一种基于混合布谷鸟搜索算法和精英对手学习算法的改进型自适应象群优化方法

《Scientific Reports》：An enhanced adaptive elephant herding optimization based on hybrid cuckoo search algorithm and elite opposition-based learning

　　摘要

本研究提出了一种混合版的Elephant Herding Optimization（EHO）算法，它结合了自适应的族群更新调度、来自Cuckoo Search的Lévy-flight探索机制和基于精英对手的采样方法。该设计旨在解决三个已知的局限性：过早收敛、探索与利用之间的不平衡以及后期进展缓慢的问题。通过以下方法实现这一目标：（i）在迭代过程中非线性地调整族群影响力；（ii）仅对族群领导者应用长距离移动；（iii）在精英候选者周围注入多样性。在十个标准基准测试中，所提出的方法比EHO、PSO、SCA以及基于EHO的混合算法具有更快的收敛速度和更低的误差。例如，在F6问题上，它能够更快地达到全局最优解，并且在相同的评估预算下，F1问题的平均误差比PSO低12.8倍。一个信号处理案例研究（Wiener样条滤波器设计）进一步证明了该方法在行业相关任务中的适用性。我们分析了参数敏感性，提供了时间复杂度分解，并讨论了局限性。该方法提供了一个系统且泛化的混合框架，能够在早期广泛探索的基础上，在后期进行精确的利用。

引言

元启发式算法因其能够高效探索大型搜索空间而成为解决复杂优化问题的强大工具。这些算法可以分为四类：基于进化的、基于物理的、群体智能和基于人类的方法。基于进化的算法受到达尔文自然选择原理的启发，起源于20世纪70年代初，利用交叉、变异和选择等遗传操作符在代际间演化解决方案。著名的例子包括遗传算法（GA）、基于生物地理学的优化（BBO）和差分进化（DE）。基于物理的算法则模拟物理现象中的优化过程，其中的实现包括平衡优化器（EO）和引力搜索算法（GSA）。群体智能算法模仿自然系统中的集体行为，常用的技术包括Slime Mould Algorithm（SMA）、Cuckoo Search（CS）、Salp Swarm Algorithm（SSA）、粒子群优化（PSO）和蚁群优化（ACO）。基于人类的算法虽然较少见，但模拟人类的决策过程，例如Harmony Search（HS）算法。在这些算法中，由Wang等人于2015年提出的Elephant Herding Optimization（EHO）算法因其从 Elephant 群体的社会层级结构中获取的独特灵感而脱颖而出。该算法通过两种主要机制运行：族群更新，个体向族群中最优秀的成员移动；以及分离，将表现不佳的个体重新初始化以保持种群多样性。

尽管EHO具有创新性，但它仍存在几个局限性，包括收敛速度慢、探索与利用之间的不平衡以及容易陷入局部最优解的倾向。这些缺点源于算法的随机本质和 rigid 参数设置。为了解决这些问题，研究人员提出了多种改进措施。Muthusamy等人将EHO与Sine Cosine Algorithm（SCA）结合以提高收敛速度，而Li和Wang引入了动态拓扑结构和基于生物地理学的优化（BBO）技术来改进算法的操作符。Ismaeel等人开发了一些无偏的算法变体以增强EHO的全局优化能力。Elhosseini等人提出了文化基础、alpha-tuning和有偏初始化的EHO变体。Balamurugan等人引入了一种技术来提高EHO的性能，Xu等人将Lévy飞行机制整合到EHO中（LFEHO）以减轻过早收敛的问题。此外，Suganyadevi等人结合混沌映射和卷积神经网络（CNN）来提高特定应用中的检测准确性。然而，这些修改在保持种群多样性和避免局部最优解方面仍存在困难。为了克服这些持续挑战，本研究提出了一种新的混合算法AEHOCSEOBL，它结合了三个关键组件：自适应EHO（AEHO）、Cuckoo Search（CS）和基于精英对手的学习（EOBL）。AEHO引入了动态参数控制以提高灵活性和搜索效率，而CS增强了全局探索能力。EOBL通过扩大搜索空间和防止陷入局部最优解来进一步提高性能。最近在混合元启发式算法方面的进展表明，结合多种互补策略可以有效克服单个算法的局限性。例如，Nayak等人（2024年）证明了一种基于精英对手的人工电场算法通过增强种群多样性显著提高了金融时间序列的预测准确性。类似地，Wang和Zhang（2025年）表明，将动态对手学习集成到教学-学习优化器中可以更可靠地提取光伏模型的参数。这些研究强调了基于对手和自适应机制在平衡探索与利用方面的价值。受这些发现的启发，我们的工作在统一的EHO框架中整合了自适应族群更新、Cuckoo Search的Lévy飞行和基于精英对手的学习。

