通过有限截断全息图技术变形双尺度SYK模型并拓展其应用范围
《FORTSCHRITTE DER PHYSIK-PROGRESS OF PHYSICS》：Deforming the Double-Scaled SYK and Reaching the Stretched Horizon From Finite Cutoff Holography
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时间：2026年05月18日
来源：FORTSCHRITTE DER PHYSIK-PROGRESS OF PHYSICS 7.8
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摘要
我们研究了在基于有限截断全息图的方法下，双尺度SYK（DSSYK）模型在弦哈密顿形变下的性质，这些形变适用于具有狄利克雷边界的一般膨胀子引力理论。该形式主义立即包含了T2Tˉ2(+Λ2)T?(+Λ?)形变的低维类比，即T2(+Λ1)T2(+Λ1)形变，作为特殊情况。一般来
摘要
我们研究了在基于有限截断全息图的方法下，双尺度SYK（DSSYK）模型在弦哈密顿形变下的性质，这些形变适用于具有狄利克雷边界的一般膨胀子引力理论。该形式主义立即包含了T2Tˉ2(+Λ2)T?(+Λ?)形变的低维类比，即T2(+Λ1)T2(+Λ1)形变，作为特殊情况。一般来说，这种形变混合了种子理论中的希尔伯特空间的弦基，我们通过Lanczos算法对它们进行了排序。由此产生的Krylov复杂性代表了在体中有限截断处的虫洞长度。我们研究了变形理论的热力学性质；Krylov复杂性的增长；与物质弦相关的点相关函数的变化；以及给定弦状态下DSSYK模型的双尺度代数之间的纠缠熵。后者在三重尺度极限下，根据Ryu–Takayanagi公式表现为体中的最小余维二面积。通过在变形DSSYK的能量谱的上尾部进行一系列形变，我们具体实现了Susskind在de Sitter全息图中的宇宙学拉伸视界提案。我们还讨论了其他扩展，包括正弦膨胀子引力、世界末日膜和Almheiri–Goel–Hu模型。
1 引言
1.1 形变及其体解释
在反de Sitter（AdS）/共形场论（CFT）对应关系之外的全息图的具体例子[1, 2]仍然不太为人所理解，并且与传统的AdS/CFT中的例子相比令人困惑。然而，有不同方法来弥合这一差距。一些最好的例子是通过在边界理论中引入的一类可处理的无关形变发展而来的，这些形变在[3-5]中有所介绍，并具有几个吸引人的性质[6-16]（在[17-19]中进行了回顾）；另见附录B以获取简要介绍。单迹形变（例如[20, 21]）及其扩展[22]修改了体的背景度规，而双迹形变破坏了对偶量子场论（QFT）中的共形对称性。根据形变的符号，后一种情况可以在体中被解释为AdS中的有限截断[23]；或者将一个辅助的AdS路径粘贴到原始的渐近边界[24, 25]；或者在渐近边界中引入混合边界条件[26]；等等。由于形变参数引入了一个长度尺度，它有助于规范变形理论。这激发了研究更高[11, 27-31]和更低维度的类比/扩展[32-42]的兴趣；我们将它们统称为形变1。其他多迹形变[43-49]正在积极研究中，它们修改了体对偶中的边界条件。形变具有几个令人兴奋的特性，它们值得在明确可解的紫外（UV）-有限设置中进一步发展，这是我们在这项工作中的目标。
1.2 DSSYK模型及其全息图
另一种突出的方法是，低维量子引力提供了从第一原理出发以分析上可处理的方式发展非AdS全息图的可能性。特别是，Sachdev–Ye-Kitaev（SYK）模型[50-53]在双尺度极限[54, 55]下，被称为DSSYK模型[56, 57]，是一个杰出的玩具模型，用于发展概念和技术，以研究与AdS/CFT之外的全息图相关的低维量子引力，这可能在更高维全息图中带来一些相关的教训。理解DSSYK模型及其体对偶的关键见解包括双尺度[58-60]和弦[61]冯·诺伊曼代数；量子群结构[62-67]；算子和状态的Krylov复杂性[59, 68-85]（见最近的综述[88-90]）；以及代数纠缠熵[98, 99]。然而，关于DSSYK模型的具体体对偶存在活跃的争论。最常讨论的体对偶提案包括正弦膨胀子引力[66, 92, 94, 109-114]，以及通过不同方法得到的de Sitter（dS）空间，包括Schwarzschild空间[81, 95, 96, 112, 115-117]，以及作为dS空间的s波降维的模型，其中DSSYK模型被推测存在于拉伸的宇宙学视界中（如图1d所示），该视界被定义为具有狄利克雷边界条件的类时余维一表面，位于非常接近宇宙学视界的静态区域，可能只有几个普朗克长度远[1, 117-127]。其他有趣的方法可以在[99, 116, 128-133]中找到。图1在图查看器中打开
边界理论中描述(a,b)黑洞和(c,d)基于第3节中变形DSSYK的IR/UV三重尺度极限的空间的流动的体解释。灰色区域代表被切出的体部分。(a)通过实施形变（2.22），在Rindler区域有一个有限的边界截断（红色实线曲线），直到它到达视界。(b)我们实施形变（2.24），将边界移动到黑洞视界内部。对于(c)和(d)形变，也适用类似的程序。在后一种情况下，当狄利克雷边界非常接近视界时，实现了宇宙学拉伸视界[1]。乍一看，对于同一边界理论的多种体对偶提案似乎意味着至少其中一些可能是不正确的。然而，它们不一定彼此不兼容[39, 74, 99, 112]。例如，最近在[112]中研究了正弦膨胀子引力作为其世界面理论的dS空间全息图与复杂Liouville弦[134-139]以及SYK模型作为集体场理论之间的具体联系。为了完全理解DSSYK模型，需要仔细研究这些不同提案之间的关系。
1.3 解决Susskind的猜想
在这个提案家族中，由Susskind的工作[1]发起的一个突出成员似乎与其他提案[122]具有非常不同的特征。它是否适用于正弦膨胀子引力和其他提案，或者是否与其他提案不兼容，目前尚不清楚。根据[1]，在dS全息图中预期有一些特定性质，这些性质在DSSYK模型在无限（玻尔兹曼）温度下得到实现。具体来说，[1]提出了以下猜想：
(i) 在dS空间中存在一个RT公式，当渐近边界被拉伸视界替换时，其形式与AdS空间中的公式相同。
(ii) 在dS空间对偶的边界理论中，通过理论中基本算子的大小[140]测量的混洗时间，与相同算子的时序无关关联函数（OTOCs）[140]线性相关，其数量级为dS长度尺度。
(iii) 与dS尺度因子的指数增长相关的（某种意义上的）复杂性的快速增长。
(iv) 在无限（玻尔兹曼）温度下，具有缩放的SYK模型，其中是所有到所有相互作用的次数，是费米子的总数，满足上述性质。超快性质和无限温度极限的动机来自于这样一个事实：在引力时空中，有限径向距离的表面经历了一个Tolman温度[15, 141-143]，当表面接近视界时，这个温度因子会发散。温度尺度控制着相关函数的增长率或衰减率，因此会导致OTOCs的超快混洗。这表明位于宇宙学拉伸视界的边界理论不应该是[1]中定义的-局部类型，其中是在极限中的阶一参数，它代表了系统中出现在哈密顿量中的基本算子的幂。实际上，如果在大的极限下固定，混洗时间随[144]缩放，而电路复杂性随时间线性增长[97]，而dS空间中的CV提案[145]表明它应该增长得比线性更快，并且应该在相对于拉伸视界的给定静态区域结束时结束[1]。在[1]的SYK提案中，我们需要允许（这是的类比）随缩放。特别是，当上述猜想表明DSSYK模型可能是拉伸视界全息图中边界理论的一个具体例子[1]。拉伸视界的猜想似乎与DSSYK模型位于正弦膨胀子引力中的有效黑洞的渐近边界[92]（以及一些熵考虑[122]）存在矛盾。然而，在正弦膨胀子引力中有一个特定的区域，其中理论简化为Jackiw–Teitelboim（JT）[146, 147]引力[4]，以及dS JT引力[82, 109]。这个体中的极限对应于在DSSYK能量的紫外（UV）区域中放大。然而，当采取适当的极限时，边界理论将位于[82, 109]。相比之下，边界理论将位于Susskind提案中的拉伸视界。它们之间的紧张关系与/d和dS空间中的静态区域全息图密切相关。为了将渐近边界从移动到静态区域内部，我们不能仅限于形变，因为一旦理论达到Killing视界，它们会导致复杂的能量谱[23]。然而，最近由[150]意识到，通过应用两步过程，可以通过组合形变和形变（最近更新为形变[151]），边界可以穿过渐近黑洞的视界。在这个过程中，相应的边界通过形变从渐近区域移动到黑洞视界，然后通过形变从视界移动到奇点。这个过程最近在[152]的全息图中得到了应用；尽管在/d中没有具体的边界理论。因此，解决这种紧张关系的自然方法是基于有限截断全息图，通过在DSSYK能量的紫外极限下变形DSSYK模型，并实施低维版本的形变[153-157]，将边界理论放置在dS空间的宇宙学视界附近。
1.4 本工作的结果
总之，我们研究了DSSYK模型中的弦哈密顿形变[6]。我们专注于在一般膨胀子引力理论的有限截断全息图的指导下进行的边界描述；包括DSSYK模型中的红外（IR）和紫外（UV）三重尺度极限，这些极限分别与JT和dS JT引力相关。这使我们能够研究与DSSYK模型体对偶中的有限截断相关的变形弦理论的热力学性质和动态可观测量，特别是相关函数，同时允许在体中对一般反项进行研究，以研究它们在全息字典中的作用。我们推导了变形理论中的Krylov基、Krylov复杂性以及哈密顿形变下弦算子的相应表示，以及变形理论中双尺度代数之间的纠缠熵。最后，这些步骤使我们能够从UV三重尺度极限[99]实现Susskind的拉伸视界提案[99]。
为了详细阐述总结，我们首先基于[32-34]中对膨胀子引力理论的有限截断全息图的工作，提出了变形边界理论能量谱的流动方程的更完整推导。为此，我们考虑了通用膨胀子引力理论中的Hamilton–Jacobi（HJ）方程，并推导了编码对偶能量谱的流动方程。与之前的文献[32-34, 37, 42]不同，我们允许在边界径向截断有限时修改体作用中的反项。这导致了边界对偶中更一般的哈密顿形变，包括作为特殊情况的一维形变和的低维类比，我们将其称为形变。这种构造扩展了DSSYK模型与有限截断的通用膨胀子引力理论对偶之间的全息字典[8]。我们分析了从其配分函数（包括状态密度、微正则温度和热容量）出发的变形模型的热力学性质。变形模型的热力学总结显示在图2中。由于弦哈密顿量发生了变形，用于对种子哈密顿量进行三角对角化的弦数基在变形理论中不再适用。我们还将推导出与爱因斯坦-罗森桥长度相关联的弦基（我们将其称为“虫洞长度”）在有限截断处的Krylov基[87]，并研究弦代数中算子的表示。我们利用这些结果来评估变形理论中的Krylov扩散复杂性[87]，该理论在有限截断处再现了体中的虫洞长度。我们继续评估点相关函数。我们发现，在半经典极限下，它们与种子理论具有相同的函数依赖性，但涉及“假”温度[92]（也称为“温度”[1]，与相关函数的衰减率相关）的参数包含一个红移因子，该因子与体中有限距离处的Tolman温度相关[23, 174]。最后，我们根据与DSSYK模型的弦数相关的密度矩阵来评估冯·诺伊曼熵。代数纠缠熵是全息的，当我们在弦理论中限制到红外和紫外三重缩放极限时，它与JT引力中的膨胀子相匹配。图2在图查看器中打开PowerPoint
