基于小波的融合技术：结合埃及周边地区由高度计获取的数据与船载重力数据

《Geodesy and Geodynamics》：Wavelet-based fusion of altimetry-derived and shipborne gravity data around Egypt

　　马哈茂德·阿布勒凯尔|艾哈迈德·扎基|艾哈迈德·埃尔哈达里|巴塞姆·埃尔萨卡|莫斯塔法·拉巴
埃及本哈大学本哈工程学院土木工程系，本哈13511

**摘要**
本研究提出了一种基于小波的融合方法，通过整合来自卫星高度计的自由空气重力（AFAG）和船载自由空气重力（SFAG）数据，来增强埃及周围红海和地中海海域的海洋重力场。首先对船载数据集进行去噪和网格化处理，以匹配DTU21提供的AFAG分辨率。然后，评估了六种不同小波族在六个分解层次上的性能，并与独立的船载重力测量结果进行了对比。所有小波在三级分解时都表现出逐步改进的效果，而更高层次的分解则导致过度分解和噪声放大。在三级分解时，dmey小波获得了最佳融合结果，残差的均方根值从6.27 mGal降低到5.27 mGal，提高了15.95%。在测试的融合规则中，选择AFAG和SFAG之间高通系数绝对值较大的规则能够最好地保留局部特征；而加权平均规则虽然也提高了精度，但使得结果更加平滑。功率谱分析显示，融合后的网格保留了AFAG的区域趋势，同时显著增强了接近SFAG波长的短波长成分。通过与GEBCO2025海底地形模型的比较以及随机选取的船载剖面的对比，发现融合后的异常值更准确地反映了海底地形，尤其是在船载数据密集的区域。在船载数据稀疏的区域，融合后的场逐渐过渡到AFAG，保持了整体一致性。结果表明，基于小波的融合方法有效地结合了高度计的大尺度精度和船载数据的细尺度分辨率，提供了更准确、更详细的海洋重力场表示。

**1. 引言**
海洋重力场对于理解构造结构、估算海底地形、探索海洋资源、进行地震研究以及建立海洋大地水准面模型具有重要意义[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]。在海洋区域，自由空气重力异常值可以通过卫星高度计测量获得，或者直接通过船载重力观测获得。构建一个准确且高分辨率的海洋重力场不能仅依赖单一数据源，因为每种重力测量方法都有其特定的参数，并且在不同的频谱范围内表示重力场[[7]]。由于卫星高度计具有快速且广泛的全球海洋覆盖范围，已成为获取大尺度海洋重力场数据的主要技术，其精度可达约1–2 mGal[[8]]。它提供了几乎均匀的频谱内容，因为它依赖于长时间序列和多卫星高度计数据集[[9]]。然而，高度计测量也存在一些局限性：1) 为了减少数据噪声并最小化海洋时间波动的影响，在重力异常值估计过程中会使用低通滤波器进行平滑处理[[10], [11], [12]]；2) 由于潮汐校正不足、海面变化大以及陆地反射体干扰导致的高度计跟踪丢失，高度计数据的精度在近海岸和浅水区会降低[[13]]；3) 由于卫星地面轨迹稀疏和观测周期短，高度计数据难以准确捕捉小尺度和短波长的重力异常[[14]]。相比之下，船载重力测量是测量海洋区域重力的最直接方法，因为它在测量轨迹上收集了高频信息[[12,15,16]]。船载数据可以填补高度计轨迹之间的空白，特别是在浅水和沿海区域，显著增强了短波长信号。然而，这种数据源仅提供局部重力场覆盖，并可能包含各种类型的误差，包括导航误差、仪器误差等[[17]]。

根据上述讨论，由浅水深度引起的突然地形变化导致的小幅度和高频自由空气重力异常可能无法通过高度计数据很好地表示；同样，由基底或深层沉积层引起的长波长自由空气重力异常在船载数据之间也难以准确反映[[14]]。因此，融合来自多个来源的异构重力数据集是获得具有不同特性的完整重力场地图的最有效方法，可以克服单个数据集的局限性[[18]]。已经采用了多种方法来融合多个重力数据集，通常分为空间域方法（如最小二乘配置法LSC[[2,6,7,18,19]]和频域方法（包括小波变换[[14],[20],[21],[22],[23],[24]]）。在我们之前的研究中，扎基等人[[18]]采用了LSC方法将基于高度计的海洋重力模型（DTU17）与船载重力数据相结合。首先计算了精炼后的船载重力观测值与DTU17网格之间的残差，然后将这些残差插值到规则的1弧分网格上，以匹配DTU17的分辨率。随后使用二阶马尔可夫协方差模型对网格化残差进行处理，相关长度为30公里，白噪声水平为1 mGal，这些参数通过10–50公里和1–5 mGal范围的测试进行了优化。将处理后的残差网格重新添加到原始DTU17模型中，从而改善了研究区域的重力场。使用8000个独立船载站点的验证显示，标准差（SD）从6.50 mGal降低到2.03 mGal。使用完整精炼数据集的评估也获得了类似的改进，SD从6.49 mGal降低到1.98 mGal，表明应用LSC后重力网格得到了显著提升。

