12年级学生的数学认知结构：一项关于性别差异和计算能力的混合方法概念图研究

《Frontiers in Psychology》：Mathematical cognitive structures in Grade 12 students: a mixed-methods concept map study of gender differences and computational ability

　　**摘要**
本研究采用混合方法的研究设计，主要依赖于定量分析，同时结合定性分析作为补充方法。共评估了368份由12年级学生制作的概念图，使用了总命题评分法、Novak的经典结构评分法和新结构评分法。本研究旨在探讨12年级学生的数学认知结构特征，并考察性别差异以及不同数学计算能力水平之间的差异。研究选取了中国北京和山东省四所学校中的189名12年级学生，以序列和三角函数为主题进行概念图绘制测试，排除无效样本后，共有184名学生参与研究。研究发现，12年级学生的数学认知结构主要集中在第二到第五个层次之间。大多数学生没有形成交叉链接，仅有少数学生表现出线性结构。通过对学生概念图中不同概念和方法出现频率的统计分析，发现学生在序列和三角函数主题上对关键概念和方法的理解存在显著差异。学生在数学认知结构得分上存在性别差异（p < 0.001），女性的得分略高于男性（序列：Cohen’s d = 0.38；三角函数：Cohen’s d = 0.19）。数学计算能力不同的学生在认知结构测试得分上也有显著差异（p < 0.001），高能力组 > 中等能力组 > 低能力组。

**引言**
认知结构是学生头脑中知识的组织、处理和存储形成的框架，学习和问题解决依赖于良好的认知结构（Sweller, 2011; Paas et al., 2003）。相关研究表明，学习成果不仅取决于知识的数量，还取决于知识在认知系统中的组织方式及其可检索性（Chi, 2009; Sweller, 2011; Mayer, 2014）。当知识以有意义的方式组织并整合时，学习效果和知识保留水平会显著提高。换句话说，作为知识组织的核心载体，认知结构在信息检索、整合和迁移中起着关键作用，直接影响学习表现和问题解决能力（Richardson et al., 1996; Schwartz and Bransford, 1998; Bransford et al., 2000; Ericsson, 2006）。根据意义学习的理论，现有的认知结构有助于新命题的吸收，促进概念之间的联系，并推动新概念的发展和整合（Ausubel, 1966; Ausubel, 2012; Gomes et al., 2011）。Novak及其同事扩展了意义学习的概念，并开发了概念图法来评估认知结构。与其他评估方法（如测试和诊断性访谈）不同，概念图法要求参与者根据他们对自己知识库中存储的概念及其相互关系的理解来绘制概念图，从而反映其认知结构的特征（McClure et al., 1999）。因此，概念图被认为是一种有效且方便的认知结构评估工具（Fenker, 1975; Novak et al., 1983; Evans and Jeong, 2023）。通常，概念图作为评估方法时有两种方法：定性（整体性）和定量（Strautmane, 2012; Watson et al., 2016; Ruiz-Primo, 2004; Richmond et al., 2014）。整体性方法基于专家对结构质量、层次结构和形式的总体判断（Hay et al., 2008; Jablokow et al., 2015; Kinchin et al., 2000）。定量方法旨在通过使用客观指标（如概念数量、连接密度和层次关系）来克服专家的主观性（Hay et al., 2008; Anohina and Grundspenkis, 2009）。