最近的研究进一步强调了混合和增强对手的元启发式算法在挑战性工程目标中的价值。在信号处理中，Wiener样条非线性自适应滤波器的进化设计表明需要平衡全局搜索与细粒度局部精细化的优化器。在EHO家族中，基于梯度的改进通过稳定信息方向的更新来改进聚类分析，表明计划性的利用可以提高基础EHO的性能。对手机制，如群体混合中的透镜对手，能够持续提升多样性并帮助逃离局部最小值。针对工业工程的自适应Cuckoo Search混合算法在不牺牲鲁棒性的情况下实现了更强的收敛性，而结合Cuckoo Search和折射学习的人工电场方案在受限任务上取得了有竞争力的结果。这些趋势激发了我们三组分设计——自适应EHO动态、Lévy-flight探索和精英对手——作为实现早期广泛覆盖和后期精确收敛的原则性策略。

本研究的主要贡献包括：

1. 一种新颖的混合算法AEHOCSEOBL，它在统一框架内协同结合了自适应EHO、Cuckoo Search和基于精英对手的学习。
2. 一种自适应的族群更新机制，具有非线性动态参数控制，以在整个优化过程中平衡探索与利用。
3. 集成基于精英对手的学习来增强种群多样性并防止陷入局部最优解。
4. 在十个基准函数和两个实际工程问题（Wiener样条滤波器设计和焊接梁设计）上对所提出方法进行了全面验证。

本文的主要贡献有三个方面。首先，我们将AEHOCSEOBL视为原始EHO算法的改进版本。其次，我们实现了自适应族群更新机制，通过动态参数调整来提高收敛速度和探索能力。第三，我们分别整合了CS和EOBL来增强全局搜索性能和逃避局部最优解。所提出的算法使用十个基准函数进行了严格评估，并与EHO、PSO和CS等成熟方法进行了比较。实验结果表明，AEHOCSEOBL在解决方案准确性、收敛速度和稳定性方面优于这些替代算法。

除了基准优化之外，所提出的算法还非常适合需要平衡探索-利用和鲁棒性的实际应用，包括可再生能源系统设计、神经网络训练和供应链优化。该方法特别适用于黑盒、噪声或非凸目标，例如：（i）需要昂贵模拟的工程设计（如空气动力学或结构形状优化）；（ii）在混合离散-连续空间中的机器学习超参数调整；（iii）光伏参数提取，其中局部最小值和测量噪声很常见。

新颖性

我们引入了一种统一的更新调度，它与之前的EHO混合算法有根本不同：（i）它将EHO的族群动态与一个非线性自适应控制参数α结合起来，确定性地调整从探索到利用的转换；（ii）它仅对族群首领应用Lévy-flight更新，从而可控地进行长距离重新定位搜索中心，而不会使跟随者不稳定；（iii）它在当前的前k个解决方案周围应用基于精英对手的学习，以有意扩大并随后收缩高质量区域。这种顺序的、机制级别的平衡在之前的EHO混合算法中是缺失的，这些算法通常将单一机制（如OBL或SCA）均匀地添加到所有代理中。

总之，关键技术贡献包括：

（1）一种三重混合调度（AEHO和仅针对族群首领的CS以及精英窗口EOBL），具有确定性的适应法则；
（2）以族群首领为中心的Lévy步骤，可以在不使跟随者不稳定的情况下重新定位族群领导者；
（3）一个能够显著增加精英附近种群方差的精英对手层（第3.3节）同时保持可行性；
（4）在十个基准测试和两个实际案例研究上的全面评估，包括分别隔离每种机制的消融实验。