(a) 能量谱（3.14），(b) 热力学熵（2.26），(c) 状态密度（2.29b）和(d) 热容量（2.30），对于一般的变形参数值（2.18）（如图例所示），并固定。我们在所有子图中都使用该参数，除了(c)中为了可视化目的而使用另一个参数。特别是，当我们在DSSYK模型的紫外极限中应用我们的结果时，我们实现了Susskind关于拉伸地平线全息图的提议[1]，通过实施和变形，并取变形参数的极限，使得边界位于静态区域内并接近宇宙地平线。该模型的热力学性质与有限截断处的JT引力相匹配。由于假温度是无限的，OTOCs和Krylov扩散复杂性的增长率得到了增强； scrambling时间是以dS长度尺度为单位的一阶，而不是快速scrambler所期望的阶数[1]（在DSSYK模型中会发散）。Krylov扩散复杂性还再现了有限Dirichlet边界之间的最小长度，在变形理论的情况下，它在dS长度尺度的一阶时间内达到最大值，这与超快复杂性增长相符[145]。同时，弦数状态的代数纠缠熵与RT公式对于JT引力是一致的，如果边界位于Milne区域（见图1c）。宇宙地平线极限再现了Gibbons-Hawking（GH）空间的熵。然而，如果边界位于静态区域，则RT公式不适用，最小极端表面的膨胀子变得平凡（见第6.5节）。然而，在更高维度中，有更多可能的纠缠表面，Susskind的猜想可能适用。我们的研究采取了几何视角，而不是嵌入视角，其与DSSYK模型的确切联系仍在积极讨论中[112, 115, 122]。表1展示了我们的结果与[1]中的猜想之间的比较。表1. 比较了上述(i–iv)猜想与从DSSYK模型紫外极限的变形中明确实现的宇宙拉伸地平线，对应于假设(iv)。
确认
细节
变形DSSYK
超快复杂性增长（iii+iv）
第6.3节
超快scrambling
第6.4节
使用拉伸地平线（i+iv）的RT公式的有效性
第6.5节
注意：在这个模型中满足了三个剩余猜想中的两个。更多细节可以在相应的章节中找到。此外，我们在附录中研究了其他概括和额外的技术细节。特别是，我们研究了将结果解释为有限截断全息图中的正弦膨胀子引力的后果。由于截断位置的体度量和膨胀子是复数值的，能量谱通常变为复数值。在这些情况下，没有洛伦兹演化，而是变形理论是非幺正的，因此DSSYK哈密顿量并不与体中的规范量子化的Arnowitt-Deser-Misner（ADM）哈密顿量（生成时间平移）等距对偶。我们采用了与Cauchy切片全息图[182-185]中类似的处方，其中应力张量被允许是复数值的。与以往的文献不同，变形参数通常是一个复数，它可以取正负值（不需要辅助的几何扩展[24, 25]）。后来，我们变形了Almheiri-Goel-Hu（AGH）模型[186]，这是由Heisenberg-Weyl代数描述的DSSYK模型的简化版本。这种可积的DSSYK模型类比允许在半经典极限之外分析评估相关函数。
1.5 大纲
本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了基于移动具有Dirichlet边界条件的对偶膨胀子引力理论的HJ方程的全息量子力学中的哈密顿量变形，并研究了其热力学性质。在第3节中，我们将结果专门应用于DSSYK模型，以推导出与有限截断全息图中的体测地线相关联的弦基，以及变形后的弦算子的表示。我们还评估了HH状态的Krylov扩散复杂性。在第4节中，我们评估了相关函数，包括其半经典和三重缩放极限。在第5节中，我们研究了变形DSSYK模型中双缩放代数之间的纠缠熵及其全息解释。在第6节中，我们应用之前的结果来实现Susskind的拉伸地平线提议。然后在第7节中总结了我们的发现和一些相关的未来方向。此外，附录A包含了手稿中使用的符号总结。我们在附录B中简要介绍了变形，这不是阅读正文所必需的。在附录C中，我们提供了关于连接有效黑洞的渐近边界的类时和类空极端测地线长度的更多细节。附录D讨论了有限截断下正弦膨胀子引力中的现实条件。在附录E中，我们研究了与Krylov基不同的另一种弦数基，在有限截断全息图中有解释。在附录F中，我们探讨了在体中存在ETW膜和欧几里得虫洞的情况下的弦哈密顿量变形。在附录G中，我们对AGH模型进行了变形，以研究其热力学和相关函数。最后，在附录H中，我们讨论了变形DSSYK中的热力学第一定律。
2 有限截断下的膨胀子引力及其边界对偶
在专门研究DSSYK模型之前，我们推广了之前对全息（0+1）维模型的变形研究[32, 33, 187]，假设了一个具有Dirichlet边界条件的对偶膨胀子引力模型。在这一节中，我们特别感兴趣的是推导出具有哈密顿量变形的全息量子力学中的能量流方程，并研究其半经典热力学。特别是，可以恢复和变形的低维类比作为特殊情况。
2.1 大纲
在第2.2节中，我们研究了膨胀子引力理论中的HJ方程及其相关的流方程。在第2.6节中，我们研究了其解，包括一维变形，并在DSSYK模型中提出了一种“”变形，可以解释为将有限截断推入黑洞地平线内/超出宇宙地平线。在第2.7节中，我们研究了变形理论的热力学性质，具体化为DSSYK模型以便于理解。此外，读者可以参考附录D以获取关于在有限截断下实施弦哈密顿量变形的现实条件的详细信息。
2.2 来自有限截断全息图的哈密顿量变形
我们的第一个目标是推导出控制（0+1）维系统能量谱演化的流方程，该系统是对偶于一般膨胀子引力理论的形式
(2.1)其中第一行是一个拓扑项，和是通用函数；是二维牛顿常数；是时空流形，是我们在膨胀子和诱导度量上施加Dirichlet边界条件的径向截断边界的位置，
(2.2)这使我们能够推广[32]中对于没有AdS边界条件的膨胀子引力理论的流方程，这是由于提出的正弦膨胀子引力与DSSYK模型之间的对偶性[66]所激发的。应该注意的是，对反项的规范选择是
(2.3)这保证了在时壳上的作用量是有限的；然而，在下面推导流方程时，我们不会做出这个限制，因为我们研究的案例是有限截断，而不是渐近边界的径向调节器。此外，请注意，在以下情况下，可以允许和；这是有限截断下正弦膨胀子引力的情况。我们将在附录D中详细讨论这种情况。[27]中提出的策略是从控制沿流动的HJ方程中恢复流方程。因此，我们将考虑膨胀子引力理论作为定义变形DSSYK模型的输入。请注意，虽然我们采用了与[27, 32]类似的策略来定义边界理论中的哈密顿量变形，但与之前从有限截断全息图推导流方程的方法的关键区别在于，我们不需要体中的AdS渐近性，这就是允许在(2.1)中使用一般反项的原因，从而允许比情况更广泛的变形。我们开始考虑形式为(2.1)的作用量的一般变化，
(2.5)其中
(2.6)
(2.7)在这里，我们引入了Brown-York（BY）[190]应力张量和与之共轭的标量算子，分别表示为
(2.8a)
(2.8b)其中；和是和的规范动量，定义为
(2.9)现在我们可以研究控制壳上解的径向方程的HJ方程。使用在壳上评估的一般变化(2.5)（即，在边界理论的严格大极限中），在体中，我们恢复
(2.10)并且我们必须实施ADM哈密顿量约束对于一般膨胀子引力理论(2.1)，我们在截断位置评估它，由[191]给出，
(2.12)这个约束导致了(2.8b)中膨胀子源的以下关系：
(2.13)遵循[33]中的程序，我们需要确定(2.10)中不同项相对于的缩放。类似于[27, 32]，我们认识到在有限边界处，我们应该有以下的度量和应力张量的缩放，给定反项(2.1)：
(2.14)这是为了使体中的边界度量与边界理论中的度量相匹配而选择的一种规范化。 (2.14)对应于对边界条件(2.1)的自然推广。我们提出的在有限截断下扩展全息字典超出AdS(2.14)的建议与[42]一致，使用了一种不同的方法，得出了与我们在[39]中的结果相同的流方程。接下来，我们在1D中可以使用以下关系[32]，
(2.15)其中是1D量子力学理论的背景度量，是相应的边界应力张量，在最后一个等式中，我们使用了在(0+1)维中，表示变形理论的能量谱，表示我们下面定义的变形参数。这允许我们将HJ方程(2.12)表示为
(2.16)使用关系(2.15)，我们可以将(2.16)表示为边界理论谱的流方程
(2.17)其中我们定义了参数
(2.18)请注意，虽然依赖于和，但后者并不完全由确定。参数的功能依赖性将在涉及的所有表达式中隐含，以简化符号。上述关系可以解释为有限截断下与膨胀子引力理论边界对偶的能量谱的流方程(2.17)。实际上，(2.17)与文献中的其他地方的形式相同（参见例如[33, 34]），这些地方仅限于。后一种选择的对偶项通常会导致具有渐近狄利克雷边界的有限在壳作用量在一般的膨胀子-引力理论中[191]。同时，当截断面位于某个有限位置时，可以使用这种情况，因此不会对在壳作用量的重整化产生问题，同时保持对变形参数（2.18）的全息识别。我们注意到，变形参数（2.18）和流动方程（2.17）推广了[33]中的结果，这些结果是这种表述的一个特例，对应于一类渐近AdS膨胀子-引力理论。
2.3 变形边界哈密顿量
我们将（2.17）提升为量子理论中的算子关系，表示为
（2.19）
其中是变形算子[192]，是边界理论的哈密顿变形。
2.4 流动方程的解
首先，从（2.18）中可以看出，一般来说。正如引言中提到的，当我们从体中的渐近边界开始变形边界理论时，我们需要设置如（2.3）所示。然而，一旦我们达到一个有限的截断值，我们可以允许更加任意地设置，这定义了一组可能的变形理论。下面我们将专门研究其中的一种，因为它适用于研究Susskind的拉伸视界猜想[1]。我们将对这种情况感兴趣，因为它允许我们引入类似于[151, 153, 155, 157]中定义的变形类型。
2.5 变形
从低维角度研究的最著名情况对应于。根据种子理论，变形后的能量谱形式为
（2.22）
具有相对?符号的解代表全息对偶中有限截断处的能量谱（参见例如[23, 27]），从在壳作用量（2.33）可以看出，它在极限情况下与种子理论平滑连接。同时，具有相对符号的解代表相对于有限截断的互补时空区域。两者都在图1中展示。
2.6 变形
当，这对应于s波形的变形[46, 150, 153, 156, 157]，我们将其称为变形。在这种情况下，意味着在流动过程中的某个点，我们用修改作用量（2.1）中的边界对偶项，同时保持相同的膨胀子势能。
特别是，我们考虑从情况（2.22）到情况（2.23）的过渡，当（2.22）中的平方根项消失时，对应于
（2.23）
通过要求（2.21）中的连续性，能量谱则变为
（2.24）
与之前一样，有两个相对符号；它们都与变形连续相关，因为在变形参数（2.23）的过渡点，平方根因子消失。我们将具体研究具有相对符号的情况，以探究体空间的宇宙学片段。然而，采用?符号也是有效的；与情况类似，不同的符号仅仅对应于不同的体区域[150]。特别是，在（2.24）谱中的相对?符号对应于连接渐近边界和视界内有限截断的体区域，而（2.24）中的相对符号对应于补充区域。图1b,d中展示了这种情况的变形。
2.7 热力学
在本节中，我们将之前的结果专门用于研究变形DSSYK模型的半经典热力学，从其配分函数出发，评估其能量谱、热力学熵、态密度和热容量作为其温度的函数。这导致了变形理论热力学稳定的条件。在本节中，我们不假设DSSYK模型有一个特定的对偶膨胀子-引力理论（2.1）（有关正弦膨胀子引力的考虑，请参见附录D）。
2.8 能量谱、熵和温度
考虑变形DSSYK模型的配分函数，我们在半经典极限下对其进行评估，表示为
（2.25）
其中是种子理论的能量谱；是半经典态密度，热力学熵由[193]给出，
（2.26）
其中，是理论的常数参数，将在第3.2节中指定，我们已经引入了，这是对配分函数的整体归一化结果。该理论中的微正则逆温度由下式给出
（2.27）
其中是热圈的周期性，变形有效地缩小了它。类似地，可以将（2.25）重新表述为：
