一种基于新型基础信念函数的多源信息融合方法

《Franklin Open》：A multi-source information fusion method based on a new base belief function

　　帕拉什·杜塔 | 索诺姆·肖梅
印度阿萨姆邦迪布鲁加尔大学数学系，迪布鲁加尔786004

摘要
Dempster-Shafer（D-S）证据理论已被广泛应用于决策制定和模式识别等领域。然而，传统的Dempster组合规则（DCR）往往产生的结果并不能准确反映真实的信念分布，尤其是在输入证据存在高度冲突的情况下。为了解决这个问题，本文提出了一种基础信念函数，旨在组合之前调整基本概率分配（BPA），该函数适用于封闭世界框架。所提出的方法旨在产生更直观和合理的融合结果，特别是在证据冲突显著的情况下。在现实世界中，由于获取知识的水平和专业知识的差异，信息来源往往不可靠。专家们可能基于不同的背景、方法论和经验，这不可避免地会导致证据融合过程中的不一致性和冲突。此外，DCR通过强制归一化融合结果来强制执行一致性属性，这可能会加剧冲突并产生反直觉的结果。为了有效管理多源信息融合系统中的潜在冲突，本文提出了一种基于证据校正、可靠性评估和冲突重新分配的新信息组合方法。首先，利用所提出的基础信念函数校正证据，以防止出现零BPA的情况。然后，使用基于距离函数得出的可靠性度量来计算加权平均BPA，以解决来自不可靠来源的冲突。此外，不直接应用DCR，而是根据校正后的证据与加权BPA之间的冲突因子实施冲突重新分配策略。这种方法避免了强制归一化引起的问题。总体而言，基于基础信念函数的冲突管理策略不仅确保了融合结果的合理性和有效性，还提高了多源融合系统的可靠性和鲁棒性。通过两个涉及高冲突水平的数值实验，证明了所提出方法的有效性和优越性，这些实验分别基于单子集和多子集焦点元素。

1. 引言
Dempster-Shafer（D-S）证据理论是一种在不确定性下进行推理和支持决策制定的强大方法[1]、[2]、[3]。它已被有效地用于处理各种领域的不确定和不精确数据，如分类[4]、[5]、聚类[6]、[7]、[8]、故障诊断[9]、[10]、知识库系统[11]、医学诊断[3]、决策制定[12]、[13]、信息融合[14]、风险分析[15]、[16]、[17]等[18]。在该理论中，当所有证据来源都被视为同等可靠时，使用DCR进行证据组合，DCR以其交换性和结合性属性而闻名。尽管DCR在理论上是合理的[19]、[20]，但该领域的研究人员认为其缺乏鲁棒性是一个主要缺点。这主要是因为它可能会产生反直觉的结果，尤其是在证据之间存在高度冲突的情况下[21]、[22]。D-S理论的这些反直觉现象被称为悖论，它们在决策过程中造成了问题。

人们已经投入了大量努力来解决D-S证据理论中的悖论。几十年来，研究人员一直在讨论这些问题的根本原因，主要出现了两种观点。第一种观点认为，DCR的反直觉结果主要是由于其归一化步骤造成的。因此，开发了许多替代组合方法来解决这个问题。这些修订后的组合规则主要集中在重新分配冲突质量[23]上。值得注意的规则包括Yager的融合规则[24]，它将冲突质量分配给空集；Lefevre的组合规则[25]，它根据权重因子将冲突质量分配给焦点元素；Dubois和Prade的析取组合规则[26]，它将冲突质量分配给涉及冲突的焦点元素的并集；以及基于局部冲突分配的修改规则[27]，其中全局冲突被划分为局部冲突，然后分配给相应的焦点元素。第二种观点认为，反直觉结果是由于证据不可靠造成的，因此应在应用DCR之前对证据进行修正[28]。在实际应用中，有两种主要的修改证据集的方法。一种方法是折扣证据集，这种方法基于冲突来源于不可靠或受干扰的信息源这一想法。因此，应在组合之前使用折扣因子调整来自这些来源的证据[29]。Shafer最初引入了折扣的概念[20]，但确定适当的折扣因子是一个关键挑战。Shafer的书中概述了许多推导折扣因子的方法。然而，当使用依赖折扣的组合方法时，不合理的折扣因子可能会增加原始证据的不确定性，最终降低最终融合结果的准确性。另一种方法是计算证据集的加权平均值。这种方法强调根据冲突测量和每条证据内的不确定性程度来确定适当的权重[30]。一旦计算出这些权重，就将其应用于单个证据以进行预处理。与修改DCR相比，这些方法保持了D-S理论的关键数学属性。已经提出了几种加权平均校正技术，包括[11]、[31]、[32]、[33]中的方法。本文采用加权平均方法来评估每个证据集的可靠性。影响权重分配的一个关键因素是冲突的测量。一些研究人员直接通过评估其程度来评估证据冲突。例如，Wei[34]提出了一种利用Kullback–Leibler（K-L）散度来组合冲突证据的新方法。同样，Li[35]在D-S理论中使用了K-L散度而不是传统的冲突系数来量化证据集之间的冲突程度，从而提高了理论的适用性和收敛速度。然而，K-L散度不满足距离函数的关键属性，如对称性和三角不等式。为了解决这些限制，Xiao[36]提出了一种增强的信念散度度量来评估证据集之间的差异，而Fu[37]引入了信念库仑力的概念来量化冲突。其他研究人员采取了间接方法来测量冲突，首先使用距离函数计算证据集之间的相似性，然后使用这些距离函数来推导每条证据的可信度。距离函数的选择显著影响计算出的可信度。例如，Lin[38]提出了一种基于Mahalanobis距离的融合方法，这种方法需要计算协方差矩阵，由于计算复杂性，不太适合大规模数据。Jousselme[39]以及Zhang[40]、Chen[2]和Deng[41]使用Jousselme距离来评估证据的可信度。然而，Jousselme距离有局限性，因为它只捕捉了证据冲突的一个方面，而多个因素可能会影响冲突程度。为了克服Jousselme距离函数的这一问题，在[42]中引入了信念Hellinger距离，通过考虑所有可能假设的总数提供了更全面的度量，使其更适合D-S理论中的距离测量。当辨别框架（FOD）中的所有假设都是单例时，信念函数简化为传统的概率分布，信念Hellinger距离简化为经典的Hellinger距离。此外，信念Hellinger距离在测量差异程度方面具有显著优势，因为它满足有界性、非退化性、对称性和三角不等式等关键属性。因此，本文采用信念Hellinger距离来确定每个证据集的可靠性程度。

另一种修改证据集的方法是基础信念函数方法[43]、[44]、[45]，它在封闭世界背景下应用DCR之前调整传统的BPA。当证据来源高度矛盾时，经常会出现融合悖论。如[46]所述，当一个证据源为某个焦点元素分配零BPA，而另一个证据源为同一元素分配非零BPA时，通常会出现这种悖论。假设所有来源都是可靠的，并且所有专家都是称职的，那么零BPA和非零BPA之间的冲突值得特别关注。非零BPA表明有一些证据支持相应的焦点元素。相比之下，零BPA通常不应被解释为反驳，而应被视为证据的缺失或缺乏知识。因此，应相应地调整零BPA。

许多研究人员提出了不同的基础信念函数来修改传统的BPA。在[43]中，Wang引入了一种基础信念函数，在生成BPA之前为FOD中的每个子集分配相等的概率。相比之下，[44]中的方法将基础信念均匀分配给基本的互斥元素，符合经典概率理论，而不是将信念分配给FOD的整个幂集。此外，在[45]中，作者根据每个命题的重要性为其分配特定值，给予单例子集比复合子集更高的权重，以减少FOD内的不确定性。受到这些工作[43]、[44]、[45]的启发，本文引入了一种新的基础信念函数来调整和校正原始证据集。

由于修改DCR和修订证据体的两种观点都提供了有效的方法，本文结合了两者的优势，开发了一种有效的信息融合方法。因此，提出了一种综合的信息融合算法，利用每种方法的优势。首先，使用所提出的基础信念函数校正潜在冲突的证据。接下来，使用Hellinger距离函数计算每个修订后的证据的可靠性程度，以解决来自不可靠来源的冲突。基于这些可靠性程度，为每个命题计算加权平均BPA。随后，设计了一种冲突分配策略，利用加权平均BPA和校正后证据的冲突因子来得出适当的融合结果，而不是直接应用DCR。通过结合修订后的证据体和策略性冲突重新分配，这种方法有效地解决了来自不可靠证据和直接归一化的冲突。

