利用基于代理的建模方法探讨血管重塑与肿瘤生长之间的关系

《PLOS Computational Biology》：Exploring the relationship between vascular remodelling and tumour growth using agent-based modelling

　　摘要
我们开发了一个多尺度基于代理的模型（ABM），以研究增殖的肿瘤细胞与周围血管之间的机械相互作用对肿瘤微环境（TME）的氧气供应、肿瘤生长动态及其对放疗反应的影响。我们的模型通过纳入血管壁与邻近肿瘤细胞之间的机械力导致的血管变形，扩展了现有的肿瘤球体生长模型。这些力产生有效的压力，使血管压缩，从而导致阻塞和修剪。这反过来又形成了缺氧的氧气环境，刺激了血管生成。我们模型的一个关键特点是处理肿瘤微环境中的机械细胞相互作用，我们用两种力来表示这种相互作用。第一种是斯托克斯阻力，它在ABMs中广泛用于表示对细胞运动的阻力。第二种是摩擦力，它考虑了由于细胞-细胞外基质（ECM）粘附的不断断裂和重新形成而产生的阻力。通过数值模拟证明了这种摩擦力的重要性。当斯托克斯阻力占主导时，压力梯度在组织中消散，血管压缩可以忽略不计。相比之下，随着摩擦力的增强，形成了更大的压力梯度，导致显著的血管压缩。我们进行了广泛的数值模拟，以研究控制血管重塑和摩擦的模型参数如何影响肿瘤的血管化，我们使用成对相关函数在空间上量化了这一点。这反过来又改变了氧气环境，并驱动了肿瘤形态的变化。最后，我们强调了在模拟肿瘤对放疗的反应时考虑这两种机制的重要性。我们观察到，血管重塑显著改变了肿瘤对治疗的敏感性和放疗后的再生能力。肿瘤再生特别受到血管重塑的影响，某些血管环境能够在放疗后迅速恢复，导致肿瘤快速再生。

作者总结
我们创建了一个基于代理的模型（ABM），该模型考虑了肿瘤细胞与相关血管之间的机械相互作用。该模型模拟了由于邻近肿瘤细胞的压缩而导致的血管阻塞和修剪；以及由于缺氧而产生的新血管的生长。将压力介导的血管阻塞纳入我们的ABM需要开发一种表示细胞-细胞外基质（ECM）粘附的摩擦力。通过数值模拟，我们展示了当忽略摩擦力时，压力梯度在组织中消散，血管压缩可以忽略不计。相比之下，随着摩擦力的增强，形成了更大的压力梯度，导致显著的血管压缩。我们进行了广泛的模型模拟，以研究由血管重塑引起的氧气环境变化如何影响肿瘤的生长动态和组成。我们进一步展示了血管重塑如何影响肿瘤对放疗的反应。我们发现肿瘤再生对血管重塑特别敏感，某些血管环境在放疗后能够迅速生长，加速肿瘤再生。

1. 引言
肿瘤包含多种细胞群体和细胞因子，它们与细胞外基质一起构成了肿瘤微环境（TME）。TME的组成因肿瘤而异，其演变受到组成肿瘤细胞、浸润的免疫细胞、基质细胞、血管和细胞外基质的影响[1–3]。这些物种之间的相互作用产生了不同的TME环境，这些环境可能具有强烈的促肿瘤效应[4]。在本文中，我们开发了一个多尺度模型，以研究增殖的肿瘤细胞与周围血管之间的机械相互作用对TME的氧气供应、肿瘤生长动态及其对放疗反应的影响[5]。肿瘤生长以两种重要方式影响血管。首先，快速肿瘤生长产生的机械应力增加了肿瘤细胞对血管的固体压力，导致血管被压缩和阻塞，减少了它们的血流量[6,7]。此外，如果血管中的流速在足够长的时间内保持较低，则血管可能会从血管网络中被修剪掉[8]。这些因素限制了血管向周围组织供应氧气的能力，导致氧气水平降低，从而减缓肿瘤生长[9]。这导致了第二个效应，即低氧水平（缺氧）刺激肿瘤细胞产生可扩散因子，如血管内皮生长因子（VEGF），促进新血管通过血管生成[10]，这是Hanahan和Weinberg提出的癌症特征之一[11–13]。新形成的血管通常是异常的，相关的血流量往往不稳定且高度不规则，这限制了它们满足肿瘤氧气需求的能力[14,15]。在本文中，我们开发了一个空间分辨模型，以研究肿瘤细胞与血管之间的相互作用对它们共同进化的影响。空间分辨的肿瘤生长数学模型分为两大类：连续模型，描述肿瘤密度的时间演变；以及基于代理的模型（ABMs），这些模型区分单个细胞，其演变由预定义的规则控制。ABMs可以分为基于格子的方法，包括元胞自动机[16–18]和细胞Potts模型[19–21]；以及非基于格子的方法，如基于节点的模型[22]和顶点模型[23–25]。混合模型结合了多种方法，例如将某些物种或区域视为离散代理（通常是细胞），将其他视为连续变量（通常是可扩散物种）。有关这些不同建模方法的综述，请参见[26–31]。我们提出了一个混合模型，该模型使用基于节点的非基于格子的框架来解析单个肿瘤细胞和血管，并使用反应-扩散方程来确定氧气空间分布随时间的变化。这种混合方法已在其他肿瘤生长模型中使用，因为它具有灵活性（例如，参见[22,32–40]）。我们的模型在这些方法的基础上，考虑了由肿瘤生长产生的高固体压力导致的血管压缩。这种压力导致血管壁变形，并驱动血管阻塞和修剪[6,7]。现有的考虑血管阻塞的ABMs通常关注血管在血流过程中经历的壁面剪切应力，并假设壁面剪切应力必须超过某个阈值，血管才能保持活力并支持血流：如果血管经历的壁面剪切应力在足够长的时间内低于阈值，则血管会被阻塞[41–48]。这种方法没有考虑由肿瘤生长产生的机械压力导致的血管重塑，而实验[49]和连续模型[50–54]表明这种效应很重要。我们ABM的一个关键特点是处理癌细胞与周围TME成分（如细胞外基质（ECM）和细胞外液）之间的机械相互作用。我们用两种不同的力来表示这些相互作用。第一种是斯托克斯阻力，它在ABMs中广泛用于表示由于细胞外液而对细胞运动的阻力。第二种是摩擦力，它考虑了由于细胞-ECM粘附的不断断裂和形成而产生的运动阻力。虽然其他模型通过显式建模细胞运动过程中的ECM及其变形来考虑运动阻力[55–57]，但我们的方法将这些效应视为摩擦和阻力的组合。通过数值模拟，我们证明了摩擦力对于产生足够大的固体压力梯度以驱动血管阻塞是必要的：当斯托克斯阻力占主导时，固体压力梯度在组织中消散，血管压缩可以忽略不计。相比之下，随着摩擦力的增强，形成了更大的固体压力梯度，导致血管阻塞。虽然我们的模型提供了一种研究固体压力对血管阻塞影响的机制，但我们注意到忽略了细胞外液中的流体压力的影响。我们通过基于早期工作的方法将血管纳入ABM，在这些工作中，血管被表示为体积可忽略的固定氧源[32,33,38,58]。在这里，我们将血管视为占据空间的代理，它们与肿瘤细胞相互作用。虽然血管位置是固定的，但血管壁的变形是由肿瘤细胞对其施加的力引起的；简单来说，血管壁两侧的压力差决定了它是被压缩（外部压力大于内部压力）还是膨胀（外部压力小于内部压力）。我们进一步假设血管横截面积的变化调节了向组织的氧气供应以及血管从系统中修剪的速率，这是一个简化近似，反映了不同大小血管之间的氧气张力差异。我们纳入了额外的规则来考虑由于缺氧而产生的新血管的生长。我们通过使用它来模拟放疗（癌症的一线治疗方法[59,60]）来展示在ABM中包含血管重塑和摩擦力的影响。我们展示了ABM中的额外建模假设对肿瘤对放疗反应的显著影响。由于放疗在临床中的普遍性，有许多关于肿瘤对放疗反应的数学模型（例如[61–66]）。我们遵循[58,62,67]，使用线性二次模型来模拟放疗。我们展示了即使这种简单的放疗实现，在我们的ABM中整合后，也会产生复杂的治疗和恢复环境。量化ABMs生成的复杂空间结构需要应用空间分析方法。在这里，我们使用空间和形状指标来描述和量化肿瘤的血管化和形态。空间统计方法通常用于天体物理学和生态学等领域，非常适合描述、量化和比较组织图像和ABMs中单个细胞的位置[68–72]。这些方法使我们能够理解肿瘤及其血管随时间的演变，以及与摩擦和血管效率相关的参数的变化。本文的其余部分结构如下：在下一节中，我们总结了我们的模型，重点介绍了它如何扩展了Bull & Byrne [32,33]的先前工作。然后我们描述了我们的模拟协议和参数扫描，接着介绍了我们用来量化模拟输出的指标。在结果部分，我们展示了摩擦力在使生长中的肿瘤内部压力积累方面的重要性，并表明仅用阻力来表示细胞-ECM相互作用时无法产生这种行为。我们进一步研究了压力积累对血管的影响，展示了摩擦力的强度和血管对机械应力的抵抗力如何调节肿瘤的血管化程度。由于肿瘤生长引起的血管重塑反过来改变了氧气环境，我们展示了如果肿瘤对氧气的需求超过供应，则可能导致形态变化，从而形成多叶肿瘤。最后，我们展示了机械介导的血管重塑影响肿瘤对放疗的敏感性以及肿瘤随后的恢复动态。