空间域融合方法（如LSC）的缺点在于它们以一种广泛且不加区分的方式修改了高度计重力模型[[25]]。由于它们直接在空间域操作，因此无法区分重力场的不同波长成分。因此，当船载重力数据与高度计模型结合时，空间方法往往会覆盖所有波长带。这导致两个主要问题：首先，它们可能会扭曲或替换卫星高度计最可靠提供的中长波长信号；其次，在短波长船载数据稀少或缺失的区域，空间方法往往会过度依赖于船载数据，产生不现实的校正，削弱了高度计模型的贡献。这些问题可能导致频谱平衡丧失，降低最终融合重力场的物理一致性。相比之下，频域方法（如小波变换）通过明确控制哪些频谱部分被修改来克服这些限制。它不是在整个重力场中进行修改，而是隔离出船载数据最准确的短波长部分，并选择性地将这些高频信息注入高度计模型中，同时保留了中长波长成分，确保高度计的大尺度结构保持完整。这种分离防止了空间域融合产生的广泛且非预期的修改，并避免了在船载数据覆盖有限的区域过度拟合。通过在频谱域工作，该方法确保每个数据集仅在最可靠的波长范围内贡献，从而实现有针对性和物理意义上的融合策略。

先前的研究已经证明了基于频率的融合技术在整合多个重力数据集方面的有效性。白等人[[14]]引入了一种小波变换方法，用于融合南海北部边缘的高度计和船载重力数据，与仅使用船载数据相比取得了显著改进。同样，陈等人[[25]]提出了一种基于频谱分析确定最佳截止波长的频域融合方案，将DTU21重力模型与东太平洋的船载测量数据相结合，从而减少了与独立船载测量的RMS差异。在本研究中，我们采用离散小波变换来融合埃及周围红海和地中海区域的高度计和船载重力数据，使用了多种不同分解层次的小波函数。然后将融合结果与独立的船载数据进行比较，作为参考异常值，以选择最准确的结果。之后，评估所采用的融合规则的有效性并评估其对融合过程的影响。随后进行功率谱分析，以检查融合数据的频谱行为。最后，研究了优选融合结果与海底地形变化之间的对应关系。第2节描述了融合异构重力数据集的方法，第3节介绍了使用的数据集，第4节讨论了融合结果，第5节总结了主要结论。

**2. 方法**
本研究的主要目标是融合多源重力数据，利用它们的互补优势，得到具有丰富频谱内容和更高精度的最终重力场。基于频谱分析，傅里叶变换已被广泛应用于信号处理研究中，用于将信号分解为正交频率分量[[20]]。它将信号表示为在频率域中定位的正弦和余弦函数组合[[14]]。由于傅里叶变换的整个相位空间均匀分布着固定大小的分辨率单元，因此最适合分析特征大致相同尺度的信号。小波变换的发展是为了克服傅里叶变换的局限性。与傅里叶分析不同，小波变换使用在空间和频率域都定位的函数。通过使用紧凑支持的小波，小波变换可以在不同细节层次上分析信号特征[[20]]。因此，小波为分析具有突然变化或局部不连续性的信号提供了强大的工具。

