优化时空中的光波：利用间断伽辽金时域方法进行时空调制超表面的逆向设计

《Advanced Photonics Research》：Optimizing Light in Space and Time: Inverse Design of Spacetime-Modulated Metasurfaces via Discontinuous Galerkin Time-Domain Method

　　摘要

从静态超表面系统向动态超表面系统的转变代表了我们在控制光方面能力的前沿。然而，要充分发挥时空调制超表面的潜力，需要偏离传统的设计建模策略。在这里，我们提出了一个基于不连续Galerkin时域（DGTD）方法和先进的贝叶斯优化算法的严格逆向设计方法，以处理材料属性的任意时间变化，并将时间视为一个真正的设计自由度。一方面，我们新颖的DGTD方法能够准确模拟具有高调制频率和任意复杂几何形状的时空调制超表面。另一方面，我们的DGTD方法与全局先进的统计学习优化策略相结合，优化了一个几乎实现频率转换效率的基于硅的时空调制超表面。同时，通过将优化推向更高的调制频率范围，我们探索了诸如非对称频率混合等奇特功能，突显了该方法在设计时空调制超表面方面的多功能性，并为新一代时空可重构超表面铺平了道路。

1 引言

超表面[1, 2]是由二维光散射元素（通常称为纳米共振器或元原子）阵列制成的超薄人造材料。通过调节这些元素的几何形状，可以实现对非常短传播距离的精确波前控制，使它们对许多不同领域都极具吸引力。关于超表面及其应用的详细回顾，请参见[3]。大多数超表面是纯粹被动的：它们的功能完全来自于它们的几何设计，在制造后不可更改。相比之下，活性超表面[4, 5]已经被开发出来，以克服这一限制，使其光学响应可以通过电偏置[6, 7]、光泵浦[8]或热控制[9]来动态调节。根据超表面的重新配置时间尺度，可以识别出两个不同的范畴。准静态调制指的是材料属性的变化太慢而无法改变入射光束频率的情况。相反，在时间和时空调制范围内，调制速度足够快，可以产生新的频率谐波（即频率混合[10]），并打破洛伦兹互易性[11]。通常，在准静态设备的建模中，材料属性被视为与时间无关的。然而，时空调制超表面的建模需要严格考虑时变介电常数。已经提出了几种数值方法来实现这一任务。最近，提出了一种多频率有限差分时域（MF-FDFD）方法[12]。当光学频率和调制频率相差几个数量级时，这种方法提供了一个比时域方法更有优势的频域框架。然而，随着调制引起的频率谐波数量的增加，这种方法的计算成本变得很高，因为需要解决的线性系统的规模也随之增大。同时，严格的空间-时间耦合波分析（RSTWA）[13]提供了一种有效的半解析替代方案，但它仅限于严格空间和时间周期性的层状结构。一个更通用的建模框架基于时域方法。在这个家族中，有限差分时域（FDTD）方法[14]易于实现，并自然扩展到时变介质。更一般地，时域公式允许材料属性的任意时间变化，这对于真实模拟调制机制至关重要。然而，FDTD对于复杂几何形状的精度会降低，因为它在笛卡尔网格上的空间离散化无法很好地近似曲线或复杂的边界。相比之下，另一种称为不连续Galerkin时域（DGTD）[15]的方法在过去10年中受到了很多关注，因为它能够处理非结构化网格和局部多项式近似。这些有趣的特点使得能够准确建模复杂的超表面几何形状，同时保持解决方案的精度。读者可以参考参考文献[16, 17]来比较DGTD和FDTD的性能。在这里，我们首次（据我们所知）开发了一个基于DGTD方法的时空变介质通用框架。其时域公式提供了与FDTD相同的好处，因为它可以处理任意的调制波形。最重要的是，它依赖于非结构化网格，适用于任意复杂的时间变化几何形状。值得注意的是，尽管我们在此工作中呈现的数值示例侧重于周期性时间调制以进行验证和基准测试，但在这里开发的新时空DGTD公式并不依赖于周期性假设。因此，我们的公式可以直接应用于非周期性的、脉冲的或空间依赖的调制剖面，这些超出了MF-FDFD或RSTWA方法的范围。所有这些方法的特点在表1中进行了总结。

