连续纤维增材制造复合材料的优化过程中遇到的失败问题及其处理方法

《Energy Economics》：FAILURE AND PROCESSING INFORMED OPTIMIZATION OF CONTINUOUS FIBER ADDITIVELY MANUFACTURED COMPOSITES

　　杰弗里·W·鲍尔 | 阿西姆·沙赫扎德
美国伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校

**摘要**
本文提出了一种用于连续纤维增强复合材料（CFRC）增材制造（AM）的并行拓扑与连续纤维取向（T&CFO）优化方案，该方案基于实验确定的失效特性和制造约束条件。该优化方案结合了固体正交各向异性材料、惩罚插值（SOMP）方法、标准化的蔡-吴失效准则以及移动渐近线法（MMA），以确定最佳的纤维布局和取向。该方案应用于L形梁、悬臂梁和MBB梁的设计，这些结构是通过反应性树脂浸渍纤维束的增材沉积（ADRRIFT）工艺制造的。本文还开发了一种新的离散最优纤维取向路径规划方法——分布式分支法（Distributed Branch method），以确保结构接头处的可制造性。采用这种T&CFO优化方法后，优化后的MBB梁、L形梁和悬臂梁的预测强度分别比单向层压板提高了约2倍、8倍和20倍。实际制造的MBB梁具有50.5% ± 1.5%的纤维体积分数（FVF）和小于2%的孔隙体积分数（VVF），并进行了机械测试。对于质量为68.0 ± 1.2克的MBB结构，在弯曲试验中记录到的最大载荷为6.25 ± 0.15 kN，实验值与数值预测值之间的强度和刚度差异仅为约5%。测得的特定弯曲性能是单向层压板预测值的两倍。总体而言，我们展示了一种有效的、基于实验数据的优化策略，用于设计和制造具有高FVF、可预测机械性能以及显著提高结构效率的CFRC结构。

**1. 引言**
增材制造（AM）的出现彻底改变了结构工程领域，特别是在复杂几何形状和定制组件的设计与制造方面。这种创新的制造技术提供了前所未有的设计灵活性，能够实现传统制造方法无法实现的复杂几何形状。然而，AM复合材料的独特特性也带来了一些挑战，尤其是在组件的机械性能和稳健性方面[1]。拓扑优化（TO）是一种数学方法，可以在给定的设计空间内高效分配材料，同时考虑特定的载荷条件和约束。将拓扑优化（TO）与复合材料制造工艺相结合已成为一个重要的研究领域，使得能够设计出具有增强机械性能的轻质结构[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。在纤维增强复合材料的背景下，这涉及优化结构的几何形状和增强纤维的取向，这两者都显著影响复合材料的机械性能。

纤维增强复合材料以其优异的强度重量比而闻名，使其成为航空航天、汽车和土木工程应用的理想选择。这些材料的各向异性特性要求采用复杂的TO方法来优化复合材料的拓扑结构和纤维取向，以实现所需的机械性能[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。通过逐层沉积纤维并按照优化轨迹进行沉积，可以显著提高连续纤维增强热塑性复合材料（FRTPC）的方向刚度性能[2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11]。这种方法通过使材料分布与预期的载荷路径对齐，从而显著提高了复合结构的刚度和强度[4, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]。纤维取向与结构拓扑的并行优化利用了纤维增强复合材料的各向异性和理想的机械性能，在集成设计过程中进行了数值和实验研究[9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]。对于AM连续FRTPC而言，这种做法可以显著提高峰值载荷和结构刚度，分别比单向复合材料提高了64%和36%[6]；与纯聚合物设计相比，L形支架的特定刚度提高了165%，MBB梁的特定刚度提高了264%[2]。据报道，与[0,90]s相比，L形支架的特定刚度增加了90%，与[0]n相比，MBB梁的特定刚度增加了100%，计算结果与实验结果之间的差异为6%[5]。通过将纤维取向与主应力方向对齐，研究人员在保持结构刚度的同时，数值上实现了重量减少66%[13]。此外，计算方法和算法的进步使得多种优化过程能够更有效地结合，从而形成了多目标设计方法[2, 10, 21, 22]。

**2. 拓扑与纤维取向的强度约束优化**
马等人开发了一种基于强度约束的优化算法，该算法同时考虑了拓扑结构和纤维取向，与不考虑强度约束的优化方法相比，最大蔡-吴值降低了73%[15]。尽管在多尺度设计数值框架方面取得了显著进展[2, 3, 15, 17, 23]，但优化后的数字模型与实际可制造部件之间仍存在差距，主要是由于未能充分纳入制造过程中的具体限制[20]。在AM复合材料中，需要仔细考虑纤维对齐方式以最大化强度和刚度[21, 24]，但由于增强纤维的连续性和曲率限制以及AM工艺的沉积限制，并非所有理想的纤维对齐方式都能在实验中实现。结合增材制造工艺的制造约束的计算设计方法可以缩小优化设计与实际可制造复合材料结构之间的差距。

**3. AM复合材料结构的纤维取向和纤维体积分数（FVF）的差异**
大多数先前的研究集中在使用尼龙和PLA等热塑性基体的CFRC上[2, 3, 5, 6, 7, 8]，这些材料在高性能结构中的应用有限。由于纤维与热塑性基体的界面质量较差、纤维之间和内部会形成微孔，以及未考虑实际制造约束，增材制造的热塑性复合材料的机械性能会降低[25, 26]。据报道，增材制造的连续FRTPC的孔隙体积分数（VVF）高达12.5%[28]，纤维体积分数（FVF）为10-35%[2, 4, 28]。通过压缩成型（CM）后，VVF可以降低到5.9%，但仍低于理想设计的要求[28]。对于高性能结构，需要实现高FVF（>50%）的热塑性复合材料的增材打印，但这尚未得到广泛实现。在AM沉积层之间保持高质量粘结通常是限制连续FRTPC机械性能的制造约束之一。精确控制打印参数（如温度、速度和压力）会影响粘结程度和界面质量[29]。

与热塑性材料相比，热固性材料通常具有较低的粘度，可以实现更低的VVF，具有更强的界面强度和更好的环境耐久性[30]。较低的粘度使得热塑性树脂能够快速浸入连续纤维束中，并支持反应性树脂浸渍纤维束（ADRRIFT）工艺的增材沉积。与连续FRTPC AM工艺不同，后者在沉积前加热热塑性浸渍纤维束并在沉积后固化，而ADRRIFT工艺则沉积含有反应性树脂的连续纤维束，这些树脂在化学反应后固化。Continuous Fiber 3D（CF3D?）工艺是由Continuous Composites Inc.提供的一种特定类型的ADRRIFT工艺，它使用安装在机器人臂上的末端执行器对干纤维束进行原位浸渍，然后进行大规模打印。其他小规模的ADRRIFT工艺通过填充有反应性树脂的注射器牵引碳纤维束，以制造高FVF的增材固化纤维束[31]。一些研究人员在固化前在芯壳结构中加入多种树脂，以改善纤维束的形状并增强固化过程中的层间粘结[32]。如图1所示，CF3D?机器在原位将干纤维束浸渍低粘度双UV-热固化树脂，将浸渍后的纤维束放置在基底上并控制压实，然后用预定剂量的紫外线照射纤维束以部分固化并固定其位置，最后切割纤维束。打印部件在烤箱中完全热固化[30]。鲍尔等人[30]证明，可以实现具有高FVF、低VVF和接近传统制造复合材料性能的复合材料。然而，当纤维路径违反沉积硬件的几何或运动学约束时，某些设计无法实现。