**2.1. 小波变换**
小波变换提供了一个框架，其中信号被分解，每个层次对应于更粗糙的分辨率或更低的频率带[[26]]。小波变换在文献中有详细描述（例如，Holschneider[[27]]和Mallat[[28]]），并且该理论已扩展到地球科学应用[[29,30]]。小波变换通常分为两类：离散变换和连续变换，可以应用于不同维度。在大多数地球物理应用中，我们的数据以二维（2D）网格形式表示，船载测量数据分布不规则；因此，2D离散小波变换（DWT）是最适合我们分析的方法。对于任何f∈L2(R)，其连续小波变换W?定义为积分变换[[31]]：
W?(a,b) = ∫?∞∞f(x)Ψ(x?ba)dx
其中Ψ?是固定函数Ψ∈L2(R)的复共轭，称为母小波或分析小波。a,b∈R×R且a≠0；a是膨胀因子，b是平移因子。在离散情况下，a和b取离散值，即a=2m和b=an，其中m,n∈Z×Z。因此，离散小波变换可以更方便地表示为：
W?m,n(a,b) = ∫?∞∞f(x)Ψm,n(x)dx
Ψm,n(x) = 2?m2Ψ(x?n·2m)
在离散小波变换（DWT）中，“离散”指的是使用离散的膨胀和平移因子，以及对信号的离散采样[[26]]。信号可以分解为多个系数，每个系数反映特定尺度的特征[[32]]，其中低通系数（也称为近似值）是通过使用缩放函数对原始图像（或网格）进行低通滤波得到的，而高通系数（也称为细节）则是通过对原始图像（或网格）进行高通滤波得到的；这个过程称为一级分解。对于下一级分解，近似值作为输入数据，而细节被存储起来。因此，在每一级分解中，输入网格被分解为四个网格：三个详细网格和一个近似网格。例如，经过三级分解后的原始网格将由一个低通系数（LL3）和高通系数（LH1, HH1, HL1, LH2, HH2, HL2, LH3, HH3, HL3）组成（见图1）。其中L表示“低通滤波”，H表示“高通滤波”。LL代表粗网格（两个方向上的低通），HL捕获垂直细节，HL捕获水平细节，HH捕获对角细节[[33]]。在每个分解层次中，系数的缩放因子增加2的幂次，或者分辨率减半[[34]]。因此，在第n级分解之后，派生系数的总数为3?n+1，这一级别的系数具有更粗的分辨率，对应的单元格大小是原始网格的2n倍。下载：下载高分辨率图像（76KB）下载：下载全尺寸图像图1. 二维信号三级DWT分解的示意图。之后，可以应用逆离散小波变换（IDWT）从分解的组件中重建原始信号。这个过程本质上是通过结合所有尺度上得到的低通（近似）和高通（细节）系数来逆转分解步骤。通过逐步合并这些系数，IDWT将信号恢复到其原始形式，同时保留了长波长和短波长特征的贡献。这种方法确保了重建的重力场既捕捉到了由高度计提供的宏观趋势，也捕捉到了由船载测量提供的微观细节，从而实现了对海洋重力场更准确和详细的表示。

2.2. 融合过程和验证
两个重力数据集的融合过程可以总结为以下步骤（见图2）：
1) 高度计得到的和船载得到的重力异常必须对齐到相同的地理覆盖范围和空间分辨率。因此，船载数据被网格化为1弧分的分辨率，以匹配高度计网格的分辨率。
2) 然后使用特定的小波在特定的分解级别将高度计自由空气异常网格（AFAG）和船载自由空气异常网格（SFAG）分解为低频和高频系数。
3) 根据特定的融合规则，分别整合来自两个网格的低频和高频系数。
4) 最终的融合网格是通过逆离散小波变换（IDWT）获得的，该变换必须使用与初始过程中相同的分解级别和小波来执行。下载：下载高分辨率图像（339KB）下载：下载全尺寸图像图2. 基于离散小波变换整合两个不同重力数据集的融合方法示意图。
所决定的融合规则应保留每个网格的优点。如上所述，AFAG提供了一个均匀且平滑的重力场，但缺乏短波长信息，这可以通过整合SFAG来丰富。需要注意的是，SFAG是一个插值表面，其准确性取决于船载数据在研究区域内的密度和分布。因此，在船载测量稀疏的区域，高频特征的质量可能会下降。为了达到预期的目的，我们遵循了Bai等人[14]提出的融合方法。具体来说，应用于低频系数的融合规则规定，在所有尺度上，融合网格的低频系数直接继承自AFAG分解得到的系数。这确保了融合网格保留了AFAG的平滑趋势。另一方面，高频系数的融合规则旨在通过选择AFAG或SFAG中较大的系数值来保留主要的局部信息。这确保了SFAG中沿船测线的短波长细节以及船载数据密集区域的高频贡献得到保留。

各种小波函数可以在不同级别将原始网格分解为其低频和高频系数（见表1）。确定一个在全局上最适合重力数据融合的单一小波是不可行的，因为不同区域的重力场表现出不同的频谱特性。在这项研究中，考虑了几种小波家族用于信号分析，每种小波都提供了不同的特性。Haar小波是最简单的选项，它作为一个分段常数函数操作，只有两个系数，计算效率高但缺乏平滑性。Daubechies家族在这里由db17表示，它提供了17个消失矩和紧凑的支持，使其能够捕捉高度复杂的信号特征。Sym20属于Symlet家族，相比Daubechies提供了更好的对称性，并包含20个消失矩，使其适用于包含边缘和细节的信号。Coif9是一种高阶Coiflet，由于其九个消失矩而提供了增强的平滑性和平衡的属性，适用于分析具有有限支持的信号。双正交家族通过Bior2.8包括在内，它应用了单独的分析和重建滤波器，并为非平稳信号提供了有益的对称属性，而其反向对应物Rbio1.5则提供了使用不同消失矩进行灵活重建的能力。最后，dmey小波由于其有利的频率特性，在图像压缩和去噪等应用中得到了广泛使用[35]。