论文的结构如下。首先，我们介绍了严格DGTD时变框架的开发，然后与最先进的MF-FDFD方法进行了详细的验证和基准测试。其次，我们将我们的新型时空DGTD求解器与先进的全局统计学习优化算法结合起来，设计出现实的时空调制衍射光栅。基于现实的时间变化调制场景[8]，我们的数值优化设计实现了高效的光束转向，在近红外范围内几乎实现了频率转换效率。此外，我们的优化设计将下转换和上转换的频率谐波引导到相反的角度。据我们所知，这些优化的光栅代表了在如此现实条件下首次在近红外范围内实现高效谐波光束转向的演示，达到了之前未报告的性能。

2 DGTD方法

在本节中，我们概述了DGTD方法的一般框架，并将其扩展到处理时变介质。DGTD方法使用高阶多项式基函数在非结构化网格上近似电磁场，类似于经典的有限元时域方案[18]，但它通过允许解在单元接口处不连续来解除全局连续性的限制。与有限元相比，DG方法自然地处理材料和场的不连续性。从数值角度来看，由于弱公式是局部的每个单元，因此不需要在每个时间步长都求逆一个大的全局质量矩阵。假设传播介质是线性的、各向同性的和非色散的，以便推导该方案。此外，我们假设介电常数和磁导率是时变的。在这些假设下，一阶时域麦克斯韦方程为：

(1)

其中 是电场， 是磁场， 是电流源项。尽管调制可能来自非线性机制，如克尔效应或波克尔效应，但在本研究中，假设介电常数是独立于电磁场的时间控制的。这使我们可以将介质视为线性的， 和 与场幅度无关。将(1)乘以一个向量测试函数，在单元上积分每一项，然后应用分部积分得到问题的局部弱形式：

(2)

其中 表示单元的边界， 是该单元面的单位外法线。在每个单元内部，近似场的组成部分被寻求为标量多项式基函数的线性组合，其中 是自由度的数量。因此，例如，我们可以写出电场的 分量为：

(3)

由于全局近似场（）允许在单元边界之间不连续，因此对 的表面积分不是唯一定义的。引入数值通量是必要的，以评估它们并连接相邻单元。在这项工作中，我们使用中心通量，它们具有非耗散性质，并使用 阶多项式基函数在 中实现 空间收敛[15]，但请注意，该公式可以很容易地扩展到迎风通量[19]。这里使用中心通量作为验证我们的DG公式的第一步，因为它们简单且具有非耗散性质。后一性质允许验证物理量的守恒并更准确地验证实现。在这种情况下，我们通过在单元 和 之间的界面近似场：

(4)

其中 表示单元 的索引集， 是从 朝向 的单位法线。将(2)中的先前定义替换后，我们可以将半离散的DG方案写成矩阵-向量形式：

(4)

其中我们引入了局部元素级矩阵：质量矩阵、刚度矩阵和通量矩阵。关于这些矩阵的完整推导，请参考[20]。注意 和 表示 和 限制在 内的值，并假设在该单元内是空间常数。对于时间离散化，我们选择了二阶跳跃蛙（LF）方案，它有一个明确的公式并且是非耗散的。在这种时间步进方案中，电场在 时间评估，而磁场在 错开的时间评估。我们终于可以写出时变介质中麦克斯韦方程的完全离散的DG-LF方案：

(5)