数学学习不仅与情感和背景因素有关，还受到认知因素的影响（Lepore, 2024; Amalina and Vidákovich, 2023）。具有良好数学认知结构的学生能够更快、更灵活地检索数学知识，从而解决问题（Yang K. et al., 2018; Yang Z. et al., 2018）。现有研究已经关注了数学认知结构中的许多元素，其中概念知识和程序知识不仅是数学能力发展的核心组成部分，也是影响认知结构质量的重要因素（Anderson, 1996; Mat Zuki et al., 2024）。概念知识强调知识片段之间的联系网络，而程序知识强调解决问题的操作步骤和规则执行（Goldman and Hasselbring, 1997; Crooks and Alibali, 2014; Horrocks and Shearman, 2025）。计算能力指的是学生在数学问题解决过程中准确高效地进行算术计算、应用程序规则和完成多步骤计算的能力。它反映了学生对概念知识和程序知识的掌握和应用程度（Fuchs et al., 2008; Kikas et al., 2016）。因此，作为连接这两种知识类型的重要桥梁，计算能力在认知结构的形成和功能中起着关键作用。计算能力较高的学生能够更有效地检索和协调相关知识单元，从而降低认知负担，促进概念知识和程序知识在认知结构中的整合（Sweller, 2011; Paas et al., 2003）。因此，计算能力不仅反映了学生的知识掌握水平，还在一定程度上调节了认知结构的组织及其在问题解决中的表现。在特定的研究背景下，一些研究者使用“概念网络”对数学中的重要知识进行节点级分析，将知识的重要性转化为可量化的结构特征（Cao and Wu, 2025），从而为揭示数学知识结构的特征提供了定量途径。进一步的实证研究分析了大学生的微积分概念网络，发现具有较高认知结构的学生网络中存在更直接、更紧密的联系（Yang K. et al., 2018; Yang Z. et al., 2018）。现有研究已经证实，认知结构对理解数学概念的能力有直接的积极影响（Suharto and Widada, 2019）。然而，这些研究主要集中在大学生群体上，主要探讨了认知结构的特征以及概念图干预在教学中的效果（Evans and Jeong, 2023; Elhilal, 2025）。目前尚未有研究调查高中学生的数学认知结构特征或不同性别群体及不同计算能力水平之间的差异。此外，根据皮亚杰的认知发展阶段理论，高中生的认知结构正处于从具体运算向形式运算发展的阶段，需要更高层次的抽象和连续性，学习的关键在于形成良好的认知结构（Denervaud et al., 2021; Krieglstein et al., 2022; Lenski et al., 2024）。因此，有必要开展针对高中生的研究。一些研究者使用网络模块化建模分析了高中生的数学认知结构组织特征，发现高成就学生在知识连接和结构组织方面具有优势（Dandan and Zezhong, 2017）。其他研究者采用网络数据分析方法，选取成绩优异的10年级学生作为参与者，以三角函数为主题，研究在良好发展的认知结构中的数学知识组织（Yang K. et al., 2018; Yang Z. et al., 2018）。此外，在化学等其他学科中，也有研究探讨了不同成绩水平学生的认知结构（Zhou et al., 2015; Dou et al., 2026）。然而，现有的数学教育研究大多侧重于描述认知结构的整体特征，而没有进一步探讨影响其发展的关键因素，如性别和数学计算能力等群体变量。因此，在对高中生数学认知结构特征进行研究的基础上，本研究进一步探讨了不同性别群体及不同计算能力水平群体之间的差异。此外，序列和三角函数被广泛认为是高中数学中的代表性主题，对应于中学数学课程中的“代数”和“函数”两个核心领域（National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2000）。这些主题既包含丰富的概念知识（例如函数关系和变化模式），也涉及复杂的程序过程（例如递归、身份变换和评估），有效反映了学生整合概念知识和程序知识的能力。因此，它们被认为是典型和有代表性的（Rittle-Johnson et al., 2001）。因此，本研究选择序列和三角函数作为概念图构建的内容。

基于此，本研究采用总命题评分法（Yin et al., 2005）、Novak的经典结构评分法（Novak and Gowin, 1984）和新结构评分法（Tian, 2008）来探讨以下三个问题：
**研究问题1**：12年级学生的数学认知结构有何特征？
**研究问题2**：不同性别的12年级学生之间的数学认知结构是否存在差异？
**研究问题3**：不同数学计算能力水平的12年级学生之间的数学认知结构是否存在差异？