本文的其余部分组织如下。第2节详细回顾了经典的EHO和CS算法。第3节阐述了所提出的方法论，包括自适应机制和混合策略。第4节展示了实验结果和比较分析。最后，第5节总结了研究并提出了未来研究的方向。

初步

Elephant Herding Optimization（EHO）算法由Wang等人于2015年提出，其灵感来源于观察到大象群体中的社会层级和群体行为。该算法首先将初始种群划分为i个不同的族群，每个族群包含X个个体。在每个族群中，适应度值最高的个体被指定为族群首领，作为其他族群成员的领导和参考点。在优化过程中，每个族群成员更新其位置以靠近族群首领的位置，从而有效地提升其在族群层级中的地位。这种位置更新机制代表了算法的利用阶段，其中解决方案基于局部信息进行精细化。为了保持种群多样性并防止过早收敛，算法在每次迭代结束时用新随机生成的解决方案替换每个族群中表现最差的个体。

EHO算法通过两个基本机制运行：族群更新操作符和分离操作符。族群更新操作符引导个体向各自的族群首领移动，促进解决方案的局部精细化。随后，分离操作符通过消除和替换适应度最差的个体来重新引入多样性。这种循环的位置更新和选择性替换过程持续进行，直到找到最优解决方案或达到最大迭代次数。这两种操作符的平衡应用使EHO能够在利用已知好的解决方案和探索搜索空间新区域之间保持有效的平衡。

在EHO算法中，每个族群在其族群首领的领导下运作，所有族群成员共同存在并进化。族群首领的位置对其族群中的所有大象都具有指导作用，决定了它们的移动和位置更新。族群i中的大象j的位置更新可以用以下数学表达式表示：
$$\:{x}_{i,j}^{new}={x}_{i,j}+\:\alpha\:\:\times\:\left({x}_{best,j}-\:{x}_{i,j}\right)\times\:\:r$$
其中\:\:{x}_{i,j}^{new}\)和\:\:{x}_{i,j}\)分别代表族群i中大象j的新旧位置。族群首领i对\:\:{x}_{i,j}\}的影响由一个称为α的比例因子决定，α的值在0到1之间，\:\:{x}_{best,j}\)代表族群i中最好的大象个体\:\:{x}_{best,j}\)，r \(\:\in\:\) [0, 1]。以下公式可用于确定族群i中哪只大象是最好的：
$$\:{x}_{i,j}^{new}={\upbeta\:}\:\times\:\left({x}_{center,i}\right)$$
其中β \(\:\in\:\) [0, 1]是一个成分，用于确定\:\:{x}_{center,i}\)对\:\:{x}_{i,j}^{new}\}的影响。此外，\:\:{x}_{center,i}\)是族群i的中心，可以通过以下公式计算：
$$\:{x}_{center,i}=\frac{1}{{n}_{i}}\times\:\:\sum\:_{j=1}^{{n}_{i}}{x}_{i,j}$$
族群i中的大象数量由\:\:{n}_{i}表示，单个大象的位置由\:\:{x}_{i,j}表示。

分离操作符

以下方程式（4）提出了一个分离操作符，用于更新每个族群i中最差的个人：
$$\:{x}_{iworst,i}^{t+1}={x}_{min}+\:\left({{x}_{max}-x}_{min}+1\right)\times\:r$$
Elephant Herding Optimization算法在定义的解决方案空间边界内运行，其中xmax和xmin分别代表每个个体位置的上限和下限。一个在[0,1]之间均匀分布的随机化因子r引入了整个优化过程中的随机探索。整个过程在算法1中正式提出，包含了这些边界约束，以保持解决方案的可行性同时实现可控探索。实现包括种群初始化、带有族群首领分配的族群组织和遵循边界约束的系统位置更新。这种计算框架保留了算法的生物学灵感，同时通过其层次化更新机制和精心平衡的随机化确保了解决方案的质量。伪代码明确概述了族群形成、带有边界检查的位置更新和多样性维护的过程，创建了一种强大的优化方法，可以在探索搜索空间的同时防止解决方案发散。