有关数值方案的更多细节，我们参考了我们之前的工作[21]。特别是，其收敛性是使用制造解决方案的方法研究的，并通过将数值解决方案与简单几何形状和特定调制波形的原始解析解决方案进行比较。尽管上述推导是以一般的三维形式制定的，但在本文中，数值实现将限制在二维配置上（有关2D方案推导的详细信息，请参见支持信息的S1.1节），以便专注于验证和物理解释。到完全三维几何的扩展将直接来自在非结构化四面体网格上提出的DGTD公式，并将在未来的工作中讨论。

3 数值验证

在这里，我们通过计算时间调制衍射光栅的响应，并将其与在Ceviche库[22]中实现的MF-FDFD方法的结果进行比较，后者使用PARDISO直接求解器[23]，来数值验证我们方法的二维实现。我们选择了[13]中使用的简单几何形状，并在图1a中显示，该几何形状由周期性的相同介电平方体阵列组成，其介电常数随时间正弦调制：其中 是平均介电常数值， 是调制深度， 是调制频率。该结构从顶部由垂直入射的TE偏振（电场垂直于入射平面）单色平面波照射，波长为 THz。由于结构的空间和时间周期性，入射波被散射成空间衍射级数（），其中 是空间周期，是时间谐波（）。

图1 使用480个单元的粗略非结构化网格和36,000个单元的精细笛卡尔网格的DGTD方法和MF-FDFD方法获得的结果比较。(a) 验证案例：周期性阵列的相同正弦时间调制介电平方体：其中， 和 ，频率为 THz。平方体的尺寸为m，阵列的周期为m，入射波的频率为 THz。(b) 两种方法得到的基本（左）和空间衍射级数（右）的时间谐波的传输效率。(c) 使用DGTD-（左）和MF-FDFD（右）得到的介电平方体附近 的场分量的幅度，考虑了 个谐波。注意，DGTD场图是使用稍微精细的1700个单元网格获得的，以获得更好的视觉质量。(d) MF-FDFD方法的收敛性（上）和CPU时间（下）作为考虑的时间谐波数量的函数，与DGTD-进行比较。在图1b中，我们比较了MF-FDFD和DGTD得到的基本和空间衍射级数的时间谐波的传输效率，两种方法之间非常好地吻合。在图1c中，我们比较了两种方法在选定的时间谐波下获得的近场响应，再次显示出非常好的一致性。注意，用于DGTD结果的频域解是从时域场数据中获得的，这些数据是在10个调制周期内以每个光学周期150个点的速率采样的。模拟的前10个调制周期被移除了，以便观察结果不受结构的瞬态响应的污染。傅里叶变换的计算采用了1000个点的光谱分辨率，覆盖了所有时间谐波，以确保峰值能够被清晰地定义。图1d展示了与DGTD相比，MF-FDFD方法的准确性和CPU使用时间如何随着考虑的时间谐波数量的变化而变化。我们观察到，在这个验证案例中，MF-FDFD方法需要包含更多的时间谐波才能与DGTD方法得到的解相匹配，后者使用了多项式阶数。然而，随着谐波数量的增加，MF-FDFD的计算成本呈指数级增长，在一块Intel Core i7-13800H的单核处理器上，MF-FDFD的计算时间达到了88秒，而DGTD仅为55秒。这突显了DGTD方法的重要性，更一般地说，对于具有不可忽视的高阶谐波的问题，时间域方法更为适用。此外，我们的方法支持任何modulation波形的选择，而MF-FDFD方法则被限制在使用正弦形的介电常数剖面上，这阻碍了对调制机制进行更现实的建模。详细的空间收敛性分析在支持信息的第S2节中给出。我们的数值结果证实，为了达到相当的准确性，MF-FDFD方法需要的空间单元数量大约是所提出的DGTD方案的一个数量级。此外，我们还比较了在不同几何形状下的情况，在这些情况下，阶梯式误差变得显著，进一步强调了非结构化、高阶DGTD离散化的优势。

