建输入网格的Tutte参数化[Tutte 1963]时使用的Laplace–Beltrami算子。我们用定义在6维XYZ和λRGB空间中的类似算子替换了在网格上定义的切线-Laplacian权重，其中λ是对纹理的权重。这种修改展示了一种将纹理整合到先前UV参数化方法中的方式，而不改变先前工作构建的流程。
还有一些工作将纹理信号结合到几何处理中，“信号专用参数化”[Sander等人2002, Tewari等人2004]和“联合UV优化和纹理烘焙”[Knodt等人2023]。信号专用参数化依赖于将输入表面划分为1到4个子部分来计算“集成度量张量”的顶点颜色，但这种划分可能不足以捕捉高频信号。联合UV优化修改现有的UV参数化以更好地适应特定纹理，但不会创建新的参数化。拉普拉斯网格处理：没有拉普拉斯网格处理，几何处理是不完整的[Taubin等人2023年，Nealen等人2006年，Sorkine等人2007年，Liu等人2019年，Lipman等人2004年，Alexa等人2011年，Bunge等人2020年，Chuang等人2009年，Yu等人2004年，Chuang等人2016年]。拉普拉斯网格处理被用于许多任务，包括网格平滑[Nealen等人2006年]、表面切割和粘贴、尽可能保持刚性的变形[Sorkine等人2007年]、风格化[Liu等人2019年，Liu等人2021年]以及几何压缩[Karni等人2000年]。尽管有各种工具，但很少有研究考虑纹理[Chuang等人2009年]。我们通过考虑上述XYX-λRGB空间中的内在边长，并内在地评估余切-拉普拉斯权重，将纹理融入拉普拉斯处理中。关于光谱网格处理的课程可以在Lévy和Zhang的著作中找到[Lévy等人2010年]。矢量场：矢量场是一种用于重新网格化表面[Alliez等人2003年，Jakob等人2015年，Huang等人2018b年，Pietroni等人2021年]、求解表面上的偏微分方程[Sloan等人2001年，Sharp等人2019年，Ferguson等人2023年]、阴影绘制[Praun等人2000年，Praun等人2001年，Palacios和Zhang 2007a年，Panozzo等人2012年，Kn?ppel等人2013年]以及纹理合成或构建[Turk等人2001年，Wei等人2001年，Kopf等人2007年]的工具。矢量场可以通过用户交互创建[Zhang等人2006年，Fisher等人2007年，Huang等人2018b年，Ray等人2008年，Panozzo等人2012年，Palacios和Zhang 2007a年]，或者通过稀疏曲率梯度通过并行传输或松弛来扩展[Kn?ppel等人2013年，Crane等人2010年，Sloan等人2001年，Wei等人2001年，Myles等人2014年]。一些先前的方法需要用户了解矢量场，以便放置奇点。此外，矢量场已被研究为对应于每个顶点、每条边或每个面的场，这在实践中可能不适合低密度网格。由于我们的重新网格化产生了密集的网格，并将每个顶点与颜色关联起来，我们可以使用纹理及其梯度作为矢量场构建的另一种方法。有关矢量场处理的更完整分析，请参见De Goes等人[Goes等人2015年]或Vaxman等人[Vaxman等人2017年]。2.4 表面纹理处理：与将纹理融入几何处理相反的是将几何结构融入图像处理，我们将其称为表面纹理处理，以区别于图像处理。其目标与图像处理类似，即使用几何信息来修改给定的纹理。现有的2D图像处理算法很难应用于UV纹理；天真地执行操作可能会导致由于UV接缝而产生的可见裂纹，以及由于变形而导致的不正确结果。先前的工作使用分层求解器在UV域中进行图像处理[Prada等人2018年]，使用神经网络提取用于分析的语义信息[Huang等人2018年，Huang等人2018年，Huang等人2020年，Huang等人2020年]，或将纹理提升到可以局部视为网格的四边形网格[Huang等人2023年]。这些工作要么在局部邻域（如四边形邻域）内操作，要么在某个测地半径内操作，要么考虑UV变形和接缝。相反，通过将纹理提升到顶点颜色，可以直接在拓扑邻域（如一个顶点的单环）上进行处理。在这项工作中，我们专注于纹理平滑、边缘检测和纹理抖动。边缘检测：边缘检测是识别图像中区域边界的任务[Canny 1986年，B?hnisch等人2009年，Pu等人2022年]。3D表面上的边缘检测可用于风格化或非真实感渲染，如Huang [Huang等人2023]中所述，它使用卷积运算符在网格面或顶点上检测边缘，类似于2D图像边缘检测。