**方法**
2.1 **参与者**
本研究从北京和山东省选出了四所学校，根据学校地理位置的不同进行选择。每所学校随机选取了一个12年级班级作为研究样本。参与者年龄在17至18岁之间。由于这些学生已经完成了高中数学课程，因此认为他们能够充分反映高中生的数学认知结构。共有184名学生参与了调查。有效参与者的详细背景信息见表1。

**表1** 有效参与者的背景信息
| 学校位置 | 学校类型 | 性别 | 城市学校 | 县域学校 | 高成绩学校 | 平均学校 |
| -------- | -------- | ------- | -------- | --------- | -------- |
| | | 男性 | | | | |
| | | 8 | | 10 | | |
| | | 3 | | 10 | | |
| | | 8 | | 18 | | |
| | | 5 | | 8 | | |

2.2 **程序**
研究流程图如图1所示。认知结构的评估基于概念图。我们对选定的四个班级进行了概念图培训和实践活动。之后，学生在自主学习环节使用给定的高中数学内容独立制作了闭卷概念图。最终评估采用两位评估者的评分方法对概念图进行评分，评分结果取两位独立评估者的平均值。对于高中生数学认知结构的内容维度评估，采用了总命题评分法（Yin et al., 2005）。对于高中生数学认知结构的结构维度评估，采用了Novak的经典结构评分法（Novak and Gowin, 1984）和新结构评分法（Tian, 2008）。为了考察评估者间的可靠性，分析了两种方法下两位评估者的评分结果。总命题评分法的皮尔逊相关系数为0.889，Novak结构评分法为0.868，新结构评分法为0.857。所有相关性在0.01水平上均显著，表明所有方法的评估者间可靠性良好且评分一致性高。计算能力的评估使用了一套开发的数学运算能力测试题进行。具体的测试工具和详细的质量分析可以在补充材料的第1至6页找到。

**图1** 一个鱼骨图形式的流程图，展示了评估学生认知和计算能力的研究过程。该图包括概念图培训、项目构建、概念图构建、评分和质量评估等阶段。箭头依次连接每个阶段，最终得出解决三个研究问题的评估结果。

2.3 **材料**
2.3.1 **评分方法**
定性分析的优点是在数据不完整的情况下仍能对教师的课程知识结构和水平进行一定程度的评估。然而，其缺点是受人为因素影响较大，主观性较强，难以确保评估结果客观、公平和精确（Creswell and Plano Clark, 2018; Creswell and Poth, 2018; Merriam and Tisdell, 2016）。相比之下，定量分析的优势在于相对不受人为因素影响较大，弥补了定性分析的局限性，使评估结果相对客观和精确。但其缺点是对数据和信息的依赖性强；当数据不完整或不足时，评估结果可能严重偏离现实（Creswell, 2014）。因此，本研究采用了混合方法，定量分析作为主要方法，定性分析作为补充材料。定量分析主要用于考察高中生的数学计算能力水平及其数学计算的认知结构。在收集学生的概念图后，评估者使用三种不同的概念图评分方法对其进行定量处理。具体来说，根据表2-4中“备注”列对应的评分标准，评估者为学生概念图中的概念、连接词和命题分配了分数，然后对这些分数进行求和。所得分数被用作评估学生数学认知结构发展水平的基础。定性分析主要应用于数学计算测量的相关评估部分，包括构建评估框架、开发专家咨询的评估工具、与教师进行访谈以及分析学生的典型回答（见补充材料，第7-10页）。

表2 内容指标 描述 定量化
概念 概念识别的相关性和完整性 符合描述标准的概念数量作为分数
连接词 连接词使用的有效性 有效的连接词数量作为分数
命题 由两个概念节点和一个连接词构成的命题反映了学习者的理解准确性（包括通过交叉链接构成的命题） 含糊或不正确的表达 0
简单或不完整的表达 1
准确且有意义的表达 2