根据DWT理论，更高层次的分解会导致低通（近似）内容的逐步减少，同时增强高通（细节）内容的比例。因此，应用于高频系数的融合规则在决定结果方面变得越来越关键[14]。在这项研究中，通过所有可用的函数在连续的分解级别检查了不同小波的性能，分解逐渐增加，直到结果表明进一步的分解不会提高融合数据的准确性。最佳融合结果是最能准确表示感兴趣区域真实重力场的那个。由于船载测量比高度计得到的异常更准确地反映了异常场，因此它们被视为验证的参考场。与参考场差异最小的融合网格被视为最优结果。RMS可以提供Ma等人[22]提出的差异度量：
(3)[数学处理错误]RMS=1/n∑l=1/n(Fi?Si)2
其中Fi是点i处的融合自由空气重力异常，Si是同一点的船载自由空气重力异常，n是独立的船载验证点的总数。

3. 数据
3.1. 船载重力数据
围绕埃及的船载重力观测数据来自国家环境信息中心（NCEI）（https://www.ncei.noaa.gov）。该数据集包括17次海洋巡航，覆盖纬度20°–34°N和经度22°–39°E，共有88890个数据点，累计长度约为51000公里。图3显示，研究区域的数据覆盖不均匀；大约85%的观测集中在红海，而只有约15%在地中海，表明存在较大的空白。可用数据集受到诸如导航误差（例如，定位不确定性和E?tv?s效应）、仪器误差（例如，重力仪漂移和交叉耦合）以及其他因素（如不一致的数据、连接不匹配和海况）等误差的影响[17,18]。因此，在融合之前需要对有偏数据进行处理去噪。

我们之前尝试了两种方法对研究区域内的船载数据进行去噪。第一种方法采用了Zaki等人[18]讨论的克里金插值算法进行粗误差检测和去除。首先，通过将船载数据与高度计和全球重力场模型进行比较来精细化数据。然后对87709个精细化数据点进行了两次交叉验证技术处理。这一程序将观测到的和预测的重力异常之间的标准差降低到小于1 mGal，并去除了10.95%的精细化数据集。第二种方法由Abulkhair等人[36]提出，采用交叉调整来解决前一种方法的不足。交叉调整分析了轨迹交叉处的误差，并为每个轨迹推导出系统校正的线性模型，从而减少了交叉处的差异。然后，将调整后的数据与高度计和全球重力场模型进行比较以验证外部一致性。交叉调整显著提高了埃及周围船载重力数据集的内部一致性和外部一致性。该数据集包括17次海洋调查，产生了2899个外部交叉点和5431个总交叉点（内部和外部）。在测试的策略中，加权交叉调整优于基于机构和等权重的方法，将交叉误差的标准差从12.13 mGal降低到5.10 mGal。应用一个条件滤波器，仅去除超过±50 mGal的15个交叉误差，进一步改善了结果，将标准差降低到4.62 mGal，相当于校正后一致性的提高了9.41%。与DTU21高度计得到的重力模型进行外部验证显示，标准差从8.07 mGal降低到6.73 mGal，提高了16.63%。这种方法在去噪有偏船载数据方面表现更好，特别是当内部和外部交叉都被纳入调整过程，并且在每个轨迹的标准误差基础上应用了加权滤波器时。因此，我们的研究中使用了经过交叉调整的船载数据。

为了确保更可靠的船载数据，对调整后的数据集应用了3-sigma滤波器，任何相对于DTU21的残差超过此阈值的点都被视为异常值并移除。选择这种严格的滤波器是为了保留大部分数据集，同时只移除最极端的异常值。结果，大约2.28%的总调整数据集被删除。随后，随机保留了10%的剩余数据用于验证，而剩余的90%数据进行了融合处理（见图3）。