（2.29a）
（2.29b）
其中可以解释为变形理论中的态密度[32]。注意，由于红移因子，它不会修改热力学熵，在极限情况下热力学熵为。我们包括图2来示例变形DSSYK模型在流动方程（2.17）中出现的变形参数的通用值下的热力学性质。
2.8.1 热力学第一定律
之前的结果可以用来表达能量谱相对于模型参数的变化。我们在附录H中包含了相关计算的详细信息。
2.8.2 热容量
接下来，我们使用之前的结果来确定系统的热稳定性，使用热容量的定义
（2.30）
为了具体起见，我们考虑主要感兴趣的情况，其中，因此由（3.14）（）和（2.24）（）给出，因此（2.30）变为，
（2.31）
当，和时，分子中的论证是正的且确定的。注意，当具有正热容量而具有负热容量的情况，假设可以解释为变形理论的守恒能量谱。在进行和流动时，区分何时物理上对应于热容量是重要的。例如，在中，执行与相关的变形，使用Milne片段中的狄利克雷边界，这些边界是类空间的[152]；而在流动期间，与相关的有限截断边界位于的静态片段中，它们是类时间的，因此确实可以与准局域BY能量相关联[194]。然后，（2.31）确实是热容量，因此系统可能是热力学不稳定的，正如文献的不同部分所发现的，例如，参见第6.2节。作为额外的比较，当变形CFTs时，在高能量下发现负热容量对于-deformed CFTs和量子力学系统[195]；而在这个系统中，能量谱是有界的。为了形成更多对比，在情况下，当边界是类时间的时候执行变形，因此系统是稳定的，因为（2.31）确实对应于正热容量，而当边界是类空间的时候，类似于[150]。
2.8.3 有限截断的全息解释
我们现在从有限截断全息图的角度提供（2.27）的体解释。让我们考虑膨胀子引力理论（2.1），其中没有物质源的运动方程的度量解为
（2.32）
其中是视界半径。这可以用来评估来自（2.1）的在壳作用量，结果为
（2.33）
其中我们使用了当处处时具有盘状拓扑的事实。从（2.33）中，我们发现
（2.34）
其中我们将BY准局域能量和Tolman温度（即，观察者在体时空中与给定系统在有限距离处关联的相应能量和温度[190]）识别为
（2.35）
将（2.35）与由于（2.18）而产生的变形理论的微正则温度（2.27）进行比较，我们识别出参数
（2.36）
为了使这些关系成立，我们有
（2.37）
这与[112]一致。
因此，我们在有限截断热力学的层面上找到了一个全息字典。与之前的文献不同，我们在上述表达式中包含了一个更一般的对偶项，这允许分析流动方程（2.17）中的非平凡。此外，从（2.36）可以得出，在固定有限径向截断的体中，比热可以表示为
（2.38）
这意味着在固定变形参数（以及）（2.30）下的边界理论中的热容量与体中的热容量之间存在直接关系。在相关设置中，[38]也得到了类似的结果。
2.8.4 Hagedorn增长
在结束本节之前，我们与其他文献中的结果进行对比，我们分析了带有（2.24）的半经典配分函数
（2.39）
值得注意的是，对于变形理论，没有与Hagedorn增长相关的发散，与其他研究[150]相反。即使当也没有发散的原因是，积分是在有限的能量范围内进行的，且因子是有限的，因此模型保持UV有限。[150]解释说，一旦对偶理论中的边界达到曲率奇点，就会发生发散，这在JT引力中不存在，也不在正弦膨胀子引力[66]中看到。
3 变形DSSYK模型：弦基、体长度和复杂性
在上一节的基础上，我们专门研究了DSSYK模型的弦哈密顿量变形。我们研究了变形理论中HH状态的Krylov基和Krylov扩散复杂性，并展示了在半经典极限下，它在有限截断全息图中再现了虫洞长度。
3.1 概述
在第3.2节中，我们简要回顾了DSSYK模型，包括其带有物质弦的希尔伯特空间扩展。第3.3节提出了从模型的路径积分公式评估HH状态的Krylov扩散复杂性。它在有限截断全息图中再现了虫洞长度。我们还讨论了变形理论的IR/UV三重缩放极限。此外，我们在附录E中构建了一个与有限截断全息图相关的弦数基，作为本节中Krylov基的替代方案，得到了类似的结果。
3.2 DSSYK模型回顾
在本节中，我们简要回顾了DSSYK模型。SYK模型[50-53, 196]是一个具有-维度的Majorana费米子的系统，以及-体之间的全相互作用。该理论由下式给出
（3.1）
其中是集体指标；类似地，是一串Majorana费米子，遵循Clifford代数
（3.2）
耦合常数遵循高斯分布
（3.3）
其中是一个常数，期望值表示对耦合的退火平均。我们还引入了物质算符，其形式为
（3.4）
这里；和代表与无关的高斯随机耦合。我们还定义了，以便我们可以表达
（3.5）
其中。接下来，我们将设置，可以通过维度分析恢复。对我们来说重要的是，一旦我们考虑双缩放区域，其中
（3.6）
SYK模型即使在低能量区域之外也是解析可解的；其集合平均哈密顿量可以用弦图技术[54-57]来描述，其没有物质的辅助希尔伯特空间为
（3.7）
其中表示在弦图给定时间切片中的开放弦的数量（参见例如[201]进行回顾）。从现在开始，我们将零弦数状态表示为
（3.8）
由弦哈密顿量描述的辅助量子力学理论包含了关于物理系统的热信息，通过哈密顿量矩来捕获
（3.9）
其中迹是在希尔伯特空间状态上取的。通过适当的正交变换，可以正交归一化（即），使得哈密顿量呈现对称形式（参见例如[56]）
（3.10）我们现在可以定义弦数算符及其共轭动量：
（3.11）它们遵循对易关系
（3.12）然后可以将哈密顿量表示为
（3.13）人们还可以找到能量的基，其特征值如[56, 57]所示
（3.14）解决（3.13）中的特征值问题后，可以找到能量基与弦数之间的内积，表示为
（3.15）其中q-Pochhammer符号表示为
（3.16）而q-Hermite多项式表示为
（3.17）能量基被规范化，使得
（3.18）
（3.19）为了后续方便，我们引入了一个简单的推广，当考虑带有物质插入的DSSYK模型[58]时，我们将其表示为
（3.20）其中是一组共形维数，而表示每个物质弦算符，它是SYK算符（3.4）的集合平均类比。定义一个总弦数算符也是有用的
（3.21）它将在后面的章节中用于评估相关函数。接下来，我们考虑带有算符插入的双边弦哈密顿量
（3.22a）
（3.22b）
（3.22c）其中弦数部门（3.22）的创建和湮灭算符在（3.20）中起作用
（3.23a）
（3.23b）例如，根据上述基，对应于（3.22）中的单粒子弦哈密顿量变为
（3.24）其中我们表示为
（3.25）最后，有一个与单粒子弦数基共轭的能量基，用于对角化双边哈密顿量（3.22a），即
（3.26）其中出现在（3.14）中。为了后续方便，在讨论DSSYK模型的IR和UV三重缩放极限[58, 99]时，我们关注能量谱的边缘，即
（3.27）并且我们定义了减去零点能量的重新缩放的弦哈密顿量，在种子理论中，
（3.28a）
（3.28b）其中在相应的三重缩放极限中；相对符号对应于IR，而?对应于UV。我们将在手稿的剩余部分应用上述定义来评估理论的不同属性和可观测量。
3.3 克里洛夫扩散复杂性
我们现在探索在一般哈密顿量变形后弦希尔伯特空间的结构
（3.29）对于某个解析函数。27虽然变形理论和种子理论具有相同的希尔伯特空间，但弦基可以采取不同的形式，哈密顿量（3.29）可以根据我们选择的基有不同的表示。例如，考虑弦数基，其中种子理论哈密顿量采取形式（3.13）。对于，变形后的弦哈密顿量（3.29）通常不在弦数基（3.13）中对角化。由于哈密顿量变形会打乱弦基，我们寻找由克里洛夫基提供的有意义的排序。这个基允许我们最小化与一般量子状态相关的所谓“成本函数”，如下所述，基于[87]的开创性工作，它定义了克里洛夫扩散复杂性。此外，最近的发展表明，在种子理论DSSYK模型中，克里洛夫扩散复杂性可以用体对偶中渐近边界之间的最小测地线长度来解释[58, 68, 71]。我们在有限截断的全息字典中寻找克里洛夫扩散复杂性的相应解释。
3.3.1 成本函数
一般来说，遵循[87]和[202]，我们将相对于参考状态的有序基的成本函数表示为
（3.31）其中是一个单调递增的序列，并且我们允许参考状态在复数值时间中演化，如[202]所述
（3.32）其中，和，当时导致标准的薛定谔演化，而是根据参数化表示的演化生成器。在[87]中，扩散复杂性是通过最小化所有可能的基集上的成本函数（3.31）来定义的，当基是克里洛夫基时发生。
3.3.2 克里洛夫复杂性
我们现在专门研究变形DSSYK中的克里洛夫扩散复杂性[87]，使得在（3.32）中。我们寻求构建一个以作为初始状态的克里洛夫基，我们可以选择为。克里洛夫基中的其他元素通过Lanczos算法递归获得，
（3.33a）
（3.33b）它由初始化；和是Lanczos系数。在这个基中，变形后的弦哈密顿量采取形式
（3.34）其中克里洛夫基中算子的作用定义为
（3.35）然后可以使用上述算法根据哈密顿量矩找到显式系数（参见例如[203]）
（3.36）其中
（3.37）然后，基于（3.31）和，克里洛夫扩散复杂性简单地定义为
（3.38）
3.3.3 半经典近似
为了从Lanczos系数（3.36）中推导出克里洛夫基的显式形式，我们在半经典极限中寻找简化，
（3.39）这对应于，其中是Lanczos基中的阶数，作为评估克里洛夫复杂性的主要贡献，这将允许我们评估和。在这个极限中，克里洛夫基上的哈密顿量变为（3.33b）
（3.40）其中是极限中对应的动量。这允许我们将理论的路径积分表示为
（3.41）这个路径积分准备了变形理论的HH状态，其中，以便用构建克里洛夫基。我们要求时间的度量按比例缩放，以执行鞍点近似，因为哈密顿量的能量谱按比例缩放。然后，在极限中，人们找到运动方程
（3.42a）
（3.42b）其中我们应用了变形哈密顿量的守恒，其能量谱为
（3.43）在最后一个关系中。运动方程（3.42）伴随着初始条件
（3.44）其中是一个常数，并且考虑到弦数的期望值是相对于变形理论的HH状态取得的，第二个条件来自H。在这里，我们在克里洛夫基中展开了弦数，并定义了
（3.45）同时假设是厄米的。因此，我们恢复了（3.44）中的第二个初始条件。特别是，从（3.44）中的第二个初始条件我们恢复到，因此，通过保守变形哈密顿量的能量谱，我们有
（3.46）其中和平方根前的相对符号表示变形中的微扰和非微扰解。然后，为了再现变形理论的保守能量谱，我们做出一个假设，使得（3.42b）采取形式
（3.47）这意味着在这个假设中
（3.48）其中我们实现了（3.47）中的时间参数的重新缩放，以便变形哈密顿量具有（3.43）中的能量谱。使用初始条件（3.44），人们发现（3.48）的解是
（3.49）其中对应于和变形的微扰和非微扰分支，这在第2.4节中讨论过。因此，专门针对变形，我们发现
（3.50）在连续极限（3.40）中的变形弦哈密顿量变为
（3.51）从（3.42b）和（3.44）中，我们恢复了变形理论中HH状态的克里洛夫扩散复杂性（3.38）为
（3.52a）其中。这个重新缩放的时间便于与体中对偶中渐近边界之间的测地线长度进行比较（见附录C）。
3.3.4 解释
从（3.34）和（3.51）可以看出，当时，弦哈密顿量可以在克里洛夫基中表示为，
（3.53a）
（3.53b）其中上述算子在克里洛夫基中的作用在（3.35）中指定，符号对应于（3.51）中的情况。关键的是，虽然我们使用了一个假设来解决半经典极限中弦数演化的微分方程，但哈密顿量的具体形式是由变形理论中的保守能量谱确定的，使得（3.53a）中的变形哈密顿量是三对角的和对称的。因此，得到的哈密顿量在（唯一的）克里洛夫基中用相应的Lanczos系数表示，