2. 方法
在本节中，我们概述了我们的基于代理的模型（ABM），该模型基于我们之前开发的模型[33]。在这里，我们重点介绍了模型的新元素（完整模型细节包含在S1文本中）。然后我们描述了我们的模拟和参数扫描协议，并介绍了用于表征和量化ABM生成的定性行为的方法。

2.1. 基于代理的模型
我们的ABM是在CHASTE（Cancer, Heart and Soft Tissue Environment）框架内开发的，这是一个开源的C++框架，用于模拟复杂的、多物理场的、多尺度的生物医学系统数学模型，包括癌症[73–75]。我们采用了一种混合方法来开发我们的2D ABM，使用基于非格子的、以细胞为中心的模型来解析位于动态血管组织中的单个肿瘤细胞。遵循[33]，每个细胞都有一个亚细胞周期模型，该模型决定了细胞是否以及何时增殖。增殖取决于氧气（），氧气被视为一种可扩散物种，其空间分布由反应-扩散方程建模（S1文本中的S1.1.1节），血管作为点源，肿瘤细胞作为点汇。如图1A所示，在正常氧条件下（），肿瘤细胞消耗氧气并增殖。在低氧条件下（），它们停止增殖，同时继续消耗氧气（S1文本中的S1.1.2节）。如果局部氧浓度变得太低（），则肿瘤细胞会坏死并死亡（通过S1文本中的S1.1.3节描述的过程）。肿瘤细胞在受到机械压缩时也会停止增殖，即当它们的面积小于目标面积的一定比例时。细胞通过它们的质心来物理表示，而与邻近细胞的机械相互作用则通过连接细胞质心的线性弹簧系统来建模。每个弹簧都有一个目标长度和阻力，分别代表细胞的未压缩直径和可压缩性。细胞会对邻居细胞施加力以维持其目标弹簧长度（见S1文本中的S1.3.1节）。图1B展示了细胞和血管对细胞施加的力是如何平衡的，并驱动细胞运动的（见S1文本中的S1.3.2节）。详细描述请参见S1文本。下载：PNG（较大图像）、TIFF（原始图像）。图1. 基于代理模型的关键机制示意图：(A) 肿瘤细胞（紫色）消耗由血管（红色）提供的氧气。肿瘤细胞的行为由局部氧浓度决定：在氧气充足的区域为“增殖型”，在氧气水平中等的情况下为“静止型”，当氧气过低导致肿瘤细胞因缺氧而死亡时为“坏死型”。(B) 细胞运动由作用在细胞上的力的平衡决定。这些力包括由于与邻近细胞物理接触而产生的弹簧力，以及阻碍运动的摩擦力和阻力。(C) 血管受到力的作用，并将这些力传递给邻近的肿瘤细胞。施加在血管上的总压力与其内部血管压力进行比较。这种压力差决定了血管半径的动态变化，使血管能够被机械压缩或扩张。(D) 血管的表型由其半径决定，而半径又取决于它所经历的局部细胞压力：在低压力下，血管是“健康的”。在受压情况下，血管会变得“阻塞”，其氧气供应减少。如果血管阻塞时间超过一定阈值，则会被修剪，不再作为氧气来源。缺氧会刺激血管生成，从而在同一位置形成新的血管以恢复氧气供应。https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1012967.g001