表3 结构指标 描述 定量化评分
命题 是否通过连接线和连接词表明了两个概念之间的意义关系，以及这些关系是否真实存在 每个有意义且有效的命题得1分
层次结构 概念图中的层次结构反映了学习者的知识分类水平；层次越多表示理解越深 每个有效的层次结构得5分
交叉链接 横向连接（交叉链接）的数量反映了学习者对领域知识的综合理解 每个有效且重要的交叉链接得10分；每个有效但整合性较低的交叉链接得2分
示例 作为概念示例提供的实例 每个正确的示例得1分

表4 类别 描述
辐条结构 一级辐条结构 每个分支得1分；求和后乘以1
二级辐条结构 每个分支得1分；求和后乘以2，再求和……
整个概念图中所有辐条结构的总分数

为了评估12年级学生数学认知结构的内容维度，采用了总命题评分方法（Yin等人，2005年）。总命题评分方法仅关注命题，不考虑结构组织。命题是概念图中最简单的结构单元。因此，这种方法在分析概念图时对评分者的工作记忆需求最小。具体来说，评分者只需依次检查概念、连接词和箭头来做出准确判断。在评估之前，评分者首先根据表2中“备注”列指定的标准对学生产生的概念图的内容质量进行了定性分析。然后根据学生数学概念图中的概念数量、连接词和命题数量进行评分。最后，计算总分以代表学生数学认知结构的内容维度。

由于概念图能有效表示知识结构，因此也需要相应地评估这一结构。因此，结构评分强调概念图的整体配置，命题起相对次要的作用。评分者需要根据自己的知识框架以及标准参考图的结构来解释学生的知识结构。对于高中生数学认知结构的结构指标的量化，采用了两种评估方法。第一种方法是Novak的结构评分方法。Novak提出了一个概念图的结构评分系统，包括四个次要指标组成部分，并提供了具体的评分程序（Novak和Gowin，1984年）。概念图结构评估指标的量化操作在表3中显示。第二种方法是新的结构评分方法（Tian，2008年）。这种方法主要通过汇总四个元素的分数来评分概念图的结构。叶节点的计算基于概念图中出现的节点总数。新结构评分方法的量化评分系统总结在表4中。

2.3.2 认知结构评分的案例研究 图2展示了一个概念图的示例。学生的概念图使用三种评分方法进行了评分和分析。更多原始数据图像和详细的评分示例可以在补充表4-6中找到。

图2 一个名为“序列”的概念图，展示了与数学序列相关的关键概念。该图包括表示方法、求和方法、算术和几何序列公式以及递归关系的分支。节点通过标记的链接相连，每个分支包含相关的公式和简要解释以说明概念关系。通过总命题评分方法获得的最终分数为51分。这名学生绘制的内容图包含了33个概念，表明该学生对“序列”主题的基本概念有很好的掌握。如图2所示，该学生非常熟悉序列的递归方法，并且能够基本表达“序列”中包含的知识结构。学生能够提供一些例子来解释相关概念，例如：总结五种不同的序列递归方法；写出算术序列和几何序列的不同表达式及其前n项的和的公式。学生在命题上得了12分，但有一些表达含糊或不正确的命题陈述，或者不准确或不完整的陈述。连接词可以反映学生对知识的理解深度。在图2中，学生使用的连接词数量不多，使得基本概念的层次划分相对简单，但概念内部更深层次的概念没有完全或清晰地掌握。

使用Novak的经典结构评估方法，该学生得分为52分。虽然展示了具有多个层次和众多示例的结构良好的概念图，但缺乏交叉链接表明对序列相关命题和概念关系的理解较强。然而，在理解概念和命题之间的结构联系方面仍存在不足，这从交叉链接部分的较低分数中可以看出。缺乏横向概念整合和综合应用知识的能力进一步突显了需要改进的地方。使用新的结构评分方法，该学生得分为83分。从辐条状结构内的类别数量可以看出，该学生总体上掌握了与“序列”主题相关的知识，并能够大致对不同层次的概念进行分类；然而，三级辐条状结构的数量相对较少。在公式应用方面，学生能够通过示例和变体来描述它们，并正确说明“序列是一种特殊的函数”。学生还提供了序列通项公式的基本描述和解决方法，并能够根据不同类型和解决方法对序列进行分类。总体而言，该学生对序列相关知识有较为全面的理解，并能准确掌握概念、表示方法、通项公式以及算术和几何序列的求和公式。但是，该图并未反映出对知识的差异化理解，表明理解深度仍然相对较浅。从辐条状结构和叶节点的数量来看，不同知识点之间的层次组织相对合理。学生还能够根据自己的理解清晰地整合和描述知识，形成了一个较为有序的知识结构。这表明该学生在常规学习中具有较好的概念理解能力，并参与了反思和总结。然而，相关知识显得有些零散，尚未形成系统结构。因此，“序列”主题内概念的网络化结构水平仍需进一步提高。