由于它们的处理依赖于四边形面的规则性和密度，因此不清楚它们的方法有多通用，但它们确实优于UV空间中的边缘检测。正如他们所展示的，如果直接在网格表面上进行边缘检测，可以得到平滑且一致的结果。平滑：平滑是从图像中去除高频细节的过程[Tomasi等人1998年，Kopf等人2007年]。虽然在2D中有许多方法可以做到这一点，但在3D网格纹理上方法较少[Zhang等人2019年，Prada等人2018年]。通过将顶点颜色融入拉普拉斯处理，我们可以平滑纹理，类似于双边平滑。抖动：抖动或半色调是一种在保持外观的同时量化图像中位数位的方法[Floyd和Steinberg 1976年，Morsy等人2022年]。抖动也被用于风格化，从而发展出了Johansen [Johansen等人2025]的方法，该方法受到2D有序抖动和Bayer矩阵的启发。直接在UV空间中进行抖动是不够的，因为缩放不均匀，而在渲染输出上进行抖动也会导致游动伪影[Pope等人2017年]。我们直接在带有顶点颜色的面上进行误差扩散抖动，作为一种替代的风格化方法。3 纹理感知的重新网格化：将带纹理的网格转换为带有顶点颜色的网格的工具是一种纹理感知的重新网格化方法，如图2所示。给定一个带有UV映射纹理的网格，我们首先可以选择性地预处理网格和纹理。然后我们对每个面（第3.1节）进行纹理感知的重新网格化，将其分解为单独的组件。然后通过三角形拉链（第3.2节）合并这些单独的组件，最后可选地进行网格简化（第3.3节），整个流程如图2所示。最终输出是一个带有顶点颜色的网格，其纹理与输入相似，适用于纹理感知的几何处理。图2. 本工作流程的示意图。一个带有纹理和UV的输入网格被重新网格化为带有顶点颜色的网格，可用于使用纹理和几何的多种应用。预处理：该方法可以处理非封闭和非流形的网格，而无需任何预处理。唯一的预处理是对非平面多边形进行三角剖分以进行准确的重心计算，以及调整图像大小以控制输出顶点和面的数量。当输入图像很大时，调整图像大小很有用，例如当输入是8192×8192的纹理时，我们将其调整为2048×2048以便于处理。3.1 每个三角形的重新网格化方法：描述了三种不同的每个三角形的纹理感知重新网格化方法，我们分别称之为直接法、精确法和双重法，如图3所示。这三种重新网格化方法可以在网格的不同三角形上互换使用，因为每个三角形都是独立重新网格化的。图3. 三种描述的重新网格化方法的比较。“直接法”使用输入的顶点，“精确法”为输入图像的每个像素输出一个面，“双重法”为每个像素输出一个顶点。精确法和双重法可以捕捉高频细节，而直接法则不能。当几何结构比纹理更密集时，直接法很有用。精确法的输出比输入更清晰，因为它将每个像素精确地复制到网格表面，但渲染使用双线性纹理采样。双重采样会变得模糊，并且由于Blender中的三角剖分引入了偏差[Community等人2018年]。Texture TeamAlpha, OpenGameArt.org。3.1.1 直接法：直接法是最简单的方法，因为它“直接”在顶点位置采样纹理。每个顶点被复制到它所在的每个面上，从而使得输入和输出顶点的大小相似。然后在每个顶点位置重新采样纹理，将顶点颜色设置为Vc,i′=I(VUV,i)，其中Vc,i′是第i个顶点的颜色，I是对应于UV映射的第i个顶点VUV,i的纹理映射。伪代码在算法1中提供。优点和局限性：直接法适用于密集的输入，常见于扫描的3D模型（见补充材料），或恒定纹理。无论输入网格的质量如何，直接重新网格化总是成功的，因此它被用作其他两种方法的备用方案。直接法无法捕捉高频纹理细节，即使使用细分也无法捕捉质量较差的输入三角剖形中的细节。3.1.2 精确法：第二种方法“精确法”为每个像素构建一个四边形，将纹理精确地映射到表面上。首先，对于每个现有的面Fi，我们找到所有与UV映射的面UV(Fi)相交的像素。对于每个像素，在像素的每个角创建一个四边形（图4）。位于UV映射的面UV(Fi)之外的顶点被投影到UV映射的三角形UV(Fi)∩Pixelx,y和像素轴对齐的边界框的交点处（图5）。在三角形和四边形的非空交集中至少有3个且最多有6个点。然后，在新位置重新计算每个顶点的重心坐标，并为每个顶点分配像素的颜色。这个我们称之为“像素面”的四边形，可以捕捉该像素的纹理颜色，而不会与其他像素混合。图4. 精确重新网格化首先为每个与输入三角形UV(Fi)重叠的像素创建一个四边形。这些四边形最初是断开的。图5. 通过添加“桥接”面将单个连接的组件连接在一起。为了清晰起见，我们展示了在构建桥接面后顶点到三角形的投影，尽管顺序无关紧要，在我们的实现中投影是首先进行的。然后使用“桥接”将新的像素面连接在一起，这些桥接面是相邻像素面之间的几乎退化的四边形。