本文的创新之处在于引入了一种新的基础信念函数技术，该技术优先考虑整个证据集中存在的焦点元素，而不是考虑FOD幂集中的所有元素。这种方法有效地避免了证据中的零BPA情况，并解决了DCR通常产生的反直觉结果。此外，还提出了一种新的多源信息融合算法，旨在解决来自不可靠来源和直接归一化的问题。该算法结合了两种观点：证据体的修订和DCR的修改。具体来说，所提出的基础信念函数用于校正证据体，并通过利用计算出的可靠性程度来减轻来自不可靠来源的冲突。然后，不是直接应用DCR，而是引入了一种冲突重新分配策略来生成最终的融合结果。此外，提供了数值示例来证明所提出的基础信念函数的有效性，并进行了两个涉及冲突信息的数值实验，以突出所提出的信息融合方法的优越性。

本文的其余部分组织如下：第2节提供了D-S理论基础的概述，强调了常见的悖论，并介绍了信念Hellinger距离函数。第3节回顾了现有的基础信念函数，提出了一种新的基础信念函数及其应用程序，并提供了数值示例来说明所提出的基础信念函数的有效性。第4节讨论了证据融合中冲突的起源并探讨了相应的解决方案。第5节介绍了一种基于证据校正、可靠性评估和冲突重新分配的新多源信息融合方法，并附有实现示例。第6节展示了实验结果以及相应的消融研究，以评估所提出方法的有效性和各个贡献，第7节总结了本文。

2. 前言
本节旨在介绍D-S理论的基础原理。它为理解该理论及其关键组成部分提供了基础。讨论的基本概念包括辨别框架（FOD）、基本概率分配（BPA）和Dempster组合规则（DCR）。通过介绍这些概念，读者将清楚地了解D-S理论的理论框架和原则。

2.1. Dempster-Shafer理论的基本思想
D-S理论在处理不确定性方面具有重大影响。该理论由Dempster于1967年[19]首次提出，随后由Shafer[20]扩展，为管理不确定数据提供了多种好处。D-S理论的多功能性和有效性使其成为解决不确定性并在广泛的应用中做出明智决策的宝贵工具。

**定义2.1 辨别框架 [20]**
设Z是一个有限的、非空的、集合穷尽且相互排斥的事件集合{Si}，其中i=1,2,…,n
(1) Z={S1,S2,…,Sn}
(2) 2Z={0?,{S1},{S2},…,{Sn},{S1,S2},…,{S1,S2,…,Sn}}

**定义2.2 基本概率分配 [20]**
一个映射m:2Z→[0,1]被称为基本概率分配（BPA），如果它满足以下条件：
(3) ∑S?2Z，m(S)=1
(4) m(S)≥0
m(S)的值表示专门分配给命题‘S’的信念程度。它也是一个重要组成部分，也称为基本信念分配（BBA）或基本概率分配（BPA）。如果m(S)大于0，则集合S被称为焦点元素，而〈S,m〉被称为证据体（BOE）。这里，S代表焦点元素，m表示相应的BPA。焦点元素捕捉了分配信念的具体命题，而BPA量化了与该命题相关的信念程度。

**定义2.3 信念函数 [20]**
如果函数bel:2Z→[0,1]满足以下条件，则称为信念函数：
(5) bel(S)=∑M?S，M∈2Z，m(M)
(6) bel(0?)=0?
bel(S)表示对S的信念，代表对S为真的直接支持。它量化了我们对S为真的信心。

**定义2.4 可信度函数 [20]**
如果函数pl:2Z→[0,1]满足以下条件，则称为可信度函数：
(7) pl(S)=∑M∩S≠0?，M∈2Z，m(M)
(8) pl(0?)=0?
S的可信度表示我们不不相信S的程度，即与S不直接冲突或反对S的信念程度。
信念和可信度是共轭的：
(9) bel(S)=1?pl(Sˉ)
(10) pl(S)=1?bel(Sˉ)
此外，我们有：
(11) bel(S)+bel(Sˉ)≤1
(12) pl(S)+pl(Sˉ)≥1

信念bel(S)和可信度pl(S)为我们对命题S及其补集Sˉ的不确定性提供了明确的度量。区间[bel(S), pl(S)]的长度反映了我们对真实概率P(S)了解的缺乏程度。因此，信念通常被视为不确定性的下限，可信度被视为上限，实际概率位于这两个极限之间。

**定义2.5 Dempster组合规则 [20]**
Dempster组合规则（DCR）能够融合多源信息以支持准确和有效的决策。给定两个在相同FOD Z={S1,S2,…,Sn}上定义的证据集m1和m2，可以使用DCR将这两个证据集组合起来，如方程(11)所示：
(11) m(S)=∑(S1,S2?2Z，S1∩S2=1) / (m1(S1)m2(S2)^(1?K)，其中S≠?
这里，K表示证据集m1和m2之间的冲突程度，而1?K作为归一化因子，确保组合后的质量保持为单位值。
(12) K=∑(S1∩S2=0?，m1(S1)m2(S2)

方程(11)表明DCR直接对证据集m1和m2进行求和。因此，它也可以表示为m=m1⊕m2。该规则具有关键的数学属性，包括交换性和结合性。

本文中使用的缩写和符号列在表1和表2中。

**表1. 本文中使用的缩写列表**
| 缩写 | 定义 |
|-------------|-------------------------------------------|
| D-S | Dempster-Shafer理论 |
| DCR | Dempster组合规则 |
| BPA/BBA | 基本概率分配/基本信念分配 |
| FOD | 辨别框架 |
| BOE | 证据体 |
| bel | 信念函数 |
| pl | 可信度函数 |
| Sim | 相似性度量 |
| Sup | 支持程度 |
| Rel | 可靠性程度 |
| wae | 加权平均基本概率分配 |

**表2. 本文中使用的符号列表**
| 符号 | 含义 |
| Z | 辨别框架 |
| m | 基本概率分配 |
| 2Z | 辨别框架的幂集 |
| K | 冲突因子 |
| BH | 信念海林格距离 |
| mb | 基本信念函数（修正后） |
| K′ | 修正后证据的冲突因子 |

**2.2 Dempster组合规则中的悖论**
D-S理论由Dempster和Shafer [19]、[20]提出和发展，与贝叶斯概率理论相比具有多个优势。然而，在悖论的情况下，D-S理论中使用的DCR存在某些局限性。当证据高度冲突时，DCR生成的融合结果往往与常识相矛盾。随着冲突因子K趋近于1，分母趋于零，规则无法产生合理的融合结果。这些违反直觉的结果在D-S理论中被称为悖论。根据[22]，悖论有四种类型：完全冲突、一票否决或0信任冲突、完全信任冲突和高冲突。Dempster-Shafer（D-S）理论最初由Dempster提出，随后由Shafer [19]、[20]进一步发展，与经典贝叶斯概率相比具有显著优势。然而，在处理高度冲突的证据时，它面临重大挑战。D-S理论中的证据融合核心机制DCR在这种情况下表现出某些局限性。随着冲突系数K趋近于1，DCR中的分母趋于零，导致融合结果变得不稳定或违反直觉。这通常导致与常识相矛盾的结果，这种现象在D-S理论中被称为悖论。
- **完全冲突悖论**：在多源系统中，假设FOD Z={S1,S2,S3}包含两个证据集。
(13) E1:m1({S1})=1, m1({S2})=0, m1({S3})=0
E2:m2({S1})=0, m2({S2})=1, m2({S3})=0
冲突因子K = 1，表示证据集E1和E2完全冲突。在这种情况下，无法应用DCR。
- **0信任冲突或一票否决悖论**：在多源信息融合系统中，假设有四个证据集在FOD Z={S1,S2,S3}中，且命题{S1}为真。
(14) E1:m1({S1})=0.7, m1({S2})=0.2, m1({S3})=0.1
E2:m2({S2})=0.9, m2({S3})=0.1
E3:m3({S1})=0.75, m3({S2})=0.15, m3({S3})=0.1
E4:m4({S1})=0.8, m4({S2})=0.1, m4({S3})=0.1
从方程(14)可以看出，证据集E1、E3和E4一致地给命题{S1}分配了最高的BPA，表示对其有强烈支持。相反，证据集E2完全拒绝{S1}，直接与其他证据集和基本假设相矛盾。应用DCR后，得到的组合BPA和冲突因子如下：
(15) m({S1})=0, m({S2})=0.9643, m({S3})=0.0357
(16) K=0.99
从方程(15)可以看出，得到的结果与我们的假设相矛盾。这种违反直觉的结果是由于不一致的证据E2:m2({S1})=0造成的，这被称为一票否决悖论。
- **完全信任悖论**：在多源信息融合系统中，假设FOD Z={S1,S2,S3}包含两个证据集。
(17) E1:m1({S1})=0.95, m1({S2})=0.05, m1({S3})=0
E2:m2({S1})=0, m2({S2})=0.1, m2({S3})=0.9
方程(17)表明证据集E1和E2完全不同。应用DCR后，得到的最终BPA和冲突因子如下：
(18) m({S1})=0, m({S2})=1, m({S3})=0
(19) K=0.9950
在完全信任的情况下，由于E1对{S3}分配了0 BPA，E2对{S1}也分配了0 BPA，无论BPA多么小，两个证据集E1和E2始终一致地分配给{S2}，因此组合结果总是m({S2})=1。
- **高度冲突悖论**：在多源信息融合系统中，假设有五个证据集在FOD Z={S1,S2,S3,S4,S5}中，且命题{S1}为真。BPAs显示在表3中。使用DCR融合后，结果和冲突因子计算如方程(20)和方程(21)所示。
(20) m({S1})=0, m({S2})=0.5556, m({S3})=0.2222
(21) K=0.9999
在高度冲突的情况下，组合结果完全否定了实际命题{S1}。