3 结果
在进行统计分析之前，使用SPSS 27.0检查了数据的分布特征。结果显示，所有变量的偏度绝对值都小于2，峰度绝对值都小于7，表明数据大致遵循正态分布。因此，使用独立样本t检验进行性别比较，并使用单因素方差分析（ANOVA）分析不同数学计算能力水平组间的差异，随后进行事后多重比较。此外，还计算了Cohen的d效应量以进一步评估组间差异的实际意义。

3.1 内容维度
关于12年级学生数学认知结构的内容维度，重点关注节点、连接词以及它们形成的命题。学生提供的节点有多种形式，包括数学概念、公式、规则、几何图形、总结方法和示例。在评估认知结构的内容时，特别关注节点的正确性和数量。

3.1.1 内容维度的整体表现
本研究使用三种概念图评分方法评估了12年级学生数学认知结构的内容，涉及序列和三角函数的主题。从表5可以看出，不同学生在特定内容主题上的总分差异很大。从性别角度来看，在两个内容主题上，女性的得分都高于男性。进一步使用独立样本t检验的分析显示，对于序列主题，t = -3.39（p < 0.001），对于三角函数主题，t = -3.56（p < 0.001），表明男性和女性在认知结构内容得分上有显著差异。这表明女性在特定主题上的认知结构内容得分显著高于男性。为了进一步测量差异的实际效应，计算了Cohen的d效应量，序列主题的Cohen的d为0.38，三角函数主题的Cohen的d为0.19，且效应量都相对较小。