**4. 结论**
尽管大量研究建立了稳健的拓扑和纤维取向优化框架，但大部分实验验证集中在热塑性基体的增材制造（AM）上[2, 3, 5, 7, 20]，无论是否添加碳纤维增强。然而，实现连续碳纤维增强热固性复合材料（CCFRTSC）的优化结构是一个复杂挑战。与热塑性材料的热机械循环不同，热固性基复合材料的制造引入了复杂的反应动力学，使得许多工艺参数相互依赖。打印结构的保真度和结构效率取决于一系列多维参数的协调，包括纤维束间距、宽度、打印速度、打印半径、紫外线辐照度、树脂温度、树脂压力和压实力[33]。在沉积过程中管理树脂的流变状态和固化动力学是热固性AM与更传统的热塑性挤出方法的主要区别。即使使用能够在测试样品中实现理想正交各向异性的增材工艺，也需要基于强度的失效准则来预测具有复杂增强结构的AM结构的失效情况。有效的纤维路径规划以及已知制造约束对于确保优化设计能够在实验中实现至关重要。幸运的是，用于CF3D? ADRRIFT工艺的PolyMat?双固化树脂与T-1100 12K碳纤维的复合材料失效值已经通过实验确定[34]，可以用于考虑多种失效模式（如蔡-吴准则）的基于强度的失效准则。同样，CF3D?工艺的制造约束（如纤维束沉积的最小半径、纤维束尺寸和重叠控制）也由作者和制造商通过实验进行了量化。有效的路径规划、对工艺限制的理解以及能够一致地将浸渍纤维束相邻放置的能力对于从优化设计过渡到连续可制造的AM复合材料结构至关重要。

帕帕佩特鲁等人[17]实施了三种纤维填充模式，以解决基于密度优化的T&CFO复合材料中纤维取向的不连续性问题。这些纤维填充模式包括偏移（Offset）、等间距（EQS）和流线型（Streamline）方法。他们的目标是设计连续的纤维路径，以避免相邻元素之间纤维取向的突然变化，从而减少应力集中并确保可制造性。当使用这些方法生成的纤维路径未能完全填充优化区域时，会导致内部空洞和尖锐的纤维角[5, 17]。费尔南德斯等人[5]采用这些方法制造连续FRTPC部件时，发现了未填充区域和纤维取向的突然变化，这导致数值结果与实验结果之间存在6%至18%的差异。其他纤维路径规划方法包括基于骨架线的方法[35]、连接的费马螺旋（CFS）[36]、负载依赖路径规划（LPP）[20]和基于支柱-接头（S-J）特征的方法[7]，这些方法已被提出并应用于纤维增强热塑性材料。然而，这些方法忽略了制造限制，无法直接应用于具有高纤维体积分数（FVF）的纤维增强热固性材料的刀具路径规划。本研究旨在通过整合基于失效信息的优化方案和受增材制造（AM）工艺限制影响的刀具路径生成方法来提高材料的性能和可预测性。具体来说，我们采用基于密度的拓扑结构和连续纤维取向优化方法来设计具有强度限制的热固性碳纤维增强复合材料（CFRC）。我们还开发了一种刀具路径规划和制造策略，以考虑基于ADRRIFT的CF3D?打印过程的特定限制。我们将这种集成多尺度优化方法应用于提高端载悬臂梁、梅塞施密特-伯尔科沃-布洛姆（MBB）和L形复合梁的刚度。通过制造并机械表征高FVF（>50%）和低VVF（约2%）的MBB复合结构，实验验证了这些设计的有效性。

2. 方法与材料
2.1. 问题表述：结构拓扑与纤维取向优化
本节简要描述了基于失效信息的拓扑结构和连续纤维取向优化（T&CFO）的问题表述。将经典的复合材料层压理论（CLT）与基于密度的拓扑优化方法相结合，并利用实体正交各向异性材料及惩罚（SOMP）材料插值方案来推导目标函数的表达式。结构拓扑和纤维取向优化的合规性最小化问题在方程（1）、（2）中进行了数学描述。设计变量为ρ和θ，它们是经过过滤的伪密度和纤维取向，n是设计域中的元素总数。σ是结构合规性，等于元素应变能之和（方程（3）。K和u是全局刚度矩阵、位移向量和施加的载荷向量。如下所述，我们寻求确定在特定载荷情况下能够最小化合规性的密度分布和纤维取向。
(1)
(2)
(3)
方程（3）中的刚度惩罚因子q减少了中间密度元素的数量。与eth元素相关的位移向量为u，k是eth元素的刚度矩阵。体积分数约束、Tsai–Wu失效约束和平衡约束被定义为确保结构的最佳性能和可靠性。V和W是材料和设计域的体积，φ是规定的体积分数，θ是eth元素的Tsai–Wu值。作为强度约束实施的Tsai–Wu失效准则确保应力低于失效应力，平衡约束确保结构处于平衡状态。材料体积分数约束限制了材料布局优化过程中的体积减少，以按给定比例减少结构的体积和质量。定义了设计变量的下限和上限。ρ的下限设为非零值，以避免刚度矩阵的奇异性，上限设为1。λ和μ是设计变量的下限和上限，其中θ0是初始纤维取向。
每个网格元素的刚度σ使用方程（4）计算得出，其中B是形状函数导数矩阵，D是由方程（5）定义的全局坐标系（x,y,z）中的本构矩阵。变换矩阵为T，局部/材料坐标系（1,2,3）下的平面应力问题的原始弹性矩阵为E。B、T和D在补充信息附录A中的方程（1.A和2.A）中有定义。
(4)
(5)

2.2. 设计变量过滤
为了确保网格独立性、消除如棋盘格效应[37]之类的数值不稳定性，并获得空间上一致的纤维取向场，对密度和纤维取向变量实施了稳健的过滤框架。虽然线性过滤对于标量密度场是足够的，但纤维取向的周期性需要更复杂的非线性方法来避免几何不一致性。
2.2.1. 密度过滤和投影
过滤伪密度场“ρ”是一种正则化技术，它施加了最小长度尺度，减轻了网格依赖性并抑制了棋盘格效应。元素e的过滤后密度ρ'是其邻域内ρ的加权平均值，计算公式为方程（7）。权重函数基于元素中心之间的欧几里得距离，对于线性（圆锥形）过滤器。过滤前后的密度场分别在补充信息附录B中的图B.1（a）和（b）中展示。子图（a）展示了设计域的初始原始状态，表示应用于离散密度场ρ的欧几里得过滤半径R，子图（b）证明了正则化密度场减轻了数值棋盘格效应。
(6)
然而，线性过滤器本质上会产生大量的“灰色”中间密度区域[38]。为了促进接近离散的黑白（0-1）拓扑结构，采用了Guest等人[39]提出并由Wang等人[38]改进的方法论中的Heaviside投影。投影后的物理密度ρ'使用双曲正切函数定义（方程8），其中θ'是投影阈值，设为0.5。通过采用逐渐增加陡度参数θ'从1到32的连续方案，优化器能够在收敛到清晰边界之前有效地探索设计空间。
(7)