我们现在描述我们基于代理模型的新特性：血管重塑（包括阻塞、修剪和血管生成）；以及一种摩擦力，这种摩擦力使得肿瘤内部能够积累压力。

2.1.1 血管重塑
在[33]中，血管被建模为不占据空间的固定氧源。在这里，我们将其表示为占据空间的动态代理。为了简化，假设血管垂直于平面，因此我们将它们表示为圆形代理，其半径会根据环境线索而演变。下面，我们描述了血管如何根据其半径以不同的速率向组织供氧。然后我们描述了血管可能采取的不同表型，以及表型之间的转换如何解释血管修剪和血管生成。稍后我们将解释决定血管半径随外力变化的力平衡，见2.1.3节。

2.1.2 动态氧气供应
血管的半径决定了它向周围组织供氧的速率。氧气分布通过以下形式的反应扩散方程来建模：
\[ \text{氧气分布} = D \cdot \exp\left(-\frac{1}{2kt}\right) \cdot C_0 \cdot \left(\frac{C_1}{C_0 + C_2}\right) \]
其中正参数 \(D\) 和 \(C_1\) 分别代表氧气扩散系数和癌细胞消耗氧气的速率。衰减率 \(k\) 考虑了模型中未明确包括的细胞氧气消耗。在方程（1）中，我们假设血管内的氧气浓度是恒定的，归一化为1，并且第 \(i\) 条血管向环境供氧的速率与血管内外的氧气浓度差成正比，用 \(R_i\) 表示血管的最大供氧速率。我们引入了一个缩放因子 \(\alpha\) 来考虑供氧速率对血管半径 \(R_i\) 的依赖性。为了简化，我们假设 \(R_i\) 是 \(R_i\) 的线性增函数，形式为：
\[ R_i = \alpha \cdot R_i \]
其中参数 \(a\) 和 \(b\) 分别表示血管的最小和最大半径。我们通过对域边界施加无通量边界条件来闭合方程（1）。

2.1.3 阻塞、修剪和血管生成
我们区分了三种血管表型：健康型、阻塞型和修剪型。健康型和阻塞型是根据血管半径来确定的：
\[ \text{表型} = \begin{cases} \text{健康型}, & R_i > R_{\text{阈值}} \\ \text{阻塞型}, & R_i \leq R_{\text{阈值}} \end{cases}
\]
健康型和阻塞型的行为相似，都允许血管根据上述方式向组织供氧。血管也可以由于外力的作用而快速在健康型和阻塞型之间转换（见2.1.3节）。我们将阻塞型定义为那些被压缩到足以被修剪的血管。这被建模为如果血管阻塞时间超过某个阈值，则其表型会转换为修剪型。被修剪的血管是不可修复的损伤，被视为死亡并从模拟中移除。只有通过成功的血管生成，被修剪的血管才能恢复到健康型。我们通过两种条件将修剪的血管恢复到健康型：首先，必须在距离被修剪血管 \(D_{\text{angio}}\) 范围内至少有一个健康血管，新血管可以从那里生成；其次，候选位置必须长时间处于缺氧状态。这定义为 \(T_{\text{hypoxic}} > T_{\text{threshold}}\)，表示肿瘤细胞在缺氧刺激下产生血管生成因子（如VEGF）所需的时间。如果满足这两个条件，则血管每小时有 \(P_{\text{regrow}}\) 的概率重新生长。这些在S1文本的算法A中用伪代码进行了总结。血管表型及其之间的转换在图1D中进行了总结。我们注意到，在实践中，当一个血管被修剪时，周围的血管可能会经历血流增加；为了简化，当前模型忽略了这一效应。

2.1.4 肿瘤细胞力平衡
在现有的以细胞为中心的模型中，运动方程是通过平衡作用在细胞上的外力与斯托克斯阻力（Stokes’ drag force）来推导的，后者模拟了抵抗细胞运动的TME（肿瘤微环境）相互作用的净效应。关于施加的接触力的详细信息见S1文本的S1.3.1节。实际上，细胞与ECM（细胞外基质）相互作用的一个组成部分是粘附键的形成。这些附着将细胞固定到位，当施加的小力不足以打破这些附着时，细胞不会移动；只有当施加的力足够大以打破附着时，细胞才会移动。斯托克斯阻力没有考虑这一效应，我们用摩擦力来建模。如果 \(F_{\text{contact}} < F_{\text{friction}}\)，则施加的力被摩擦力完全平衡，细胞不会移动。在这种情况下，摩擦力对应于静摩擦力，参数 \(F_{\text{friction}}\) 表示极限摩擦力的大小。如果 \(F_{\text{contact}} > F_{\text{friction}}\)，则极限摩擦力无法平衡施加的力，细胞会移动。在这种情况下，我们假设有两个效应共同作用产生净阻力：细胞-ECM附着的持续形成和断裂，以及通过粘性细胞外液体的运动阻力。我们假设与细胞-ECM附着相关的阻力与极限摩擦力大小相同，并且方向与施加的力相反。与细胞通过细胞外液体的运动相关的阻力被建模为斯托克斯阻力；类似的阻力项已在其他基于代理的模型中使用[32–34,56,76]。结合这些力，我们写出经典的运动方程（4）如下：
\[ \text{运动方程} = F_{\text{net}} = F_{\text{contact}} - F_{\text{friction}} \]
（4）
（5）
其中 \(v_i\) 是细胞 \(i\) 的速度，\(d\) 是斯托克斯阻力的阻尼系数，\(F_{\text{total}}\) 是由于与邻居细胞的物理接触而作用在细胞 \(i\) 上的总力。忽略惯性项（过阻尼，粘性极限），方程（4）可以重新排列为：
（6）
方程（6）与基于节点的模型中通常使用的运动方程不同：它允许细胞在施加的力（\(F_{\text{apply}}\)）小于阈值时抵抗外力并保持静止。方程（6）使用前向欧拉方法在离散时间步长上求解，注意所有模拟在细胞到达计算域边界之前都会停止。