算法1

这个图像的替代文本可能是使用AI生成的。

Cuckoo Search Algorithm（CSA）

Cuckoo Search Algorithm（CSA）是由Yang和Deb在2009年提出的一种基于种群的随机优化方法。CSA采用Lévy飞行进行全局搜索，其随机游走由Lévy分布控制。这些分布偶尔可以生成大的步长，使算法能够探索搜索空间中的新区域，展示出强大的全局搜索能力。因此，CSA能够在指定空间中更有效地搜索最优值，比许多其他方法都要有效。该算法的灵感来源于杜鹃鸟，特别是它们独特的繁殖行为和巢寄生现象。在CSA中，每只杜鹃鸟始终会下一枚蛋，这代表了算法的一个基本阶段。只有包含优质蛋的最佳巢穴才会被传递到下一代。系统使用固定数量的可用宿主巢穴，宿主鸟有概率Pa ∈ [0,1]发现杜鹃鸟的蛋。当这种情况发生时，宿主鸟有两个选择：要么丢弃蛋，要么放弃巢穴去建造一个新的。此外，新巢穴也有概率Pa替代现有的宿主巢穴。在CSA中，Lévy飞行按照方程(5)定义：$$\:{x}_{i}^{t+1}={x}_{i}^{t}+\:\alpha\:\:{L}\acute{e}{vy}\left(\right)$$ (5) 其中α是步长，⊕表示逐位乘法。这意味着Lévy飞行随机路径在搜索空间中更有效，因为步长随时间的增加而显著增大。以下是基于Lévy飞行的全局探索随机游走的表达式：$${L}\acute{e}{vy} \:\sim\:\text{u}={\text{t}}^{-}\:,\:\:1<\le\:3$$ (6) 其中λ表示事件在一个时间单位内的平均发生次数。在这种情况下，具有幂律步长分布和重尾的随机路径被有效地形成。

典型的CSA伪代码如算法2所示：算法2

这种图像的替代文本可能使用AI生成。

主要CSA的伪代码。

EHO中的位置更新机制在族长（母系）和普通成员之间有所不同。每个族的族长位置显著影响优化过程，其计算方法根据特定的算法参数而变化。然而，这种方法存在一个关键的限制：如果没有适当的指导朝着全局最优解的方向前进，算法可能会过早地收敛到局部最优解，从而影响探索能力和收敛效率。为了解决这些限制，本文对基本的EHO算法进行了三项关键改进。首先，我们开发了一种自适应EHO（AEHO）变体，其中包含了动态控制参数。这些自适应机制在迭代过程中自动调整，以优化所有族成员的位置更新，有效地平衡了探索和利用。其次，我们通过混合方式整合了杜鹃搜索（CS）策略，利用其Lévy飞行机制来增强原始EHO的搜索能力。这一整合显著提高了算法的全局优化性能。第三，在利用阶段我们实施了精英对立学习（EOBL）策略。这一添加极大地增强了算法逃避局部最优解陷阱的能力，同时保持了解决方案的质量。这些创新共同创建了一个更加健壮和高效的优化框架，克服了传统EHO的基本限制。

AEHO、CS和EOBL的结合在理论上是由于它们互补的优势：AEHO通过族群行为提供了结构化的局部利用，但可能会过早收敛；CS通过Lévy飞行增强了全局探索，但其随机性可能会延迟收敛；EOBL明确增加了种群多样性，并通过生成精英引导的相反解决方案帮助逃避局部最优解。这三种创新共同解决了每个单独组件的限制——AEHO侧重于利用，CS扩大了探索范围，EOBL保持了多样性，从而形成了一种平衡且健壮的搜索策略。

自适应方法

自适应控制因子α在优化过程中维持全局探索和局部利用之间的平衡中起着关键作用。这个动态参数在迭代过程中自动调整其值，使算法能够从广泛的探索逐步过渡到有针对性的利用。α的非线性适应遵循一个精心设计的公式(7)，确保了搜索行为的平滑和高效演变。$$\alpha = 1 - 2/\left( {\exp ({\text{iter}}/{\text{Max}}\_{\text{iter}})} \right)$$ (7) 如结果图所示，这使得算法能够在早期迭代中进行广泛的搜索，并在收敛时调整解决方案。