表5 内容主题 组 初值 标准差
序列 总分 18 43 33.38 18.19
三角函数 总分 18 43 6.56 20.97

3.1.2 内容维度的具体表现
对于序列函数，分析了学生的认知结构内容，并总结了主要概念和方法（见补充表7、8）。分析揭示了学生对序列基本概念理解的以下特点：一方面，学生在呈现的基本概念数量上存在明显个体差异，最多达到40个。另一方面，常用概念的范围较广，如算术和几何序列的定义、前n项的和以及算术和几何序列的通项公式。这些概念在学生的概念图中出现频率较高，而使用较少的、范围较小的概念出现频率较低。关于解决序列问题的主要方法，学生的认知结构包括11种方法，每种方法在概念图中的出现频率都超过15%。其中，出现频率最高的方法是“错位减法法”（53.26%），而出现频率最低的方法是“累积乘法法”和“序列构建法”（15.76%）。
对于三角函数，也类似地分析了学生的认知结构内容，并总结了主要概念和方法（见补充表9、10）。关于基本概念，也存在显著的个体差异，最多概念的数量达到36个。常用的三角函数核心概念在概念图中出现频率较高，而较少使用的概念出现频率较低。关于解决三角函数问题的主要公式和方法，学生的认知结构包括10种主要方法，每种方法的出现频率都超过15%。最常使用的公式或方法是归纳公式（72.83%），而使用频率最低的是特殊值方法（15.21%）。3.2 结构维度 使用结构评分方法评估了12年级学生的数学认知结构，这些方法强调概念图的排列，同时将命题放在相对次要的位置。结构分析采用了两种评分方法：第一种是Novak的经典结构评分方法，第二种是新的结构评分方法（见表6）。表6评分方法内容主题组平均值标准差Novak的经典结构评分序列总体47.7815.32男性46.8717.53女性48.3914.07三角函数总体39.2813.32男性40.0716.53女性38.8912.07新的结构评分方法序列总体67.3125.32男性68.2527.14女性66.1324.7112年级学生数学认知结构的结构得分。3.2.1 结构维度的总体表现根据Novak的经典结构方法，学生在序列主题上的平均结构得分为47.78，标准差为15.42，女性得分高于男性。进一步使用独立样本t检验分析显示t = -0.76且p = 0.54 > 0.05，表明男女学生之间的得分没有显著差异。根据新的结构方法，学生在序列主题上的平均结构得分为67.31，标准差为25.32，男性得分高于女性。进一步使用独立样本t检验分析显示t = 0.58且p = 0.62 > 0.05，表明男女学生之间的得分没有显著差异。根据Novak的经典结构方法，学生在三角函数主题上的平均结构得分为39.28，标准差为13.32，女性得分高于男性。进一步使用独立样本t检验分析显示t = 1.106且p = 0.14 > 0.05，表明男女学生之间的得分没有显著差异。根据新的结构方法，学生在三角函数主题上的平均结构得分为46.35，标准差为18.42，女性得分高于男性。进一步使用独立样本t检验分析显示t = -0.75且p = 0.57 > 0.05，表明男女学生之间的得分没有显著差异。3.2.2 结构维度的具体表现首先，使用Novak的经典结构评分方法分析了两个内容主题的关键结构指标（见补充表11-16）。对于序列函数：1）命题：学生写的命题数量从2到12个不等。随着命题数量的增加，学生人数也有变化：从2到6个命题的学生人数增加，从6到12个命题的学生人数减少。最多有48名学生在6个命题时达到这一数量。2）层次结构：学生认知结构中的层次数量从2到5个不等。最常见的是3层（87名学生），8名学生达到了5层。3）交叉链接：159名学生没有交叉链接（86.41%），而25名学生有交叉链接（13.59%），表明大多数学生没有为序列创建交叉链接。对于三角函数：1）命题：命题数量从1到9个不等。学生人数从1到4个命题增加，从4到9个命题减少。最多有50名学生在4个命题时达到这一数量。2）层次结构：层次数量从2到5个不等，最常见的是3层（99名学生），8名学生达到了5层。3）交叉链接：167名学生没有交叉链接（90.76%），而17名学生有交叉链接（9.24%）。大多数学生没有为三角函数创建交叉链接。其次，使用新的结构方法分析了学生序列和三角函数概念图的关键结构指标，重点关注辐条状和线性结构（见补充表17）。对于序列主题：所有学生都达到了辐条状结构的第一层。153名学生（83.15%）达到了第二层，87名学生（47.28%）达到了第三层。