这些D-S证据理论的违反直觉的例子清楚地突显了DCR的固有局限性。

**表3. 来自五个不同来源的BPA**
| {S1} | {S2} | {S3} | {S4} | {S5} |
|---------|--------|--------|--------|--------|
| E1(m1) | 0.7 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| E2(m2) | 0 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |
| E3(m3) | 0.6 | 0.1 | 0.15 | 0.1 |
| E4(m4) | 0.55 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| E5(m5) | 0.6 | 0.1 | 0.2 | 0.1 |

**3.3 信念海林格距离**
为了量化概率或统计理论中两个概率分布之间的相似性，Hellinger引入了一种新的距离度量，称为海林格距离[47]。

**定义2.6 海林格距离**
设L=(r1,r2,…,rn)和M={t1,t2,…,tn}是两个概率分布。L和M之间的海林格距离由方程(22)定义：
(22) H(L,M)=∑(i=1^n (ri?ti)^2
尽管海林格距离适用于测量两个概率分布之间的差异，但它不能直接应用于D-S理论。为了克服这一限制，在[42]中引入了信念海林格距离来量化两组证据之间的距离。

**定义2.7**
如果m1和m2是在相同FOD Z上定义的两个BPA。证据集m1和m2之间的信念海林格距离dBH由以下公式给出：
(23) dBH(m1,m2)=∑(i=1^n (m1(Si)?m2(Si))^2 / (2|Si|?1)
其中，Si∈2Z，|Si|表示Si的基数。需要注意的是，当|Si|=1，?Si时，BPA简化为概率分布。在这种情况下，信念海林格距离等同于标准海林格距离，与数学理论和逻辑推理保持一致。

设m1、m2和m3是在相同FOD Z上定义的三个BPA。信念海林格距离具有以下属性。更多细节请参考[42]：
- 有界：0≤dBH(m1,m2)≤1
- 非退化：dBH(m1,m2)=0 当且仅当 m1=m2
- 对称性：dBH(m1,m2)=dBH(m2,m1)
- 三角不等式：dBH(m1,m3)≤dBH(m1,m2)+dBH(m2,m3)

因此，本文使用信念海林格距离来量化证据集之间的差异。

**3. 现有的基本信念函数**
在D-S理论中，基本信念函数的概念非常重要，用于获得修改后的BPA。基本信念函数通常代表在考虑任何新证据之前的初始信念。它通常反映先验信念或知识。基本信念函数的概念是从初始信念状态开始，然后通过使用新的组合规则与新证据结合来更新它。这个过程导致修改后的BPA，为各种假设或状态提供更准确的信念或支持程度表示。它在修订和维持信念的过程中起着核心作用，随着新证据的出现，它成为在不确定性下进行推理的宝贵工具。文献中提出了三种基本信念函数技术来修改BPA，通过调整信念分配给各种命题的方式。这些技术如下所述。

- **Wang等人的基本信念函数 [43]**
本研究介绍的基本信念函数方法为封闭FOD Z的每个子集分配相同的初始信念。Z的幂集表示为2Z，包含总共2n个元素，其中‘n’是Z中互斥元素的数量。基本信念函数mb为2Z中的所有子集分配信念值，除了空集。每个命题Si的基本信念函数mb，其中i = 1,2,…,n由方程(24)定义：
(24) mb({Si})=1/(2^n?1)
为了调整BPA，表示为m，将初始BPA与每个命题Si的基本信念函数mb合并。使用方程(25)获得每个命题的修改后的BPA，表示为m′：
(25) m′({Si})=mb({Si})+m({Si})
然后使用DCR融合n个证据集的修改后的BPA，以获得最终结果。这个基本信念函数不加区分地为每个命题分配相同的值，即使某个命题在整个证据集中不存在。

- **Jing等人的基本信念函数 [44]**
在这种新颖的基本信念函数框架中，引入了一种不同于传统做法的方法，即不在FOD的整个幂集上分配基本信念。相反，创新方法将基本信念均匀分配给基本的、互斥的元素，符合经典概率理论的原则。考虑一个封闭的FOD Z，包含一组n个互斥元素，表示为Z={S1,S2,…,Sn}。Z的幂集表示为2Z，包含2n个不同的元素。新提出的命题Si的基本信念函数（其中i = 1,2,…,n）由方程(26)定义：
(26) mb({Si})=1/n，如果Si是单个子集命题；否则为0
基于原始BPA m和基本信念函数mb得到的修改后的BPA m′如方程(27)所示：
(27) m′({Si})=mb({Si})+m({Si})
然后使用DCR融合n个证据集的修改后的BPA。

- **Xiao等人的基本信念函数 [45]**
这种基本信念函数方法旨在减少证据集之间的冲突，从而减少组合过程中的损失。这种基本信念函数考虑命题的基数来适当地改变分配给特定命题的BPA。考虑一个FOD Z，包含n个元素，其幂集2Z包含2n个元素。新定义的命题Si的基本信念函数由方程(28)给出：
(28) mb({Si})=2^(n+1?|Si|)/∑(Si∈2Z)
推导修改后的BPA的过程由方程(31)描述：
(31) m′({Si})=mb({Si})+m({Si})
(32) m′′({Si})=m′({Si})+m({Si})
(33) mfinal({Si})=m′′({Si})+m({Si})
其中，Si表示2Z的元素，mb表示基本信念函数，‘m’表示命题Si的原始BPA。
为了减轻基本质量分配可能产生的误差，此操作执行两次。这种迭代方法旨在最小化不准确性并提高信念分配的精度。随后，使用DCR融合n个修改后的BPA，得到理想的结果。

受到上述三种基本信念函数的启发，引入了一种新的基本信念函数、一种修改BPA的新方法以及实施这种基本信念函数的具体过程，以管理冲突情况。提出的基础信念函数

上述讨论的现有基础信念函数方法主要关注基础信念和原始的BPA（Belief Propagation Algorithm）用于数据修改，同时忽略了与证据集相关的重要因素。为了解决这些不足并改进整体框架，引入了一种新的基础信念函数和数据修改方法。这种方法考虑了额外的因素，如信念函数和合理性函数，具体内容将在下文中详细说明。

考虑一个封闭的FOD（Fact-Oriented Decision，事实导向决策），Z，包含n个互斥且穷尽的元素。Z的幂集，表示为2Z，包含2n个不同的元素。属于幂集2Z的命题Si的基础信念函数由公式（32）定义：
$$mb({Si}) = \frac{2^n}{|Si|} \sum_{Si \in 2Z} \frac{1}{|Si|}$$
其中$Si'$表示2Z中的一个元素，$|Si|$表示命题Si的基数。提出的基础信念函数旨在通过修改原始的BPAs来最小化证据集内的潜在冲突。其目标是确保在生成BPAs之前，每个子集都有机会被考虑。BPA反映了在特定时间下某个来源支持假设的程度。如果我们考虑两个证据集：一个只包含单元素，另一个包含双元素。如[48]所示，第一个证据集的不确定性低于第二个证据集。因此，决策者可以更快、更自信地得出结论。此外，如[3]中所述，证据融合中的不确定性增加会导致最终组合结果的准确性降低。鉴于此，我们的基础信念函数的方法是在引入任何证据源之前，优先将最大信念分配给单元素子集，然后是双元素子集，依此类推。