3.2. 高度计得到的重力数据
经过调整的船载数据集在与DTU21_1min重力高度计模型验证时达到了16.63%的最佳外部一致性。因此，本研究中使用的AFAG是从DTU21得到的。正如Andersen等人[37]所讨论的，DTU21是丹麦技术大学（DTU）发布的最新全球高度计得到的自由空气海洋重力场。它基于14年的大地测量高度计任务得出，包括CryoSat-2、Jason-1/2和SARAL/AltiKa，其中较旧的任务已基本退役。所有数据都使用Sandwell等人[38]开发的两次追踪器进行了完全重新追踪，并生成了2 Hz的观测数据，以最小化10–40公里波长的光谱泄漏。关键改进包括新的追踪策略（例如，CryoSat-2的SAMOSA+）和结合高度计和GOCE的中等波长校正，显著提高了重力场的准确性，特别是在北极地区（高达88°N）。我们的AFAG直接从DTU21重力场提取，空间分辨率为1弧分，与船载数据区域相同（20°–34°N，22°–39°E）。使用连续曲率样条插值技术对调整后的船载数据进行了网格化，单元格大小为1′ × 1′，以匹配DTU21网格的空间分辨率，从而得到了SFAG。图4显示了研究区域上的两个网格，所选区域比埃及的政治边界每边大约2°，以减少插值和融合过程中的窗口失真[18]。

3.3. 海底数据
选择了GEBCO_2025全球海底地形模型（见图5）来验证最佳融合网格与海底地形之间的相关性。GEBCO_2025网格[39]于2025年7月发布，提供了一个连续的全球陆地和海底地形模型，分辨率为15弧秒（约500米），包含约37.3亿个数据点。该网格主要基于SRTM15+数据集的版本2.7[40]，它将陆地地形与50°S至60°N之间的测量和高度计得到的海底地形合并。下载：下载高分辨率图像（290KB）下载：下载全尺寸图像图5. GEBCO_2025全球海底地形模型在研究区域上的分辨率。为了提高区域精度，四个Seabed 2030区域中心提供了网格化的海底数据，主要来自多波束调查。这些区域汇编使用remove–restore混合技术[[41], [42], [43]]与SRTM15+基础网格进行了整合，确保了数据集之间的无缝过渡。极地数据以完整的网格形式提供，在Global Mapper（v23.0.1）中使用羽毛混合（feather blending）技术进行了合并，同时进一步的手动编辑去除了早期版本中的残余误差。选择GEBCO模型进行验证，因为它在研究区域内与船载测深数据的一致性最好，优于其他模型（ETOPO2022、SRTM15+V2.5.5和DTU18BAT），如Zaki等人[44]所讨论的。这四种模型在红海地区使用了268071个参考船载测深数据进行了评估，其中GEBCO2023模型取得了最高的准确性——相对于船载数据，其标准差（43.774米）和均方根误差（43.929米）最低。

4. 结果与讨论
本节将结果分为四个部分进行呈现。首先，基于RMS标准确定最佳融合结果（第4.1节）。然后检查所应用的融合规则的有效性及其对融合过程的影响（第4.2节）。接下来，进行功率谱分析以研究融合数据的光谱特性（第4.3节）。最后，将最佳融合结果与海底地形进行比较，以评估其与实际海底特征的对应程度（第4.4节）。

4.1. 最佳融合结果
AFAG和SFAG的融合使用了从1到6不同分解级别的七种小波族进行。根据表1，共进行了636次融合试验，并使用方程（3）中的RMS标准作为定量评估，以确定与验证船载数据沿航迹的最小差异对应的最佳融合结果。表2展示了融合前参考数据与AFAG之间的残差统计，以及每种小波族的最佳组合。

表2. 融合前10%船载重力验证点（8889个点）与AFAG之间的残差统计，以及每种小波族的最佳组合。
小波函数 | 分解级别 | 最小值（mGal） | 最大值（mGal） | 平均值（mGal） | RMS（mGal） | 增强百分比
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
bior | 2 | -22.34 | 18.30 | -3.45 | 5.72 | 11.18% |
coif | 9 | -21.58 | 18.06 | -3.49 | 5.73 | 11.02% |
db1 | 7 | -22.36 | 17.03 | -3.47 | 5.69 | 11.65% |
dmey | 3 | -21.67 | 18.35 | -3.32 | 5.62 | 12.73% |
Haar | 2 | -23.39 | 18.38 | -3.54 | 6.20 | 3.73% |
rbio | 1.5 | -21.88 | 17.51 | -3.48 | 5.69 | 11.65% |
sym | 2 | -21.97 | 18.35 | -3.48 | 5.67 | 11.96% |

所有测试的小波在三级分解时都取得了最佳性能，除了haar在二级分解时表现最佳。dmey小波带来了最显著的改进，将RMS从6.44 mGal降低到5.62 mGal，融合后增强了12.73%（见图6）。相比之下，haar的改进幅度最低，为3.73%。除了haar，所有其他小波在三级分解时的平均RMS值为5.69 mGal，平均改进率为11.65%。为了评估船载数据稀疏和不均匀分布的影响，研究区域被划分为两个部分——红海和地中海——并在分别使用dmey小波进行AFAG和SFAG融合后分别进行了测试，如表3所示。在红海（占船载观测数据的约85%），融合过程提高了14.20%，而地中海仅提高了约1%。这些结果突显了密集且分布均匀的现场数据在实现有效融合结果中的关键作用。另一项评估是专门从红海选择了10%的验证数据集。表4中的结果进一步证明了密集且分布均匀的船载数据在融合过程中的有效性，使用dmey小波在三级分解时，改进率达到了约16%，除了haar外，所有小波的平均改进率为15.36%。