2.2.2. 纤维取向过滤
由于设计空间的π周期性，过滤纤维取向θ提出了独特的挑战。传统的角度值线性过滤在数学上是有缺陷的；例如，85°和-85°的线性平均值结果为0°，而物理上直观的平均值应该是90°，以考虑π周期性。为了克服这一点，我们采用了非线性的圆形平均滤波器（方程（8）、（9）。取向设计变量首先被映射到一个连续向量空间，然后使用基于元素中心之间欧几里得距离的权重函数进行线性过滤。
(8)
(9)
使用四象限反正切函数（方程10）恢复过滤后的取向θ'。过滤前后的取向分别在补充信息附录B中的图B.1（c）和（d）中展示。子图（c）展示了未过滤的纤维取向分布θ，它容易产生角度不一致性，子图（d）证明了非线性圆形平均滤波器通过考虑设计空间的π周期性恢复了空间上一致的取向场。
(10)

2.3. Tsai–Wu失效准则的实施
作为强度约束实施的Tsai–Wu失效准则确保应力低于失效应力。Tsai–Wu考虑了正应力和剪应力之间的相互作用，这对于各向异性材料至关重要。2D平面应力条件下eth元素的Tsai–Wu失效准则由方程（11）给出。系数α和β用材料的压缩强度值σ1、σ2和σ6以及拉伸强度值σ1'、σ2'和σ6'表示（方程（12）。材料坐标系中的正应力和剪应力分别为σ1、σ2和σ6。eth元素在材料坐标系中的有效平面应力值σeff使用方程（13）计算得出。
(11)
(12)
(13)
每个元素e在全局坐标系（x,y,z）中心的应力使用方程（14）计算得出，其中u是eth元素的位移向量，k是应力惩罚因子。
(14)
应用应力惩罚是为了防止奇异性问题，因为低密度元素倾向于表现出高应力值，可能在优化过程中导致奇异性[40]。元素e的约束由方程（8）给出，可以用单个最大强度约束表示（方程（15）。
(15)
最大强度约束函数不可微分；因此无法获得敏感性表达式。将局部应力约束聚合成单一可微分全局约束的两种主要方法是P-范数（带自适应校正）和Shifted Kreisselmeier-Steinhauser（KS）函数，它们提供了平滑的近似。
2.3.1. 稳定的P-范数聚合函数
P-范数聚合函数用于近似最大Tsai-Wu值[15]，将所有约束合并为一个全局约束（方程（16），其中φ是近似最大值的聚类值，θ'是eth元素的Tsai–Wu值，P是P-范数因子，用于控制近似的准确性。
(16)
对于中等P值，P-范数会高估最大值，随着P的增加而趋向于最大值[41, 42]。基于先前的研究[15, 40]和不同值的数值测试，P在整个优化过程中被设置为固定值10，以确保数值稳定性。使用具有稳定性变换的P-范数函数构建全局应力约束，结合迭代校正来弥合最大局部应力与P-范数应力之间的差距。为了减少φ和σeff之间的差异，采用了Le等人[40]提出的校正因子，并将其公式化为方程（17）。校正因子在每次优化迭代中计算，并表示为方程（18），其中λ和μ分别是第i次和第j次迭代的校正因子；κ控制φ和σeff之间的变化，并设为固定值1。
(17)
(18)

2.3.2. Shifted Kreisselmeier-Steinhauser（KS）函数
Kreisselmeier-Steinhauser（KS）函数是基于Log Sum Exp运算符[41]的最大值上界近似。Shifted KS约束聚合函数可以用作最大Tsai Wu失效指数的近似，将所有约束合并为一个全局约束（方程（19），其中γ是聚合参数，但通常范围在[0,1]之间。与P-范数相比，Shifted KS函数对于各向异性失效准则（如Tsai-Wu）具有更好的鲁棒性，特别是在存在有符号失效指标[41]的情况下。
(19)

2.4. 敏感性分析
针对过滤后的设计变量，对目标函数和约束函数的敏感性分析是基于梯度的优化中的关键步骤。敏感性分析使用伴随方法提供了目标函数和约束函数相对于过滤后设计变量的导数表达式。
2.4.1. 目标函数敏感性
合规性相对于密度的导数通过方程（20）评估，合规性相对于过滤后取向的导数通过方程（21）评估。体积约束相对于过滤后设计变量的敏感性由方程（22）给出。
(20)
(21)
(22)
物理密度ρ'和过滤后密度ρ''的导数分别在方程（23）、（24）中给出。
(23)
(24)
过滤后纤维取向θ'相对于未过滤取向θ的导数通过方程（25）表示，其中θ0和θ'分别由方程（9）和（26）定义。
(25)
(26)

2.4.2. 约束函数敏感性
强度约束相对于设计变量θ的敏感性表示为方程（27）、（28），物理密度ρ'和过滤后密度ρ''的导数分别在方程（23）、（24）中给出。
(27)
(28)
eth元素的伴随节点值向量λe可以通过解伴随方程（29）获得。
(29)
KS和PN的θ'相对于θ的偏导数分别由方程（30）、（31）定义。
(30)
(31)
θ'相对于应力的偏导数通过方程（32）表示。
(32)

2.5. 优化框架
所提出的拓扑结构和连续纤维取向（T&CFO）优化设计框架的基本步骤如图2所示。
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图2. 拓扑结构和连续纤维取向优化框架与刀具路径规划、增材制造和机械测试相结合。
步骤1建立连续拓扑结构和纤维取向优化框架，公式化在方程（1）、（2）、（3）中，并初始化设计变量。还定义了载荷、边界条件、材料属性、离散化参数和约束。
步骤2执行有限元分析（FEA）以获得位移向量并评估目标函数和约束函数。
步骤3检查是否达到收敛并满足约束。如果没有，进入步骤4；如果是，输出优化后的设计变量（ρ, θ），然后进入步骤5。
步骤4计算方程（19）、（20）、（21）、（22）、（23）、（24）、（25）、（26）、（27）、（28）、（29）中定义的目标函数和约束函数的敏感性，使用MMA更新设计变量，然后进入步骤2。
步骤5定义拓扑优化结构的边界，并从离散纤维取向评估连续纤维轨迹。
步骤6使用基于ADRRIFT的CF3D?工艺增材制造优化后的设计。
步骤8进行机械测试。

2.6. 增材制造
2.6.1. 材料和设备
如图1所示，使用连续纤维3D（CF3D?）工艺制造了优化的结构，用于连续碳纤维增强热固性复合材料（CCFRTSC）。如前所述，该过程包括将干纤维束原位浸渍低粘度聚合物树脂，然后将浸渍了树脂的纤维束通过一系列喷嘴挤出，最终沉积在构建表面上。沉积后，材料会经历轻微压缩以增强粘附力并确保层间完整性。打印出的纤维束会接受紫外线（UV）照射，以部分固化树脂、固定形状并提供尺寸稳定性。这些柔性的纤维束形成了一个孔隙率较低的紧密嵌套的微观结构。随后对打印出的复合材料进行烤箱后固化处理，使聚合物基体完全固化并增加交联程度，从而获得具有复杂形状、低孔隙含量和理想机械性能的复合材料（表1）。