获取每个命题Si的修改后的BPA $m'$的过程由公式（33）和（34）定义：
$$mmod({Si}) = mb({Si}) + m({Si}) \cdot bel({Si}) + pl({Si})$$
$$m′({Si}) = \frac{mmod({Si})}{\sum mmod({Si})}$$
在公式（33）中，$Si$表示给定证据集中的焦点元素。修改后的BPA（$m'$）仅分配给这些焦点元素，而不是2Z中的所有子集。这里修改后的BPA不仅来源于基础信念函数（$mb$）和经典BPA（$m$）的算术平均值，还结合了信念函数和合理性函数的信息。这里使用了由$bel(Si)$（下限）和$pl(Si)$（上限）形成的概率区间的中心值，因为与仅使用质量函数相比，信念区间能更准确地表示对${Si}$的支持强度。为了计算简便，如[49]中所建议的，取$bel({Si})$和$pl({Si})$的平均值来离散化信念区间，并对这个值进行指数化处理，以防止零条件并提高计算的稳定性。

当引入一个来源时，我们使用基础信念函数、经典BPA和概率区间的中心值来修改经典BPA。如果$m({Si}) > mb({Si})$，那么$m′({Si}) > mb({Si})$，这意味着新来源加强了我们对基础信念函数的基本看法。如果$m({Si}) < mb({Si})$，那么$m′({Si}) < mb({Si})$，这意味着我们的基本看法被削弱了。

基础信念函数的最大优势在于它能够防止证据之间的冲突。当某些命题被分配零BPA时，证据体之间往往会出现高水平的冲突，而基础信念函数可以有效解决这个问题。即使大多数来源削弱了某个假设，该假设的修改后的BPA也会接近零，但永远不会达到零。这种方法通过为整个证据集中的每个焦点元素至少分配一个小的BPA来挑战绝对性的概念。换句话说，来源中的不准确性不会对最终组合结果产生决定性影响。

3.2. 使用提出的基础信念函数的程序
使用提出的基础信念函数的方法的程序如下：
- 第一步：将从每个独立来源获得的证据视为BPA。
- 第二步：决定是否使用基础信念函数。在这一步中，我们考虑每个证据集。现在我们判断以下条件：
- 条件1：证据集中每个单元素子集的BPA非零。
- 条件2：证据集的FOD（Fact-Oriented Decision）的幂集中每个命题的BPA非零。
- 条件3：不满足条件1也不满足条件2
在这一步中，我们必须指出每个证据集属于哪个条件。如果证据集满足条件1或条件2，则不需要修改BPA，我们直接使用DCR（Dempster’s Combination Rule，德普斯特组合规则）进行融合。如果满足条件3，则使用提出的基础信念函数进行修改，然后使用DCR进行融合。
这种方法保持了DCR的基本属性，包括结合律和交换律。

3.3. 使用基础信念函数的数值示例
为了提高清晰度并避免冗余，选择了两个代表性示例来说明提出的基础信念函数的有效性和鲁棒性。这些示例在方法论发展之后立即纳入第3节。所选示例代表了证据融合中的两种基本场景：（1）完全冲突的情况，以及（2）高冲突的多元素情况。这些场景足以展示所提方法的基本特征，同时保持简洁性。

示例3.1
假设FOD为$Z = \{S1, S2\}$，两个证据集分别为：
$$m1({S1}) = 1, \ m1({S2}) = 0, \ m1({S1,S2}) = 0$$
$$m2({S1}) = 0, \ m2({S2}) = 1, \ m2({S1,S2}) = 0$$
首先根据公式（32）得到基础信念函数：
$$mb({S1}) = \frac{1}{2}, \ mb({S2}) = \frac{1}{2}$$
然后根据公式（33）和（34）修改两个证据集：
$$m1′({S1}) = 0.9049, \ m1′({S2}) = 0.0951$$
$$m2′({S1}) = 0.0951, \ m2′({S2}) = 0.9049$$
使用DCR得到的组合结果为：
$$m({S1}) = 0.5$$
结果表明${S1}$和${S2}$成为真的可能性相等，这恰当地反映了实际情况，因为上述证据集之间存在完全冲突。同时，该结果与表4中的现有旧方法进行了比较。从表4可以看出，在这种情况下无法应用DCR，因为K的值为1。Yager的规则将全部质量分配给${S1,S2}$，这会造成不确定性。尽管Wang等人的方法为${S1}$和${S2}$分配了相同的概率，但它也为${S1,S2}$分配了一定的概率。在这种情况下，Jing等人的方法、Xiao等人的方法和提出的方法表现良好，因为它们为${S1}$和${S2}$分配了相同的值，并且不为多元素子集${S1,S2}$分配任何值。

表4. 使用各种方法得到的示例3.1的组合BPA
| 方法 | {S1} | {S2} |
|-----------------|--------|--------|
| Dempster’s [19] | 0 | 0 |
| Yager’s [24] | 0 | 0 |
| Wang et al.’s [43] | 0.4737 | 0.4737 |
| Jing et al.’s [44] | 0.5 | 0.5 |
| Xiao et al.’s [45] | 0.5 | 0.5 |
| Proposed | 0.5 | 0.5 |

示例3.2
假设FOD为$Z = \{S1, S2, S3\}$，两个证据集分别为：
$$m1({S2,S3}) = 0.8, \ m1({S1,S3}) = 0.2$$
$$m2({S2,S3}) = 0.2, \ m2({S1,S3}) = 0.8$$
首先根据公式（32）得到基础信念函数：
$$mb({S1}) = \frac{1}{2}, \ mb({S2}) = \frac{1}{2}, \ mb({S1,S3}) = \frac{1}{2}$$
然后根据公式（33）和（34）修改两个证据集：
$$m1′({S1}) = 0.0154, \ m1′({S2}) = 0.0616, \ m1′({S3}) = 0.0771$$
$$m2′({S1}) = 0.0616, \ m2′({S2}) = 0.0154, \ m2′({S3}) = 0.0771$$
$$m2′({S1,S3}) = 0.1803, \ m2′({S2,S3}) = 0.6656$$
使用DCR得到的结果为：
$$m({S1}) = 0.0249, \ m({S2}) = 0.0249, \ m({S3}) = 0.6826$$
$$m({S2,S3}) = 0.1339$$
由于两个证据集的焦点元素都包含$S3$，因此预期组合结果应主要分配给$S3$，而不是${S1,S3}$和${S2,S3}$，因为后者可能会造成不确定性。根据Dempster和Yager的规则融合证据后，成功地为命题${S3}$分配了令人满意的0.68的质量值，而为${S1,S3}$和${S2,S3}$分配了较低的质量值。Wang等人的方法、Jing等人的方法、Xiao等人的方法和提出的方法都为${S3}$分配了最高的质量值。Wang等人为FOD的幂集中的所有假设分配了质量值，因此可能会造成不确定性。总体而言，我们提出的方法表现优异，因为它为实际命题分配了68.2%的最高信念值，为${S1,S3}$分配了0.134的低信念值，为${S1}$和${S2}$分配了0.025%的信念值，简化了决策过程（见表5）。

表5. 使用各种方法得到的示例3.2的组合BPA
| 方法 | {S1} | {S2} | {S3} | {S1,S2} | {S1,S3} |
|-----------------|--------|--------|--------|--------|--------|
| Dempster’s [19] | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Yager’s [24] | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Wang et al.’s [43] | 0.135 | 0.135 | 0.414 | 0.018 | 0.146 |
| Jing et al.’s [44] | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
| Proposed | 0.5 | 0.5 | 0.682 | 0.134 | 0.134 |