这些桥接面可能有较高的颜色梯度，使纹理在像素面之间保持清晰。相邻像素之间的角用“桥接角”填充。每个面保持其添加的原因，因此在简化过程中可以移除某些类型的面。具体来说，可以移除面积小且颜色单一的桥接面。桥接面的大小由参数δ=default1×10?3决定（算法2，第6行），其中每个像素的轴对齐边界框（AABB）被缩小，以确保桥接面不会完全退化。添加桥接面后，每个三角形形成一个具有一个边界环的单一流形连接组件。精确重新网格化的算法在附录中的算法2中给出。优点和局限性：精确重新网格化可以精确捕捉高频纹理细节。另一方面，它输出的面的数量和顶点数量很多，其中一些几乎是退化的，使得进一步处理变得困难。与直接重新网格化一样，精确重新网格化总是生成有效的结果。3.1.3 双重法：第三种重新网格化方法是精确重新网格化的双重形式，可以将输出面的数量减少约4倍。对于每个像素，创建一个顶点，并用一条边连接相邻的顶点，类似于双重轮廓法[Ju等人2002]与行进立方体[Lorensen和Cline等人1987]。这导致在高纹理分辨率下顶点数量减少。然而，对于细长的三角形，可能会没有面，或者输出顶点少于3个。在这种情况下，我们回退到精确方法。双重重新网格化的伪代码在附录中的算法3中给出，并在插图中显示（图6）。图6. 双重重新网格化，顶点显示为灰色圆圈，重新投影显示为红色，面显示为绿色。更详细地说，对于每个与输入UV三角形相交的像素，将像素的中心投影到三角形中的最近点，并将顶点颜色设置为像素的颜色。然后，向每个也与三角形相交的相邻像素的顶点添加一条边。如果这导致没有面的边（这在细长三角形中可能发生），则中止双重重新网格化并使用精确重新网格化。对于双重重新网格化，计算第3.2节中用于拉链所需的相同对应关系。优点和局限性：双重重新网格化产生的元素远少于精确重新网格化，使其更适合高分辨率纹理。另一方面，输出纹理的精度较低，对于低分辨率纹理，颜色梯度更加明显。此外，对于具有细长三角形的网格，输出可能是退化的，但在这种情况下可以使用精确重新网格化作为备用方案。在这项工作中，对于几乎所有下游应用，我们使用双重重新网格化方法，因为它输出的顶点数量比精确重新网格化方法少，同时大部分保留了输入网格的外观。3.2 三角形拉链式合并由于每个输入面都是独立重新网格化的，它们会产生不连续的组件。这些组件通过沿着共享的输入边“拉链”式合并在一起。在拉链合并之前，我们可以选择性地拉紧边界顶点，无论是对于双重重新网格化还是精确重新网格化，因为三角形的某些部分可能会被遗漏，如图6中的插图所示。将顶点拉近最近的边可以减少遗漏的空间，更多细节可以在补充材料中找到。拉紧顶点后，每个重新网格化组件的边界环上有两种类型的顶点会被合并：多个面相交的角点，以及组件之间的共享边上的顶点。对于角点上的顶点，我们为每个输入顶点构建一个映射到重新网格化边界环上最近顶点的映射。然后，创建一个遍历所有重新网格化边界顶点的顺序，该顺序将每个输出顶点映射到它位于其间的两个输入顶点。等效地，这将输入网格的每个半边映射到一组新的顶点，但相对的半边可能具有不同数量的顶点和间距。为了考虑这一点，每个输出顶点都与每条边上的距离ΔVi∈[0,1]=‖v′?e0‖2‖e1?e0‖2相关联。这些集合通过在同时迭代过程中添加面来合并，沿着每个集合进行，从而减少遍历距离的差异：|ΔVi+1?ΔVj| 或 |ΔVj+1?ΔVi|。在每一步中，添加一个面。这类似于归并排序，并关闭两个输出组件之间的间隙。为了封闭角点，每个输入顶点对应于一个具有N个新顶点的新面。例如，如果6个输入三角形在一个顶点处相交，就会生成一个六边形，其边的顺序与围绕该顶点的面的顺序相同。拉链式合并在概念上类似于连续性映射[González等人，2009]，但我们在案例中生成的网格是一个标准网格，不需要任何其他修改或数据结构，这与连续性映射和旅行者映射不同。插图显示了拉链式合并的过程，其中三角形既是输入面也是新组件，绿色顶点是最接近输入顶点的新顶点，红色顶点是新顶点，位于输入面之间的共享边上。我们为每个半边跟踪一个指针，并递增最小化两个指针之间距离的指针。在递增指针时，我们在当前顶点和下一个顶点之间引入一个面。如果两个指针移动的距离相似，则添加一个四边形，并移动两个指针。三角形拉链式合并的伪代码在附录中的算法4中。插图（图7）显示了用新顶点封闭角点的过程，新顶点按照围绕原始顶点的面的顺序排列。然后一个多边形面覆盖角点，用青色表示。对于非流形顶点，会添加两个或更多单独的多边形面，从而断开由非流形顶点连接的组件。图7. 拉链式封闭角点。