4. 时空调制光栅的逆向设计
在本节中，我们考虑了一个更现实的时空调制超表面设计，以实现选定的时间谐波的异常弯曲，如图2所示。所提出的结构由一个周期性的三时光调制a-Si脊组成，这些脊放置在SiO间隔层上，并由一个银镜背面支撑，形成了一个Gires–Tournois非对称腔体[24]，如图3a所示。a-Si脊的折射率可以通过强光泵浦来调制，利用非线性克尔效应[25]，从而实现THz范围内的调制速度。此外，在最近的一项实验中[8]，两个频率略有不同的光泵浦被干涉，以在结构中产生一个行波调制模式，从而在调制相位延迟中引入线性梯度。在没有时间调制的情况下，经典的光栅方程表明空间衍射级数沿着以下角度进行：
图2（在图形查看器中打开）PowerPoint
时空调制硅基超表面的逆向设计示意图。更多细节请参阅文本。
图3（在图形查看器中打开）PowerPoint
使用我们的DGTD求解器和EGO方法优化空间相位变化的时间调制衍射光栅。(a) 三个时光调制硅脊的周期性阵列，位于SiO间隔层上，并由银反射层支撑。每个脊的折射率由正弦波形调制，相位延迟可以是任意的。(b) 左侧：EGO算法的收敛情况。蓝色区域代表DOE相位，而黑色点代表EGO阶段探索的设计。红色曲线代表非支配解集，即每次迭代中的最佳设计。右侧：替代模型的准确性。EGO在优化过程中使用的DGTD解是在粗网格（1000个单元）上通过多项式阶数获得的。(c) 最优设计产生的时间谐波的反射效率，对于（左侧）、（中间）和（右侧）空间衍射级数。DGTD-的结果与进行了比较，证实了解的空间收敛性。(d) 最优设计在（左侧）、（中间）和（右侧）的近场响应。最优设计参数为：纳米，纳米，纳米，弧度，弧度。
（6）其中是空间衍射级数，是光栅周期。现在，当我们引入调制相位的线性梯度时，我们期望时间谐波朝以下角度弯曲：
（7）其中是时间谐波指数，是两个连续脊之间的调制相位差，是时间谐波的波长。关于这个公式的推导和物理解释，请参见参考文献[26]。为了在三个脊单元格上强制实现完整的相位跨度并保持相位连续性，脊之间的相位差必须满足。设置得出，这与相同索引的光栅在波长下的空间衍射角度一致。考虑到在近红外（纳米）范围内入射的单色光束，并将光栅周期固定为纳米，时间谐波预计将以角度对称偏转，而零阶谐波将朝向法线方向反射。我们寻求一种设计，能够有效地将时间谐波引导到预测的角度，同时保持高阶谐波的幅度可以忽略不计。为了数值设计超表面，有两种主要策略。我们可以使用直接设计方法，其中特征化元子的响应，然后组装起来以实现所需的光学功能。然而，这种方法没有考虑相邻元素之间的近场耦合，这会降低设计的准确性。相反，我们采用逆向设计方法，将所需的光学功能设置为目标成本函数，并使用优化算法来确定实现最佳性能的最优几何形状。关于超表面设计的优化方法的综述，请参见[27]。这种方法需要一个计算效率高的优化算法，能够处理大量的设计参数。在我们的案例中，我们使用了一种称为高效全局优化（EGO）[28]的贝叶斯优化算法，该算法之前已被我们的团队用于优化被动超表面[29, 30]。这种方法的主要优点是它只需要少量的求解器调用就能收敛到最优解。EGO方法基于从目标函数的一组观测中迭代构建一个替代模型。算法分为两个阶段：过程从实验设计（DOE）开始，通过均匀采样策略（例如，拉丁超立方采样（LHS）[31]）随机探索可容许的设计空间。选定的设计用数值求解器进行模拟，然后使用相应的目标值来构建目标函数的替代模型，通常是一个高斯过程（GP）模型。在第二阶段（EGO），通过探索设计空间中最有前途的区域来迭代改进精度。在每次迭代中，通过最大化一个称为预期改进（EI）的统计优值函数来选择下一个要评估的候选设计。在模拟新设计后，其性能用于更新替代模型，EGO阶段重复进行，直到算法收敛到最优解。在我们的案例中，我们寻求最大化时间谐波在空间衍射级数（沿方向）的反射效率。在进行了多次使用不同目标函数的优化后，我们注意到算法自然地收敛到了正负谐波幅度接近对称的设计。因此，只需在目标函数中最大化一个谐波峰值就足够了，因为相反的谐波也预期会自然地被最大化。然后我们可以将优化问题写为：
为了专注于时空调制对介电常数的影响，我们选择考虑尺寸相同的脊。我们还允许每个脊的调制相位独立变化，而不是像在参考文献[8]的实验设置中那样施加线性相位梯度。虽然仅通过光泵浦在整个结构中实现任意相位分布具有挑战性，但调制相位作为实验目的保留为自由参数。目标是验证优化过程是否收敛到线性梯度剖面，正如方程（7）所预测的那样，以实现时间谐波沿角度的异常弯曲。总共，我们考虑了5个设计参数：三个相同脊的高度和宽度，SiO间隔层的厚度，以及第二和第三脊的调制相位（我们固定）。我们考虑每个脊的折射率根据正弦波形进行调制：。我们将调制频率固定为THz，这是根据参考文献[8]中的实验结果获得的。对于调制幅度，我们使用了一个值（），这与在a-Si纳米天线内由15 GW/cm的强泵浦引起的介电常数变化的模拟结果一致。实际上，参考文献[8]的支持信息中的图S1中的泵浦模拟显示，所选值位于诱导介电常数变化的范围内。在用50个设计点的DOE初始化优化后，我们运行EGO过程150次迭代，总共调用我们的DGTD求解器200次，每次迭代的平均CPU时间为3分钟。如图3b所示，优化迅速收敛到最优设计（在第142次迭代中发现）。然而，由于我们使用的是全局优化方法，算法也会开始探索不同的区域以尝试找到更好的设计。