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图6. 基于dmey小波在三级分解下的最终融合自由空气重力异常图，空间分辨率为1弧分，与参考场相比，融合后的RMS提高了15.95%。

表3. 红海和地中海中，分别使用dmey小波在三级分解前后的10%船载重力数据（作为参考场）与AFAG之间的残差统计。
案例 | 区域 | 点数 | 最小值（mGal） | 最大值（mGal） | 平均值（mGal） | RMS（mGal） | 增强百分比 |
---------|-------|---------|---------|---------|-----------|-----------|
红海 | 753 | -19.96 | 19.62 | -3.71 | 6.62 | – |
| | | | | |
地中海 | 135 | -17.97 | 18.22 | -2.97 | 5.27 | – |
| | | | | |
| | -20.63 | 20.09 | -3.04 | 5.22 | 0.95 |

表4. 仅位于红海的10%船载重力验证点（8889个点）与融合前AFAG之间的残差统计，以及每种小波族的最佳组合。
小波函数 | 分解级别 | 最小值（mGal） | 最大值（mGal） | 平均值（mGal） | RMS（mGal） | 增强百分比 |
---------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
bior | 2 | -22.34 | 18.30 | -3.45 | 5.32 | 15.15% |
coif | 9 | -21.58 | 18.06 | -3.49 | 5.31 | 15.31% |
db1 | 7 | -22.36 | 17.03 | -3.47 | 5.36 | 14.51% |
dmey | 3 | -21.67 | 18.35 | -3.32 | 5.27 | 15.95% |
Haar | 3 | -23.39 | 18.38 | -3.54 | 6.20 | 3.73% |
rbio | 1.5 | -21.88 | 17.51 | -3.48 | 5.69 | 11.65% |
sym | 2 | -21.97 | 18.35 | -3.48 | 5.67 | 11.96% |

与之前研究的结果相比，本研究的结果是一致的，从而证实了所采用方法的有效性和可靠性。Bai等人[14]使用rbio1.3小波和四级分解实现了最佳融合结果，将融合网格与船载数据之间的RMS差异从5.93 mGal降低到5.02 mGal，提高了15.30%。同样，Chen等人[25]将融合网格与5%独立船载数据（未参与融合过程）之间的RMS差异从3.44 mGal降低到3.01 mGal，提高了12.50%。

图7和图8展示了基于dmey小波在三级分解下将AFAG和SFAG分解为低通和高通系数的过程。图表清楚地显示，每个分解级别的空间分辨率减半，从分解前的1弧分变为第三级的8弧分。每个级别产生的近似网格作为下一个分解级别的输入，同时保留了相应的高频特征网格。

表5和图9总结了七种小波函数在1-6分解级别下的RMS。如图所示，所有小波从一级到三级分解的一致性都持续提高，这被称为改进阶段。RMS的持续下降反映了融合后短波长特征的增强，表明高频成分从类似高度计的异常转变为与船载测量一致的特性。然而，所有小波在三级分解之后的分解阶段都开始出现下降。一些小波（例如bior2.8、dmey、rbio1.5和sym20）在第五级分解前仍显示出轻微的改进，而在该级别之后所有小波的表现都较差。可以得出结论，在更高的分解级别下，信号被过度分解，低频成分变得粗糙，导致过度平滑和重要区域重力变化的丢失。同时，高频细节成分不仅捕获了有意义的短波长重力信号，还将信号噪声作为高频内容的一部分，这在重建过程中被放大。

图10展示了基于dmey小波在三级分解下，对三个不同船测量的300公里段进行融合结果的比较，如图11所示。可以看出，融合过程将船载数据的高频特征融入了更平滑的AFAG场中。在三级分解时，RMS从4.70 mGal降至4.36 mGal（测量1），从6.08 mGal降至5.32 mGal（测量2），从5.26 mGal降至4.34 mGal（测量3）。六级分解的表现较差，导致融合后与参考场的差异增加。对于测量1，三级和六级分解的融合曲线相对接近，RMS的改进最小，这是因为测量1位于地中海，而测量2和3位于红海。这些结果反映了船载数据在网格化过程中稀疏和不均匀分布的影响。在这些区域，网格化船载数据的高频特征不够准确，导致融合后的改进较小。