（3.54）因此，克里洛夫扩散复杂性与体中对偶中的虫洞长度（即极值余维数一体积）之间的关系[68, 71]仍然成立，对应于在有限截断全息图[207]中CV猜想[97, 205, 206]的明确表现，正如[42]所预期的。
3.3.5 三重缩放极限
此外，我们从（3.51）中的相对负号情况观察到，变形后的弦哈密顿量采取与[37]（7.6）中发现的有限截断下的JT引力的规范量子化ADM哈密顿量相同的形式，其中JT引力案例中的参数对应于边界理论（3.51）中的。这意味着我们可以通过简单地关注种子理论（3.27）的能量谱来定义IR/UV三重缩放极限，以恢复沿有限截断边界的时间和空间平移的生成器
（3.55）注意，在变形理论中的三重缩放极限与种子理论极限中的有一些显著差异（），在那里定义了一个规则化的长度算子[58]。同时，在（3.51）中，体对偶中的有限截断意味着体中的相应长度不需要额外的规则化。相比之下，[42]提到JT引力（3.51）中的规范量子化哈密顿量可能与矩阵模型中的哈密顿量是等距对偶的。因此，我们的工作包含了一个不同的解释，其中（dS）JT引力在盘级别上由DSSYK模型的IR/UV尾部全息描述。特别是，当截断边界位于黑洞外部或内部时，体长度是类空间的或类时间的，克里洛夫扩散复杂性（3.52）及其相应的替换（3.55）对于每个极限仍然是实数值的。我们在图3中展示了IR极限中克里洛夫扩散复杂性的增长及其在体中的解释。图3在图查看器中打开
顶部：在IR极限（3.52）后HH状态的克里洛夫扩散复杂性，经过（a）和（b）变形，其中。底部：相应的体解释，以（c）类空间和（d）类时间极值爱因斯坦-罗森桥（蓝色实线曲线）的形式，连接在Rindler坐标中的有限Dirichlet边界（红色实线曲线），位于常数。增加变形参数（2.18）会增强（情况）的克里洛夫扩散复杂性的增长速率。在有限截断全息图中，这将边界的位置向相应的黑洞视界移动，从而增加了相对于边界时间的长度增长。同时，对于情况，增加将边界截断从体中的视界移开，导致Tolman温度的降低。然而，与情况不同，没有永恒的增长，因为随着类空间坐标的增加，类时间测地线最终在Rindler空间（C.3）中达到。此外，在这个极限中，可以简化变形参数（2.18）的临界值（2.23），其中哈密顿量的谱对应于。也就是说，
（3.56）特别是，具有变形的UV情况描述了Susskind[1]提出的宇宙学拉伸视界提案（详见第6节）。
4 相关函数
在本节中，我们研究了变形DSSYK模型的点相关函数。它们直接在带有哈密顿量变形的弦理论中定义。我们在半经典极限中评估它们。与文献一致，半经典结果仅通过与体中的Tolman温度相关的红移因子进行了修改。
4.1 概要
在第4.2节中，我们定义了变形后的弦理论中的点相关函数。在第4.3节中，我们从路径积分论证出发，对相关函数进行半经典评估，这导致了预期的红移参数。最后，在第4.4节中，我们讨论了表达式的三重缩放极限。
4.2 n点相关函数
接下来，我们将原始流方程（2.17）推广到带有物质的弦哈密顿量（3.22a），
（4.1）全息字典条目将变形参数与体中的有限Dirichlet截断相关联，如（2.18）中所述，可能需要修改，因为我们需要考虑在dilaton引力作用（2.1）中的物质。在这种情况下，有限截断全息图通常理解得较少[27]；原则上可以使用与混合边界条件相关的（4.1）的不同全息解释[26]。无论体块解释如何，我们都将研究（4.1）的解作为变形弦理论本身。虽然相关函数最初是通过取物理SYK模型中算子的双缩放极限来定义的，但我们直接在弦空间中工作，因为我们对在集合平均理论中评估相关函数感兴趣。为了简单说明，我们通过简单地变形弦哈密顿量来定义一个（标准化的）两点函数，同时保持物质算子不变
（4.2）其中代表弦物质算子（3.20），和。注意，上述定义与种子理论的两点函数[56]具有相同的结构，我们只是将相应的哈密顿量替换为。为了在单粒子空间（4.2）中评估相关函数，我们可以使用恒等式的解
（4.3）其中我们引入了一个弦交织器[67, 73]
（4.4）然后，（4.2）变为
（4.5）因此，由于原始弦基础中的弦数在变形后仍然出现在上述表达式中，我们可以使用原始基础中的哈密顿量表示来执行相关函数的评估。这意味着上述定义的变形理论中的相关函数可能无法捕捉有限截断全息图中的测地线长度行为。正如我们将看到的，这与文献中关于变形及其扩展的相关函数的常见定义是一致的。
接下来，应用（4.5），可以表达更高点函数[58, 61]
（4.6）其中
（4.7）其中是热圈的周期性，是总弦数算子（3.21）。
4.3 半经典评估
既然我们已经发现变形理论中的相关函数可以用Krylov基础中的弦数来处理，我们现在将接着在半经典极限[58]中评估它们，即固定为。基于（4.6），我们感兴趣的-相关函数是，
（4.9a）
（4.9b）其中在（3.21）中，和，以及。同时，是一般物质弦算子，它们可以是轻的（即作为）或重的（即作为）。我们在图4中展示了相关函数（4.9a）的表示（基于[73]）。
图4 在图查看器中打开 PowerPoint
（4.9a）中的-相关函数，其中（蓝色）是轻算子，（红色）是位于热圈内不同位置的计算。为了评估一般相关函数（4.9a），我们感兴趣的是半经典区域，其中
（4.10）这里，我们将表示为一个通用函数；期望值是在一个通用状态下取得的（在我们的情况下对应于（4.9a）；最后我们定义了
（4.11）作为每个弦子区域的重新缩放弦数的期望值，定义在（3.21）中；注意，在极限中参数的量子波动被抑制了。
我们现在通过DSSYK模型的路径积分来评估长度的期望值，其中包含一个粒子插入的变形弦哈密顿量（3.24）
（4.14）其中是带有一个粒子插入的变形弦哈密顿量
（4.15a）
（4.15b）在极限中，我们通过分裂成左/右弦区域的鞍点来评估路径积分
（4.16）鉴于是中的平移生成元。使用（4.15a），可以表示为
（4.17）从这个路径积分（4.14）的鞍点推导中可以清楚地看出，只是整体常数因子，因为双边哈密顿量是守恒的（3.14）。这意味着变形理论中的相关函数（4.9a）与重新缩放后的种子相关函数相同。鉴于温度是相关函数中唯一的能量尺度，变形的效果相当于通过适当的红移因子重新缩放温度。这意味着
（4.18）其中（2.27）正如我们在第2.7节的半经典热力学分析中所定义的。这意味着增长率被哈密顿量变形所修改。在研究冲击波BTZ黑洞几何中的OTOCs的变形中也有类似的发现[150, 209]。我们应该注意（4.18）与有限截断全息图[23]是一致的，因为因子对应于体块中Tolman温度的变化，正如我们在第2.7节末尾讨论的。使用上述结果，我们可以立即基于种子理论中的那些来评估变形理论中所有类型的（4.14）相关函数。这是通过基于（4.17）中的特定运动方程求解，然后应用（4.10）来评估相关函数来实现的。
4.3.1 两点函数
考虑（4.9a）对于参数的解析延续
（4.19）其中是半经典温度（2.27），用于计算微正则系综中的洛伦兹关联器。基于我们上面的鞍点分析结果，并使用[193]中有限温度下的半经典种子理论两点相关函数，变形理论中相应的相关函数由下式给出
（4.20）其中上述的被称为假温度[92]，在我们的案例中包含一个红移因子
（4.21）以及如（4.10）中的；而最后一步来自于在（4.17）中求解的运动的方程（在的情况下），这与[72]中的假温度类似。我们在图5中展示了上述表达式的行为。假温度对应于两点函数的衰减率倒数，被认为代表体块中的黑洞温度，因此系统仅相对于是最大混沌的[92]。特别是，图5表明，当变形参数达到其临界值（3.56）时，体块中的边界截断接近黑洞视界的位置，该视界具有无限的Tolman温度（2.35），这与有限截断全息图一致。相比之下，系统相对于从配分函数（2.27）定义的物理温度是次最大混沌的，如下所述。图5 在图查看器中打开 PowerPoint
（4.20）中的两点相关函数的演变，对于（a），和（b）变形。当变形参数达到临界值（3.56）时，假温度（4.21）增加，导致相关函数衰减更快。此评估中的参数是：，，，和。
4.3.2 交叉四点函数
同样，我们可以使用解析延续（4.19）显式评估（4.9a），以基于种子理论结果恢复物质的交叉四点函数的洛伦兹交叉四点函数[72]和（4.18）中的时间重缩放。包括假温度（4.21），之前的过程给出
（4.22）其中出现在（4.21）中，而
（4.23）特别是当和时，（4.22）采取以下形式
（4.24）其中我们表示。然后可以将（4.24）近似为
（4.26）在第二行中我们近似为
（4.27）直到混淆时间，
（4.28）这是用于推导（4.26）中指数增长的有效时间尺度。注意，在变形理论中，混沌界限[144]是根据假温度满足的，因为OTOC的衰减率由体块对偶理论中的Tolman温度决定（正如我们在第2.7节中讨论的）。相比之下，如果我们将增长率与变形DSSYK模型的物理温度进行比较，由给出，那么系统是次最大混沌的，如（4.21）和（2.27）所示，当。这一结果在种子理论[73]中也观察到。为了示例结果，我们在图6中展示了使用变形理论的能量谱（2.24）（）和（2.22）（）的OTOCs的增长。注意，当我们对于和时，解决方案与解决方案平滑连接，因为我们恢复了预期的行为。这是因为当对于和时，红移因子（从（2.22）（）和（2.24）（）确定）可能变成虚数，这改变了演变（因为指数函数变成了三角函数）。当红移因子是复数值时，假设具有守恒的能量谱就不成立，因此必须修改分析。图6 在图查看器中打开 PowerPoint
（4.24）基于变形理论的能量谱的OTOC演变，对于（a）（2.22），和（b）（2.24）。图中应用的参数是，，，，和。我们观察到随着变形参数的增加，衰减率变慢。正如我们在附录D中进一步详细说明的，当和（2.18）时，描述了有限截断下体块中的类时边界，以及对于和，当可以解释为时间平移的生成元。此外，我们从结果中注意到，随着变形参数的增大，衰减率减小。同样，对于（4.9a）中的更高点函数，可以使用（4.18）中的红移因子进行时间重缩放和种子理论中的半经典相关函数进行评估。然而，这对于后续分析来说不是必需的。
4.4 交叉四点函数的三重缩放极限
为了以后的方便，我们分析了单粒子哈密顿量（3.24）的UV和IR三重缩放极限（3.55）的扩展
（4.29a）
（4.29b）其中算子的特征值，，，，以及物质弦的共形维数是。这意味着单粒子弦哈密顿量（3.24）可以类似于（3.28）表示为
（4.30a）
（4.30b）在IR/UV三重缩放极限中相应的相关函数可以基于相同的程序解决，得到（4.22）中的交叉四点函数，例如，对于IR情况，可以找到
（4.31）其中是在三重缩放极限中的固定常数；而IR极限中的假温度（4.21）采取以下形式
（4.32）其中变形参数（2.18）（来自（4.30））与JT引力中的径向截断相关。同时，常数是从相应的三重缩放哈密顿量（4.30）中的能量守恒确定的。为了在三重缩放极限中恢复实数解，我们在算子插入后实施了一个均匀能量条件（如在冲击波几何中使用的[210]），这导致
（4.33）上述结果的极限之前已在[85]中出现。在UV极限中也得到了类似的结果，我们在第6.4节中讨论了拉伸视界的背景，即当（3.56）时。这导致了一个无限温度极限（已在[23]中注意到），增强了OTOC（4.31）的增长率。
4.4.1 总结