3.3 简化输出网格的密度取决于输入网格的面数和UV使用的像素数；输出网格将至少包含与输入网格相同数量的面，以及至少与输入网格上的纹理元素相同数量的面，具体来说|Fout|≥∑f∈facesmax(1,pixels∈f)。最直接的方法是通过调整输入纹理的大小来减少每个面的纹理元素数量。例如，使用双重重新网格化和4096×4096纹理重新网格化的网格大约有1600万个面，但通过将纹理分辨率减半，输出分辨率将接近400万个面。然而，即使调整了图像大小，输出网格也可能有数百万个面，这可能难以处理。此外，拉链式合并和精确重新网格化产生的元素可能是退化的。这种退化既体现在纹理上，也体现在几何上，因为这些面的面积接近于零且没有颜色梯度。虽然高端机器和编写良好的算法可以处理这些网格，但许多算法可能会遇到困难。因此，我们使用后重新网格化步骤来简化它们的复杂性，简化伪代码在算法5中展示。对于使用精确重新网格化重新网格化的三角形，可能会有一些桥接面，这些面的面积接近于零且没有颜色梯度。我们遍历所有桥接面，并检查它们是否可以折叠，以便它们连接的两个像素面可以直接共享一条边。这相当于在相邻的四边形像素面之间合并两条边。桥接角点的处理方式类似，但它们被折叠成单个点。保持流形性的二次误差度量。在应用前两个步骤后，我们使用QEM [Garland和Heckbert 1997] 和顶点颜色简化以及Hoppe [1999] 中的颜色感知二次曲面来简化整个网格。由于新网格没有楔形部分，实现过程很直接。一旦达到用户指定的三角形数量，我们就停止操作。为了保持网格的流形性，我们可以选择性地应用链接条件 [Dey等人，1999]，类似于MeshLab [Cignoni等人，2008] 和 [Chen等人，2023]。不幸的是，链接条件仅适用于三角形网格，不能防止多边形面的双重体，其中双重体被定义为共享多条边的相邻面 [Daniels等人，2008]。这对于需要流形三角形网格的应用来说可能会有问题。为了完全防止双重体，我们可以在细化之前对网格进行三角剖分，这样就不会引入双重体，尽管如果输入网格在重新网格化之前有非流形元素，输出网格仍然会有它们。我们注意到QEM可以在拉链式合并之前独立应用于每个三角形，同时直接保留每个三角形的边界，类似于局部/全局简化。我们选择不这样做，因为我们发现对每个三角形均匀应用终止标准会导致一些三角形被过度简化，而其他三角形被简化不足。由于密度不均匀，这会导致许多高值顶点，从而使全局简化步骤变慢，最终网格质量较差。3.4 重新网格化结果我们的结果有两个部分，一部分是将纹理转移到顶点颜色，另一部分是针对具有顶点颜色的网格的下游应用。我们首先展示纹理感知重新网格化的结果，然后描述纹理感知的几何处理方法和结果。每种重新网格化的额外结果在补充材料中展示。重新网格化评估的度量标准。评估带纹理的重新网格化的标准方法是从多个视角渲染网格，并评估原始网格和重新网格化结果之间的像素级差异 [Hasselgren等人，2021；Chen等人，2003]。虽然这对于逆向渲染很有用，但完全遮挡的区域对度量标准没有影响，而相机内参和外参、着色和相机位置等参数会影响结果。因此，我们使用一个处理遮挡区域且没有参数的度量标准。具体来说，给定两个具有顶点颜色或带有UV的纹理的网格，我们在两个网格上采样点并找到另一个网格上几何上最接近的点。然后网格之间的距离就是最近点对之间的纹理值差异。这提供了几何和纹理差异的联合度量，因为如果几何或纹理有所不同，度量标准会增加。我们找到最接近的几何点 ∈R3，而不是同时考虑几何和纹理 ∈R3+C，因为对于带纹理的网格来说，找到这种对应关系很困难，因为纹理变化是任意的。最初，我们尝试在两个具有相应纹理的网格上密集采样点，并使用Chamfer/Hausdorff距离来计算两个着色点云之间的距离，但由于维数的诅咒，即使在高采样率下也发现这种方法很嘈杂。相比之下，几何上接近的点之间的纹理差异是一个一致且有意义的度量标准，即使在较低的采样率下也是如此。重新网格化比较。并不明显的是，所描述的重新网格化方法比细分输入网格更好。我们通过将我们的方法与图8中的1到4级细分进行比较来证明这一点。对于这个模型，输入网格的三角形很细长，细分无法捕捉到纹理。通过使重新网格化依赖于纹理参数化（如双重和精确重新网格化），纹理得到了很好的保留，同时顶点数量减少。输出精确网格开始时有1200万个三角形，输出双重网格开始时有935万个三角形，两者都被简化为100万个三角形。这清楚地说明了为什么细分不足以准确地将顶点颜色采样到网格表面。图8. 精确重新网格化和双重重新网格化与简化后的比较，与输入网格的5级1到4级细分进行比较。尽管面数几乎是原来的9倍，但由于细分不依赖于UV，纹理并没有被很好地捕捉到。