表1. 使用PolyMat?树脂和T-1100SC-12K-50C碳纤维束的CF3D?打印复合材料的材料性能 [34]。

材料 性能 单位
纵向拉伸模量（E1T） 144 GPa
横向拉伸模量（E2T） 7.6 GPa
平面剪切模量（G12） 5.74 GPa
纵向拉伸强度（XT） 1793 MPa
纵向压缩强度（XC） 827 MPa
横向拉伸强度（YT） 25.21 MPa
横向压缩强度（YC） 171 MPa
平面剪切强度（S） 88.8 MPa

选择了一种光固化热固性树脂PolyMat - High Tg（PolyMat?）与高强度Toray T-1100 12K碳纤维束（T-1100SC-12K-50C）进行打印。表1列出了纤维体积分数约为50%（48.9% – 50.3%）的CF3D?打印复合材料的性能数据[34]，为基于失效的优化提供了依据。烤箱固化循环的详细信息见补充信息中的附录C.1。图3和图4中的Tsai-Wu失效表面显示了单向复合材料的显著非线性和各向异性特性，失效包络线强烈依赖于纤维取向角θ。

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图3. 不同纤维取向下的Tsai-Wu失效表面，显示出单向复合材料的非线性和各向异性特性。
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图4. 随纤维取向变化的Tsai Wu失效表面：(a) 和 (b)。

当θ = 0°时，材料在纵向（σx）表现出优异的强度，反映了纤维的高拉伸强度（XT = 1793 MPa），而横向强度（YT = 25.2 MPa）明显较低，导致失效包络线沿σx轴高度延伸。当θ增加到30°时，包络线在轴向显著收缩但在剪切方向上扩展，表明失效主要由剪切作用主导，这是由于层间剪切强度相对较低（S = 88.8 MPa）所致。当θ = 90°时，失效包络线与0°情况相同，但与σy对齐，突显了材料对纤维取向的极端敏感性。Tsai-Wu准则通过耦合项F12（方程11）捕捉了非线性应力相互作用，导致截面形状非椭圆形且不对称，无法用最大应力或von Mises等简单准则来描述[44]。这种取向依赖的失效表面变形强调了需要对复合材料进行拓扑优化，以考虑局部纤维角度，因为θ的微小变化会显著改变允许的应力状态，最佳设计需要空间变化的取向。失效包络线的狭窄也表明需要具有更高强度的树脂。

2.6.2. 制造参数和约束
CF3D?工艺利用一系列独立的参数来确保出色的打印质量、低VVF（体积分数）、高FVF（纤维体积分数）和结构完整性。关键工艺参数包括纤维束间距、打印速度、打印半径、UV辐照度以及树脂的物理状态（树脂温度和树脂压力），还包括机械因素如层厚度和压实力。对于直线工具路径，针对PolyMat?热固性树脂和T-1100SC-12K-50C碳纤维束优化的基线参数总结在表2中，其余参数见补充信息（附录C.2）。

表2. 使用PolyMat?树脂和T-1100SC-12K-50C碳纤维束的CF3D?直线打印参数。

为了打印复杂的曲线形状，需要复杂的参数关联来防止纤维起皱、纤维束聚集和分层等缺陷。为了保持均匀的打印质量，必须根据局部打印半径（rp）调整V、d和IUV等参数。这些打印参数之间的关联已确定并应用于曲线打印路径。曲线路径打印在构建板上，打印半径范围从5到20厘米，详见补充信息中的附录C.3（图C.1）。实验确定了一个临界打印半径为18厘米，可以使用上述制造商提供的直线标准打印参数值（表2）实现。为了实现更小的打印半径，需要降低打印速度和纤维束间距。通过测量，确定了在不引起纤维起皱的情况下可以打印的最小半径。使用ImageJ测量纤维束宽度以确定纤维束间距。

一旦知道了离散半径下的参数值，就可以利用方程（33）、（34）、（35）中的曲线拟合数据来计算相关值。打印速度作为打印半径的函数在方程（33）中定义，其中a和b是常数，c是临界打印半径。当打印半径小于临界值时，纤维束间距开始减小，并且对于大于临界值的半径，纤维束间距保持不变。因此，为了避免纤维束之间的空隙，纤维束中心之间的距离也作为打印半径的函数来定义。

2.6.3. 纤维路径规划和设计
稳健的纤维路径规划策略对于将理论优化的拓扑结构和离散纤维取向场转化为可实际制造的组件至关重要。虽然优化提供了理想的承载结构，但得到的离散取向并不一定满足我们的增材制造过程的连续性要求。此外，复杂的拓扑结构通常包含传统填充方案难以处理的几何特征。先前的研究探索了三种主要的纤维填充模式：偏移（Offset）、等间距（EQS）和流线型（Streamline）[17]，以解决基于密度的T&CFO优化复合材料中的不连续性问题。尽管这些方法旨在确保可制造性，但在应用于复杂的高性能结构时存在显著缺点。偏移方法在尖锐的内凹角处会产生无法打印的特征，并在结构中留下大量内部空隙。等间距（EQS）方法无法精确贴合优化边界，导致纤维角尖锐且材料分布不均匀。流线型方法虽然提高了连续性，但往往无法完全填充优化设计域，从而在材料边界处产生结构弱点。图6(a–c)展示了这些方法的局限性，表明它们无法完全捕捉复杂的结构节点。

其他纤维路径规划方法包括基于骨架线的方法[35]、连接的费马螺旋（CFS）[36]、负载依赖路径规划（LPP）[20]和基于支柱-接头（S-J）特征的方法[7]，这些方法已被提出并用于纤维增强热塑性塑料。然而，这些方法忽略了制造约束，导致生成的工具路径存在问题，无法用于高FVF的纤维增强热固性材料的路径规划。为了克服这些限制，我们引入了一种创新的分布式分支方法（图6d）。该方法利用重叠和错开的纤维束结构，精确贴合优化边界。半径小于最小打印半径的区域通过重叠的半编织纤维分支进行打印。通过错开和重叠柔性的纤维束，算法保持了均匀的层厚度，并消除了先前方法中的内部空隙。在连续纤维热固性材料的增材制造中，管理结构交叉处的局部层高度是一个关键挑战，因为汇聚的工具路径常常会导致材料堆积。

在本工作中，层高度通过控制相邻纤维束之间的横向重叠来控制。通过改变纤维束间距和重叠程度，可以动态控制层高度（t）。ADRIFT工艺中，浸渍了树脂的纤维束在离开沉积喷嘴时最初呈现圆形截面。沉积后，压实力（F）将未固化的柔性纤维束压平在基底或先前沉积的层上，使截面变为椭圆形（附录E的图E.3）。这种材料的柔韧性使得最终纤维束的厚度和宽度在整个沉积过程中保持可变，由相邻纤维束的横向约束和UV诱导的部分固化前的压缩程度决定。分布式分支方法利用这种运动行为来保持全局尺寸的一致性。