我们的发现表明，所有在半经典水平上的相关函数都经历了与种子理论中的相关函数相同的演变；其中温度受到红移因子的影响，这与有限截断全息图的现有文献一致。结果还强调了DSSYK模型的解析控制。在有限温度下，实时相关函数仅以变形参数的微扰展开形式为人所知[19]。相比之下，在这个特定系统中，我们在非微扰阶次评估了变形参数的相关函数。此外，我们讨论了如何将本节的结果应用于评估ETW膜配分函数和相关函数，包括喇叭几何，在附录F中。
5 来自双缩放代数的全息纠缠熵
在本节中，我们研究了给定弦状态的DSSYK[58, 59]的双缩放代数之间的纠缠熵，并分析了其有限截断全息解释。该分析基于von Neumann代数和量子引力中广义熵的最新发展[211-215]；有关现代综述，请参见[216-219]。注意，虽然变形在更高维理论中产生空间非局部性，但我们考虑了一个没有空间维度的理论，至少从边界理论的角度来看是局部的。这可能是边界和体块评估之间精确匹配的原因；即使在变形参数的非微扰意义上也是如此。
5.1 概要
在第5.2节中，我们讨论了（变形）DSSYK模型的双缩放代数，并定义了给定纯全局状态时代数之间的纠缠熵。我们通过考虑HH状态来说明这些定义。在第5.3节中，我们使用弦数状态来评估纠缠熵，该状态基于能够再现具有有限截断的虫洞长度的基，特别是其红外三重缩放极限。在第5.4节中，我们展示了这些表达式具有体解释。
5.2 双尺度代数和纠缠熵
如前几节所讨论的，一般来说，变形理论中的弦算符属于种子理论的算符代数，因为我们研究的是编码在流方程（2.19）中的弦哈密顿量变形。这意味着双尺度代数[58, 59]可以用（未）变形的哈密顿量来表示
（5.1）其中是物质弦算符。此外，我们知道是一个类型代数[59]，其中是变形理论和种子理论中的循环分离状态。这使我们能够定义迹
（5.2）然后我们可以定义与状态相关联的密度矩阵为[211]
（5.3）接下来，根据Gelfand–Naimark–Segal构造[220, 221]，我们可以通过将双尺度代数中的一系列算符应用于循环分离状态来表示弦希尔伯特空间中的任何状态，
（5.4）其中是一个通用函数，然后结合（5.3）和（5.4），我们识别出
（5.5）其中我们应用了迹（5.2）的循环性。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要的区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹（5.2）的循环性。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。
5.2.1 热力学熵
例如，可以从变形理论的分区函数计算出热力学熵
（5.7）其中是零粒子弦空间中的HH状态。上述结果也可以使用密度矩阵的定义解释为双尺度代数之间的纠缠熵
（5.8）注意，密度矩阵没有归一化。因此，相应状态（5.6）中的冯·诺伊曼熵就是变形理论（5.7）中的热熵。从全息图的角度来看，由于变形效应代表了体中的有限截断[23]，上述表达式在有限截断的黑洞有效几何学中具有自然的几何解释，类似于在有限截断全息图中计算的JT引力的分区函数[34, 42]。
5.3 边界视角：来自弦数状态的熵
在本节中，我们将通过考虑Krylov基中的弦数状态及其在双尺度代数（5.1）中的相应密度矩阵（5.5）来研究代数熵（5.6）的全息性质。我们从状态
（5.9）开始，然后对于状态（5.9），代数纠缠熵（5.6）为
（5.10）其中在（3.18）中，以及在（3.29）中。接下来，我们使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似[224-226]来计算积分（5.10）。我们引入了一个适用于（IR）三重缩放极限（3.27）的变量变换，以便
（5.11）其中我们定义了
（5.12）其中比例常数被选择为表示参数的概率分布，
（5.13）然后方程（5.11）转化为
（5.14）其中我们使用了迹的循环性（5.2）。鉴于是双尺度代数中的迹状态，（5.5）的冯·诺伊曼熵可以定义为
（5.6）其中我们省略了指标，因为两个密度矩阵都会得到相同的结果。因此，我们将（5.6）视为代数纠缠熵的概念[222]。注意，虽然我们可以以相同的方式评估种子理论和变形理论中的双尺度代数之间的纠缠熵，但主要区别在于熵的物理解释，这取决于所采取的形式，因为它可能涉及（未）变形的弦哈密顿量。相应的逆Tolman温度由下式给出：
（6.5）对具有固定径向位置的Dirichlet壁的热容量进行类似的分析，如（2.30）中所述，得到：
（6.6）注意，对于固定位置的热容量始终是负的，这对应于（2.30）中的情况。空间的热力学性质确实与第3.3节中对变形边界理论的UV行为的分析一致。特别是，给定变形参数（2.18），则字典条目允许我们明确检查字典（2.35），将BY准局域能量（6.4）和Tolman温度（6.5）与变形理论（2.22）和dS变形理论（2.24）的能量谱以及相应的热容量（2.31）在固定位置时的热容量（6.6）联系起来。因此，在热力学性质层面上有精确的匹配。我们将在本节的其余部分将这一点扩展到动态可观测量和全息纠缠熵。
6.3 超快Krylov扩散复杂性增长
现在让我们讨论在UV极限（3.55）下，微正则系综中HH状态的Krylov扩散复杂性（3.52）的期望值，为了方便读者，我们重复这个过程：
（6.8）我们在图7中展示了这个可观测量的增长。与IR情况类似，在这种情况下存在永恒的增长，而在另一种情况下，演化有一个极限。第一个观察结果与[82]（对于种子理论情况）一致，他们发现我们考虑的弦数的期望值对应于相应状态的Krylov扩散复杂性。作者将其解释为空间中测地线长度的对偶可观测量，因此这是CV猜想[97]的一个具体体现。它根据（6.2）中的类空间坐标永恒演化。我们的结果可以被视为一个有限的截止实现。同时，通过进行变形，重新缩放的弦数具有有限的时间演化范围。在体解释中，这意味着相应的测地线变成了类空间的，而不是时间空间的。这表明截止面已经穿过了体对偶中的宇宙视界，如图7所示，这与在较低类空间维度中的解释[150, 152]以及我们在该情况下的发现（图3）一致。然而，请注意，由于我们在正则系综中工作，因此没有随着截止面接近宇宙视界而增强的增长，因为正则系综不包括相应的红移因子。此外，从（6.8）中可以发现，演化的最大范围是
（6.9）该结果与第1节中的超快复杂性增长猜想（iii）和（iv）一致；Krylov扩散复杂性在临界时间达到最大值，该时间是以dS长度尺度为单位的一阶。图7在图形查看器中打开
顶部：HH状态下Krylov扩散复杂性（3.52）的UV三重缩放极限，来自（a），以及使用（b）对DSSYK模型的变形。底部：在有限截止下的相应体解释，包括（c）时间类和（d）类空间极端长度测地线。我们将与有限边界同类的最小余维数二区域（由膨胀子测量）标记为橙色点，并将纠缠表面标记为蓝色点在相应的边界中。在体解释中，（6.9）与CV猜想中的先前结果一致，其中宇宙视界被拉伸[145]。虽然之前的提议没有讨论明确的边界对偶，但人们注意到极端体积表面不会永恒演化，因为时间坐标有一个最大值，类似于上面的情况。在这一点上，极端表面达到，如图1所示，在更高维度中发散。因此，我们的结果为CV提议在空间中提供了明确的确认，并且它显示了[1]所期望的超快增长。
6.4 来自OTOCs的超快混乱
在半经典极限下，变形DSSYK模型的交叉四点函数已在（4.24）中计算出，其混乱时间在（4.28）中得到。现在，我们对它的UV三重缩放极限（3.28）感兴趣，其中固定为。由于分析类似于具有两个共形维数的算子和两个维数的算子的交叉四点函数（4.22）的IR极限，我们专注于OTOC情况，如（4.24）中所解释的。使用相应的正则变量，（4.22）的UV三重缩放极限变为
（6.10）其中是OTOC（4.24）混乱阶段的相应李雅普诺夫指数，类似于（4.33），上述常数是
（6.11）其中在（4.23）中定义。通过将（6.10）按幂级数展开，得到混乱时间
（6.12）其中
（6.13a）
（6.13b）注意，后一个表达式与[70]中的（3.83）一致。显然，结果（6.13b）与第1节中的超快混乱猜想（ii）和（iv）一致。OTOC的混乱时间是一阶的，对应于dS尺度，而不是[99, 193]中预期的快速混乱器的时间尺度，后者在双缩放极限中发散。接下来，我们看到中的红移因子的存在，极限再现了无限温度极限，证实了[1]中的超快猜想。
6.5 全息纠缠熵和dS空间
在本节中，我们讨论了DSSYK模型在UV极限下的代数纠缠熵（5.6）及其全息解释。与之前的讨论类似，我们关注弦数状态。
6.5.1 弦数状态
从边界角度来看，给定状态的代数纠缠熵在UV三重缩放极限（3.28）中可以使用与第5.3节中非常类似的步骤来评估，使用哈密顿量的相应极限（3.28a）以及积分测度（3.18）中的对称性。具体来说，（5.24）扩展到UV情况为
（6.14）现在，我们讨论其体解释，包括其在拉伸视界极限下的GH熵。
6.5.2 来自类空间边界的RT表面
我们感兴趣的是在dS JT引力中评估RT公式，即（2.1），其中
（6.15）其中有限截止边界是类空间的，如图7c所示。首先，考虑全局坐标，其中度量和膨胀子采取以下形式
（6.16）为了映射到（6.2）中的静态补丁坐标（带有规范固定），描述Milne补丁（即图1d中的宇宙视界之外），我们需要使用[256]，因此
（6.17a）
（6.17b）由于空间的对称性，有限截止边界位于全局坐标中的，如图7c所示。遵循附录C中对以类空间边界为锚点的Milne补丁中的测地线的相同推导（图1），我们找到
（6.18）然后，使用（6.17）中的坐标与纠缠表面之间的关系，我们得到
（6.19）然后，在（6.15）中评估RT公式得到
（6.20）注意，与JT引力设置（5.30）的唯一区别在于替换了，这与边界评估一致。特别是，在拉伸视界极限下，即，我们恢复了空间的GH熵，因为（6.19）
（6.21）其中我们再次使用了[194]，并且是空间中的相应余维数二区域。由于与变形理论中的纠缠熵（6.14）的一般对应关系，GH熵确实可以从微观理论的角度解释为纠缠熵。在极限下的BH熵也可以如[99]中解释的那样恢复。
6.5.3 来自时间空间边界的RT表面
最后，我们尝试使用全局坐标（6.16）在（6.15）中评估dS JT引力（2.1）的RT公式，当纠缠表面是位于图7d中的静态补丁（例如，宇宙拉伸视界情况）内的有限截止边界上的点时。41 静态补丁坐标和全局坐标之间的关系与（6.17）类似，但没有在Milne和静态补丁之间的解析延续，即
（6.22a）
（6.22b）类似于第5.4节中的AdS情况，与时间空间边界的同调约束意味着dS JT引力（6.16）中的膨胀子在方向（）上被极值化，并且对于固定的坐标。这导致膨胀子的最大值（6.16），而最小值出现在或时，对应于静态补丁的极点。然而，由于对于这个最小值膨胀子是平凡的，这甚至不会与之前具有类空间边界的膨胀子的极值（6.20）相关联，也不会与代数纠缠熵的边界结果相关联。这表明在变形之后RT公式不适用，可能需要寻找与（6.14）中发现的代数纠缠熵对偶的不同几何量。因此，该结果与Susskind的猜想（i）和（iv）不同，这些猜想预期当相应的边界在静态补丁内部而不是Milne补丁内部时RT公式成立。然而，在边界位于宇宙视界的严格极限下，可以恢复预期的GH熵。同时，在更高维度中，可以在拉伸视界中有子区域，并发展出[1]中不同的RT公式形式。
7 讨论
