一种高效的指数和近似方法，用于求解分数阶微分方程中的幂律核函数

《Mathematics and Computers in Simulation》：An efficient exponential sum approximation of power-law kernels for solving fractional differential equations

　　

雷努·乔杜里（Renu Chaudhary）|凯·迪特赫尔姆（Kai Diethelm）|阿夫辛·法拉哈迪（Afshin Farhadi）|弗雷德·A·福克斯（Fred A. Fuchs）

摘要

在这项工作中，我们提出了一个全面的框架，用于近似表示弱奇异幂律核函数。$t^{\alpha -1}$' role="presentation">$t^{\alpha ?1}$该核函数用于分数积分和微分算子。其中，$\alpha \in (0,1)$' role="presentation">$\alpha \in (0,1)$以及$t\in [\delta ,T]$' role="presentation">$t\in [\delta ,T$我们使用指数函数的有限和来近似这个核函数。这种近似方法首先将指数函数代入幂函数的拉普拉斯变换中，然后应用梯形法则来近似得到的积分。为了确保计算的可行性，积分极限被截断，从而得到核函数的有限指数和表示。与早期的方法不同，我们预先指定了允许的计算成本（以指数函数的个数来衡量），并最小化了近似误差。此外，为了在保持准确性的同时降低计算成本，我们提出了一种基于Prony方法的两阶段算法来压缩指数和。压缩后的核函数被嵌入到Riemann–Liouville分数积分中，并用于求解分数微分方程。为此，我们讨论了两种解决方案策略：（a）基于分段常数插值的策略；（b）将原始分数微分方程转换为了一阶常微分方程（ODEs）的系统。这种重新表述使得问题可以通过标准ODE求解器以较低的计算成本来解决，同时保留了指数和近似的准确性优势。最后，我们应用所提出的策略来求解一些众所周知的分数微分方程，并通过数值结果展示了这些方法的优点、准确性和收敛阶数。