对于标准直线部分，标称纤维束宽度（w）为34毫米，纤维束的中心间距（d）为25毫米，产生4.5毫米的横向重叠，从而确定了基线层厚度（t）为0.225毫米（表2）。附录E的图E.3展示了CF3D?打印单向层压板截面的光学显微照片中相邻纤维束之间的重叠情况。分布式分支方法利用纤维束重叠与层厚度之间的关联来保持全局轮廓的均匀性。在连接区域之前，纤维束以更高的重叠程度（较小的纤维束间距“d”）排列。然而，当工具路径接近交叉点时，纤维束会“分叉”，增加纤维中心之间的有效间距（附录E的图E.2）。这种有意的分叉减少了交叉处的局部重叠，从而降低了多个路径汇聚处的有效层高度。通过在交叉处策略性地减少重叠，算法防止了传统重叠路径中常见的厚度加倍现象。为了确保整个零件的表面完全平坦，可以在每隔几层后选择性地添加过渡区域的纤维束。这种周期性补偿保持了分支交叉点之间的恒定厚度。最终，交叉前的高重叠和交叉处的错开分支有效减轻了厚度堆积，确保结构保持目标厚度，如附录E的图E.4所示。

从离散取向到连续路径的转换过程如图7所示，分为多个步骤：
a) 优化拓扑和纤维取向：确定并展示了MBB梁的优化拓扑和纤维取向（图7(a)）。通过评估优化密度场的梯度来识别固体-空隙界面，从而为路径规划提供精确的结构边界表示。使用边界元素中心作为插值点，根据点间距离过滤离散的纤维方向以确保平滑性。b) 正交元素：实现了正交元素SOMP [3]，在σ1与σ2相当的区域交叉处加入正交元素，以避免失效（横向或剪切）、图7(b)。正交元素还可以降低空洞含量并提高面积覆盖率 [3]。c) 连续纤维路径：通过评估离散纤维方向场上的流函数来提取流线，从而确定连续纤维路径。通过求解一个标量场来得到流线，使其梯度与定义在设计域Ω上的离散方向场V垂直，其等高线代表所需的流线。通过采用45、46提出的类波理论方法来确定材料状态场，将流线转换为纤维路径，图7(c)。详细信息见补充信息（附录D.1和D.2）。d) 交叉点映射：通过分析优化后的纤维方向场的旋度来识别交叉点，图7(d)。局部曲率可以与旋度相关联，但两者不一定相等 [45, 47]。详细信息见补充信息（附录D.3）。纤维路径延伸到高旋度区域，如图7(d)中的灰色虚线所示。e) 分布式分支方法：通过实施控制局部纤维路径曲率的分支网络算法获得最终的制造可用纤维路径。在图7d中，延伸的路径（灰色虚线）在识别的交叉点（高旋度区域）处分成左右两个分支。图7(e)中仅显示了四个具有分布式分支的纤维路径，其余路径以黄色虚线显示。f) 半编织交叉点：纤维路径分支交替打印，在交叉点形成半编织结构，如图7(f)所示。路径按以下顺序打印：黄色、红色、蓝色，最后是绿色。拖丝的宽度和厚度是两个半径的函数，如2.6.2节所述。具有小打印半径的拖丝厚度几乎是直拖丝的两倍。当将打印参数相关性纳入分布式分支方法的路径规划时，可以减少交叉点的材料堆积。分布式分支方法的详细信息见补充信息（附录E）。

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图7. 分布式分支方法 - 纤维路径规划：(a) 优化后的拓扑结构和纤维方向；(b) 交叉处的正交元素；(c) 从流线确定的纤维路径；(d) 识别高旋度区域；(e) 在考虑高旋度区域的制造约束后应用分布式分支方法的纤维路径；(f) 具有分支纤维路径的半编织交叉点。

3. 结果与讨论
在各个部分中，优化了不同载荷和边界条件的L形梁（第3.1节）、悬臂梁（第3.2节）和Messerschmitt-B?lkow-Blohm（MBB）梁（第3.3节），以验证数学模型和问题表述的正确性。方程（1）、（2）中定义的优化问题可以使用多种不同的方法解决，例如最优性准则（OC）方法、序列线性规划（SLP）方法或移动渐近线方法 [48]。由于移动渐近线方法（MMA）[49] 在非线性优化中的高效性和有效性，因此用于解决T&CFO问题，从而确保稳定性和鲁棒性。优化后的设计变量为每个网格元素提供了密度和纤维方向。以弧度表示的优化纤维方向被转换为具有x和y分量的单位向量，并在每个元素的中心绘制为向量。收敛标准基于目标函数的相对变化和设计变量的相对变化，并设置为某个值。然后打印MBB设计（第3.4节），并在三点弯曲试验中对其进行机械测试（第3.5节）。

3.1. L形梁优化
L形梁的设计域、载荷和边界条件如图8(a)所示。梁的特征长度L = 160毫米，厚度为4毫米。为了确保高保真度结果，域被离散为19,200个2-D四边形等参元素（1毫米×1毫米）。在顶部边缘节点施加固定支撑条件，同时在右上角的五个节点上分布一个向下的垂直载荷（F = 1500牛顿），以最小化局部应力奇异性。优化初始化时使用了均匀的伪密度、垂直纤维方向、6毫米的过滤半径和总体积分数约束。收敛的拓扑结构和纤维方向设计如图8(b-d)所示。优化的材料分布显示出一个分支桁架状结构，有效支撑了载荷。通过用平滑的拓扑过渡和连续的纤维导向来圆化内部（凹入）角，优化器有效地减轻了在标准90°设计中会导致过早失效的应力集中。

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图8. L形梁：(a) 载荷和边界条件；(b) 优化后的纤维方向（颜色对应于纤维角度）；(c) 优化后的拓扑结构；(d) 连续纤维方向（每个像素中的小箭头）。
图8(b-d)中所示的优化后的拓扑结构和纤维轨迹展示了材料分布和方向强化的协同效应。图8(c)中的拓扑结构演变为一个多成员分支结构，有效地将悬臂载荷从右上角传递到固定支撑。关键的是，图8(d)中显示的纤维方向场在凹入角周围表现出高空间连续性。这种曲线导向使T-1100SC碳纤维（表1）的主要增强方向与拓扑的弯曲边界对齐，从而最大化利用材料的高纵向抗拉强度（XT），同时最小化对显著较弱的横向性能（YT）的依赖。这种“导向”结构不仅在结构上更优越，而且与CF3D的连续沉积过程高度兼容，因为它避免了会损害制造完整性的尖锐不连续性。
图9中显示的应力分布为拓扑和纤维轨迹的同时优化提供了机械上的合理性。尽管法向（σxx和σyy）和剪切（σxy）应力在凹入角和支撑区域附近自然集中（图9 b–d），但优化器通过拓扑圆化和精确的纤维导向成功管理了这种复杂状态。如图9(a)所示，最大Tsai-Wu指数严格限制在0.99，通过将峰值战略性地定位在主要拉伸和压缩肢上来满足失效约束。这表明拓扑和纤维路径的同时优化有效地重新分配了内部载荷，使其与材料的高强度纵向方向对齐，利用了T-1100SC碳纤维的优异的XT（1793 MPa）和XC（827 MPa）性能。最值得注意的是，剪切应力分布远低于材料的强度极限（S = 88.8 MPa），证实了优化后的纤维路径最小化了有害的平面内剪切分量。最终，这种整体的应力管理减轻了凹入角的奇异性，确保了设计在整体上具有刚性，同时在局部对材料失效具有鲁棒性。