2.1.5 血管力平衡
血管阻塞是由于邻近肿瘤细胞的增殖产生的机械力压缩和阻塞血管而引起的。与上述肿瘤细胞类似，我们使用力平衡来推导由于接触力作用在血管上的运动方程（这些接触力的详细信息见S1文本的S1.3.1节）。与肿瘤细胞不同，我们模型中的血管不会移动，而是将施加的力建模为作用于并变形血管壁。我们假设血管变形是由外部固体压力 \(P_i\) 与内部血管压力 \(P_v\) 之间的差异驱动的。如上所述，我们通过它们的圆形截面和动态半径来建模血管，并进一步假设细胞围绕血管施加的平均力近似于血管所经历的固体压力 \(P_i\)。具体来说，设 \(N\) 是与给定血管相邻的细胞数量，\(F_j\) 是邻居 \(j\) 作用在血管上的力，我们可以将来自邻居 \(j\) 的压力贡献写为：
\[ F_j = \frac{N \cdot F_j}{L_0} \]
其中 \(L_0\) 是施加接触压力的细胞-血管界面的长度，\(P_v\) 是血管的位置，\(P_j\) 是邻居 \(j\) 的位置。我们假设每个细胞-血管界面的长度 \(L_0 = 1\)，因为在我们在使用的重叠球体框架中细胞边界定义不明确。我们还假设每个邻居的压力贡献沿血管边界均匀分布，因此假设作用在血管上的压力 \(P_v\) 是来自每个邻居的压力贡献的平均值：
（8）
方程（8）定义了我们如何模拟血管由于细胞间力而经历的机械压力。我们认识到可以使用其他方法来近似机械压力，但鉴于模型中的弹簧力如何转化为物理接触力的不确定性，我们认为这种简单的函数形式是合适的。外部压力 \(P_i\) 与内部压力 \(P_v\) 之间的差异产生了一个大小为 \(F_{\text{compress}}\) 或 \(F_{\text{expand}}\) 的力，用于阻塞或扩张血管。通过将这个力与阻尼系数 \(d\) 的阻尼力平衡，并假设最大血管半径为 \(R_{\text{max}}\)，我们推导出血管半径的运动方程：
（9）

2.1.6 放疗
我们的模型由于肿瘤细胞与周围血管之间的相互作用而产生异质性的氧气分布。我们通过模拟肿瘤对放疗的反应来展示这种异质性的影响，使用了一个简单的细胞死亡模型来描述肿瘤在放疗后的反应。我们关注由于放疗导致的细胞死亡，因为已知它对氧气水平敏感[65,66]。我们采用了一个简单的线性-二次（LQ）模型[62]来描述肿瘤细胞在单次放疗后死亡的概率。这个概率取决于放疗剂量、肿瘤的氧气状态和局部氧气浓度：
\[ P_{\text{death}} = \alpha \cdot \exp\left(-\frac{D_{\text{radiotherapy}} \cdot T_{\text{therapy}} \cdot \left(\frac{C_0}{C_1 + C_2}\right) \right) \]
其中 \(D_{\text{radiotherapy}}\) 是放疗剂量，\(T_{\text{therapy}}\) 是放疗持续时间，\(C_0\) 和 \(C_1\) 分别代表氧浓度。公式（10）考虑了静止、缺氧细胞由于缺乏DNA复制而降低的放疗敏感性[61]，而氧气修饰因子（OMF）考虑了由于缺乏生成DNA损伤自由基所需的氧气而降低的放疗效果[63]：
（11）
其中 \(C_0\) 是局部氧气浓度。在放疗模拟中，治疗在 \(t = 21\) 天时开始，并继续进行21天。任何被放疗杀死的细胞都被标记为“凋亡细胞”，并以与坏死细胞相同的方式死亡（更多细节见S1文本的S1.1.3节）。

2.2 模拟肿瘤
每次模拟都从在1毫米×1毫米的正方形域中心播种4个肿瘤细胞开始，该域内随机放置了400个“健康”血管，彼此不重叠。我们初始化了600个额外的位置，新的血管可以通过血管生成在那里生长；我们称它们为“修剪型”血管（见2.1.1节）。初始血管分布的随机性与其他模型中的随机部分不同，可以通过一个配置种子参数来改变，该参数与模型其余部分使用的随机种子是分开的。如果需要，这允许在相同的血管环境中进行随机模拟。合成肿瘤在42天的模拟时间内生长，或者直到肿瘤细胞数量超过10,000个。肿瘤的快照每10小时保存一次。我们通过执行四次参数扫描来分析模型的定性行为：两次在没有放疗的情况下进行的参数扫描，一次在有放疗的情况下进行的参数扫描，以及一次在没有放疗的情况下进行的广泛拉丁超立方采样参数扫描，我们用它来测试从集中参数扫描中得到的结果的稳健性。参数扫描在表1中进行了总结。下载：PNG（更大图像）TIFF（原始图像）表1. 参数扫描总结。https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1012967.t001

2.3. 空间分析
2.3.1. 肿瘤-血管对相关函数
我们使用交叉对相关函数（cross-PCF）来量化肿瘤重塑过程中血管的空间分布[71,72,77]。肿瘤-血管交叉PCF（）测量在距离r处观察到的肿瘤-血管对的数量，相对于在完全空间随机性（CSR）的零假设下预期的对数。我们定义以每个血管为中心、内半径为r和外半径为r+dr的环形区域，并考虑有多少肿瘤细胞落在这些环形区域内（见图2A）。设为以r为半径的环形区域与模拟域的交集面积，并定义一个指示函数（12），肿瘤-血管PCF定义为（13），其中{BV}是血管，{T}是肿瘤细胞，NB和NT分别是血管和肿瘤细胞的数量。这里，表示在半径r处肿瘤细胞和血管的共定位，而表示排除。实际上，方程13中定义的交叉PCF是在一系列离散的半径rk处计算的，其中r0=0。我们固定dr=1个细胞直径，并考虑最大半径r=100个细胞直径。下载：PNG（更大图像）TIFF（原始图像）图2. 交叉对相关函数的示意图。(A) 通过围绕红点绘制环形区域并计算落入环形区域内的蓝点数量来演示如何计算交叉PCF。(B, C, D) 将交叉PCF应用于合成数据集的示例。让红点代表血管，黑点代表肿瘤细胞，我们展示了三种基本的空间特征。(B) 完全空间随机性（CSR）。交叉PCF是平坦的（）。(C) 血管和肿瘤细胞的共定位。交叉PCF有一个峰值，其高度表示共定位的强度，其r值表示两种代理类型正相关的相互作用距离范围。(D) 血管和肿瘤细胞位置之间的负相关。这里，对于r<50，gBT<1，表示在这个长度尺度上肿瘤和血管点被排除。https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1012967.g002
为了帮助解释交叉PCF，图2B、C、D展示了三个合成数据集，涉及红色（代表血管）和黑色（代表肿瘤细胞）点及其交叉PCF特征。在完全空间随机性（CSR）下，红色和黑色点之间没有空间相关性（图2B），交叉PCF是平坦的，对于所有r都接近1。当黑色点围绕红色点聚集时（图2C），交叉PCF有一个峰值；其高度（）量化了与CSR预期相比观察到的对数增加的数量，其位置（）表示聚集最强的长度尺度。这样的交叉PCF特征表明在短距离内肿瘤-血管共定位增加，我们将其解释为血管存在于主要肿瘤质量中。在图2D中，黑色点在红色点周围稀疏，结果PCF对于r<50有g(r)<1。这样的交叉PCF特征表明血管被肿瘤排除。交叉PCF对于小r在我们的分析中很重要，因为它表示血管和肿瘤细胞的局部共定位或排除。因此，我们定义的平均交叉PCF值为：（14）