Maxemilian Roberts (OfficeBot)。细节级别比较。使用顶点颜色的网格简化允许控制网格分辨率与视觉质量。我们在图9中可视化了不同网格分辨率与顶点颜色的关系。如图所示，重新网格化的密集网格有许多颜色相似的冗余顶点，因此在一定程度上细化对最终纹理的影响很小。然而，超过某个密度后，输入和输出之间的相似性会呈指数级下降（如右侧图表所示），因为没有足够的顶点来捕捉纹理。顶点无法表示纹理的点取决于纹理的复杂性；恒定颜色的纹理与具有高频细节的纹理相比没有限制。图9. 在使用双重重新网格化重新网格化的相同网格上比较不同简化级别。未简化的重新网格化以四边形为主且密集，随着简化的进行，顶点移动以适应纹理。直到顶点不足以捕捉纹理时，纹理才变得不准确，如图所示，当面数超过某个数量时情况会显著恶化。Sam Feng (Japanese Tea Cup)。运行时间。精确重新网格化和双重重新网格化的运行时间（第3.1节和第3.2节）取决于两个变量：纹理映射使用的像素数量和输入面的数量。另一方面，直接重新网格化不依赖于纹理分辨率。通常，输入面的数量对运行时间的影响大于精确和双重重新网格化的像素数量，详见附录中的表1。在较小的网格上，重新网格化在不到一秒内完成；而对于具有大纹理的较大网格，重新网格化可能需要30秒。额外的实验。我们还在补充材料中包括了额外的实验和消融研究，包括与即时网格、自适应重新网格化、桥接面简化和图像调整的比较。4 纹理感知的几何处理给定一个具有顶点颜色和位置的密集网格，使用UV映射和纹理无法完成什么？我们展示了多种结合顶点颜色的几何处理任务，并从中受益。此外，我们展示了如何利用先前关于使用网格拉普拉斯算子的微分几何的工作来轻松整合纹理。对于每种方法，我们在补充材料中展示了额外的结果。我们的实现可以在https://github.com/JulianKnodt/texture_to_vert_colors获取。4.1 图表分割平面与可展开聚类。图表聚类是将表面划分为一组每个都同构于圆盘的图表的问题，这些圆盘可以展平到平面上。之前的图表聚类工作使用特征值来测量变形 [Zhou等人，2004] 或二次曲面来分割输入的平面区域 [Garland等人，2001；Zhang等人，2012]。实际上，艺术家仍然手动分割网格，因为自动方法会产生许多与艺术家预期不符的图表和边界。此外，自动方法侧重于最小化面之间的法线偏差 [Sander等人，2003]。我们改变了使用的度量标准，采用Stein等人 [Stein等人，2018] 的能量度量，并将其整合到Garland等人 [Garland等人，2001] 的方法中。为了分割平面图表，我们改为测量第二小的特征值而不是最小的特征值。具体来说，对于每个面Fi，我们存储面积加权的协方差矩阵Ci=area(Fi)NiNi?，当合并两个图表时，我们将它们的协方差矩阵Ci+j=Ci+Cj。在每一步中，我们合并特征值增加最小的图表对，或者相关特征值最小的图表对。这个选择在选取最小增量和最小化最大特征值之间切换：Ci=UiΣiVi?Eigendecompositionλi={min(Σi)min(Σi?min(Σi))如果可展开如果平面Costgeom(i,j)=λi+j?(λi+λj) λ的最小增量OR=λi+j 最小化最大λ (1)所有对的Costgeom(i,j)存储在一个优先队列中，图表合并直到达到用户指定的最大成本或目标数量的图表。分段常数颜色聚类。为了将纹理纳入图表聚类，我们借鉴了Knodt [Knodt等人2025]的方法：当合并多个图表的几何误差相似时，我们合并平均颜色更接近的图表。当|Costgeom,a?Costgeom,b|与标准图像处理相比，纹理处理可能需要考虑不同区域的缩放、接缝和旋转区域，这使得传统方法难以应用[Prada等人2018年，Richardson等人2023年，Cao等人2023年]。相比之下，除了纹理合成方面的工作外，关于顶点颜色的研究很少[Turk等人2001年，Wei等人2001年]。这是因为大多数网格使用的UV参数化的几何分辨率比目标纹理的分辨率要粗糙。通过使用顶点颜色重新网格化，现在可以在网格表面上进行各种纹理处理。我们测试了三种不同的应用：边缘检测（图像处理中的经典操作）、用于去除图像噪声的纹理平滑处理以及用于风格化和打印的抖动处理。4.3.1 边缘检测。我们复制了Canny边缘检测[Canny 1986年]，用网格拓扑操作替换了依赖于离散像素邻域检查的操作。Canny边缘检测有五个步骤：高斯平滑、梯度计算、梯度幅度阈值处理、双阈值处理和滞后处理。首先，我们用基于高斯核的相邻顶点之间的顶点颜色扩散来替换高斯平滑：w(Vi→Vj)=1/σ2πexp?