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图9. 优化后的L形梁 - Tsai Wu和全局应力分布（Pa）：(a) Tsai Wu失效指数；(b) 法向应力分布；(c) 法向应力分布（Pa）；(d) 剪切应力分布（Pa）。
为了量化同时优化T&CFO框架的结构优势，将优化后的L形梁的极限承载能力与重量等效的单向（UD）基准进行了数值比较。优化后的梁的长度和宽度与UD梁相同，但UD梁的厚度减小以确保重量等效。失效载荷定义为达到最大Tsai-Wu指数（）所需的垂直力。受失效约束的优化梁在违反安全阈值之前承受了-1500 N的预测载荷。相比之下，纤维方向为θ = 90°的UD梁在-180 N时失效，而θ = 0°方向的UD梁在-130 N时失效，主要是由于材料的横向抗拉强度较低（YT=25.21 MPa，表1）。这些结果分别比90°和0° UD基准提高了大约8.3倍和11.5倍的强度。UD配置的严重性能不足突显了单一方向强化在复杂几何形状中的不足。虽然UD设计极易受到材料低横向和剪切强度（YT = 25.21 MPa和S = 88.8 MPa）的影响，但同时优化成功地引导纤维以最大化利用纵向抗拉能力（XT = 1793 MPa）。
目标函数（合规性）和最大Tsai-Wu失效约束的收敛历史见补充信息（附录F）。合规性曲线在100到300次迭代之间显示出明显的阶梯式下降。这些下降归因于Heaviside投影函数（方程7）的β参数的周期性增加。这一过程迫使设计变量ρ趋向于二进制（0或1）状态，有效地锐化了拓扑边界，增强了结构，并降低了合规性。最大Tsai-Wu约束在优化的中期出现了显著的振荡和高幅度的尖锐“峰值”。这些峰值代表了优化器在同时满足强度约束和降低合规性方面的迭代努力。由于Tsai-Wu指数对纤维方向的微小变化非常敏感，因此纤维路径的微小调整会导致局部失效指数的显著波动。随着优化的进行，这些振荡趋于稳定，最终在1.0的阈值下方趋于平稳，表明设计在最大刚性和材料安全性之间取得了平衡。

3.1.1. 失效约束和无约束优化的比较
在本节中，我们比较了集成和未集成Tsai-Wu失效准则作为设计约束的L形梁的优化结果（表3）。虽然所有其他过程参数保持不变，但排除失效约束导致最大Tsai-Wu指数显著增加，从0.99（在安全范围内）上升到3.04，表明材料预计会失效。在受限（图8和9）和无约束（图10）设计之间观察到了明显的拓扑和形态差异。

表3. 集成和未集成Tsai-Wu失效约束的优化L形梁的比较
空单元
集成Tsai Wu约束
未集成Tsai Wu约束
最大值
最小值
0.99
-0.24
3.04
-0.27 (MPa)
69.1
-79.8
145.8
-94.9
4 (MPa)
217
-120
235.1
-119.5
5 (MPa)
30.8
-88.9
29.5
-108.6
2
合规性（Nm）
0.45
0.46