然而，在总共200次迭代后，我们没有找到更好的设计。图3b的右侧面板显示了替代模型的准确性，我们将目标值与模型预测的值进行了比较。该图在目标函数的最优值周围展示了明显的线性行为。EGO找到的最优设计参数在图3的标题中报告。我们观察到优化自然地收敛到了一个在设计中具有负线性相位梯度剖面的设计，正如方程（7）所预期的那样。实际上，第二和第三脊中的最优相位参数显示了相邻脊之间逐渐的相位移动。图3c显示了在所需频率下的两个显著峰值。我们观察到入射光束主要分裂为时间谐波，并朝向空间模式以几乎相等的功率（在模式中与在模式中）。一小部分入射功率（）在基本频率下正常反射。然而，我们还检测到在空间模式中的时间谐波周围有寄生反射（即，空间模式中的和谐波以及空间模式中的和谐波），每个携带大约的总功率的。这些谐波不是由于数值效应产生的，因为比较和结果证实了解的空间收敛性。在进行了额外的数值测试后，我们发现最小化和谐波的幅度是以降低整体频率转换效率为代价的，从而降低了感兴趣的谐波的效率。这证明了生成的谐波之间的物理交叉耦合，导致给定设计的效率和频率混合的纯度之间出现了明显的权衡。图3(d)中显示的近场响应直观地证实了基本时间谐波的镜面法线反射以及时间谐波朝向与预期值相一致的角度的偏转。为了提高图3中获得的设计的效率，我们进行了其他优化，这次让脊的个别尺寸和间距变化。包括这些新的自由度后，我们现在在优化中考虑了9个设计参数：SiO间隔层的厚度，所有脊的高度（出于制造原因都是相同的），以及脊之间的个别宽度和边缘到边缘的间距。最后，我们再次考虑个别调制相位作为设计参数：。我们注意到，使用与方程（8）中相同的目标准则，即只最大化一个谐波，我们并没有收敛到具有对称时间谐波的设计。我们假设在之前的结果中观察到的对称行为仅在没有相同脊的背景下有效，因此仅最大化一个峰值不足以在 questa 背景下同时最大化相反的谐波。我们可以将我们的优化问题写为：
为了专注于时空调制对介电常数的影响，我们选择考虑具有相同尺寸的脊。我们还让每个脊的调制相位独立变化，而不是像在参考文献[8]的实验设置中那样施加线性相位梯度。尽管仅通过光泵浦在整个结构中实现任意相位分布将是具有挑战性的，但调制相位作为实验目的保持为自由参数。目标是验证优化过程是否收敛到线性梯度剖面，正如为了实现时间谐波沿方程（7）预测的角度的异常弯曲所期望的那样。总的来说，我们考虑了5个设计参数：三个相同脊的高度和宽度，SiO间隔层的厚度，以及第二和第三脊的调制相位（我们固定）。我们考虑每个脊的折射率根据正弦波形进行调制：。我们将调制频率固定为THz，这是根据参考文献[8]中的实验结果获得的。对于调制幅度，我们使用了一个值（），这与在a-Si纳米天线内由15 GW/cm的强泵浦引起的介电常数变化的模拟结果一致。实际上，参考文献[8]的支持信息中的图S1中的泵浦模拟显示，所选值位于诱导介电常数变化的范围内。在用50个设计点的DOE初始化优化后，我们运行EGO过程150次迭代，总共调用我们的DGTD求解器200次，每次迭代的平均CPU时间为3分钟。如图3b所示，优化迅速收敛到最优设计（在第142次迭代中发现）。然而，由于我们使用的是全局优化方法，算法也开始探索不同的区域以尝试找到更优的设计。然而，在200次总迭代后，我们没有找到更好的设计。图3b的右侧面板显示了替代模型的准确性，我们将目标值与模型预测的值进行了比较。该图在目标函数的最优值周围显示了明显的线性行为。EGO找到的最优设计参数在图3的标题中报告。我们观察到优化自然地收敛到了一个在结构中具有负线性相位梯度剖面的设计，正如方程（7）所预期的那样。实际上，第二和第三脊中的最优相位参数显示了相邻脊之间逐渐的相位移动。图3c显示了在所需频率下的两个显著的峰值。我们观察到入射光束主要分裂为时间谐波，并朝向具有几乎相等功率的空间模式（在模式中与在模式中）。一小部分入射功率（）在基本频率下正常反射。然而，我们还在空间模式中的时间谐波周围检测到了寄生反射（即，空间模式中的和谐波以及空间模式中的和谐波），每种模式携带大约的总功率的。这些谐波并非由数值效应产生，因为和结果之间的比较证实了解的空间收敛性。在进行额外的数值测试后，我们发现最小化和谐波的幅度是以降低整体频率转换效率为代价的，因此也降低了感兴趣的谐波的效率。这证明了生成谐波之间的物理交叉耦合，导致给定设计的效率和频率混合的纯度之间出现了明显的权衡。图3(d)中显示的近场响应直观地证实了基本时间谐波的镜面法线反射以及时间谐波朝向与预期值相一致的角度的偏转。为了提高图3中获得的设计的效率，我们进行了其他优化，这次让脊的个别尺寸和间距变化。包括这些新的自由度后，我们现在在优化中考虑了9个设计参数：SiO间隔层的厚度，脊的高度（为了制造原因，所有脊都是相同的），以及脊之间的个别宽度和边缘到边缘的间距。最后，我们再次考虑个别调制相位作为设计参数：。我们注意到，使用与方程（8）中相同的目标准则，即只最大化一个谐波，我们并没有收敛到图3中那样的对称时间谐波的设计。我们假设在之前的结果中观察到的对称行为仅在没有相同脊的背景下有效，因此仅最大化一个峰值不足以在这个背景下同时最大化相反的谐波。最大化两个谐波的总和也没有带来满意的结果。相反，我们考虑了一个惩罚性目标函数，以便在尝试强制两个谐波的幅度相等的同时最大化感兴趣的和谐波。因此，我们选择了以下目标函数：