(?1/2σ2‖Vi?Vj‖22)。然后，我们用每个顶点和每个面的梯度来替换每个像素的梯度计算，使用以下公式：[v0?1v1?1v2?1n?0][?LLoffset]=[L0L1L20]（6），其中Li是顶点i的亮度值，vi是顶点i的位置，n是三角形的法线[Hoppe 1999年]。每个顶点的梯度是相邻三角形梯度的面积加权总和。然后，对于每个顶点，我们抑制在正负梯度方向上小于任何其他顶点梯度的梯度。双阈值处理和滞后处理保持不变，只是我们检查了顶点的邻域。修改后的Canny边缘检测的完整算法如算法6所示。作者只知道一项关于网格纹理边缘检测的工作，该工作首先将网格重新网格化为规则的四边形网格，然后直接应用卷积运算符来检测边缘[Huang等人2023年]。这项先前的工作不能保证纹理能够准确地转移到四边形网格上，没有考虑四边形的不规则性，并且需要流形性，但与我们方法的精神相似。对于我们的方法，我们不要求输入网格只包含四边形，因此我们不使用卷积，这与先前的工作不同。结果。我们在图14中比较了修改后的Canny检测在面颜色上的效果，并将其与UV空间中的Canny边缘检测和渲染图像中的Canny边缘检测进行了比较。在UV纹理空间中计算边缘会错过一些特征，例如右边的蝴蝶翅膀，并且噪声较大。这部分是由于纹理本身散布着许多图案。屏幕空间边缘检测输出干净的线条，但不能保证在不同视角下的一致性。在对平均面颜色进行边缘检测时，可以获得良好的结果，特征被捕获且噪声较少。图14. 在顶点颜色上、UV空间中以及直接从渲染的网格上对老虎蝴蝶进行边缘检测的比较。ffish.asia / floraZia.com（普通老虎蝴蝶，Salatura genutia）。4.3.2 纹理平滑。之前的工作[Prada等人2018年，Zhang等人2019年]已经为带有UV的网格表面构建了自定义的迭代求解器来平滑纹理。相比之下，通过将颜色提升到网格的顶点上，可以应用拉普拉斯算子来平滑顶点颜色。具体来说，顶点颜色使用以下公式进行平滑：MVc′=(I+λsmoothingL)Vc（7），其中M是质量矩阵，I是单位矩阵，λsmoothing是纹理平滑的程度，L是拉普拉斯算子。如第4.2节所述，在拉普拉斯算子L中加入顶点颜色距离，使得该运算符具有双向性，并在去除噪声的同时更好地保留了原始纹理的特征。结果。我们在图15中比较了使用λsmoothing=0.05（公式（7）和平滑纹理的λ=16（第4.2节中的纹理权重）的平滑效果。平滑UV纹理会在UV接缝处引入伪影，如插图所示，但其他方面产生的输出与仅使用几何拉普拉斯算子的效果相似。将纹理纳入拉普拉斯算子中可以更好地保留纹理的边缘，例如叶子上的叶脉。图15. 不同纹理平滑方法的比较，首先是直接在纹理图像上进行平滑，然后是在网格表面直接平滑顶点颜色。通过将纹理纳入拉普拉斯算子（第4.2节），可以更容易地保留纹理的边缘。Orpind（旧茶壶）。抖动。我们将抖动视为一种艺术任务，在补充材料中进行了展示。纹理面抖动产生的结果与UV空间中的抖动相似，因为输出网格的分辨率取决于每个三角形的纹理分辨率。与其他表面纹理处理方法不同，如何衡量抖动的“改进”并不完全清楚，因此在补充材料中包含了额外的比较。4.4 矢量场设计。最后，我们考虑使用纹理和纹理梯度来构建向量场。之前的工作侧重于通过自定义和显式的用户交互来构建场[Fisher等人2007年，Praun等人2000年，Turk等人2001年，Ray等人2008年，Jiang等人2015年，Zhu等人2025年]。相反，我们从纹理中提取隐式向量场，而无需额外的交互。为了在网格上表示向量场，我们存储基于亮度变化的每个顶点的方向d∈R3，d=?L，L=0.299R+0.587G+0.114B。这与一些之前的工作不同，那些工作在复杂的切平面上表示向量场。我们将这个生成的场作为初始化传递给下游应用程序[Kopf等人2007年，Huang等人2018b]。重新网格化。重新网格化使得边缘流大致对应于纹理梯度，使像素能够更紧密地对齐面方向，从而提高mip映射的质量，并减少对高分辨率纹理的需求。为了演示用于重新网格化的纹理梯度场，我们修改了Instant Meshes [Huang等人2018b]，使其能够接受任意方向场，而不是随机初始化。Instant Meshes首先构建并优化一个“方向场”，来指定输出网格的边缘流。Instant Meshes根据外部平滑能量通过随机迭代过程平滑其方向场，这与之前的工作基于内部平滑的方法不同[Ray等人2008年，Bommes等人2009年]。然后，优化顶点的整数位置场，并从有效边缘中提取输出网格。