总结来说，我们基于具有Dirichlet边界和不同边界反项的一般膨胀子引力理论开发了弦哈密顿量变形。特别是，这恢复了（0+1）维度中的变形，以及作为特例的更低维度中的变形（“”）。后一种变形可能阐明[155]和[150]中对体解释的关系和差异。也就是说，通过改变膨胀子势或膨胀子引力作用（2.1）中的反项，可以恢复相同的变形，这改变了有限截止边界的位置，穿过了相应视界的位置[150]。虽然该程序可以一般应用于具有体对偶的（0+1）维量子力学系统，但我们主要在DSSYK模型中进行了具体研究。我们评估了变形模型的半经典热力学性质，从其配分函数出发。我们研究了变形理论中HH状态的Krylov扩散复杂性，并将其与有限截止全息图中的虫洞长度相匹配。我们还推导了变形理论中的一般和半经典相关函数的表达式。值得注意的是，给定新的弦数基础的DSSYK的双缩放代数之间的代数纠缠熵与JT和dS JT引力中的极端表面上的膨胀子精确匹配，一旦我们分别限制在IR和UV三重缩放极限。通过结合DSSYK弦谱的UV极限中的先前结果，并应用一系列和变形，我们明确实现了Susskind [1]中的拉伸视界提议，包括其对于动态可观测量的特征超快增长。这为Susskind的猜想[1]与正弦膨胀子引力提供了直接联系，它在特定极限下恢复了dS空间[109]，因此也与Schwarzschild-全息图[112]相关。这导致了DSSYK模型体对偶的不同提议之间的更精确联系。现在，我们讨论了未来研究的方向。
7.1 展望
7.1.1 Krylov算子复杂性
在正文中，我们讨论了Krylov扩散复杂性，它在（A）空间中的有限截止处的体解释与体测地线有关。这与具有有限截止的全息复杂性文献相关，例如[145, 161-165, 167, 168, 207, 258]。在正文中，我们还探讨了变形对半经典相关函数的影响，这些影响仅由逆温度变为Tolman温度的修改所引起。因此，自然会探究哈密顿量变形对Krylov算子复杂性的影响。为了具体起见，考虑（4.9b）中的一粒子HH状态，可以表示为
（7.1）其中
（7.2）是一个Liouvillian算子。请注意：
(7.3a)
(7.3b) 其中
(7.4) 这种情况对应于在复数值时间下对总哈密顿量的薛定谔演化；而另一种情况对应于对单边哈密顿量的海森堡演化。因此，基于李乌维尔演化算子，我们可以根据的值来评估状态和算子的Krylov复杂性。其他的选择与广义的Krylov复杂性概念相关[72]。我们将重点关注这种情况。同时，我们将称为参考状态的Krylov基，这些基被定义为满足Lanczos算法
(7.5) 其中，，而和被称为Lanczos系数。我们定义Krylov算子复杂性为
(7.6) 与传播复杂性的情况类似，李乌维尔算子(7.2)中的变形会扰乱Krylov基。推导出具有单粒子插入的半经典Krylov算子和传播复杂性将是很有趣的。特别是，这对于了解高维例子中的这些变形可能很有用。例如，在[259]中报告称，当变形参数具有与超光速运动相关的符号时，CFTs的Krylov算子复杂性的指数增长可能与OTOC混沌界限[144]不一致[260]，这与有限截断全息图的情况不同。还将上述Krylov算子复杂性的标准定义与[261]的工作进行比较也很有趣，在那里作者在JT引力中使用了Krylov算子复杂性的概念。他们发现，在近似的一阶，Lanczos系数显示出线性增长，并且Krylov复杂性随着逆温度的简单修改而指数增长，这包括相应的红移因子，这与我们对半经典相关函数的发现类似。这表明，人们可能会在微正则窗口中重新定义Krylov算子复杂性(7.6)，该定义可以基于种子理论结果[72]中的OTOC在有限温度下的第一导数来表达，其中将包含相应的红移因子(4.21)。这种Krylov算子复杂性的重新定义将与连接黑洞渐近边界的虫洞长度相关，而不是具有有限狄利克雷边界的黑洞(5.29)。因此，详细发展(7.6)中的Krylov算子复杂性定义也可能是有益的，这可能与有限截断全息图更密切相关。
7.1.2 有限截断全息图中的广义边界条件
我们的工作集中在哈密顿量变形的有限截断解释上，当体对偶具有狄利克雷边界条件时。有关如何通过多迹变形在全息图之间进行扩展的文献，这预计会修改体中的边界条件[43-45, 48, 262, 263]。特别是，人们对发展共形边界条件及其扩展[46, 47, 158, 264-274]以在狄利克雷边界条件不适定的情况下获得广义相对论中的良定性解表现出浓厚的兴趣。在AdS空间中具有共形边界条件的有限截断已在[44-47]中进行了研究。鉴于DSSYK模型在不同能量尺度下是一个有用的解析可解模型，将我们的研究推广到包含共形边界条件的截断全息图可能是方便的，而不是狄利克雷边界条件，可能沿着[270]的思路，并分析模型的热力学性质及其相关函数是如何被修改的。鉴于DSSYK模型中的变形与拉伸视界全息图之间的联系，这项研究可以帮助我们为静态补丁全息图获得一般性教训，因为正如我们所看到的，该理论在热力学上是不稳定的。研究在背景波动下的解的微扰稳定性也是相关的[158]，这可以按照[275, 276]在 dilaton-gravity背景下的先前研究进行结合。此外，应该可以将我们的研究适应于混合边界条件解释，其中DSSYK将保持在原始的渐近边界位置（即）。在JT引力的Schwarzian中发展这种解释已经在[33]中完成。我们希望在未来的工作中回到这一点，将这种解释应用于正弦dilaton引力。
7.1.3 变形中的纠缠熵
正如正文中强调的，与弦数状态相关的双尺度代数中的代数纠缠熵（在有限截断时再现了体中的测地线）导致体中变形理论的纠缠熵与JT和dS JT引力中极端表面上的dilaton通过RT公式预测的纠缠熵之间的精确匹配。然而，一旦我们转向变形，RT公式就不再适用，因为dilaton的最小值变得平凡，如第5.4节和第6.5节所解释的。找到一个可以与Krylov基中的弦数状态对应的代数纠缠熵(5.6)相关联的几何量将是有趣的，尽管系统甚至不是热力学稳定的。例如，Susskind猜想中的一个核心部分是在双层与单层提案中实施RT公式计算的规则[1, 171-173]。这些规则依赖于在空间中的角度依赖性，因此从的角度来看是无法访问的，这与DSSYK模型的UV极限是对偶的。原则上，人们可以将这些额外的RT提案与正弦dilaton引力的嵌入[112]联系起来。此外，我们怀疑不需要将评估限制在三重缩放极限下，就可以从全息图的角度解释弦数状态中的代数纠缠熵。我们希望将这一结果扩展到DSSYK模型的半经典区域[58]，这预计在正弦dilaton引力中具有体解释。人们可以通过在体中发展Lewkowycz–Maldacena路径积分推导相应的RT公式[277]，或者可能通过因子分解映射[278-283]来进一步发展这一结果。
7.1.4 在平均之前进行变形
在我们的分析中，我们在集合平均之后对DSSYK模型进行了变形，因为哈密顿量变形可以解释为正弦dilaton引力理论中的径向体流动。然而，人们也可以先应用变形然后再进行平均来研究理论中的差异。这将意味着SYK哈密顿量(3.1)的变换
(7.7) 由于平方根因子，集合平均评估更为复杂，尽管通过在形式主义中工作可以取得很大进展，如[33]中所做的。在这种替代情况下，考虑我们研究中不同的热力学性质和动态可观测量（如Krylov传播复杂性和相关函数）是如何被修改的，以及理解相应的体几何结构将是有趣的。
7.1.5 验证有限截断下的正弦dilaton
我们的工作主要采取了边界视角，不需要特定的DSSYK模型的体对偶，只要它对应于dilaton引力理论，超出其IR和UV三重缩放极限。尽管如此，我们找到了明确的结果，这些结果表明在半经典极限(3.52)中，变形DSSYK中的HH状态的Krylov传播复杂性描述了有限截断(5.29)处的虫洞测地线，以及第3.3节中UV和IR三重缩放极限的RT公式验证；有关进一步探索，请参见附录D。作为下一步，可以对相关函数进行体分析，以提供我们其他结果的一些具体的体对偶解释。一个简单的开始将是研究微正则集合中相关函数的函数依赖性以及与Tolman温度相关的整体红移因子，在半经典极限中，如JT引力和更高维截断全息图中的现有文献[32-34, 38, 150, 209]中所做的。然而，重要的是要在体对偶理论的领域之外进行进一步的检查。例如，在正弦dilaton引力中，可以在体中进行引力路径积分计算，或者研究在有限截断下的WDW方程的解（类似于[34]），以验证我们对配分函数和相关函数的理论结果。此外，[92]之前指出，在正弦dilaton引力中，热力学的解释与黑洞和宇宙视界的无限简并性有关，这是由于dilaton势的周期性。同时，本工作中哈密顿量变形的有限截断解释可能允许通过在复数值几何中适当地放置边界来消除简并性。研究与移除的视界相关的圆锥缺陷的性质如何与(2.25)中的精确变形配分函数相匹配将是有趣的。此外，虽然实际计算是半经典的，但可以通过包括[193]中的单环修正来重复我们对相关函数和配分函数的分析，对于变形的DSSYK，并将它们与最近的发展[42, 111]进行比较。此外，根据JT引力中的类似研究[37]，用Borel求和和非微扰级数展开来扩展我们结果的研究也很重要，以便更好地理解变形理论的谱和有限截断下的假定体对偶。最后，一个相关的有趣扩展将是使用弦哈密顿量(3.13)来探索有限截断全息图，当（其中）（而不是正文中的），这被认为与dilaton引力理论[284, 285]是对偶的，并且与Liouville引力[286-291]密切相关；有关最新进展，请参见[42]。
7.1.6 Narovlansky–Verlinde模型
V. Narovlansky和H. Verlinde在[115]中提出了DSSYK模型的另一个有趣的体对偶提案（也参见[95, 96, 112, 117]），他们通过考虑一个具有等能量约束的双副本SYK模型来发展全息图方法。在双尺度极限和集合平均之后，系统可以用零粒子弦哈密顿量(3.13)来描述。在[115]的体提案中，对偶dilaton引力理论的势能(D.1)的形式为：
(7.8) 变形参数由(2.18)给出，带有反对项(2.3)是
(7.9) 将我们的边界理论发现与NV模型中的有限截断全息图进行测试将是有趣的，以检查它是否导致与有限截断下的正弦dilaton引力中的热力学或相关函数明显不同，并将两者与我们的边界理论结果进行比较。特别是，我们关于有限截断下的纠缠熵的结果在UV和IR三重缩放极限下对(A)dS空间有明确的几何解释。这些极限自然与正弦dilaton引力兼容；将有趣的是找到是否可以与(7.8)描述的dilaton引力理论相关联的类似极限，或者是否可以证明除非，否则没有这样的极限，这将恢复一个等同于正弦dilaton引力的理论。还将有趣的是将NV模型在有限截断下与[155, 157]中的维度缩减版本的变形相关联，类似于我们对DSSYK模型在三重缩放极限(3.28a)中的变形提案。
7.1.7 关联全息流
在未来，我们希望研究流中的关联解释，重点关注装饰可观测量和有限截断全息字典。已经注意到，量子参考框架（QRF）变换将显著影响一般系统的热力学和代数算子结构[292, 293]（也参见[294]）。鉴于对DSSYK模型解的明确了解，明确研究这个系统中的QRF变换以及这里研究的半经典热力学将如何被修改将是有趣的。更一般地，研究带有物质的-deformed DSSYK模型的可观测量代数将是有趣的，作为[156]的微观实现。如果我们将边界解释为观察者用来定义体代数中具有引力修饰的算符的期望值，那么我们可以认为，随着截断边界位置的变化，观察者也会因为边界理论的哈密顿量变形而改变。例如，基于[112]的最新工作，我们可以用一对Liouville场来重新表达正弦膨胀子引力理论；我们研究薛定谔演化中的流动是如何通过关系可观测量来捕捉的。变形的效果是改变了哈密顿量，但不会改变边界观察者测量的固有时间。从正弦膨胀子引力的Liouville-CFT表述的关系解释来看，这意味着DSSYK的集体场描述被修改了，但与Liouville理论中观察者时钟相对应的时间参数本身没有改变。因此，探索这种变形如何改变体理论中的Page–Wootters机制[295, 296]将是有趣的。我们预计在正弦膨胀子引力中存在一个基于固有时间的关系描述。相比之下，边界理论只经历了薛定谔演化，因为它只能访问体的规范不变数据。