• 提出的基础信念函数在应用DCR之前引入了一种受控的重新分配机制。该方法不是直接规范化冲突系数，而是通过基础信念函数调整原始证据，以调节极端的信念分配。这防止了冲突系数接近1时出现的退化问题。
• 提出的方法在完全冲突的情况下保持了对称性。当两个证据来源提供相等但相反的支持时，融合结果为竞争的单元素假设分配了相等的信念。这种行为在没有偏好信息的情况下反映了理性的决策。
• 提出的方法有效地避免了将不必要的信念分配给多元素子集。在一些现有方法中，相当一部分信念被分配给了FOD或复合假设（即包含多个元素的子集），而这些子集甚至不存在于整个框架中，尤其是在存在冲突的情况下。这样的分配可能会增加不确定性，使最终决策不够明确。
• 提出的方法在高冲突条件下表现出稳定性。即使在传统DCR产生反直觉或未定义结果的情况下，通过基础信念函数获得的修改后的证据也能使融合过程顺利进行并产生合理的结果。

在本文中，使用新的基础信念来纠正证据集并直接结合DCR可能会产生问题，如第5.1节所注意到的。因此，我们提出了一种新的信息融合方法，其中不是直接通过DCR融合信息，而是使用基于新基础信念函数的冲突分配方案，这将有助于正确获得最终组合结果，从而改善决策过程。