2.3.2. 肿瘤圆度
为了量化模拟肿瘤的形态，我们应用了一个简单的度量标准来描述肿瘤的圆度。首先，我们通过计算其形状[78]来确定肿瘤的边界多边形，其中临界参数为。这个多边形的圆度定义为：（15），对于圆形来说为1，随着椭圆的拉长趋于无穷大而趋于0。虽然圆度可以用其他方式量化[79]，包括偏心率和粗糙度[80]，但我们使用这个度量标准，因为它简单且易于解释，并且能够捕捉到提供肿瘤行为洞察的肿瘤形态变化。

2.4. 对放疗的反应
第2.1.4节中描述的放疗模型决定了哪些细胞会被杀死。为了量化其效果，我们使用两个指标。首先，我们测量，在模拟的辐射剂量下死亡的肿瘤细胞百分比。其次，我们记录TR，即肿瘤重新生长到辐射剂量应用前相同细胞数量所需的时间。用表示在期间杀死的细胞数量，用NR表示放疗前立即存在的活细胞数量，我们定义。恢复时间TR是肿瘤细胞数量回到NR所需的时间。如2.1.4节所述，模拟在治疗后继续进行21天，到那时所有肿瘤都至少重新生长到NR个细胞。为了理解TR的行为，研究放疗前后组织的血管系统如何演变是有用的。特别相关的是血管的氧容量，其定义如下：（16），其中{BV}是血管，缩放因子决定了血管i供应氧气的能力，如方程（2）所定义。

3. 结果
在本节中，我们展示了在我们的离格ABM中包含摩擦力可以使肿瘤内部积累压力。然后，我们研究了压力积累如何影响血管阻塞，并展示了血管和肿瘤细胞之间的动态相互作用如何影响肿瘤的生长动态和形态。最后，我们展示了血管重塑如何影响肿瘤对放疗的反应。

3.1. 模拟摩擦力使压力积累成为可能
我们首先考虑一个简单的模型，在这个模型中，一个压缩力被施加在100个细胞的1D链的左手边界。这个玩具模型的具体细节在S1文本的S1.4节中给出。我们比较了没有摩擦力时（图3A）和包含摩擦力时（图3B）积累的压力。下载：PNG（更大图像）TIFF（原始图像）图3. 摩擦力驱动肿瘤内部的压力积累。(A) 1D模拟，其中通过缓慢移动左边界从x=0到x=20来压缩细胞链，在没有摩擦力的情况下（）。在平衡状态下，所有细胞经历相同的压力。(B) 在A)中的模拟重复进行，但（所有其他参数保持不变）。在平衡状态下，靠近施加力的细胞比远离力的细胞经历更高的压力。与A)不同，力对距离施加力34个细胞直径以外的细胞没有影响。(C) 围绕单个血管的肿瘤细胞生长，直到肿瘤达到平衡大小。在16次重复实验中平均的血管上的平衡压力作为摩擦强度的函数绘制出来，表明在没有摩擦力的情况下，压力不会在簇的中心积累。(D,E) 我们的模型在没有（D）和有（E）摩擦力的情况下展示的肿瘤生长动态，所有其他模型参数保持在S1文本中表A指定的默认值。快照a-d显示了四个突出时间点的模拟；红色：血管，紫色：健康肿瘤，淡紫色：缺氧肿瘤，白色：坏死肿瘤。(D) 无摩擦力的模拟（），(E) 包含摩擦力的模拟（）。在没有摩擦力的情况下，血管由于肿瘤生长而承受压力，导致组织氧合度高，肿瘤生长迅速。当包含摩擦力时，压力积累导致血管阻塞，肿瘤内部形成缺氧核心，肿瘤生长缓慢。https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1012967.g003
图3A和B中绘制的压力分布显示，包含摩擦力允许在细胞链内部积累压力。在没有摩擦力的情况下（图3A），压缩力均匀地传递给链中的所有细胞，产生恒定的压力。当包含摩擦力时（图3B），压力在靠近左侧压缩边界的细胞内部积累，并随着与边界的距离增加而减小，最终达到一个恒定值，因此远处的细胞不会对施加的力做出反应。在第二个例子中，一群肿瘤细胞的生长由一个不受压力影响的单个血管支持，因此不能被阻塞。在这种情况下，肿瘤围绕血管生长，直到达到稳定的平衡大小。图3C显示了摩擦强度的值如何影响肿瘤中心血管上的压缩压力。在肿瘤达到平衡大小时，肿瘤中心积累的压力是的一个增加的、饱和的函数，表明包含摩擦力导致与肿瘤生长相关的压力积累。这些简单的例子说明了摩擦力可能如何影响模拟组织中的压力分布，在图3D、E中我们展示了这如何影响肿瘤生长动态。图3D、E展示了典型的模拟，其中肿瘤在血管环境中播种，在没有（D）和有（E）摩擦力的情况下。在图3D中，我们固定。压力在细胞中均匀分散，不会在肿瘤内部积累。结果，大约23天后形成了一个包含大约10,000个细胞的大肿瘤。相比之下，图3E显示，当（所有其他模型参数保持不变）时，压力在肿瘤内部积累，血管被阻塞，导致形成缺氧核心并减缓肿瘤生长。