我们通过用以下方式修改Instant Meshes来处理纹理梯度场：dold∈R3=N(μ=0,σ=1)，dˉold=dold‖dold‖2，dnew=?L（8），其中?L是每个顶点的方向，而不是每个颜色通道的梯度。由于在解线性方程时可能存在数值不稳定，方程（6）中的梯度计算可能会导致小面的梯度很大，因此这里使用有限差分来计算?L：?L(vi)=∑vadjs.tvadj,vi∈fiL(vL)?luma(vi)max(‖vadj?vi‖2,1×10??）（9）。此外，Instant Meshes中的方向场平滑不保留任何初始设置。为了保留输入梯度，在优化过程中，所有幅度大于阈值的梯度：dnew,i>2.5N∑j‖dnew,j‖2在优化期间被锁定，并在最后进行归一化，从而更紧密地保留输入梯度场。结果。图16将基于纹理梯度的向量场与由曲率定义的场进行了比较。我们在输入网格的表面上插值每个顶点的最大曲率。相比之下，每个面的颜色梯度定义得更稀疏，其中零梯度没有值。正如预期的那样，颜色梯度与曲率不对齐。图16. 使用最大高斯曲率与颜色梯度的向量场比较。颜色梯度仅在纹理变化的区域非零。Doverlock（Inari Fox Mask）。纹理? 重新网格化。我们在图17中展示了使用Instant Meshes重新网格化网格的纹理梯度场。为了构建纹理梯度场，我们首先像之前一样计算亮度梯度场。在顶部图中，日本纺织品“Wagara Nami”（日本波浪图案）在一个平面上重新网格化，边缘流保持相同的波浪图案。相比之下，随机初始化会导致一个半规则的网格。这展示了顶点颜色如何使重新网格化与表面纹理对齐。然后，我们通过重新网格化一个带有波浪图案的枕头来展示一个非平面示例。同样，重新网格化的布局大致遵循输入的波浪图案，如插图所示。图17. 上图：使用修改后的Instant Meshes [Huang等人2018b]在平面上重新网格化每个顶点的亮度梯度作为初始方向场。下图：使用梯度的亮度重新网格化一个有图案的垫子。提取的布局大致与纹理对齐。Caio Stange（简单波浪垫子）。我们展示了波浪图案，因为这种图案很清晰，具有较低的频率纹理梯度。我们发现，当使用高频纹理时，很难判断重新网格化的输出是否与纹理对应，尽管它与随机初始化有很大不同。条纹可视化。为了可视化从纹理生成的向量场，我们使用了关于表面等间距条纹图案的工作[Kopf等人2007年]，在补充材料中展示。我们首先像第4.3.1节中那样计算每个顶点的亮度梯度，并剔除任何幅度低于阈值的梯度。然后我们应用[Kopf等人2007]的方法，在表面上使用拉普拉斯-贝尔特拉米算子对这个场进行插值。然后使用这个平滑的梯度场来计算条纹的一维参数化，渲染的条纹大致对应于输入的方向场。由于平滑处理，高频纹理的梯度很容易丢失。5 讨论。所描述的重新网格化在概念上很简单，可以稳健且一致地将纹理移动到顶点颜色。保持三种重新网格化方法是有用的，以平衡纹理保留和几何密度。该过程不依赖于输入网格是否为流形或封闭的，因此适用于任何输入网格，适合预处理。推广到多边形网格。虽然我们描述了一种“每个三角形”的重新网格化方法，但我们的实现可以处理一些输入的多边形网格，特别是那些四边形与像素边界对齐的四边形网格，以避免不必要的三角剖分。这是通过在实现中仔细处理重心坐标来完成的。超出RGB颜色的顶点属性。虽然我们的实验集中在RGB颜色上，但其他属性（如法线图、高度、不透明度等）也可以重新网格化，补充材料中展示了一个示例。我们关注RGB颜色，因为它在现有的渲染引擎中得到了支持。顶点颜色与面颜色。我们使用顶点颜色而不是面颜色，因为面颜色的支持较少。面颜色还需要楔形，因为每个顶点位置对应多个颜色，使得后续处理变得困难。顶点颜色允许顶点位置和顶点颜色之间的一一对应，使得进一步处理更加直接。zip对应关系的鲁棒性。为了使重新网格化更加稳健，我们测试了不同的方法来跟踪边界循环顶点与输入面边缘之间的对应关系，发现依赖拓扑而不是外部距离效果更好。具体来说，如果输入面是退化的或细长的，它可以产生封闭的输出。这与从输入面的顶点创建到重新网格化面的顶点的单射映射是分开的，后者依赖于外部欧几里得距离。我们使用距离，因为只要选择了合理的顶点，具体选择并不重要。对于具有自相交UV的多边形面，这可能会导致问题，因为对应关系的缠绕顺序可能不再与输入匹配。精确重新网格化像素面时的失真。精确重新网格化在将顶点重新投影到三角形时可能会引入小的失真，因为我们需要每个输出像素面都是一个四边形。虽然可以通过将像素面设置为像素和UV三角形的多边形交集来放宽这一点，但这会使桥接构建更加复杂，因为像素面必须跟踪哪个边缘对应于哪个像素边界。