4. 冲突的起源和解决方案
D-S理论中的冲突解决一直是过去广泛研究的主题。然而，问题仍然存在：为什么证据会冲突？冲突的主要来源及其经典解决方案如下所述：
- （1）由不可靠来源引起的冲突：如第1段第三段所述，第二类认为不可靠来源是主要的冲突来源。很明显，冲突因素受到所有证据集的严重影响。当包含不可靠的证据时，冲突因素会迅速增加，导致错误的融合结果。例如，公式（14）和表3中的冲突证据E2直接导致了“一票否决悖论”和高度冲突的悖论。实际上，复杂系统中的信息来源往往不可靠，因为不同的来源具有不同的经验和知识水平。专家们在专业知识上通常存在差异；有些人由于他们的经验、知识和培训更为可靠。专家们也可能基于不同的背景、方法论和知识库提供意见。因此，考虑专家的可靠性并相应地调整他们的判断是很重要的。同样，来源提供的信息的可靠性也并不总是统一的。这种差异可能源于影响专家的因素，如确定性的差异、完整性和测量精度，或者来源本身的问题。此外，运行环境也会影响来源的可靠性，因为某些来源在特定条件下可能表现更好。因此，应根据来源的可靠性来调整证据，反映每个来源提供问题准确评估的能力。更可靠的来源应被赋予更大的权重，而不太可靠的来源则应被降低权重。因此，在合并证据之前评估证据来源的可靠性是至关重要的。[1]、[2]、[3]中给出了处理由不可靠来源引起的冲突的各种方法。这些方法在应用DCR之前会修改证据。
- （2）由强制规范化步骤引起的冲突：如第1段第二段所讨论的，第一类认为DCR中的强制规范化步骤直接导致了悖论。从公式（11）可以看出，DCR首先将两个命题之间的局部冲突相加，然后直接将它们规范化为总命题。部分冲突的全局分布并不完全合理。此外，公式（11）表明结果是通过证据的直接求和操作获得的，而直接求和操作对所有质量分配都很敏感。例如，在第2.2节中给出的所有悖论中，证据集E2对命题{S1}的支持度为零，因为m2({S1})=0，而融合结果完全否定了命题{S1}，即m({S1})=0。这意味着无论有多少一致的证据集支持{S1}，“一票否决”悖论仍然存在。因此，这种强制性的归一化步骤加剧了冲突情况。为了管理由DCR的归一化步骤引起的冲突情况，已经开发了各种方法[24]、[25]、[26]。5. 一种新的多源信息融合方法——Dempster-Shafer（D-S）理论不仅能够融合不精确和不确定的信息，还能提高融合结果的准确性和可靠性。然而，潜在的悖论阻碍了其发展和实际应用。如第4节所示，冲突来源于特定的来源。因此，主要目标是通过消除两个已识别的冲突原因来有效解决这些冲突。受到[3]、[22]的启发，引入了一种算法来高效解决这些冲突。所提出方法的流程图如图1所示。•步骤1：基于基础信念函数的证据校正：使用所提出的基础信念函数（如方程（32）和方程（34）所示，调整每个焦点元素的基础信念概率（BPA），以消除证据之间完全矛盾的情况。当某些BPA为零时，证据集之间的冲突通常会很严重，但基础信念函数有效地避免了这种情况。即使大多数证据集削弱了某个特定假设，该假设的修改后的BPA也会接近零，但永远不会达到零。•步骤2：此步骤旨在减少由不可靠来源引起的冲突。计算校正后证据的可信度以及每个命题的加权平均BPA。–步骤2.1：计算校正后证据集之间的信念Hellinger距离和相似度度量。如果mi′和mj′是两个校正后的证据集，则mi′和mj′之间的信念Hellinger距离表示为dBH(mi′,mj′)，由方程（23）给出，其中i,j = 1,2, …,n，n表示证据集的数量。信念Hellinger距离函数有效地显示了证据集mi′和mj′之间的距离。相似度度量越高，表示两个校正后的证据集之间的距离越小。Sim(mi′,mj′)表示两个证据集之间的相似度度量，由方程（35）给出。(35)Sim(mi′,mj′)=1?dBH(mi′,mj′)–步骤2.2：计算每个校正后证据集mi′的支持度，其中i = 1,2, …,n，由方程（36）给出。(36)Sup(mi′)=∑j=1,j≠inSim(mi′,mj′)–步骤2.3：计算每个证据集mi′的可信度，如方程（37）所示。(37)Rel(mi′)=Sup(mi′)∑Sup(mi′)在信息融合过程中，不同的证据来源提供不同的准确度，并具有不同的信息收集能力，这意味着每个来源提供的证据并不可靠。实际上，具有高度冲突的证据集可能导致不合理的融合结果。因此，在融合之前需要确定每个证据集的可信度。当一个证据集得到其他证据集的强烈支持时，其可信度会增加；当支持较少时，可信度会降低。然后使用这些权重来计算每个命题的加权平均BPA，Sl（其中l = 1,2, …,m，m表示命题的数量），由方程（38）给出。(38)wae(Sl)=∑i=1nRel(mi′)mi′(Sl)•步骤3：此步骤的目的是消除由强制性归一化引起的冲突。–步骤3.1：我们使用校正后证据的抗冲突因子K′，而不是原始证据的抗冲突因子K。在高度冲突的情况下，增加K的值可能会导致不合理的结果。校正后证据m1′,m2′,…,mn′的抗冲突因子K′是通过方程（39）计算得出的。(39)K′=∑∩Sl=?,l=1,2,…,m∏1≤i≤nmi′(Sl) K′更精确地表示了冲突程度，因为原始证据的不可靠性已经被分析和评估。–步骤3.2：受到[22]的启发，每个命题都被分配了一定的冲突值。如果某个证据集的命题与其他命题高度冲突，则该命题应被分配较高的冲突值，反之亦然。这是通过将抗冲突因子K′与加权平均BPA结合得到的，表示为Δ(Sl)，由方程（40）给出。(40)Δ(Sl)=K′×wae(Sl)我们没有直接应用DCR，而是使用了一种高效的冲突管理方案。因为在传统的D-S理论框架下，DCR通过归一化将冲突重新分配给所有非冲突的焦点元素，这会在冲突适中时加速向主导假设的收敛。然而，在存在重大冲突的情况下，这种激进的归一化可能会产生反直觉或不稳定的结果。例如，即使只有一个冲突来源对其补集赋予了大量权重，一个得到许多来源支持的假设也可能被赋予零权重[50]。由于这种效应，直接应用DCR可能会过早地消除一些有支持但与更强证据冲突的命题，从而有效地抑制了少数但可能是真实的信息。这个问题促使许多研究人员研究替代的组合规则和冲突管理策略，以避免或减轻焦点元素上非零权重的损失，例如[51]以及其他更保守地重新分配冲突权重的改进组合方法[52]。相比之下，我们的冲突分配方案旨在保留所有可用焦点元素的信息内容，而不是像DCR那样激进地消除冲突。我们的方案重新分配冲突权重，使得最初BPA值较小的焦点元素也能保持非零支持。这种受控的重新分配确保了组合过程在信息上是完整的：没有假设仅仅因为与更受支持的命题冲突就被完全消除。因此，我们方法的收敛行为在合理关注主导假设和保留少数证据之间取得了平衡，在高冲突环境中产生更稳定和可解释的融合结果，而在传统归一化中这些信息可能会被扭曲或丢弃。冲突管理方案由方程（41）给出。(41)m?(Sl)=∑∩Sj=Sl∏1≤i≤nmi′(Sj)+Δ(Sl),Sl≠?0，否则。归一化方程（41）得到最终结果m(Sl)。因此，步骤3中给出的加权冲突分配方案有效地解决了由强制性归一化步骤引起的冲突。下载：下载高分辨率图像（565KB）下载：下载全尺寸图像图1. 所提出方法的流程图。5.1. 实施示例为了更好地理解所提出融合方法的实施，我们解决了表3中显示的高度冲突案例。•步骤1：基于基础信念函数的证据校正：–步骤1.1：从每个独立来源获取的证据显示在表3中。–步骤1.2：判断是否使用基础信念函数。从表3可以看出，除了第四个证据集外，每个证据集都属于条件3。因此，根据基础信念函数对整个证据集中的每个命题进行修改后的BPA计算。属于FOD整个权力集的每个命题的基础信念函数根据方程（32）计算得出：mb({S1})=mb({S2})=mb({S3})=mb({S4})=mb({S5})=0.0758 mb({S1,S2})=mb({S1,S3})=?=mb({S4,S5})=0.0379 mb({S1,S2,S3})=mb({S1,S2,S4})=?=mb({S3,S4,S5})=0.0190 mb({S1,S2,S3,S4,S5})=?=mb({S2,S3,S4,S5})=0.0095 mb({S1,S2,S3,S4,S5})=0.0047现在，根据方程（33）、（34）计算整个证据集Ei中每个命题的校正后BPA，mi′，其中i=1,2,3,4,5，并显示在表6中。这里证据集E4和E4′是相同的。基于基础信念函数的校正处理后，新的证据Ei′显示在表6中。显然，从表3可以看出，证据集E1、E3、E4和E5一致支持BPA最高的命题{S1}，而证据集E2存在高度冲突。如方程（21）所示，该多源系统的抗冲突因子K=0.9999。此外，从方程（20）可以得出，在高度冲突的情况下，DCR会产生反直觉的结果。与表3相比，表6中的证据集已经得到了有效校正。从表6可以看出，校正后的证据集E2′对{S1}提供了一些支持。这表明证据集E2具有最大的冲突程度，并且被大幅修改。因此，表6中的校正后证据准确地反映了真实的来源信息。–步骤2：计算表6中给出的校正后证据的可信度以及每个命题的加权平均BPA *步骤2.1：根据信念Hellinger距离计算校正后证据mi′和mj′之间的距离，其中i,j = 1,2, …,5，如下表7所示。从表7可以看出两个校正后证据集之间的相似度度量。*步骤2.2：根据方程（36）计算每个校正后证据mi′的支持度：Sup(m1′)=3.1132,Sup(m2′)=1.8739,Sup(m3′)=3.2239 Sup(m4′)=3.0378,Sup(m5′)=3.118*步骤2.3：根据方程（37）计算每个校正后证据mi′的可信度：Rel(m1′)=0.21669,Rel(m2′)=0.13043,Rel(m3′)=0.22440 Rel(m4′)=0.21145,Rel(m5′)=0.21703一个得到更多其他证据集支持的证据集需要获得最高的权重，反之亦然。现在，根据方程（38）计算每个命题的加权平均BPA，Sl，l = 1,2, …,5：wae(S1)=0.54,wae(S2)=0.15,wae(S3)=0.13 wae(S4)=0.07,wae(S5)=0.11根据上述步骤，解决了由不可靠来源引起的冲突。–步骤3：此步骤的目的是消除由强制性归一化引起的冲突 *步骤3.1：由于冲突因子的值对组合结果有很大影响，因为增加K的值可能会导致不合理的结果。因此，我们使用校正后证据mi′的抗冲突因子K′，而不是原始证据mi的抗冲突因子K。