(9)其中第一项负责最大化谐波的总和，而第二项则强制最小化它们振幅之间的绝对差值。在尝试了几种惩罚参数的值后，我们发现通过固定某个值可以获得最佳结果，并在图4a和图4b中报告了通过两次独立优化得到的两个最优设计。我们注意到，在这两种情况下，优化都收敛到了与图3中呈现的结果相似的谐波分布，尽管感兴趣的谐波的振幅略有不同。我们还观察到两个结果中都存在相同的寄生谐波，这进一步证明了这些寄生谐波无法与感兴趣的谐波分离，否则会影响到设计的效率。最重要的是，优化自然地收敛到了具有非常相似的脊宽和间距的设计上，即使在EGO过程中这些参数是可以自由变化的。在第二和第三脊中的调制相位在两种情况下都呈现出接近线性的负相位梯度。有关最优设计参数的确切值，请参阅图4的标题。图4中显示的结果表明，与使用相同、等间距的脊相比，增加更多的几何参数并不会提高最优设计的效率。从这个观察中我们可以得出结论，谐波束指向现象本质上是由结构的时空调制引起的，而不是由纳米天线的几何属性引起的。结构的几何形状仍然起着重要作用，因为它能够激发局部共振，从而增加调制引起的频率混合现象，进而提高设计的效率。然而，改变晶格单元内各个脊的几何形状似乎并不会改善谐波束指向的性能。这与经典波束指向超表面的设计有一个主要区别，在经典设计中，指向特性完全是由纳米天线的空间变化几何形状引起的。