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图10. 未集成Tsai Wu失效约束的L形梁：(a) 最优纤维方向（颜色对应于纤维角度），以及(b) Tsai–Wu失效指数。最大Tsai Wu值为3.04，表明在尖角处发生失效和在凹入角处纤维方向突然变化。
受失效约束的优化（图8 b-d）产生了更自然的拓扑结构，其特征是在凹入角处有圆滑的过渡，从而减轻了局部应力集中。此外，受限模型中的纤维轨迹表现出平滑、连续的梯度。相比之下，无约束设计在凹入角处表现出尖锐的几何不连续性和纤维方向的突然变化，在极小距离内转变了近90°（图10a），从而导致局部应力状态升高[15]，随后违反了Tsai-Wu准则（图10b）。值得注意的是，两种情况下的合规性几乎相同（0.45 Nm vs. 0.46 Nm），表明基于强度的拓扑优化可以生成对全局结构刚性影响微小的安全失效设计。L形梁的研究结果表明，将Tsai-Wu失效准则纳入拓扑和纤维方向优化循环对于生成可行的连续纤维3D打印组件至关重要。
表3中的数据突出了全局结构刚性和局部材料强度之间的区别。虽然合规性值相似，但由于Tsai-Wu指数增加了三倍，无约束设计在物理上不可行。这证明了在复合增材制造中仅优化刚性是不够的，因为它经常忽略了各向异性材料中的高应力集中。从尖锐的90°纤维转向平滑的曲线轨迹的转变展示了优化器引导纤维避免失效的能力。这种在凹入角处的有机几何适应充当了结构填充物，有效地重新分配了σxx、σyy和σxy载荷，确保材料保持在安全范围内。除了结构完整性之外，受失效约束的设计与CF3D硬件更加兼容。纤维方向的突然变化（从90°变为0°）对于打印头来说是不可能实现的，因为这会导致纤维断裂或形成明显的空洞。因此，在受限模型中观察到的平滑纤维过渡不仅表明了设计的刚性，也表明了其可制造性。3.2. 悬臂梁设计优化为了进一步验证所提出的优化框架，对悬臂梁进行了拓扑结构和纤维方向分布的优化。该设计域的长度为300毫米，高度为100毫米，厚度为4毫米，如图11(a)所示。该域被离散为4,800个2D四边形等参元素（2.5毫米×2.5毫米）。边界条件包括一个完全受限的左边缘，以及一个在右下角三个节点上分布的2 kN垂直向下载荷，以最小化局部应力奇异性。下载：下载高分辨率图像（335KB）下载：下载全尺寸图像图11. 悬臂梁；(a) 设计域、载荷和边界条件；(b) 优化后的拓扑结构；(c) 优化后的拓扑结构和纤维方向分布（每个元素中心的箭头表示纤维角度）；(d) 连续的纤维方向分布（颜色对应于纤维角度）。优化过程从均匀的伪密度开始，水平纤维方向为，材料体积分数约束为。优化器进行了超过500次迭代，以确保目标函数和Tsai-Wu失效约束的收敛。优化后的结构配置和纤维轨迹如图11(b–d)所示。拓扑结构演变为一个经典的桁架结构，具有主要的对角压缩支柱和拉伸边界构件。如图11(c)和(d)所示，连续的纤维被精确地引导以与桁架构件的主应力轨迹对齐。图11(c)中的放大视图突显了优化器实现的高程度切向连续性，确保了纤维路径遵循结构边界，这是CF3D制造过程中至关重要的要求。优化后的悬臂梁的机械性能通过图12中的应力场进行分析。图12(b)和(c)中的正应力分布（σxx和σyy）表明，载荷主要通过优化后的支柱的轴向拉伸和压缩来传递。图12(d)中的剪应力（σxy）在主要结构构件中被成功最小化，仅在载荷重新分配的连接点处达到峰值。图12(a)中的Tsai-Wu失效分布始终保持在安全的弹性范围内。对于移位的KS聚合方法，最大失效指数（）被限制在0.31，相对于材料的极限强度提供了显著的安全裕度。优化后的悬臂梁的失效载荷与重量等效的单向（UD）梁进行了数值比较。优化后的梁的长度和宽度与单向梁相同。优化后的梁的失效载荷为-5500 N，而纤维方向为θ = 0°的UD梁仅在-270 N时失效，主要是由于复合材料的横向拉伸强度较低。这些结果表示与0° UD梁相比，强度提高了约20.4倍。下载：下载高分辨率图像（176KB）下载：下载全尺寸图像图12. 优化后的悬臂梁：(a) Tsai Wu失效指数；(b) 正应力分布（Pa）；(c) 正应力分布（Pa）；(d) 剪应力分布（Pa）。目标函数（合规性）和最大Tsai-Wu失效约束的收敛历史在补充信息（附录F）中有所描述。收敛历史提供了关于优化器稳定性的见解。与L形梁类似，合规性曲线显示出与Heaviside投影参数β增加相对应的离散阶跃下降。这表明从灰度密度场成功过渡到了一个明确的0-1拓扑设计。Max Tsai-Wu曲线在收敛迭代过程中显示出高频、低幅度的振荡。这些波动反映了Tsai-Wu准则对纤维方向局部变化的高敏感性。随着拓扑结构的稳定和纤维方向移动限制的减少，这些振荡逐渐减弱，最终收敛到一个满足全局强度要求并符合收敛标准的稳态。校正后的P-范数（PN）和移位的Kreisselmeier-Steinhauser（KS）函数是将局部Tsai-Wu失效约束聚合为单一全局约束的两种主要方法。校正后的PN和移位的KS函数的估计准确性在附录G中提供了结果。这些聚合器的基本数学特性解释了它们在复合材料失效准则下的不同性能。与主要适用于正数值集合的传统P-范数不同，移位的KS函数在存在有符号指标的情况下仍然稳健[41]。这对于Tsai-Wu准则至关重要，因为在设计域中的值可能是负的（在KS情况下，最小值为-0.55，见附录G的图12和表G.1）。KS聚合器无论符号如何，都能一致地近似最大（正）Tsai Wu值，确保优化器优先考虑接近失效阈值的区域。因此，在这项研究中使用了移位的KS函数来聚合Tsai Wu约束。3.3. Messerschmitt-B?lkow-Blohm（MBB）梁优化第三个基准测试研究了经典的Messerschmitt–B?lkow–Blohm（MBB）梁，这是结构优化中的一个典型问题。如图13(a)所示，该梁的长度为300毫米，高度为50毫米，厚度为6毫米，被离散为5,400个四边形等参元素，排列成180 × 30的网格。边界条件由左下角的两个节点的固定约束和右下角的两个节点的滚轮支撑定义。总向下垂直载荷为1,800 N，分布在沿上边界的五个中间节点上。优化过程从均匀的伪密度开始，垂直纤维方向为，过滤半径（R）为10毫米，总体积分数约束为ν= 0.57。下载：下载高分辨率图像（303KB）下载：下载全尺寸图像图13. MBB梁T&CFO优化；(a) 设计域和边界条件；(b) 优化后的拓扑结构；(c) 优化后的纤维方向分布；(d) 优化后的纤维方向分布（颜色对应于纤维角度）；以及(e) Tsai Wu失效指数（优化后）分布。图13(b–e)中显示的并行拓扑结构和连续纤维方向（T&CFO）优化结果产生了一个优雅的拱形桁架结构，有效地将载荷传递到两个支撑点。图13(b-d)中所示的优化后的拓扑结构和纤维轨迹证明了同时进行材料分布和方向性纤维增强的有效性。图13(d)中显示的优化后的纤维方向场显示出高空间连续性，特别是在交叉点附近。图13(e)中的Tsai–Wu指数分布表明，在施加载荷的情况下，优化后的梁保持在线性弹性范围内。为了实施分布式分支工具路径方法，如第2.6.3节所述，在高纤维曲率区域的交叉点添加了正交元素。在高曲率区域，次级纤维方向增强被设置为垂直于主要优化轨迹，以减轻连续纤维增材制造中固有的关键横向和剪切失效模式。使用体积平均本构方法重新计算了有效刚度矩阵和相应的Tsai-Wu失效指数，以反映这种局部双向增强。附录H.1中提供了包含正交元素之前和之后的Tsai Wu值比较，针对的是在1.8 kN载荷下的优化MBB梁设计。通过迭代增加施加的载荷直到最大Tsai-Wu指数达到单位值来评估结构强度，这被定义为数值预测的失效载荷。为了保持物理相关性，图14中仅报告了正的失效指数，负值被设置为零。图14(a)展示了在初始设计载荷1.8 kN下优化结构的Tsai-Wu失效指数分布，而图14(b)展示了在预测的失效载荷6.625 kN下带有正交元素的优化结构的失效指数分布。在交叉点添加正交元素有效地重新分配了局部应力；然而，最终失效发生在载荷施加点，其特征是最终迭代中的Tsai-Wu值峰值。下载：下载高分辨率图像（176KB）下载：下载全尺寸图像图14. 优化后的MBB梁Tsai Wu值比较；(a) 在设计载荷1.8 kN下的拓扑结构和连续纤维方向（T&CFO）优化配置，以及(b) 在失效载荷6.625 kN下的T&CFO优化配置，显示了载荷施加时的失效情况。优化后的MBB梁的失效载荷与几何形状与图13(a)相同的重量等效单向（UD）梁进行了数值比较。优化后的梁的失效载荷为6.625 kN；相比之下，纤维方向为θ = 0°的UD梁在3.1 kN时失效。这些结果表示与0° UD梁相比，强度提高了约2.1倍。通过将连续碳纤维与下拉弦的主导载荷轨迹和对上压缩拱的对齐，优化器最大限度地利用了材料的各向异性，特别是表1中列出的高纵向强度（XT = 1793 MPa）。满足CF3D?打印系统施加的最小曲率约束的平滑纤维路径确保了结构完整性和可制造性。在交叉点同时进行优化和正交纤维增强显著降低了剪应力（σXY）和横向拉伸应力，这两者在CF3D?制造的复合部件中都非常关键。总体而言，与0° UD梁相比，强度提高了2.1倍，Tsai–Wu失效指数小于1，表明该设计在物理上非常稳健，且适合打印，能够承受估计的6.62 kN的载荷。3.4. 优化MBB设计的增材制造采用图7（第2.6.3节）中概述的路径规划方法，对单个纤维束进行了计算建模，以表示结构交叉处的分布式分支架构，如图15(a)所示。为了清晰起见，图15(a)仅显示了构成单层打印的每个纤维束的左侧或右侧分支。互补的分支在后续层中沉积，有效地完成了整个厚度的交织网络。根据这种交错建模框架，生成了工具路径文件，并使用CF3D?以良好的一致性增材制造了平均厚度为6.1 ± 0.1毫米的多个复合材料，如图15(b)所示。下载：下载高分辨率图像（247KB）下载：下载全尺寸图像图15. 优化后的MBB梁；(a) 描述了在交叉点产生半编织结构的分布式分支方法的纤维路径模型，(b) 在去除制造约束所要求的延长纤维束后的拓扑结构和连续纤维优化的MBB梁。为了满足标准三点弯曲测试的悬挑要求，纤维束模型（图15a）和打印结构（图15b）的跨度略大于优化的数值模型（图13a）。这确保了在数值模拟和实验测试设置中载荷施加点和支撑位置在几何上一致，以便进行有效的比较。图15中的橙色虚线表示支撑的位置，定义了图16中显示的实际实验跨度。在桁架框架外部的固化纤维束的多余长度被切割并用砂纸打磨至光滑。切割了几个横截面，用环氧树脂封装，抛光，并在Keyence VX7000光学显微镜下以500倍放大率检查了微观结构。图15展示了一个这样的横截面。使用ImageJ将碳纤维从基体中二值化后，通过光学横截面计算出平均纤维体积分数为50.5% ± 1.5%，并突出了垂直堆叠的纤维束的有效填充。下载：下载高分辨率图像（717KB）下载：下载全尺寸图像图16. 使用PolyMat?热固性树脂和T-1100SC-12K-50C碳纤维束单向CF3D?打印复合材料的光学微观结构横截面。四条彩色线条标识了单独沉积的纤维束。3.5. 机械测试对增材制造的T&CFO优化MBB梁进行了机械测试。三点弯曲测试使用配备了100 kN载荷传感器的伺服液压Instron 1332通用测试机进行。如图17所示，该结构由滚轮支撑，橙色虚线之间的支撑跨度为30厘米，这表示支撑位置，总跨度为35厘米。数值载荷施加点和支撑位置在几何上与实验装置中滚轮的实际接触点重合，以确保有效的比较。每端2.5厘米的悬挑部分是结构超出支撑滚轮的部分。悬挑是机械测试的标准要求，ASTM D7264建议支撑跨度应比实际跨度长20%。悬挑可以防止滑动，提供稳定的接触面积，并适应变形。最大弯矩仅发生在支撑点之间（具体是在中点）。悬挑部分的材料几乎不受弯矩影响，因此不会对梁的承载能力产生贡献。支撑点以外的材料不会抵抗结构的变形，也不会提供额外的刚度或强度。PLA夹具还用于确保正确的对齐，并以0.1毫米/秒的速度施加向下载荷。