5名学生（2.72%）呈现出线性结构。对于三角函数主题：所有学生都达到了辐条状结构的第一层。145名学生（78.8%）达到了第二层，73名学生（39.67%）达到了第三层。6名学生（3.26%）呈现出线性结构。3.3 不同数学计算能力水平12年级学生的认知结构表现本研究根据参与者相对于总平均值（M）和标准差（SD）的个别测试分数，将他们分为不同的计算能力水平。个体分数≥ M + SD的学生被归类为“高能力组”；分数在M ± SD范围内的学生被归类为“中等能力组”；分数≤ M - SD的学生被归类为“低能力组”，如表7所示。数学计算能力的总体平均分为490.61，标准差为96.44。表7组次维度平均值比例高能力组≥587.053418.48%中等能力组394.16–587.059551.63%低能力组≤394.165529.89%不同数学计算能力组的学生人数和比例。值得注意的是，基于M ± SD的分组代表了一种自然的分层方法，可能会增强组间变异性。3.3.1 12年级学生数学计算能力与认知结构之间的相关性分析为了研究关键变量之间的关系，进行了皮尔逊相关性分析。结果显示（表8），数学计算能力分数与总命题评分方法、Novak的结构评分方法和新的结构评分方法所得分数显著正相关（所有p < 0.05），表明计算能力与认知结构的各种指标之间存在一致的正相关关系。表8变量1234数学计算能力1总命题评分方法分数0.23*1Novak的经典结构评分方法分数0.76**1新的结构评分方法分数0.74**1相关性分析。**p < 0.01, *p < 0.05。3.3.2 不同数学计算能力水平12年级学生在序列认知结构中的表现如图3和表9所示，在三种序列认知结构评估方法中，数学计算能力高、中和低水平的学生分数呈总体下降趋势，从高能力组到中等能力组再到低能力组逐渐降低。单因素方差分析显示组间效应显著（p < 0.001）。事后比较进一步确认了所有组间的差异都具有统计学意义。具体来说，高能力组的学生表现优于中等能力组的学生，中等能力组的学生表现优于低能力组的学生。效应量结果（Cohen’s d = 0.72–4.40）表明这些差异不仅在统计上显著，而且在实际意义上也有意义，其中高能力组和低能力组之间的差异最为明显。图3条形图比较了低、中和高能力组在三种概念图评分方法下的分数：总命题、Novak结构和新的结构。分数随能力水平提高而增加，新的结构方法在所有组中始终获得更高的分数。误差条表示标准误差。表9测量比较平均差异pCohen’s d总命题评分方法分数高 vs 中等35.41<0.0013.50中等 vs 低6.42<0.0010.72高 vs 低41.83<0.0014.40Novak的经典结构评分方法分数高 vs 中等29.17<0.0012.15中等 vs 低13.13<0.0011.10高 vs 低42.30<0.0012.80新的结构评分方法分数高 vs 中等16.72<0.0010.85中等 vs 低22.78<0.0011.15高 vs 低39.50<0.0012.50数学计算能力组在序列函数方面的事后成对比较。3.3.3 不同数学计算能力水平12年级学生在三角函数认知结构中的表现如图4和表10所示，在三种三角函数认知结构评估方法中，数学计算能力高、中和低水平的学生分数呈总体下降趋势，从高能力组到中等能力组再到低能力组逐渐降低。单因素方差分析显示组间效应显著（p < 0.001）。事后比较进一步确认了所有组间的差异都具有统计学意义。具体来说，高能力组的学生表现优于中等能力组的学生，中等能力组的学生表现优于低能力组的学生。效应量结果（Cohen’s d = 0.58–2.20）表明这些差异不仅在统计上显著，而且在实际意义上也有意义，其中高能力组和低能力组之间的差异最为明显。图4条形图显示了低、中和高能力组在三种评分方法下的分数差异：总命题、Novak结构和新的结构。分数随能力水平和评分方法提高而增加，新的结构方法在所有组中始终获得最高分数。误差条代表标准误差。表10测量比较平均差异pCohen’s d总命题评分方法分数高 vs 中等21.17<0.0011.70中等 vs 低5.35<0.0010.58高 vs 低26.52<0.0012.20Novak的经典结构评分方法分数高 vs 中等12.65<0.0010.74中等 vs 低10.61<0.0010.88高 vs 低23.26<0.0011.40新的结构评分方法分数高 vs 中等24.95<0.0011.25中等 vs 低15.07<0.0010.95高 vs 低40.02<0.0012.10数学计算能力组在三角函数方面的事后成对比较。