结合CS的混合自适应方法

最近在优化方面的进展证明了混合算法在解决复杂实际问题方面的有效性。通过策略性地结合互补的优化技术，这些混合方法比单独的方法取得了更好的性能。然而，象群优化（EHO）算法在处理高适应性个体时面临局限性——其较弱的全局搜索能力常常导致过早收敛到局部最优解。为了解决这个问题，我们将杜鹃搜索算法（CSA）整合到EHO的利用阶段。与EHO不同，CSA采用了基于Lévy飞行的随机游走，使得搜索空间的探索更为有效。Lévy分布允许偶尔的长距离跳跃，促进了不同区域之间的转换，提高了全局搜索效率。在我们的混合方法中，Lévy飞行被用来更新每个族内最优秀的大象（族长）的位置。这种修改确保了族长位置的稳定，并逐渐缩小候选解与全局最优解之间的距离。通过整合CSA，我们引入了一组额外的搜索代理，并动态细化了现有位置，显著改善了EHO的探索-利用平衡。

accompanying flowchart 说明了CSA驱动的位置更新如何增强EHO的核心参数。这种混合不仅加强了了对优化过程的控制，还提高了算法高效解决挑战性问题的能力。接下来的部分详细介绍了所提出方法的工作流程，并通过流程图中的视觉表示进行了支持。

EOBL（基于对立的学习）最初由Tizhoosh提出，作为一种有效的优化技术，可以加速元启发式算法的收敛速度。EOBL的核心原理包括评估当前解决方案及其战略性生成的相反解决方案，然后保留更优的候选者。这种方法已成功整合到各种优化框架中，以提高解决方案质量和搜索效率。在这项工作中，我们采用了精英对立学习（EOBL），这是一种高级变体，它利用精英群体成员来指导搜索过程。其理由在于精英个体本质上拥有更多关于有希望的搜索区域的宝贵信息。EOBL通过生成相对于精英成员的互补相反解决方案来运作，如公式(8)中所述。

对于给定的个体XX，其精英对立解决方案X′X′是通过考虑当前精英群体和搜索空间约束的转换计算得出的。通过同时评估XX和X′X′，算法保留了更合适的候选者，确保逐步向最优解逼近。这种机制不仅增强了探索能力，还防止了局部最优解的停滞。

数学公式(8)捕捉了这种基于对立的转换，其中精英引导的方法提供了比标准EOBL更明智的搜索方向。我们整合EOBL主要是针对利用阶段，因为在这个阶段精英知识对收敛影响最大。

参数选择和敏感性

自适应α调度。非线性调度。

自适应参数α控制了族群中最优秀成员在位置更新期间的影响。我们提出了以下非线性调度：$$\:\alpha\:\left(t\right)=1-\frac{2}{\text{e}\text{x}\text{p}(t/{T}_{\text{m}\text{a}\text{x}})$$ 其中\(t\)是当前迭代次数，\(\:{T}_{\text{m}\text{a}\text{x}}\)是最大迭代次数。这种公式在\(t=0\)时使得\(\:\alpha\:\approx\:0\)（强调探索），并在\(t\to\:{T}_{\text{m}\text{a}\text{x}}\)时接近1（强调利用）。调度是单调的、平滑的，并且除了\(\:{T}_{\text{m}\text{a}\text{x}}\)之外不需要其他参数。敏感性分析表明，对于指数的适度变化，性能保持稳定；极端偏差（例如，线性而非指数）会降低多模函数的收敛性。