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图17. CF3D?打印的T&CFO MBB梁的机械测试。在失效点使用2D DIC测量平面剪切应变（按结构跨度标准化）。（= -0.0415至0.0285）。

制造并测试了三个样品，以确保制造过程的可靠性。数字图像相关性用于测量机械测试过程中的全场变形和应变。图17显示了失效时的平面剪切应变分布。数值和机械测试结果在图18中呈现。载荷随着位移的增加而增加，在分层开始时减小。最大载荷为6.41千牛，平均载荷为6.25千牛，标准差为0.1553千牛，表明制造和机械测试结果一致。载荷-位移曲线的斜率按重量标准化，计算出的比刚度为67.2牛毫米^-1克^-1。优化结构的数值预测失效载荷为6.62千牛，对应于Tsai-Wu值接近1的点（在第3.3节中计算）。数值结果与实验结果一致，偏差约为5.6%，验证了数值结果的准确性。图18还展示了质量与优化MBB梁相同的单向复合材料的数值预测载荷与位移关系。与失效载荷为3.1千牛的单向复合材料相比，优化后的MBB梁的强度增加了约114%或2.1倍。

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图18. 载荷与位移曲线。MBB梁的数值和实验数据比较。实验：最大载荷为6.41千牛，平均载荷为6.25千牛，标准差为0.1553千牛。数值：优化后的预测失效载荷为6.625千牛，单向复合材料为3.1千牛。

用于平面应力优化问题的Tsai-Wu准则的2D实现仅考虑了平面内应力（σ11、σ22和σ12）。分层本质上是一种层间（垂直于平面）的失效模式，由层间拉伸应力（σ3）和剪切应力（σ13和σ23）驱动，这些在本文中未考虑。横向压缩失效的预测与数值预测的失效结果一致，其中剪切和压缩应力主导了具有最大Tsai-Wu失效准则值的元素。观察到的失效模式与表1中列出的低材料失效值一致，即剪切（最低）和压缩（第二低），以及加载方向（横向拉伸不适用）。结构在横向压缩载荷作用下失效，这种情况严重依赖于基体的性能。压缩失效始于基体在压缩应力下的开裂（图18，点A），表现出粘滑行为，这是横向压缩失效的特征。纤维屈曲后，在过大的压缩载荷下基体开裂，导致结构强度丧失（图18，点B）。复合材料的层开始分离，导致分层，进一步削弱了结构。还观察到局部纤维断裂和纤维的局部弯曲或扭结，表明失效（超出点B），如补充信息中的附录H和图H.2所示。

4. 结论

本研究提出了一种基于失效信息的拓扑结构和连续纤维取向优化（T&CFO）框架，用于热固性复合材料的连续纤维3D打印（CF3D?）。Tsai-Wu失效准则与基于密度的SONP插值方案相结合，以考虑高性能碳纤维增强材料的极端各向异性。该框架通过同时进行拓扑圆化和曲线纤维导向，展示了减少结构奇异性（如L形梁的凹角）的独特能力。这种双尺度适应将有害的剪切和横向载荷转化为轴向应力，利用了增强材料的优异纵向性能（XT = 1793 MPa）。为了确保理论最优解的物理实现，引入了一种新颖的路径规划方案——分布式分支方法。通过使用重叠、错开的拖曳架构，所提出的方法消除了传统Offset、流线型或EQS方法特有的内部空洞和尖锐的纤维角，即使在复杂的结构节点处也能保证100%的面积覆盖。

对约束聚合方法的比较评估表明，Shifted KS函数作为并行优化的驱动因素优于Corrected P-norm。KS函数能够提供稳定的、即时的Tsai-Wu指数（正负）估计，即使在复杂的多轴应力集中区域也能确保材料安全。MBB、L形和悬臂基准结构的优化使得强度相对于等效重量的单向复合材料增加了2到20倍，远超之前报告的性能基准。CF3D?打印MBB样品的实验验证（FVF > 50%；空洞 < 2%）与数值预测一致，刚度和强度的偏差仅为约5%。结果证实，纳入非线性制造相关性（如半径依赖的速度、拖曳宽度和辐照度设置以及制造约束）对于热固性复合材料的成功制造至关重要。这种结合制造约束的优化框架为航空航天和汽车行业提供了一种可预测的高保真路径，充分利用热固性增材制造的潜力，能够创建不仅在理论上最优而且在物理上坚固且工业上可扩展的结构。

CRediT作者贡献声明

Asim Shahzad：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，验证，方法论，调查，形式分析，数据管理，概念化。
Jeffery W. Baur：撰写 – 审稿与编辑，监督，方法论，资金获取，概念化