校正后证据mi′的抗冲突因子K′，i=1,2,…,5，根据方程（39）得出：K′=0.4392*步骤3.2：在此步骤中，根据这样的想法为每个命题分配冲突：如果一个证据集的命题与其他证据集的同一命题高度冲突，则该命题应被分配最高的冲突值，反之亦然。每个命题的冲突是根据方程（40）获得的：Δ(S1)=0.2374,Δ(S2)=0.066,Δ(S3)=0.0572, Δ(S4)=0.0308,Δ(S5)=0.0484现在我们使用方程（41）给出的高效冲突管理方案，而不是直接应用DCR。因为在传统的D-S理论框架下，DCR通过归一化将冲突重新分配给所有非冲突的焦点元素。这在冲突适中时倾向于加速向主导假设的收敛。然而，在存在重大冲突的情况下，这种激进的归一化可能会产生反直觉或不稳定的结果。例如，一个得到许多来源支持的假设可能会被赋予零权重，即使只有一个冲突来源为其补集赋予了大量权重[50]。由于这种效应，直接应用DCR可能会过早地消除一些有支持但与更强证据冲突的命题，从而有效地抑制了少数但可能是真实的信息。这个问题促使许多研究人员研究替代的组合规则和冲突管理策略，以避免或减轻焦点元素上非零权重的损失，例如[51]以及其他更保守地重新分配冲突权重的改进组合方法[52]。相比之下，我们的冲突分配方案旨在保留所有可用焦点元素的信息内容，而不是像DCR那样激进地消除冲突。我们的方案重新分配冲突权重，使得即使最初BPA值较小的焦点元素也能保持非零支持。这种受控的重新分配确保了组合过程在信息上是完整的：没有假设仅仅因为与更受支持的命题冲突就被完全消除。因此，我们方法的收敛行为在合理关注主导假设和保留少数证据之间取得了平衡，在高冲突环境中产生更稳定和可解释的融合结果，而在传统归一化中这些信息可能会被扭曲或丢弃。冲突管理方案由方程（41）给出。(41)m?(Sl)=∑∩Sj=Sl∏1≤i≤nmi′(Sj)+Δ(Sl),Sl≠?0，否则。归一化方程（41）得到最终结果m(Sl)。因此，步骤3中给出的加权冲突分配方案有效地解决了由强制性归一化步骤引起的冲突。下载：下载高分辨率图像（565KB）下载：下载全尺寸图像图1. 所提出方法的流程图。5.1. 实施示例为了更好地理解所提出融合方法的实施，我们解决了表3中显示的高度冲突案例。•步骤1：基于基础信念函数的证据校正：–步骤1.1：从每个独立来源获取的证据显示在表3中。–步骤1.2：判断是否使用基础信念函数。在这一步中，我们将判断每个证据集属于哪种条件。从表3可以看出，除了第四个证据集外，每个证据集都属于条件3。因此，根据基础信念函数对整个证据集中的每个命题进行修改后的BPA计算。属于FOD整个权力集的每个命题的基础信念函数根据方程（32）计算得出：mb({S1})=mb({S2})=mb({S3})=mb({S4})=mb({S5})=0.0758 mb({S1,S2})=mb({S1,S3})=?=mb({S4,S5})=0.0379 mb({S1,S2,S3})=mb({S1,S2,S4})=?=mb({S3,S4,S5})=0.0190 mb({S1,S2,S3,S4})=?=mb({S2,S3,S4,S5})=0.0095 mb({S1,S2,S3,S4,S5})=0.0047现在，根据方程（33）、（34）计算整个证据集Ei中每个命题的校正后BPA，mi′，其中i=1,2,3,4,5，并显示在表6中。这里证据集E4和E4′是相同的。基于基础信念函数的校正处理后，新的证据Ei′显示在表6中。显然，从表3可以看出，证据集E1、E3、E4和E5一致支持BPA最高的命题{S1}，而证据集E2存在高度冲突。如方程（21）所示，该多源系统的抗冲突因子K=0.9999。此外，从方程（20）可以得出，在高度冲突的情况下，DCR会产生反直觉的结果。与表3相比，表6中的证据集已经得到了有效校正。从表6可以看出，校正后的证据集E2′对{S1}提供了一些支持。这表明证据集E2具有最大的冲突程度，并且被大幅修改。因此，表6中的校正后证据准确地反映了真实的来源信息。–步骤2：计算表6中给出的校正后证据的可信度以及每个命题的加权平均BPA *步骤2.1：根据信念Hellinger距离计算校正后证据mi′和mj′之间的距离，其中i,j = 1,2, …,5，如下表7所示。从表7可以看出两个校正后证据集之间的相似度度量。*步骤2.2：根据方程（36）计算每个校正后证据mi′的支持度：Sup(m1′)=3.1132,Sup(m2′)=1.8739,Sup(m3′)=3.2239 Sup(m4′)=3.0378,Sup(m5′)=3.118*步骤2.3：根据方程（37）计算每个校正后证据mi′的可信度：Rel(m1′)=0.21669,Rel(m2′)=0.13043,Rel(m3′)=0.22440 Rel(m4′)=0.21145,Rel(m5′)=0.21703一个得到更多其他证据集支持的证据集需要获得最高的权重，反之亦然。现在，根据方程（38）计算每个命题的加权平均BPA，Sl，l = 1,2, …,5：wae(S1)=0.54,wae(S2)=0.15,wae(S3)=0.13 wae(S4)=0.07,wae(S5)=0.11根据上述步骤，解决了由不可靠来源引起的冲突。–步骤3：此步骤的目的是消除由强制性归一化引起的冲突 *步骤3.1：由于冲突因子的值对组合结果有很大影响，因为增加K的值可能会导致不合理的结果。因此，我们使用校正后证据mi′的抗冲突因子K′，而不是原始证据mi的抗冲突因子K，其中i = 1,2, …,5。校正后证据mi′的抗冲突因子K′，i=1,2,…,5，根据方程（39）得出：K′=0.4392*步骤3.2：在此步骤中，根据这样的想法为每个命题分配冲突：如果一个证据集的命题与其他证据集的同一命题高度冲突，则该命题应被分配最高的冲突值，反之亦然。每个命题的冲突根据方程（40）获得：Δ(S1)=0.2374,Δ(S2)=0.066,Δ(S3)=0.0572, Δ(S4)=0.0308,Δ(S5)=0.0484现在我们使用方程（41）给出的高效冲突管理方案，而不是直接应用DCR。因为基于DCR融合校正后证据miˉ得到的组合结果如表8所示。从表8可以看出，尽管命题{S1}被赋予了较高的信念值，但该方法得到的{S4}的BPA为零。这是不合理的，因为{S4}得到了多个证据源的非零BPA支持。因此，在融合过程中完全消除其信念会导致潜在有用信息的丢失，从而导致不一致且不太可靠的决策结果。所以我们使用方程（41）来获得组合结果，以便所有可用的焦点元素都应分配一些BPA。根据方程（41）得到的组合BPA：m?({S1})=m12345+Δ({S1})=1.2204 m?({S2})=0.073 m?({S3})=0.0632 m?({S4})=0.0308 m?({S5})=0.0524归一化后得到最终BPA：m({S1})=0.8476,m({S2})=0.0507,m({S3})=0.0439, m({S4})=0.0214,m({S5})=0.0364与方程（20）中的DCR相比，所提出的组合规则准确地识别了真正的命题{S1}。同时，所提出的方法解决了“一票否决”情况，从而获得了合理且可靠的融合结果。表6. 校正后的BPA。空单元{S1}{S2}{S3}{S4}{S5}E1′0.70.090.090.030.09E2′0.040.50.180.10.18E3′0.60780.0980.12750.03920.1275E4′0.550.10.10.150.1E5′0.6020.0970.097表7. 校正后证据集之间的距离度量。d(mi′,mj′)m1′m2′m3′m4′m5′m1′00.55790.07310.16690.0889m2′0.557900.50710.48710.5740m3′0.07310.507100.14250.0534m4′0.16690.48710.142500.1657m5′0.08890.57400.05340.16570表8. 基于DCR直接融合校正后的证据。空单元{S1}{S2}{S3}{S4}{S5}m123450.9830.0070.00600.0046. 数值实验和分析为了验证所提出的信息融合方法的有效性，我们使用了两组经典的冲突数据。第一组数据来自[53]，包含单个子集焦点元素；第二组数据来自[33]，包含多个子集焦点元素。这些数据集在之前的增强融合方法研究中被广泛使用。通过将这些冲突数据集应用所提出的融合方法，并与D-S证据理论和各种改进的融合算法进行比较分析，我们展示了我们方法的效率和有效性。6.1. 包含单个子集焦点元素的冲突数据在自动目标识别的多传感器信息融合平台中，假设FOD中有五个证据集Z={S1,S2,S3}，被认为是完整的，其中m1,m2,m3,m4,m5表示证据集的BPA。从五个不同的传感器获得的五个证据集显示在表9中。现在我们将我们提出的方法与各种组合规则进行比较，以展示其有效性。表10显示了[11]、[19]、[32]、[53]、[54]、[55]和所提出方法的最终结果。表9。BPA对于单个子集焦点元素。空单元{S1}{S2}{S3}E1(m1)0.9000.10E2(m2)00.010.99E3(m3)0.500.200.30E4(m4)0.980.010.01E1(m5)0.900.050.05将所有证据集结合起来，表10显示，除了Dempster规则外，所有现有的组合方法都成功检测到了实际目标。从表9可以看出，第一个、第三个、第四个和第五个来源强烈支持{S1}，而m2强烈支持{S3}。值得注意的是，尽管{S1}从其他来源获得了最高的BPA，但m2对{S1}的支持为零。同样，{S2}从m1那里没有得到任何支持，尽管其他来源为其分配了一些BPA。因此，当所有证据源结合在一起时，除非所有来源都给它分配零BPA，否则没有任何命题应该得到零BPA，但这里并非如此。包括所提出的方法在内的各种组合方法在表10中确认{S1}获得了除Dempster方法之外所有方法最高的BPA。尽管Murphy、Wang、Li和Zhao的方法优于Deng的方法和所提出的方法，但它们仍然存在某些缺点。例如，Murphy、Li和Zhao的方法给{S2}分配了零BPA，这是不合理的，因为只有m1对{S2}的支持为零，而其他来源为其分配了一些BPA。此外，这些方法在融合过程中依赖于加权平均方法，尽管这种方法保留了DCR的数学属性，但它也有局限性。