3.2. 压力积累导致血管阻塞和缺血性肿瘤的形成
我们使用肿瘤-血管交叉PCF（）来量化肿瘤内部血管的空间分布，从而评估血管重塑的程度。图4A展示了如何使用来区分血管性和缺血性肿瘤。我们考虑了两个使用相同参数值生成的模拟，除了（高左侧，低右侧），并展示了最终的模拟时间点以及相应的肿瘤-血管交叉PCF。对于高，血管没有经历足够的压力被阻塞，相反，密集的、血管丰富的细胞簇围绕它们。肿瘤细胞和血管的共定位在交叉PCF中得到捕捉，对于r<25。相反，对于低，积累的压力超过了血管压力，导致血管阻塞和缺血性肿瘤的形成。血管从肿瘤中的缺失（或排除）在交叉PCF中得到捕捉，对于r<25，gBT<1。下载：PNG（更大图像）TIFF（原始图像）图4. 压力积累驱动血管阻塞和缺血性肿瘤的出现。(A) 两种代表性模拟的肿瘤分布和肿瘤-血管交叉PCF，gBT(r)，t=28天。左侧：高导致血管丰富的肿瘤，肿瘤细胞和血管共定位（对于r<25）。右侧：低导致形成缺血性肿瘤，由于阻塞而缺乏血管（对于r<25，gBT<1）。红色：血管，紫色：正常氧合肿瘤，淡紫色：缺氧肿瘤。对于这个例子，和其他参数是S1文本中表A给出的默认值。(B) 固定时的肿瘤-血管交叉PCF特征，按（见S2文本中的S2.1.1节）着色，表明当时，的值可以显著影响肿瘤的血管化（其特征与(A)中显示的血管性和缺血性肿瘤的gBT特征在质量上相似）。对于，所有肿瘤都是血管丰富的，对于所有的值。对于较小的值，会导致无血管肿瘤的形成；而较大的值则会导致血管丰富的肿瘤。（C）（第2.3.1节）中，有一个指标用于衡量肿瘤在二维参数扫描过程中的低（红色）或高（蓝色）血管化程度（详见S2文本）。存在一个阈值，该阈值取决于特定参数，低于该阈值时肿瘤会变得无血管。（D）在多维拉丁超立方体参数扫描中，对参数进行了二维投影（详见S2文本中的S2.1.3节）。主面板显示了作为参数函数的肿瘤特性，其趋势与面板C相似，但由于其他模型参数的变化而存在一些噪声。子面板展示了在相同模拟中，参数如何随着三个额外参数的变化而变化：细胞硬度、血管阻塞程度以及肿瘤对缺氧的敏感性。这些参数的值会影响肿瘤是否保持血管化状态。

图4B显示了在二维参数扫描过程中最终模拟时间点的gBT(r)特征（详见S2文本中的S2.1.1节）。当参数处于某个特定范围时（图4B的中间和底部图表），交叉功率谱（cross-PCFs）是异质的，与图4A中的gBT特征进行定性比较后可以看出，肿瘤从血管丰富的状态转变为无血管状态。当参数处于另一个特定范围时，gBT特征从与血管丰富的肿瘤相关的情况转变为与血管被肿瘤生长阻塞的情况相关。相比之下，当参数处于另一个特定范围时（图4B的最上面那个面板），所有参数下的交叉功率谱特征相对平坦。在这种情况下，肿瘤沿着血管生长，由于细胞没有固定在基底上，压力会迅速消散。这既限制了围绕血管的密集细胞簇的形成，也防止了血管阻塞，从而导致gBT特征较为平坦。这些结果突显了摩擦在我们模型中的重要性：摩擦力使细胞能够固定在基底上，并防止局部有丝分裂力的分散，从而推动压力的积累。相对于参数的压力的大小决定了血管是否会被阻塞，这也解释了为什么当参数处于某个特定范围时，由gBT表征的血管化程度依赖性会消失；因为在这种情况下压力无法积累。使用该指标来量化随着参数变化而变化的血管化程度进一步支持了这一解释。图4C的结果表明，较小的参数值会导致无血管肿瘤的形成，而较大的参数值会导致血管丰富的肿瘤的形成。当参数在某个特定范围内变化时，这种转变非常明显；而当参数在另一个特定范围内变化时，这种转变就不那么明显了。我们从图4C中进一步注意到，参数定义了肿瘤从血管丰富状态转变为无血管状态的阈值。为了确定这种二维参数扫描中观察到的趋势的稳健性，我们进行了一个更大的拉丁超立方体参数扫描，改变了8个参数（详见S2文本中的S2.1.3节）。图4D展示了在相同参数范围内进行的拉丁超立方体参数扫描的投影结果。我们观察到相同的定性趋势：较低的参数值会导致血管阻塞，而参数的值决定了血管阻塞发生的阈值。然而，这种关系更加不稳定，表明其他模型参数也会影响血管的阻塞情况。对我们拉丁超立方体参数扫描中的其他投影分析显示，还有3个额外参数会影响血管的阻塞（详见图4D中的子面板）。这些参数与细胞产生能够阻塞血管的机械力的能力、血管对重塑的抵抗力以及肿瘤细胞的氧气需求有关。

3.3 氧气环境影响肿瘤形态
在第3.2节中，我们看到了血管压力值如何决定肿瘤的血管是否会被阻塞。由于血管负责供应氧气，因此改变血管压力值也会改变氧气环境。在本节中，我们进行了一个二维参数扫描（详见S2文本中的S2.1.2节），以确定改变这两个参数如何影响肿瘤的生长动态（回想一下，某个特定参数值是细胞停止增殖并进入静止状态的阈值氧气浓度）。首先，我们展示了在t=42天时，改变这两个参数如何影响肿瘤的大小、组成和形态。在图5A中，左侧的肿瘤具有较低的血管压力值。因此，其细胞能够在较低氧气浓度下存活，并且在距离血管较远的地方仍然保持活力，从而形成了一个紧凑的肿瘤团块。右侧的肿瘤具有较高的血管压力值，这限制了其生长，使其仅形成围绕血管的小叶状结构。

图5显示了氧气环境如何驱动肿瘤叶状结构的形成。在每次模拟的结束时间点计算肿瘤的圆度。（A）来自参数扫描的代表性肿瘤，在t=42天时（详见S2文本中的S2.1.2节），展示了随着参数值的增加，肿瘤形态如何变得更加分叶化（从左侧到右侧），以及如何通过圆度得分来捕捉这一变化。红色：血管；紫色：正常氧合的肿瘤；淡紫色：缺氧的肿瘤。（B）改变参数值对肿瘤圆度的影响，显示出参数值（氧气需求）与肿瘤形成叶状结构的程度之间存在S形关系。标记a和b表示图A中显示的肿瘤的参数值。（C）热图显示了随着参数值的变化，肿瘤圆度如何变化。圆度得分是通过对每个参数集的4次模拟结果进行平均得出的，结果表明较小的参数值会使图B中的S形关系向更小的参数值方向移动。（D）从我们的多维拉丁超立方体参数扫描中得到的二维投影（详见S2文本中的S2.1.3节），投影到与图C相同的坐标轴上，证明了我们在二维参数扫描中的行为对多维参数扫描中其他参数的变化具有鲁棒性。