实际上，失真并不明显，所以我们更喜欢保持每个面为四边形的简单性。替代颜色表示。我们选择完全在RGB空间中表示颜色，并使用亮度来测量颜色之间的距离。可能有一种替代的颜色空间，如CIELAB、HSV或CIE XYZ，可以提供更符合人类感知的距离度量[Abasi等人2020年，Zhang等人2006年]。改变颜色空间可能不会引入显著差异，但可能会提供一些边际改进。其他应用。虽然我们在本工作中展示了多种任务，但我们希望顶点颜色可以应用于其他几何处理领域，例如风格化[Huang等人2018年，Liu等人2021年，Liu等人2019年，Sloan等人2001年]、去色[Schmidt等人2006年]、使用细分技术的实时技术[Doggett等人2000年，Fisher等人2009年，Niessner等人2016年]等。此外，大量的图像处理算法也可以适应表面纹理，如去噪、光谱图像处理以及几何和纹理的傅里叶分析[Lévy等人2010年]。由于在这种表示方法中几何和纹理是双射关联的，因此它为许多以前难以实现的算法打开了大门。深度学习是另一个未在本工作中探讨的应用领域。仅基于几何的神经网络之前已经被研究过[Liu等人2020年，Sharp等人2019年，Maruani等人2024年，Li等人2024年]。这些方法没有结合纹理，而结合纹理的数据驱动方法可能会开启新的可能性。

多分辨率适应性。我们实现的重新网格化允许通过直接重新网格化来适应恒定颜色。也可以为每个三角形替换不同的纹理分辨率，但这不在我们的研究范围内。这对于视点依赖的细分可能很有用，但我们将其留给未来的工作来实现。同样，也可以先将图像分割成超级像素[Moore等人2008年，Li等人2015年]，然后将超级像素提升到网格上，从而在不依赖QEM简化的情况下调整输出网格的几何形状。

**局限性**：
1. **将结果传输回输入网格**：我们实现的一个局限性是，我们没有提供一种方法将任务的结果传输回原始网格。将属性传输到网格或从网格传输出来可能取决于具体的任务，例如可以通过光线投射[Engel等人2019年]或可微渲染[Hasselgren等人2021年]来传输纹理。对于UV参数化、分割等其他不太明确的情况，可以从原始网格创建一个双射映射，因为带有顶点颜色的重新网格化表面的顶点是从每个输入面采样的，简化可以使用延长算子[Liu等人2021年]。对于UV参数化，双射关系不足以传输UV信息，但可能允许传输例如Sander等人[2002年]提出的更精确的集成度量张量的信息。通过延长提供双射映射也可以在不使用光线投射的情况下实现纹理传输。
2. **实时渲染的挑战**：我们的表示方法对于实时渲染来说不太有用，因为它产生的三角形数量比输入的更多。由于结果顶点颜色网格更加密集，需要渲染更多的三角形，从而导致性能下降。另一方面，带有顶点颜色的网格可能比原始网格和纹理使用更少的内存，因为没有空洞空间，并且纹理可以被压缩。
3. **退化面**：重新网格化的另一个缺点是它会产生几乎退化的面，如桥接面或拉链面。对于需要干净几何形状的算法来说，这会造成问题，例如在渲染过程中，这些面可能会显示为小斑点。这些面通常在简化过程中被移除，但我们无法保证它们一定会被完全移除。
4. **重新网格化输出的缠绕顺序**：控制从对偶和精确重新网格化得到的面的缠绕顺序需要仔细实现，因为翻转的UV可能导致输出具有相反的缠绕顺序。对于测试的应用来说，错误的缠绕顺序并不重要。因此，我们的实现没有处理不一致的缠绕顺序，但我们构建了下游应用程序以使其能够适应这种情况。
5. **矢量场密度**：之前的矢量场研究产生的矢量场是平滑的。相比之下，使用纹理产生的矢量场会有剧烈的变化，包含许多奇点。之前的研究中使用的平滑方法往往会破坏原始梯度中的剧烈变化，我们在Kn?ppel等人[Kopf等人2007年]的研究中发现了这一点。由于之前的研究旨在生成变化缓慢的平滑矢量场，因此很难捕捉到如Instant Meshes[Huang等人2018b]或Surfaces上的条纹[Kopf等人2007年]等应用中的高频变化。这些应用输出均匀分布的 Quad 布局和条纹，但纹理图案相当不均匀。处理不均匀的矢量场可以更好地捕捉纹理梯度场的输出细节。

**结论**：
本工作描述了一种适合将图像纹理提升到网格上的重新网格化方法，使其适合能够考虑纹理的几何处理。然后，通过使用顶点颜色作为纹理而不是图像和UV坐标，展示了多种结合几何和纹理处理的不同任务，包括聚类、表面参数化、纹理处理和矢量场处理。我们希望这项工作能够激发对纹理和几何处理融合的深入研究，并有助于弥合几何处理与结合了几何和纹理的实际应用之间的差距。