7.1.8 矩阵模型的变形
在JT引力背景下，[36]之前已经考虑了矩阵模型集合中的变形；这使他们能够研究所有实数变形参数下的变形模型的能量谱，而无需在体中重复使用混合边界条件解释。将[36]的先前工作推广到研究与正弦膨胀子引力模型对偶的、具有更高亏格展开的矩阵模型中的这种解释将是有趣的。对[297, 298]中的两矩阵模型进行变形也可能是有趣的，该模型再现了某些DSSYK振幅（并在[299-301]中得到了进一步发展），以便与我们在第2.7节中的半经典热力学发现进行比较，也可能研究与有限截断下的JT引力与矩阵模型之间的最新联系[42]。
7.1.9 带电DSSYK模型和变形
与我们对DSSYK模型中变形的分析一致，文献[302]中也存在变形[303]，其中J是一个手征U(1)电流。研究带有U(1)电荷的DSSYK模型的体对偶的性质将是有趣的[304]（另见[305-307]），这最近在[114, 132]中有所讨论。然后可以在DSSYK模型中引入变形，或者结合变形，研究我们在本工作中遇到的热力学性质和相关函数。特别是，评估相应的Krylov扩散复杂性（远离变形参数为零的极限，由[76]讨论）将是有趣的。在这个方向上的一个相关可能性是使用DSSYK模型的扩展[308]，该模型考虑了R-电荷。扩展变形理论并在有限截断下找到相应的体长度将非常有趣，特别是对于BPS部门[309]，将其解释为弦数[91]以及从Krylov扩散复杂性的角度[77]。
7.1.10 高维中的拉伸视界
最近，[151]发现了高维中变形的扩展，我们将其称为变形。具体来说，考虑变形的作用为
(7.10)其中是时空维度中边界理论的度量，相关的Ricci标量为；是变形参数，应力张量为，其中表示大正则化，如[27]中所述，CT表示反项贡献，是对应于()和()变形的参数。作者将变形理论(7.10)与有限截断下的(A)空间中的爱因斯坦引力联系起来
(7.11)其中表示时空流形，是牛顿常数，是体度量，是Ricci标量，是平均曲率。作者找到了变形理论的相关（无量纲）能量谱，其形式为
(7.12)其中表示由反项确定的常数，是种子理论的（无量纲）能量谱。使用现有的工具在更高维设置中重复本工作中的分析，验证我们关于拉伸视界的发现将是有趣的，例如在OTOCs中的超快混洗和从代数角度理解的高维设置中的全息纠缠熵。一个困难是在这种情况下识别特定的边界理论。
致谢
我感谢Andrew Svesko和Manus Visser在[38]上的合作，这部分激发了这项工作；感谢Gon?alo Araújo-Regado、Philipp A. H?hn、Francesco Sartini、Jiayue Yang和Ming Zhang在其他相关主题上的合作；感谢Takanori Anegawa、Andreas Blommaert、Klaas Parmentier和Jiuci Xu对早期草稿的有益评论；还感谢Dio Anninos、Luis Apolo、Micha Berkooz、Arghya Chattopadhyay、Chuanxin Cui、Victor Franken、Damián A. Galante、Eleanor Harris、Taishi Kawamoto、Simon Lin、Masamichi Miyaji、Sangjin Sin、Andrew Rolph和Gopal Yadav的深刻讨论/评论。我还要感谢“V Siembra-HoLAGrav Young Frontiers Meeting”的组织者，“Quantum Extreme Universe: Matter, Information and Gravity 2024”研讨会（在冲绳科学技术大学OIST举行），“New Avenues in Quantum Many-body Physics and Holography”（在亚太理论物理中心APCTP举行），“Young Researchers of Quantum Gravity”在线研讨会，“Strings 2025”（在纽约大学阿布扎比举行）；“QISS 2025 Conference”（在维也纳大学举行）以及“2025 East Asia Joint Workshop on Fields and Strings”（在OIST举行），以及在Neve Shalom举行的联合以色列研讨会，其中部分工作以不同的形式进行了展示；感谢“XX Modave summer school”允许与其他参与者进行相关讨论；感谢Rikkyo大学和Weizmann科学研究所的高能物理小组在这项工作完成阶段的热情款待。S.E.A.G.感谢APCTP、奖学金办公室和QISS联盟提供的旅行支持。
资金
S.E.A.G.在项目开始时部分得到了FWO研究项目G0H9318N和大学间项目iBOF/21/084的支持。S.E.A.G.得到了冲绳科学技术大学研究生大学的支持。这项工作得以实现得益于WOST、WithOut SpaceTime项目（https://withoutspacetime.org）的支持，该项目得到了John Templeton基金会（JTF）的Grant ID# 63683和ID#62312的资助，作为“Quantum Information Structure of Spacetime”项目（QISS）的一部分，以及JTF的Grant ID# 62423的资助。本工作中表达的观点仅代表作者本人，并不一定反映John Templeton基金会的观点。
利益冲突
作者声明没有利益冲突。
注释
1 在低维情况下，这也被称为1D变形[32, 33]。
2 在半经典极限下，Krylov复杂性再现为DSSYK模型体对偶中的体测地线长度[42, 58, 61, 91-96]，这对应于体积=复杂性（CV）猜想[97]的明确实现。
3 从全息角度来看，双缩放代数之间的纠缠熵表现为Ryu–Takayanagi（RT）[100, 101]公式（例如，参见[102-105]的综述，以及[106-108]的扩展）。
4 参见[148]的综述，以及[149]及其中的参考文献，了解与非度量测量的联系。
5 注意，具有Dirichlet边界的空间在热力学上是不稳定的，因此其s波部门也是如此；而在情况下，它不会导致一个良定的初值问题[158]。
6 在低维背景下，这似乎是一个自然的选择，因为SYK模型的集合平均描述是在盘拓扑层面上具有更清晰的体对偶。人们可以先在物理SYK模型中进行变形，计算其双缩放极限，最后进行集合平均，以研究与我们方法的差异。然而，这种程序可能没有弦哈密顿量描述，或者会被非平凡地修改。这也可能导致不同的全息对偶，如果有的话。我们在展望部分7.1中讨论了更多细节。
7 参见[68, 78, 80, 81, 145, 159-168]和[1, 169-173]，了解量子复杂性和纠缠熵的研究（通过双层与单层提案[171-173]）与dS拉伸视界猜想[1]的联系。
8 除非另有明确说明，否则本工作中的评估是在变形参数的非微扰水平上进行的。
9 如果遵循(2.3)，边界作用的变分会导致径向边界上的平均曲率
(2.4)
10 在[34]中采取了另一种但相关的方法，他们研究了Wheeler–DeWitt（WDW）[188, 189]方程的径向量化（在简化相空间水平上），以及形式为(2.1)的路径积分膨胀子引力；没有反项，（参见例如(2.20) [34]）。在适当引入相应的反项后，可以恢复一个与[32]等价的关系，这在重新缩放后与结果一致（见(2.17)）。
11 定义它的另一种方法是保持渐近边界在相同的位置，但修改边界条件而不是使用Dirichlet[26]。这种类型的程序在JT引力中已经被[32]考虑过。我们保留将来研究这种修改是否可以适应这种情况的方向（更多评论见第7.1节）。
12 通过对方程的ADM分解中的 lapse进行变分，可以恢复约束
(2.11)其中是位移，是边界度量。
13 我感谢Simon Lin对此的评论。
14 通过设置，可以恢复与[150]中的类似物相同的符号，然而，我们没有分析这种情况。
15 之前的文献以不同的方式处理了中的变形的体解释。[46, 153, 156, 157]提供了证据，表明这种变形对应于将体从一个AdS黑洞变为空间。同时[150]表明，可以通过改变和中的类时和类空边界来探测黑洞内部。后一种解释对应于我们探索的情况；前一种解释也可以通过修改膨胀子势能在过渡时保持来在我们的设置中研究。
16 如果需要变形能量谱(2.17)的函数表达式来处理超出给定种子理论谱的能量，那么在[150]中有一个仅研究?符号解的处方。由于我们只关心种子理论谱的流动，我们不遵循[150]中的处方。
17 [150]和[155]中的方法在宇宙常数变形项的符号上有所不同；然而，它们都产生了相同的变形CFT谱。我们的方法表明，相应变形的总体符号并不重要，而是这个项在流动方程的推导中如何出现，这在我们的情况下对应于在过渡时改变膨胀子势能，或者项的符号。
18 注意，在极限[23]中，两个渐近边界会同时移动。
19 在[42]中提出了一个改进有限截断全息学中配分函数的提议，其中包括了一维变形的微扰和非微扰分支，并使用适当的积分轮廓和能量积分的截断来规范化积分。对于周期性势能（如正弦膨胀子引力中的情况），这个轮廓是微妙的。此外，对于配分函数是UV有限的DSSYK模型来说，这个处方是不必要的，因此不会讨论。
20 注意，熵在所有温度尺度上都与成正比，其中是SYK中的自由度数，p是所有相互作用的Majorana费米子的数量。虽然已经有人讨论过（参见例如[123, 124]），DSSYK模型在无限温度下是否应该像任何其他量子比特系统在无限温度下那样表现，但熵反而会按比例缩放。双缩放引入了1/因子（如第2.7节中的配分函数中明确看到的）。我感谢Takanori Anegawa和Jiuci Xu就这一点进行了有益的讨论。
21 这是一个玻尔兹曼温度，与我们在第4.3节中讨论的相关函数中的温度尺度不同。
22 在有限截断的正弦-膨胀子引力中，可以重复相同的半经典热力学分析，其状态密度与[66]中的相同；需要用变形后的能量谱替换BY的能量谱。
23 请注意，在变形能量谱（2.22）和情况（2.24）中，我们使用了相对符号解；热容的符号是相反的。
24 例如，参见（2.32）[112]，其中使用了我们的符号。
25 有一个不同的团队正在继续进行[42]中的工作，这与本节中讨论的变形DSSYK弦哈密顿量在某些方面有重叠。感谢作者指出了这一点。
26 与DSSYK模型属于同一普适类的其他模型可以使用相同类型的弦计数技术来求解[186, 197-200]。
27 例如，在特定的变形情况下[32]
（3.30）
28 鉴于在主导阶时，这意味着积分测度中的权重[204]在主导阶的展开中遵循某种性质。
29 使用不同的定义来表示相关函数可能会很有趣，例如，将（4.5）中的弦数提升到（3.53b）。
28 在体中，这个相关函数与一个在有效几何中耦合的探针质量标量传播子相关联，如[92, 111]所示，