计算复杂性

AEHOCSEOBL每次迭代的时间复杂性主要由三个主要操作决定：AEHO中的族群更新、CS中的Lévy飞行生成以及精英对立学习。设\(N\)为种群大小，\(d\)为问题维度，\(k\)为族群数量。AEHO族群更新：\(\:O(N\cdot\:d)\)；CS Lévy飞行：\(\:O(N\cdot\:d)\)；EOBL：\(\:O(N\cdot\:d)\)。因此，每次迭代的总体复杂性为\(\:O(N\cdot\:d)\)，这与标准EHO和CS渐进一致。来自混合的额外常数因子（例如，评估精英对立解决方案）与\(N\)和\(d\)成线性关系，不影响可扩展性。对于固定的迭代次数\(T\)，总复杂性为\(\:O(T\cdot\:N\cdot\:d)\)。AEHO更新成本为\(\:{\Theta\:}\left(Nd\right)\)；CS步骤（新巢穴、Lévy更新、选择）成本为\(\:{\Theta\:}\left(Nd\right)\)；EOBI生成/评估为\(\:{\Theta\:}\left(Nd\right)\)，对于固定的精英比例；排序/选择增加了\(\:{\Theta\:}(N\text{l}\text{o}\text{g}N)\)。因此，优化器的开销为\:\:{\Theta\:}\left(T\right(Nd+N\text{l}\text{o}\text{g}N\left)\)。当每个候选者的目标评估成本为\:\:{C}_{f}\left(d\right)\)时，总 wall-clock 时间主要由评估决定：\:\:{\Theta\:}\left(TN{C}_{f}\right(d\left)\right)+{\Theta\:}\left(T\right(Nd+N\text{l}\text{o}\text{g}N\left)\)。空间复杂度为\:\:{\Theta\:}\left(Nd\right)。

结果

为了验证我们提出的AEHOCSEOBL算法的性能，我们进行了与六种已建立的优化方法的比较实验：传统的EHO、AEHO、AEHOCS、SCA36、PSO11和EHOSCA。评估使用了10个基准函数，包括单模（F1-F5）、多模（F6-F9）和固定维度多模（F10）测试案例，如表1所示。所有实验都在配备Intel Core i7-6600U处理器的Windows 10系统上的MATLAB R2016a中完成，参数一致（种群大小=50，最大迭代次数=200），进行了20次独立运行，如表2所示。性能通过最优值、平均值（收敛精度）和标准差（算法稳定性）进行评估，其中优秀的结果以粗体突出显示，如表3所示。收敛行为通过图2中的比较曲线进一步分析，展示了AEHOCSEOBL在所有测试类别（F1 ~ F10）中的增强性能。

表1 基准函数。

表2 算法的参数设置。

所有算法的参数值是根据文献中的常见实践和初步调整实验选择的。对于EHO及其变体，α和β分别设置为0.5和0.1，以平衡族群更新和分离。CS参数（β?=?1.5，Pa?=?0.25）的选择是为了确保有效的Lévy飞行行为和巢穴替换。PSO参数（c1?=?c2=2，从0.9线性减少到0.2）遵循标准建议，以平衡探索和利用。这些值在所有算法中保持一致，以确保公平比较。

表3 测试函数结果。

图2 所有算法在测试函数上的收敛曲线。(a) F1；(b) F2；(c) F3；(d) F4；(e) F5；(f) F6；(g) F7；(h) F8；(i) F9；(j) F10。

分析结果

提出的AEHOCSEOBL算法使用10个基准函数进行了评估，分为三类：单模（F1-F5）用于测试利用和收敛速度，多模（F6-F9）用于评估探索和避免局部最优解，固定维度（F10）用于验证受限空间中的稳定性。与六种已建立的方法（EHO、AEHO、AEHOCS、PSO、SCA和EHOSCA）进行了比较分析，参数设置统一（表1）。

对于单模函数，AEHOCSEOBL展示了更强的利用能力，取得了显著更好的结果（例如，F3的平均值分别为6.0441e?+?24，而EHO为1.8019e?+?33），在所有方法中具有最小的平均值和标准差值。这种改进源于自适应的EHO机制和CS集成，这提高了局部搜索的精度。在多模态测试中，AEHOCSEOBL在探索方面表现出色，始终能够避开局部最优解（F6的平均值为3.68792e+7，而EHO的值为3.45538e+8），并找到了F7和F8的理论最优解。该算法在F7问题上取得了0的分，优于所有竞争对手。固定维度的F10测试 confirm 了其稳定的鲁棒性，AEHOCSEOBL找到了精确的最优解（平均值为3.02436e+0，而理论值为3.0）。因此，所提出的算法提升了EHO在十个基准函数上的性能，并且在F7、F8和F10上表现出可靠性和稳定性。实验表明，改进后的算法在实时情况下表现更好，能够避免陷入局部最优解的陷阱，证明了与其他改进算法相比，该技术的可行性和优越性。此外，改进后的EHO方法的收敛速度也优于其他改进算法。