4 讨论概念图中的层次结构表明了绘图者对知识的分类程度；层次越多，对领域的理解就越深（Kinchin等人，2019）。概念图中的交叉链接或水平连接数量反映了绘图者对领域内知识的整合理解（Prasetya等人，2022）。本研究发现，高中学生的数学认知结构主要集中在2到5个层次之间。大多数学生没有形成交叉链接，很少有人表现出线性结构。这表明大多数学生对基础知识有相对扎实的掌握，但在概念和命题之间的关系结构方面不够熟练，还没有发展出系统全面的数学认知结构。一方面，这可能是由于高中数学内容的复杂性，使得学生在心中难以建立多个联系。另一方面，数学教师在日常教学中倾向于强调程序性知识和解决问题的技能，而忽视了概念间关系的构建，导致学生形成的认知结构相对简单（Kinchin等人，2019；Evans和Jeong，2023）。基于对内容维度的详细分析，研究发现学生在序列和三角函数主题中的关键概念和方法理解上存在显著差异。与之前的研究一致，学生的认知结构不仅与学习方法有关，还与个体认知能力等因素有关；因此不同的学生形成了不同的认知结构（Luchini等人，2024）。本研究揭示了数学认知结构内容得分存在显著的性别差异。女性学生在特定主题认知结构上的得分显著高于男性学生，尽管效应量相对较小。在数学认知结构的结构得分上没有观察到显著的性别差异。女性学生通常在课堂注意力、语言处理和学习参与度方面表现更好，这有助于概念知识的获取和表达（Zhang等人，2024）。这可以解释女性学生得分较高的现象。然而，数学认知表现中的性别差异通常是通过中介变量而不是直接影响知识结构来实现的（Alonso-Tapia和Ruiz-Díaz，2022），导致内容得分的效应量较小，结构差异也不显著。我们的发现与现有研究一致，表明性别在数学认知处理的核心机制上具有高度相似性。虽然性别可能在某些认知表现方面存在差异，但这些差异通常相对较弱（Boada和Cirino，2023；Zhang等人，2024）。本研究还发现，高能力的高中学生在认知结构评估中的得分高于中等能力的学生，而中等能力的学生表现优于低能力的学生，所有差异在各个能力组之间都具有统计意义和较大的效应量。这些发现与现有研究一致，证实了学生之间数学能力的分层现象，其中认知处理模式在不同能力水平上有显著差异（Xu和Qi，2022）。高能力学生在程序技能、策略选择和灵活性方面表现更优——这些能力有助于复杂知识结构的形成（Kele?和Yazgan，2025）。此外，数学能力强的学生通常在复杂任务中表现出更强的背景理解和信息整合能力（Sigus和M?damürk，2024）。观察到的数学能力差异主要归因于社会文化背景、学习环境和个人经历，而非性别因素（H?lscher，2026）。5 限制和建议这些发现对如何利用数学教学来促进学生认知结构的发展具有某些启示。首先，应关注学生数学认知结构的个体差异。教师应针对特定学生，从与其最近发展区相符合的任务开始，引导他们进行认知比较、组织和重构新旧知识。其次，有必要促进学生数学认知结构关键指标的发展。在教学过程中，数学教师首先应该提高学生对概念的准确理解；其次，引导学生将新知识与已有知识联系起来；最后，加强数学知识之间的关联，帮助学生构建自己的数学认知结构。在进行数学计算时，学生应该能够快速从自己的认知结构中提取相关的知识和方法，并找到解决问题的关键切入点。这项研究也存在一些局限性。首先，研究对象的来源是中国北京和山东省，这两个地区的教育水平相对较高，因此研究结果可能对某些发达地区的数学教育具有参考价值，但不足以普遍适用。其次，该研究虽然发现了高中生数学认知结构的特征，但没有深入探讨这些现象背后的原因。此外，本研究采用的是相关性分析方法，无法揭示因果关系。未来可以扩大研究对象的范围，比较不同地区学生的数学认知结构，并进一步探讨导致不同学生群体之间数学认知结构差异的原因，包括课程因素、教师因素和学生自身因素。

6. 结论
本研究使用三种概念图评分方法，分析了中国北京和山东省12年级学生的数学认知结构。研究结果表明，学生的数学认知结构层次主要分布在2到5个层次之间。大多数学生没有形成横向联系，只有极少数学生表现出线性结构。他们在关键概念和理解方法上的认知存在显著差异。女性学生在数学认知结构方面的得分略高于男性学生，且这种得分与数学计算能力呈正相关，呈现出“高能力组 > 中等能力组 > 低能力组”的分布模式。