我们使用圆度得分来量化肿瘤形态（详见第2.3.2节），观察到随着参数值的增加，肿瘤的圆度减小，肿瘤变得更加分叶化。图5B显示了随着参数值的增加，肿瘤圆度以S形方式减小，表明随着氧气需求的增加，肿瘤形成了更多的叶状结构并且变得不那么圆润。图5C显示了随着参数值的变化，肿瘤圆度如何变化。与图5B类似，圆度得分随着参数值的增加而减小。改变参数值会改变图5B中的S形依赖关系：对于较小的参数值，圆度得分在较小的参数值时减小。观察到的圆度变化可以理解为，当氧气供应（参数值较低）不足以满足肿瘤的氧气需求时，肿瘤被限制在围绕血管的叶状结构中。我们进行了类似的分析，以研究肿瘤质量和缺氧比例如何随参数空间变化。正如预期的那样，血管化的增加导致了更大且氧合更好的肿瘤（详见S3文本）。与之前一样，我们进行了一个更大的拉丁超立方体参数扫描（详见S2文本中的S2.1.3节），以确定当多个模型参数变化时，圆度得分的趋势是否仍然存在。在图5D中，我们将更大参数扫描的结果投影到参数空间上。图5C中的趋势仍然存在，表明上述肿瘤形态的变化对参数值和参数值更为敏感。

3.4 血管重塑影响肿瘤对放疗的反应
在本节中，我们使用我们的模型来研究血管重塑如何影响肿瘤对放疗的反应。我们采用了第2.1.4节中描述的简化版氧气依赖性放疗模型和放疗方案：在t=21天时施加单次放疗剂量，之后肿瘤再生长21天。所有参数都设置为默认值（详见S1文本中的表A），除了血管参数和参数，这些参数会按照S2文本中的S2.2节所述进行变化。图6A显示了在第21天接受放疗的代表性模拟肿瘤。参数值详见S2文本中的S2.2节。肿瘤（a）的血管压力值较大，因此血管较大、氧合良好且对放疗敏感。肿瘤（c）的血管压力值较低，其血管容易被阻塞，导致形成了一个对放疗有抵抗力的缺氧核心。肿瘤（b）的参数值及其对放疗的反应介于肿瘤（a）和肿瘤（c）之间。虽然其对放疗的即时反应在质量上与肿瘤（a）相似，但其放疗后的生长情况却大不相同。

图6显示了动态血管环境对放疗结果的影响。（A）代表性的模拟结果显示了在不同参数值下，肿瘤在放疗前后的情况。较大的参数值（图a中的参数值）会导致肿瘤氧合良好，因此肿瘤细胞对放疗非常敏感，大部分肿瘤细胞会被放疗杀死。随着参数值的减小（图b和图c中的参数值），肿瘤形成了一个对放疗有抵抗力的缺氧核心，使得更多的肿瘤细胞能够存活下来。对于这些肿瘤，其他参数都设置为S1文本中的表A中的默认值。（B）图a中所示模拟的肿瘤和血管的生长轨迹。随着参数值的减小，被放疗杀死的肿瘤细胞百分比减小，这进一步证实了图A中的结果，即低参数值会导致放疗抵抗性。参数值在2.4节中有定义，用于衡量血管的氧气承载能力。（C）随着参数值的变化，血管阻塞导致缺氧和放疗抵抗性。随着参数值的增加，血管化和组织氧合都增加，我们确定了一个阈值，超过这个阈值后肿瘤的氧合状态会从低氧合变为高氧合。（D）随着参数值的变化，放疗后的恢复时间TR的变化。在参数值较低和较高的区域之间，存在一个快速恢复时间的低谷。

图6B绘制了肿瘤（a）、（b）和（c）的生长轨迹。我们使用参数值（详见第2.4节）定义的肿瘤细胞被杀死百分比和放疗后的恢复时间TR来量化肿瘤对放疗的反应。我们观察到，随着参数值的减小，参数值从肿瘤（a）到肿瘤（c）都在减小，这进一步支持了上述关于参数值和参数值之间关系的解释。此外，图6C还显示，存在一个阈值（对于所选的参数范围），低于这个阈值时，由于形成了一个大的缺氧核心，参数值会显著减小。参数值强烈依赖于参数值，而参数值的影响较小（详见S3文本）。图6B表明，TR对参数值的依赖性与参数值的不同而不同，其中肿瘤（b）的TR最小。虽然我们可能预期参数值较高的肿瘤（a）会有较长的TR，因为它对放疗非常敏感，但最初不太清楚为什么参数值较低的肿瘤（c）也有较长的恢复时间。通过观察血管的氧气承载能力动态，我们可以理解这一点（详见第2.4节）。对于肿瘤（b），血管在放疗后迅速恢复，因此TR较短。对于肿瘤（c），血管恢复较慢，导致TR较长。这种血管恢复的差异取决于放疗前的血管状态。对于肿瘤（b），参数值足够小，导致血管容易阻塞，从而引起缺氧并产生放疗抵抗性。然而，参数值不足以引起血管修剪。相比之下，对于肿瘤（c），参数值足够小，足以引起血管修剪。由此产生的缺氧导致了放疗抵抗性，并需要在放疗后进行血管再生，从而大大延长了肿瘤的恢复时间。我们在图6D中进一步研究了这一现象，展示了参数值和参数值变化时TR的变化。我们观察到一个快速恢复时间的低谷，这个低谷包括了参数值较低和较高的区域，以及参数值较高和较低的区域。为了理解这一现象，我们注意到有两个相互竞争的因素影响了恢复时间TR的长度。首先，随着参数值和参数值的增加，肿瘤细胞得到了更好的氧合，因此更容易受到放疗的影响，这导致参数值增加。结果，TR也增加，因为更多的肿瘤细胞需要增殖来替代被放疗杀死的细胞：这解释了为什么肿瘤（a）具有较高的参数值和较长的TR。其次，对于参数值足够小的情况，放疗后血管被大量修剪。尽管由于缺氧，肿瘤对放射治疗具有抗性，但由于血管再生速度缓慢，这限制了肿瘤的整体再生速度，从而延长了恢复时间（TR）。这解释了为什么肿瘤（c）的恢复时间（TR）既低又高。在恢复时间较短的区域，缺氧程度足以导致肿瘤对放射治疗产生抗性，但同时又不会导致血管被修剪。相反，血管会被阻塞，因此放射治疗后的肿瘤细胞死亡减少了血管所承受的机械压力，使血管能够快速恢复并增加氧气供应，从而使肿瘤细胞能够快速再生。这也解释了为什么肿瘤（b）的恢复速度比肿瘤（a）和（c）快。