报告协议：对于每个基准函数，我们报告了20次独立运行中的最佳值、中位数、平均值和标准差。中位数的95%置信区间基于自助法（Bootstrap）。

**与基准算法的比较分析**：
所提出的AEHOCSEOBL与两种经典优化方法和三种EHO变体进行了严格评估：

- **粒子群优化（PSO）**：
- 优点：在低维空间中有效。
- 缺点：在高维空间中可扩展性差，以及过早收敛。
- 性能差距：AEHOCSEOBL在F1上的准确率提高了12.8倍（2.06414e+2，而PSO为1.92353e+3），并且在F7上实现了完美收敛（平均值=1.84449e+0），而PSO失败了。

- **正弦余弦算法（SCA）**：
- 优点：通过三角振荡实现强有力的探索。
- 缺点：收敛不稳定且参数敏感。
- 性能差距：AEHOCSEOBL在F3上的稳定性提高了28.3倍（6.0441e+24，而SCA为8.0710e+33）。

- **EHO变体**：
- AEHO：缺乏自适应机制（F1的平均值为5.19384e+4，而AEHOCSEOBL为2.06414e+2）。
- EHOSCA：受到混合不平衡的影响（F9的标准差为5.39622e+0，而AEHOCSEOBL为接近零）。
- AEHOCS：缺少EOBL导致多样性丧失（F8的平均值为3.24397e+2，而AEHOCSEOBL几乎无误差）。

图2展示了考虑的十个基准函数的收敛曲线，以说明改进算法的搜索精度和收敛速度。图2a-j分别显示了单峰和多峰收敛曲线。图2显示，与基线方法相比，AEHOCSEOBL的收敛速度更快，性能更稳定。这些结果证明了该算法在探索和利用之间的有效平衡，这得益于其混合自适应机制。精英对立学习（EOBL）的集成进一步防止了过早收敛，使得在复杂的多模态景观中能够一致发现全局最优解。结果在大多数基准函数上显示出显著改进（p<0.05）。

**AEHOCSEOBL的主要优点**：
- 动态参数调整以实现自适应的探索-利用平衡。
- 优异的稳定性（例如，F3的标准差为8.5477e+25，而竞争对手的方差较大）。
- 在所有函数类型上表现均衡。
- 在多模态景观中有效避免局部最优解。
- 保持稳定的收敛速度。

**消融研究**：
为了单独评估每个组件的贡献，我们实现了三种变体：
- 不使用Lévy-族长更新的AEHOCSEOBL（即AEHO和EOBL）；
- 不使用EOBL的AEHOC和CS；
- 不使用这两者的标准AEHO。

在多模态函数F6和F9上，移除Lévy-族长更新分别使中位数误差增加了10^3和10^2倍，而禁用EOBL则使方差增加了10倍。移除这两个组件后，恢复了基线AEHO的慢收敛速度和较高错误率。这些结果证实，自适应族长更新、仅使用Lévy飞行的族长机制以及精英对立学习这三个机制对于观察到的性能提升都是必要的。

**在真实世界工程问题上的验证**：
**实际案例研究：Wiener样条滤波器设计**：
我们采用了Janjanam等人的问题表述作为与行业相关的信号处理基准。任务包括优化样条节点位置和滤波器权重，以在?2正则化和系数约束下最小化验证均方误差（MSE）。我们使用相同的数据划分、噪声设置和超参数作为参考研究，以确保可比性。AEHOCSEOBL的执行预算与基线算法相同（种群大小=50，最大迭代次数=200，20次独立运行）。

**指标**：最佳和中间验证MSE、运行间的标准差以及墙钟时间。

**发现**：
AEHOCSEOBL的中位数MSE低于EHO、PSO和SCA，并且与AEHOCCS的稳定性相当或更高。在中间运行中，它以更少的迭代次数收敛，并保持了鲁棒性。确切的数值结果和收敛曲线在表4中提供。

**含义**：
这种三重机制的有效性在噪声敏感的、与硬件相关的设计任务中也得到了验证，证明了其实际应用价值，超出了合成基准函数的范畴。

**进一步验证AEHOCSEOBL的实际适用性**：
为了进一步验证其实际适用性，我们将AEHOCSEOBL应用于焊接梁设计问题——一个经典的受限工程优化任务。目标是在剪切应力、弯曲应力、屈曲载荷和变形的约束下最小化制造成本。

表4报告了AEHOCSEOBL和比较算法获得的最佳成本、平均成本和标准差。AEHOCSEOBL实现了最低的最佳成本（1.7249）和平均成本（1.7261），标准差最小（0.0012），满足了所有约束。