4.2. 融合规则的评估
如前所述，随着分解级别的提高，结合高通系数的融合规则变得越来越关键。因此，应用了一种不同的规则，称为加权平均融合，以整合细节成分，而近似成分的融合继续遵循AFAG的趋势。测试了分配给SFAG和AFAG细节成分的各种权重组合，并计算了与参考场相关的RMS值，总结在表6中。

表6. 仅位于红海的10%船载重力验证点（8889个点）与使用不同加权平均融合规则在三级分解下融合后的最佳小波函数之间的残差RMS。
小波函数 | 权重组合 | SFAG+0.0 | SFAG+0.8 | SFAG+0.6 | SFAG+0.4 | SFAG+0.5 | SFAG+0.5 |
---------|----------------|---------|---------|---------|---------|---------|
bior | 5.38 | 5.38 | 5.48 | 5.56 | 5.56 |
coif | 5.34 | 5.36 | 5.46 | 5.55 | 5.55 |
db1 | 5.50 | 5.47 | 5.53 | 5.60 | 5.60 |
dmey | 5.39 | 5.36 | 5.42 | 5.49 | 5.49 |
Haar | 5.65 | 5.58 | 5.62 | 5.67 | 5.67 |
rbio | 5.45 | 5.44 | 5.52 | 5.59 | 5.59 |

在所有测试的规则中，RMS值相对于融合前的6.27 mGal都有所降低，证实了加权平均融合增强了与参考场的一致性。bior2.8、coif9和sym20小波的最佳性能是通过1.0 SFAG + 0.0 AFAG的权重组合实现的，表明所有高频系数都直接来自船载数据。相比之下，对于bior2.8、db17、dmey和rbio1.5小波，0.8 SFAG + 0.2 AFAG的组合提供了最佳结果。然而，haar产生的RMS值最高。尽管使用权重组合时RMS的降低特别显著，但本研究中采用的融合规则——保留了两个融合重力网格中的最大高频系数——表现出最佳的整体性能。这再次证实了改进受到缺乏船载测量区域的影响，在这些区域，插值的船载数据在捕捉重力场的短波长特征方面不如高度计衍生的异常有效。