我们开发了一个基于格子的代理模型，用于描述嵌入在血管组织中的肿瘤细胞的生长。我们的模型考虑了肿瘤细胞与血管之间的机械相互作用以及血管重塑过程。我们利用该模型研究了与血管重塑相关的动态氧环境对肿瘤形态及其对放射治疗反应的影响。模型考虑了由肿瘤缺氧刺激的新血管的生长，以及由于肿瘤快速生长引起的组织应力导致的血管阻塞和清除。非格子代理模型（ABM）的机械部分通常在非惯性、粘性极限下运行，并引入了一个阻力（代表细胞-基底相互作用），以平衡作用在单个细胞上的外力。大多数现有的非格子ABM通过斯托克斯阻力（Stokes’ drag）来模拟这种阻力。在这种模型中，由于斯托克斯阻力依赖于速度，压力会在组织域内扩散。结果，由增殖细胞产生的力很快传递到肿瘤边界，阻止肿瘤细胞产生足够的机械压力来阻塞血管。为了实现血管阻塞，我们在机械模型中引入了一个摩擦力，该力考虑了细胞与细胞外基质之间形成的粘附键，如果施加在细胞上的力低于某个阈值，则阻止细胞移动。我们的模拟表明，结合斯托克斯阻力，这种摩擦力可以防止压力快速扩散，并通过机械压力实现血管阻塞。需要注意的是，这种力没有考虑生长中的肿瘤与周围组织之间的阻力；我们没有明确建模这些效应。需要进一步的研究来探讨是否可以通过改变靠近肿瘤边界的细胞所受的摩擦力来考虑周围组织施加的约束（可以使用α形状来近似，见第2.3.2节）。

除了由肿瘤快速生长引起的血管阻塞和修剪外，我们的血管模型还考虑了在长期缺氧区域新血管的生长。我们证明了，结合摩擦力，血管内的压力（）决定了血管被阻塞和从肿瘤中修剪的难易程度。具体来说，较高的压力会导致血管丰富的肿瘤，而较低的压力则会导致无血管的肿瘤。我们还展示了血管变化如何影响肿瘤形态。我们量化了肿瘤细胞对缺氧的敏感性增加（高）如何导致肿瘤形成围绕血管的叶状结构，并在氧气供应不足（低）时变得不那么圆形。在补充信息中，我们展示了血管变化如何影响其他肿瘤特征，包括其大小和缺氧比例（S3文本）。这些结果说明了在模拟肿瘤生长时考虑血管阻塞的重要性。我们的模型还强调了在基于力的肿瘤生长模型中考虑摩擦力的重要性，以便在组织内积累压力并阻塞血管。最后，我们展示了摩擦力和血管重塑的加入对肿瘤对放射治疗的反应有显著影响。血管压力参数（）影响肿瘤被辐射杀死的百分比，高压力会产生易受放射治疗的正常氧合肿瘤，而低压力则会产生耐放射治疗的缺氧肿瘤，这与早期研究的结果一致[58,64]。血管压力非常高的肿瘤具有更长的恢复时间。随着压力的降低，恢复时间也会缩短，这与对放射治疗的敏感性降低相匹配。然而，存在一个阈值（），低于该阈值时，血管不仅会被严重阻塞，更重要的是，还会被修剪。这导致恢复时间显著延长，因为肿瘤的恢复受到较慢的血管生成过程的限制。这些结果突显了血管机制对肿瘤对放射治疗反应的巨大影响。

我们可以以多种方式扩展本文的工作。虽然我们使用Chaste计算框架有助于将肿瘤生长和氧气扩散方面扩展到三维（3D），但在3D中表示血管在计算上具有相当大的挑战。[37]和[39]提供了两种表示3D血管的方法，但两者都需要进行重大扩展才能考虑血管阻塞和修剪。未来的工作可能会放宽我们将血管简化为一系列氧源的观点，而是模拟一个连接的血管动态网络[41–48]。微血管CHASTE [81]是一个用于研究血管网络中血液流动的CHASTE模块，可以更准确地捕捉肿瘤生长与局部血细胞比（hematocrit）水平之间的相互作用。使用它来研究“旁路”效应（即上游血管的阻塞对下游血管的影响）将会很有趣。未来，将细胞外基质（ECM）模型纳入我们的工作[55,82–86]也将很有趣，以明确捕捉细胞-ECM粘附键的形成和断裂及其对细胞迁移和ECM变形的影响[87,88]。活跃的细胞迁移在癌症侵袭中起着关键作用，并且已知受到固体应力的影响[89]。因此，将我们的模型扩展到研究活跃细胞向周围ECM和间质的迁移将非常有趣。然而，需要进一步的工作来更好地理解细胞运动的物理机制，特别是上皮-间质转变在这个过程中的作用[90,91]。未来工作还可以考虑细胞外液对肿瘤内机械压力的影响[15,92,93]。当肿瘤细胞被杀死时，它们会分解成细胞外液，残留的细胞碎片会被吞噬性免疫细胞（包括巨噬细胞）清除。这一过程可以在肿瘤核心产生高间质液压力，推动细胞外液从肿瘤中流出[49,53]。研究血管阻塞对其他形式的治疗（如免疫疗法[94]和化疗[95–97]）的影响也将很有趣，这些治疗已在类似的血管生成模型中进行了研究[37,44,45]。我们开发ABM的设计原则使其非常适合研究这些治疗及其组合所涉及的复杂机制。未来的工作还可以将我们的结果与实验数据进行比较。多重成像方法[98]可以定位和鉴定单个细胞，为与我们的模型空间分辨率相匹配的数据铺平道路。我们用于分析模拟数据的方法可以应用于此类成像数据[68–70]，并用于模型参数化。进一步开发这些方法可能使我们能够根据实验数据验证我们的模型，但由于我们的模型代表的是早期发展阶段的小肿瘤，而实际患者肿瘤通常较大且发育成熟，因此很难生成合适的患者数据。当前模型中忽略的机制，如免疫浸润、ECM重塑和癌细胞的上皮-间质转变，可能对这些晚期肿瘤的形态有贡献。

总之，我们使用模型证明了血管重塑，特别是压力介导的血管阻塞，对肿瘤生长和其对放射治疗的敏感性有显著影响。在开发模型的过程中，我们还指出了现有非格子模型的局限性，并展示了如何通过引入摩擦力来解决这些问题，强调了需要更多工作来研究如何将细胞-基底相互作用纳入基于细胞的生物组织模型中，包括血管肿瘤。