具体来说，它牺牲了每个证据的独立性，并使用DCR融合了n-1次后的加权组合。总体而言，可以观察到所提出的方法有效地将BPA分配给了实际目标，比例超过97%，同时也给{S2}和{S3}分配了一些BPA，使其成为一种更合理和令人满意的方法。表10. 基于各种规则获得的数据组合BPA，其中包含单个子集焦点元素。规则{S1}{S2}{S3}ZDempster’s [19]0.00000.00001.00000.0000Murphy’s [11]0.98340.00000.01660.0000Deng’s [32]0.85850.03790.10360.0691Wang’s [53]0.99680.00010.00310.0000Li’s [54]0.99870.00000.00120.0000Zhao’s [55]0.99910.00000.00090所提出的方法0.9720.0080.0210.00006.2. 冲突数据包含多个子集焦点元素在自动目标识别的多传感器信息融合平台中，假设FOD中有五个证据集Z={S1,S2,S3}，这些证据集被认为是完整的，其中m1,m2,m3,m4,m5代表证据集的BPA。表11给出了来自五个不同传感器的五个证据集。现在我们将我们提出的方法与现有的组合方法进行比较。表12显示了[11]、[19]、[32]、[53]、[54]、[55]和所提出方法的最终结果。表11. 多个子集焦点元素的BPA。空单元{S1}{S2}{S3}{S1,S3}E1(m1)0.410.290.300E2(m2)00.900.100E3(m3)0.580.0700.35E4(m4)0.550.1000.35E5(m5)0.600.1000.30从表11可以看出，所有证据集都将最高的BPA分配给了命题{S1}，而证据集m2将最高的BPA分配给了命题{S2}。此外，三个证据集将零BPA分配给了命题{S3}，两个证据集将零BPA分配给了命题{S1,S3}。由于没有命题得到所有证据集的零BPA，因此最终BPA不应该将零BPA分配给任何命题。从表12可以看出，除了Dempster规则外，所有组合方法都将最高的BPA分配给了命题{S1}。尽管Murphy、Deng、Wang、Li和Zhao的方法为实际目标分配的BPA超过了95%，但它们仍然存在某些局限性。首先，尽管各个支持的证据源为实际目标分配的BPA不到60%，但组合结果显示实际目标的BPA过高，超过了95%。其次，Wang和Li的方法将零BPA分配给了{S3}，而Zhao的方法将零BPA分配给了{S2}，这是不合理的，因为没有任何命题从所有证据源那里得到零BPA。第三，虽然Murphy和Deng的方法为每个命题分配了一些BPA，但Murphy的简单平均方法假设所有证据源的重要性相同，这并不总是有效的。Deng的加权平均方法虽然更为精细，但也存在第1节中讨论的缺点。相比之下，所提出的方法为实际目标实现了超过78%的BPA，同时为所有证据集的焦点元素分配了非零BPA值，确保了更平衡和现实的证据聚合。表12. 基于各种规则获得的数据组合BPA，其中包含多个子集焦点元素。规则{S1}{S2}{S3}{S1,S3}ZDempster’s [19]00100Murphy’s [11]0.96130.01470.01660.00320Deng’s [32]0.98020.00090.01540.00350Wang’s [53]0.97280.006300.02080Li’s [54]0.96690.001100.03190Zhao’s [55]0.981700.01470.00360所提出的方法0.78240.06190.10470.051006.3. 单个和多个子集冲突实验的消融研究为了评估所提出的信息融合框架中每个组件的贡献，对问题6.1和问题6.2进行了消融研究。所提出的方法包括两个主要步骤：•步骤1：基于所提出的基础信念函数的证据校正•步骤2和步骤3：基于可靠性的冲突分配方案。由于步骤2和步骤3是相互关联的，因此在消融分析中一起进行评估。检查了四种融合配置：•案例1：使用DCR组合原始证据（未经校正且没有新的融合方案）。•案例2：使用DCR组合校正后的证据（基于所提出的基础信念函数）（未使用新的冲突分配方案）。•案例3：使用新的冲突分配方案组合原始证据（未经证据校正）。•案例4：使用新的冲突分配方案融合校正后的证据（所提出的信息融合方法）。通过比较这四种情况，可以清楚地说明每个贡献的个别影响。6.3.1. 单个子集焦点元素的消融研究这个案例代表了一个高度冲突的场景，其中一个证据源强烈支持{S3}，而多个源支持{S1}。从表13可以看出，由于证据源之间存在极端冲突，案例1完全失败，其中矛盾的证据主导了融合过程，导致了错误的决策。在案例2中，尽管在应用证据校正步骤后识别出了正确的目标{S1}，但结果仍然受到“一票否决”现象的影响，因为一些命题尽管得到了某些来源的支持，但仍被分配了零BPA。在案例3中，仅应用基于可靠性的冲突分配方案在一定程度上减少了冲突证据的主导地位；然而，它仍然无法正确识别真实目标。相比之下，案例4对应于所提出的方法，有效地整合了证据校正和基于可靠性的冲突重新分配，从而产生了稳定且准确的决策，并具有平衡的BPA分布。这表明，单独的证据校正或基于可靠性的冲突分配都不足以处理高度冲突的单个子集场景，而它们的结合提供了一个稳健的解决方案。表13. 基于问题6.1的消融研究表。案例证据基于可靠性的冲突m({S1})m({S2})m({S3})最终决策空单元校正分配方案空单元空单元空单元空单元空单元空单元步骤1步骤2和步骤3空单元空单元空单元空单元空单元案例1××001{S3}（错误）案例2?×0.99900.001{S1}（否决问题）案例3×?0.3730.0290.598{S3}（错误）案例4??0.9720.0080.021{S1}（正确）6.3.2. 多个子集焦点元素的消融研究在这个实验中，一些证据为复合焦点元素（如{S1,S3}）分配了权重，增加了不确定性和结构复杂性。对于多个子集焦点元素的案例，表14中也观察到了类似的趋势。在这里，案例1再次产生了错误的结果，因为传统的DCR无法处理强烈的冲突和复合焦点元素。在案例2中，仅应用证据校正步骤改善了对实际目标{S1}的信念分配；然而，它仍然无法正确管理复合命题之间的不确定性重新分配。案例3仅采用基于可靠性的冲突分配方案，减轻了冲突的影响，但缺乏足够的区分能力来识别正确的命题。最后，案例4代表了所提出的方法，成功处理了复合焦点元素和冲突证据，产生了更合理和稳定的信念分布，同时正确识别了目标。表14. 基于问题6.2的消融研究表。案例证据基于可靠性的冲突m({S1})m({S2})m({S3})m({S1,S3})最终决策空单元校正分配方案空单元空单元空单元空单元空单元空单元步骤1步骤2和步骤3空单元空单元空单元空单元空单元案例1××00.1500.8500{S3}（错误）案例2?×0.8900.0100.1000{S1}（否决问题）案例3×?0.2100.1800.5100.100{S3}（错误）案例4??0.7800.0600.1100.050{S1}（正确）总体而言，消融研究表明，传统的DCR对冲突非常敏感，在复杂的融合场景中可能会产生不可靠的结果。证据校正步骤提高了稳定性，但无法完全解决融合过程中的结构不一致性。同样，基于可靠性的冲突分配方案减少了极端行为，但单独使用时缺乏确保准确决策的能力。所提出方法中这些组件的组合有效地消除了否决行为，实现了合理的冲突重新分配，并确保了向正确决策的稳定收敛。这证实了在高度冲突条件下，整合所有步骤对于实现可靠的多源信息融合是必不可少的。7. 结论本文介绍了一种新的基础信念函数以及一种创新的组合方法，旨在解决在高度冲突场景中应用Dempster组合规则时可能出现的反直觉结果。通过对典型冲突相关悖论的全面分析，确定了冲突的来源并将其分为两类：证据源的不可靠性和Dempster组合规则中强制的规范化步骤。为了解决这些问题，提出了一种新的组合方法，该方法通过修改证据和Dempster组合规则来解决这两个方面。正如详细的数值实验所展示的，所提出的方法为冲突管理提供了一种有效的方法，增强了信息处理能力。我们的主要贡献如下：•首先，引入了一种新的基础信念函数，并将其分配给FOD的幂集中的每个命题。其次，获得了一种基于基础信念函数获得修改后的BPA的新方法，该方法考虑了证据集中存在的所有可能信息。在这里，我们将修改后的BPA分配给整个证据集中的焦点元素，而不是FOD的整个幂集中的所有命题。基础信念函数的优势在于它消除了证据相互矛盾的情况。它将BPA分配给整个证据集中的焦点元素。这种方法挑战了绝对性的概念，至少为整个证据集中的每个焦点元素分配了少量BPA。此外，还展示了使用所提出的基础信念函数的程序以及一些数值示例。•基于证据校正、可靠性程度和冲突重新分配，引入了一种新的组合方法。首先，使用所提出的基础信念函数校正原始证据，从而消除了证据完全矛盾的情况。其次，根据信念Hellinger距离函数获得每个校正证据的可靠性程度，然后根据可靠性程度获得每个命题的加权平均BPA。这一步的主要目的是消除由不可靠来源引起的冲突。第三，采用冲突重新分配方案来确定最终结果。在这里，将校正证据的冲突因素与加权平均BPA结合起来，为每个命题产生冲突，然后我们使用冲突管理方案而不是直接使用Dempster组合规则来确定最终BPA。这一步的主要目的是消除由强制性规范化步骤引起的冲突。因此，通过所提出方法的完整处理，有效地解决了冲突的来源。•与其他现有方法相比，所提出的基础信念函数和相关组合方法在有效建模证据集之间的冲突方面表现出强大的性能，从而帮助专家更快、更明智地做出决策。在未来的工作中，将进一步探索和整合额外的因素到组合过程中，以开发更强大的融合方法。此外，我们计划在开放世界的背景下扩展我们对增强型基础信念函数和组合方法的研究。这种方法也有潜力推广到其他不确定性框架，如不精确概率和模糊集合理论。CRediT作者贡献声明Palash Dutta：写作——审阅与编辑、验证、监督、方法论、形式分析、概念化。Sonom Shome：写作——原始草稿、可视化、验证、调查、形式分析。伦理声明作者声明本研究符合所有学术研究的伦理标准。该工作不涉及人类参与者、个人数据、动物或敏感的生物材料。所有方法都遵循公认的科学和学术实践。分析仅基于数学建模和数值实验，因此不需要伦理批准。作者确认手稿中没有抄袭、数据伪造或数据操纵。作者与本研究无关的利益冲突。