4.3. 功率谱分析
可以通过检查信号功率随频率的变化来评估融合过程的效率。对于我们的案例研究中的二维数据集，径向平均功率谱[45]提供了一种描述能量如何在不同空间频率上分布的适当方法。这种方法能够识别融合过程是否成功增强了代表细尺度重力变化的短波长成分，同时保留了长波长区域趋势。图12展示了基于dmey小波在三级分解下的SFAG、AFAG和融合网格的径向平均功率谱。在低波数（0–0.05）处，三条曲线几乎重叠，表明长波长（低频）或区域重力变化在数据集之间是一致的。然而，融合曲线更接近AFAG曲线，反映了低通系数融合规则的影响。在中等波数（0.05–0.15）处，融合曲线位于SFAG和AFAG曲线之间。这表明融合成功平衡了船载数据的细节和高度计数据的平滑度。在高波数（>0.15）处，融合功率几乎跟随SFAG曲线，表明融合保留了船载数据的大部分高频细节，反映了高通系数融合规则的影响。SFAG、AFAG以及使用dmey小波进行三级分解得到的融合网格的对数功率谱曲线。4.4. 最优融合结果与海底变化的比较通过检查得到的重力异常与海底地形变化之间的相关性，可以进一步验证融合结果。根据势理论（高斯定律），浅层质量产生的重力异常具有更短的波长和更高的振幅，而相同质量的深层质量产生的异常则相反。因此，短波自由空气重力异常主要反映地表地形和浅层地壳密度变化，而长波异常主要受深层地幔密度变化和岩石圈下地幔对流产生的动态地形的影响[46]。图13展示了从GEBCO_2025中提取的2号船测量的300公里段的海底剖面。在300公里到325公里之间，海底剖面的突然变化对重力异常的影响非常明显。这些变化被SFAG清晰地检测到，而AFAG曲线则显得更为平坦。融合曲线紧密跟随SFAG异常，表明它保留了与海底地形相关的高频特征。在430公里到460公里之间也出现了类似的行为，其中海底地形的变化被SFAG清晰地检测到，并因此被纳入融合曲线。在400–430公里到460–490公里之间，融合曲线总体上跟随AFAG的趋势，同时也有SFAG的一些贡献。在350–380公里和550–600公里等部分，融合过程将平滑的AFAG模式转变为类似SFAG的模式，捕捉到了这些区域的船载测量细节。下载：下载高分辨率图像（284KB）下载：下载全尺寸图像图13. 来自2号船测量300公里段的重力异常、AFAG以及使用dmey小波进行三级分解得到的融合网格与从GEBCO2025全球海底地形模型中提取的海底地形数据（空间分辨率为15弧秒）之间的相关性。为了定量支持这些观察结果，计算了300公里段上重力异常与GEBCO2025海底地形之间的相关系数（R）。AFAG剖面的相关系数为R=0.51，而SFAG曲线的相关系数略高，为R=0.53，反映了其对局部海底变化的敏感性和捕捉高频地形信号的能力。融合后的重力剖面显示出最高的相关性（R=0.54），表明融合过程成功地将船载数据的高频细节整合到了AFAG中。这些结果表明，融合后的重力异常图与海底地形变化的吻合度比两个输入的重力数据集都要高。总体而言，中等的相关系数值是预期的，因为重力异常受到地下密度变化和等静力补偿的影响，而GEBCO模型仅表示地表形态。图14(a)–14(b)展示了从AFAG、SFAG以及基于dmey小波进行三级分解得到的融合网格中随机选取的两个300公里长的重力异常剖面，以及它们对应的从GEBCO_2025中提取的海底地形剖面（空间分辨率为15弧秒）。为了定量支持这些观察结果，计算了300公里段上重力异常与GEBCO2025海底地形之间的相关系数（R）。AFAG剖面的相关系数为R=0.51，而SFAG曲线的相关系数略高，为R=0.53，反映了其对局部海底变化的敏感性和捕捉高频地形信号的能力。融合后的重力剖面显示出最高的相关性（R=0.54），表明融合过程成功地将船载数据的高频细节整合到了AFAG中。这些结果表明，融合后的重力异常图与海底地形变化的吻合度比任一输入的重力数据集都要高。总体而言，中等的相关系数值是预期的，因为重力异常受到地下密度变化和等静力补偿的影响，而GEBCO模型仅表示地表形态。图14(a)–14(b)展示了从AFAG、SFAG以及基于dmey小波进行三级分解得到的融合网格中随机选取的两个300公里长的重力异常剖面，以及它们对应的从GEBCO_2025中提取的海底地形剖面（空间分辨率为15弧秒）。5. 结论本研究证明了基于小波的测高数据和船载重力数据的融合显著改善了埃及周围海洋重力场的表示，通过结合两种数据源的互补优势。去噪后，船载数据被网格化为1′，以匹配DTU21的AFAG的空间分辨率。随后，测试了1–6级分解中的七个小波家族与独立的船载测量数据作为参考场。所有小波在3级分解（“改进阶段”）之前通常都能提高一致性，而更高级别的分解（≥4）倾向于过度分解信号，在细节带中放大噪声并降低结果（“退化阶段”）。使用dmey小波进行三级分解得到的融合结果最佳，将RMS差异从6.27 mGal（融合前）降低到5.27 mGal，总体改进了15.95%。测试了用于整合高通分量的融合规则，表明选择AFAG和SFAG高通分量之间的较大绝对值可以保留主要的局部细节并得到最佳结果。加权平均融合（测试了SFAG和AFAG细节分量之间的权重）也降低了RMS，但并未优于最大绝对值规则。功率谱分析显示，融合后的网格有效地合并了两个数据集的优势。在低波数（0–0.05）处，它与测高场（AFAG）一致，保留了长波区域趋势。在中等范围（0.05–0.15）内，谱线在AFAG和船载场（SFAG）之间上升，验证了不同数据集之间的平衡。在高波数（0.15–0.3）处，融合后的谱线接近SFAG，证实了短波细节的增强。与GEBCO2025沿船测量的海底地形和随机剖面的比较表明，融合后的重力异常与海底地形的吻合度比单独的测高场（AFAG）要高得多，尤其是在船载测量密集的区域。在采样稀疏的区域，由于插值SFAG的质量较低，融合结果倾向于回归AFAG。总体而言，融合结果在大部分研究区域内显示出与海底地形的更好一致性，验证了基于小波的方法作为使用互补的船载和测高数据增强海洋重力场的有效工具。最后，我们得出结论，密集且分布良好的船载重力数据对于增强融合过程至关重要。尽管我们的研究建立了一种有效的融合策略，但地中海地区的显著数据缺口限制了网格化过程并限制了整体改进效果。这些发现强调了在这些区域需要额外的高质量船载测量，以进一步提高未来工作中融合重力模型的可靠性和空间分辨率。CRediT作者贡献声明：Mahmoud Abulkhair：撰写——原始草稿、可视化、验证。Ahmed Zaki：撰写——审阅与编辑、监督、方法论。Ahmed Elhadary：撰写——审阅与编辑、监督。Basem Elsaka：监督、资金获取、概念化。Mostafa Rabah：验证、监督、概念化。