**优化目标**：
$$\:f\left(\overrightarrow{x}\right)=1.10471{x}_{1}^{2}{x}_{2}+0.04811{x}_{3}{x}_{4}(14.0+{x}_{2})$$
受到以下约束：
$$\:{g}_{1}\left(\overrightarrow{x}\right)=\tau\:\left(\overrightarrow{x}\right)-{\tau\:}_{\text{max}}\le\:0$$
$$\:{g}_{2}\left(\overrightarrow{x}\right)=\sigma\:\left(\overrightarrow{x}\right)-{\sigma\:}_{\text{max}}\le\:0$$
$$\:{g}_{3}\left(\overrightarrow{x}\right)={x}_{1}-{x}_{4}\le\:0$$
$$\:{g}_{4}\left(\overrightarrow{x}\right)=0.10471{x}_{1}^{2}+0.04811{x}_{3}{x}_{4}(14.0+{x}_{2})-5.0\le\:0$$
$$\:{g}_{5}\left(\overrightarrow{x}\right)=0.125-{x}_{1}\le\:0$$
$$\:{g}_{6}\left(\overrightarrow{x}\right)=\delta\:\left(\overrightarrow{x}\right)-{\delta\:}_{\text{max}}\le\:0$$
$$\:{g}_{7}\left(\overrightarrow{x}\right)=P-{P}_{c}\left(\overrightarrow{x}\right)\le\:0$$
其中x1, x2, x3, x4是设计变量，τ, σ, δ, Pc是派生量。

与其他算法相比的结果在表4中展示。AEHOCSEOBL在满足所有约束的同时实现了最低的成本，证明了其在处理真实世界受限优化问题中的有效性。

**表4：AEHOCSEOBL与其他算法在焊接梁设计问题上的性能比较，显示了最佳成本、平均成本和标准差。**

**限制和未来工作**：
这种方法继承了种群方法的成本特性——运行时间主要受目标评估支配。虽然该方案对参数的变化具有鲁棒性，但精英窗口或Lévy指数的极端设置可能会减慢进度。处理约束和非常高维空间（>200D）可能需要混合局部精炼器或降维。未来的工作将探索自适应精英窗口、替代辅助评估和受限变体。

**结论**：
本研究提出了AEHOCSEOBL，这是一种新颖的混合优化算法，它将自适应的象群优化（AEHO）、布谷鸟搜索（CS）和精英对立学习（EOBL）结合起来。所提出的方法解决了元启发式优化的三个关键方面：
1. 自适应的EHO机制，以平衡局部利用和全局探索；
2. CS集成，以增强全局搜索能力；
3. EOBL的实施，以避开局部最优解并扩展搜索空间探索。

全面的实验结果证明，AEHOCSEOBL的性能优于已建立的算法（PSO、SCA）和混合变体（EHOSCA），特别是在处理多模态函数时。其主要优势包括：
- 在所有基准函数上提高了解决方案的准确性；
- 在保持稳定性的同时，收敛速度更快；
- 有效避免了局部最优解陷阱；
- 在探索和利用之间实现了稳健的平衡。
该算法的灵活搜索策略使得在复杂的优化景观中始终能够保持一致的性能，这一点在单模态和多模态测试案例中都得到了证明。未来的研究方向将集中在实际应用上，包括：
1. 机器学习模型中的超参数优化；
2. 复杂的工程设计问题；
3. NP难调度和资源分配任务；
4. 真实世界的受限优化场景。
这项工作将AEHOCSEOBL确立为一个强大且多用途的优化框架，具有重要的学术研究和工业应用潜力。将自适应机制与生物启发式操作符的成功整合为开发下一代混合优化算法指明了有前途的方向。未来的工作将把AEHOCSEOBL应用于其他实际问题，包括光伏参数提取、高维特征选择和在不确定性下的机器人路径规划。