图4（在图形查看器中打开）EGO算法的收敛图和最优反射效率（对于、、和空间衍射阶数），这是通过对一个空间相位变化的时间调制衍射光栅进行两次独立优化得到的。使用了图3中的相同三脊结构，但这次将各个脊的宽度及其之间的距离作为设计参数纳入了优化过程。EGO使用的DGTD解是在一个粗网格（1000个单元）上通过多项式阶数获得的。对于两个最优设计（a）和（b），解的空间收敛是在阶数（红色十字）时达到的，这与（蓝色茎状线）的解一致。设计（a）的最优参数为：纳米，纳米，纳米，纳米，纳米，纳米，纳米，弧度，弧度。设计（b）的最优参数为：纳米，纳米，纳米，纳米，纳米，纳米，纳米，弧度，弧度。

5 结论

在这项工作中，我们开发了一个基于DGTD方法的光栅建模时空调制超表面的通用框架。我们的方法扩展了经典的DGTD公式，以考虑材料属性的任意时间变化，从而能够模拟超出准静态范畴的活性超表面。我们通过将我们的实现与MF-FDFD方法进行了对比，用于时间调制衍射光栅的模拟，显示出总体上的极好吻合度，并凸显了DGTD方法的吸引力和效率。我们进一步展示了我们的方法在逆向设计现实时空调制超表面方面的潜力。通过将DGTD求解器与贝叶斯优化方法（EGO）结合起来，我们设计了一个在近红外频率下实现了近80%频率转换效率和谐波束指向的光栅。我们还探索了更高调制频率的情景，以展示非对称频率混合现象，进一步证明了我们方法的灵活性。总体而言，将我们的DGTD方法与优化结合使用，构成了一个高效且准确的光栅设计和研究框架。

支持信息

额外的支持信息可以在在线的支持信息部分找到。

致谢

作者感谢法国博士学校“Fundamental and Applied Science no 364”的资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

数据可用性声明

支持本研究发现的数据可以在相应作者处获得，只需提出合理请求。