（4.8）。将有限截断的正弦膨胀子引力与变形的DSSYK模型进行显式匹配将会很有趣；或者对于DSSYK模型，更一般的多迹变形对应于体中边界条件的其他修改。
29 虽然在本节中我们采用了边界方法来处理变形，但更一般地，在有限截断的全息图中引入物质时会遇到问题[27, 32, 208]，这需要手动在流动方程中添加物质应力张量的贡献。
32 这个论点也可以用来评估Krylov复杂性的一个广义概念[87]
（4.12），其中在成本函数（3.31）的符号中；Krylov复杂性算子可以通过算子插入来扩展[69, 70, 72, 73]。在半经典极限下，量子波动被抑制（4.10），（4.12）变为
（4.13）全息图（4.13）对应于虫洞长度的一般函数。
33 请注意，在极限情况下（4.24）对应于物理SYK模型中的交叉四点相关函数[56]
（4.25a）
（4.25b），这在双缩放极限下进行评估，并且在[56]中使用了退火集合平均。
34 此外，还有简单的扩展方法可以使用粒子插入来评估代数纠缠熵（5.6），这些方法与我们的讨论类似，并且与DSSYK模型中的部分纠缠热态[193, 223]有关[99]。
35 我们使用（2.22）和（2.24）中的谱：
（5.17）
36 在极限情况下的结果（5.24）再现了（dS）JT引力中的重整化熵[98, 99]。
37 这与[152]中提出的类似想法相呼应，该想法将/中的变形视为将其与静态补丁全息图统一的一种方式。
38 已经有不同的方法实现了dS/CFT对应关系，包括高自旋引力[232, 233]，其中空间[234-236]与Sp()是对偶的；以及一个与SU(2) Wess–Zumino–Witten模型对偶的高自旋空间提案[237-240]，这是从欧几里得空间的解析延续而来的；还有从欧几里得空间到空间的转换[241-243]。另一种方法涉及从渐近和空间插值的几何形状，这些通常被称为半人马几何[159, 174, 244-248]，其全息对偶最近在[249, 250]中进行了研究。有关综述和参考文献，请参见[251]。
39 这个参数与空间的质量有关[253]，其中某个值意味着存在圆锥形亏损。
40 请注意，这与[38]中的边界项选择相同，这可以为定义空间的ADM质量提供动机，如[253]中所详细阐述的，并且它也已在[155, 157]中的变形中应用。
41 请注意，虽然我们在二维背景下使用纠缠表面点，但在更高维度中可以采用空间子区域，这可能导致具有边界的最小余维二面积的更多多样性[152, 257]。
42 如果哈密顿量具有复数值谱，则需要包括其左和右本征态，这与我们过去考虑的厄米哈密顿量的本征基不同。
43 如第1节所述，这不是放置种子理论的唯一可能方式；例如，可以考虑将边界放置在黑洞区域之间；或者放置在几个黑洞和宇宙学补丁之间（类似于[168]中的扩展SdS时空）。鉴于我们的重点是探测黑洞和宇宙学视界之间的正曲率区域，我们将这些其他可能性留待未来的研究方向（第7.1节）。
44 暗示了，这是宇宙学视界在的位移（在[92]中也称为重复），因此我们也会将其视为宇宙学视界。
45 在更高维度中，已经在Cauchy切片全息图中研究了具有变形的非幺正能量谱[182, 183, 313]。其解释是，如果对欧几里得Cauchy切片边界上的CFT进行变形，其能量谱本质上是复数的。一旦变形足够大，外在曲率变得类时，从而产生实数能量谱，对应于体中的洛伦兹特征。
46 类似于（D.10）的定义首次在[168]中提出，用于扩展的Schwarzschild-de Sitter（SdS）黑洞几何的背景下。它允许我们将[1]中纯dS空间的拉伸视界的概念推广到具有多个视界的时空。
47 例如
（E.3），以及更高阶的多项式，是迭代得到的。
48 请注意，通过施加
（E.7），在适当的极限下经过规范变换后可以恢复相应的弦哈密顿量[72]。重要的是，（E.8）相对于弦内积仍然是一个厄米哈密顿量[73, 74]。
49 我们预计弦数基的选择对应于体对偶中的辅助参数的层化，以便所选层化之间的规则化测地线长度能够再现连接有限边界的最小长度测地线长度。我们将在即将到来的工作中探索这种解释。
50 例如，在正弦膨胀子引力的特定情况下[92]，黑洞度量（E.20）到几何的映射，我们基于（2.18）和（2.37）确定了，由下式给出
（E.21），其中我们使用了（2.3）中的正弦膨胀子引力。上述关系意味着
（E.22），如果DSSYK模型在盘层面与正弦膨胀子引力是对偶的。
51 请注意，在（E.30b）中，我们使用了Rindler-（E.20）和静态补丁坐标之间的共形变换是由一个负号给出的，而不是应用正弦膨胀子引力中的映射（E.22）。
52 我们预计在极限下的评估将导致在有限截断的正弦膨胀子引力中的RT公式，即使在种子理论情况下也尚未解决。
53 在更高维度中也有类似的类比，例如在双全息图中[318]，其中这两种效应都会导致复杂的动态可观测量。
54 例如，参见[320]；将我们的符号与他们的符号进行关联的词典是和。在正弦膨胀子引力中，与ETW膜参数之间的关系已在[74]中探讨。
55 或者，可以用物质来变形弦哈密顿量（4.1）
（F.17），然后规范相应的对称性。附录A：符号
缩写
ADM：Arnowitt–Deser–Misner。
（A）dS：（反）de Sitter。AGH：Almheiri–Goel–Hu。
ASC：Al-Salam Chihara。BTZ：Ba?ados–Teitelboim–Zanelli。BH：Bekenstein–Hawking。BY：Brown–York。CFT：共形场理论。CV：复杂性=体积。
（DS）SYK：（双缩放）Sachhev–Ye–Kitaev。
ETW：End-Of-The-World。
GH：Gibbons–Hawking。HH：Hartle–Hawking。
IR：Infrared。
JT：Jackiw–Teitelboim。
OTOC：Out-of-time-order correlations。
QFT：量子场理论。
SC：Square correlators。
RT：Ryu-Takayanagi。
WKB：Wentzel–Kramers–Brillouin。UV：Ultraviolet。
WDW：Wheeler–DeWitt。
符号
（2.32）：黑化因子。
（2.1）：边界反项，其中表示有限或渐近边界处的膨胀子。
（2.1）：诱导度量。
（2.15）：边界度量。
（2.1）：膨胀子势。
（2.12）：哈密顿量约束。
（2.8a）：体物质应力张量。
（2.14）：边界物质应力张量。
（2.8b）：膨胀子源。
（2.1）：平均曲率和Ricci标量。
（2.29a）：无物质的变形配分函数。
（2.18）：变形参数。
（2.26）：DSSYK能量谱，其中是参数化。
（2.17）：变形能量谱。
（2.19）：变形哈密顿量，其中是一个通用解析函数。
（2.26）：热力学熵。
（2.29b）：变形理论的状态密度。
（2.27）：微正则逆温度。
（2.30）：固定变形参数下的热容。
（3.1）：Majorana费米子的数量和所有到所有的相互作用。
（3.6）：q-变形参数，与DSSYK哈密顿量在弦图中的截断相关的惩罚因子。
：双缩放极限（3.6）中的参数。
（3.19）：带有算子的弦空间，以及全算子扩展。
（3.55）：变形DSSYK模型中的Krylov基。
（3.53b）：变形DSSYK模型中的弦数算子。
（3.53b）：Krylov基和Lanczos系数，其中是单粒子状态的参数化。
（3.31）：成本函数。
（3.38），（3.33b）：零粒子弦空间中的Krylov扩散复杂性。
（3.39）：HH状态下重新缩放的弦数的期望值。
（C.1），（6.18）：体中渐近边界之间的最小测地线长度。
（3.15）：零粒子状态的弦数和能量基。
（3.8）：迹（零弦数）状态。
（3.10）：q-变形整数。
（3.16）：q-Pochhammer符号。
（3.16）
（4.21）：变形理论的假温度。
（3.17）：q-Hermite多项式。
（3.18）：能量参数化基础中的积分测度。
（3.4）：具有共形维度的物质弦算子。
（3.11）：零粒子部门中的弦数算子。
（2.28）：红移因子。
（3.28）：IR和UV三重缩放极限中的弦哈密顿量。
（3.28b）：种子理论中的IR和UV三重缩放能量参数化。
（3.23a）：中的非厄米共轭创造和湮灭算子。
（4.7）：复数值时间，其中是逆温度，是实时间。
（4.9b）：带有物质弦插入的HH状态的概括。
（3.20）：共形维度的集体指数。
（3.21）：具有一个或多个粒子弦的总弦数。
（4.1）：变形的双侧弦哈密顿量。
（4.6）：（）点相关函数。
（4.23），（4.33）：双缩放和三重缩放极限中的交叉相关函数常数。
（6.13a）：Lyapunov指数。
（4.28）：混乱时间。
（5.1）：双缩放代数。
（5.2）：II型代数迹。
（5.6）：给定弦状态的双缩放代数之间的纠缠熵。
（5.5）：简化密度矩阵。
（5.26），（6.2）：AdS黑洞和宇宙学视界的径向位置。
（5.25）：（dS）JT引力中的膨胀子（2.1）。
（5.25）：RT表面。
（F.4）：在弦希尔伯特空间中选择对称性部门的约束。
（F.1）：ASC哈密顿量。：ASC哈密顿量中的参数。
（F.13）：具有ETW膜的系统中能量基础中的积分测度因子。
（F.11）：ASC多项式。
（F.19）：带有ETW膜的盘配分函数。
（D.4）：拉伸视界参数。附录B：Deformations的简要回顾
这个附录是对（）变形的简要回顾，主要基于[38]。B.1 变形
变形是一类特殊的无关变形[4, 5]。在这里，人们在即将成为CFT的欧几里得作用量中引入了一个项，从而得到了一族形式为
（B.1）的局部量子场理论，其中是参数化变形的耦合项，是“种子”CFT，是应力分量的无关的、局部的复合产物，
（B.2）此外，用复数笛卡尔坐标表示（其中CFT度量是），则有，其迹为。通常定义
（B.3）使得。至关重要的是，任何平移不变的算子的期望值满足[3]
（B.4）对于任何有限的。考虑到量子场论（QFT）存在于一个周长为的圆柱面上，我们用符号表示
（B.5a）
（B.5b）
（B.5c）注意到QFT生成函数遵循
（B.6）其中，那么可以得出（当），这意味着（B.6）结合（B.4）等价于强制无粘性Burgers方程（该方程在湍流流体动力学中有应用），
（B.7）接下来，我们可以引入
（B.8）使得（B.7）变为
（B.9）微分方程（B.9）的解受到种子CFT所指定的初始条件的约束（即在），我们用符号表示
（B.10）结果得到[3-5]
（B.11）
B.1.1 降维到一维
我们对变形进行降维处理。类似于[32, 33]中的方法，我们假设QFT度量为，其中。通过求解，QFT作用量（B.1）可以重新表示为
（B.12）它在处有一个极点；即，在（B.11）中有所体现。为了对（B.12）进行降维[32]，我们可以利用角度不变性来设定，即在（B.11）中，也就是，
（B.13）如果，则谱变得复杂。变形理论（B.13）的能量谱与其对偶黑洞的准局域能量相符[32]，这在有限截断全息图中是预期的[23]。例如，变形理论的流动方程可以从哈密顿-雅可比方程推导出来（见第2.2节），该方程依赖于三维引力中的惠勒-德维特约束[23]。在更一般的维度中，我们将变形表示为第1节中解释的类似形式。
B.2 变形
现在，我们转向变形。已经强调，这种可解的无关变形在全息图中对应于将一个补丁连接到另一个补丁[151, 153-155, 157, 310]；同时，它也可以被解释为在修改变形符号时探测黑洞内部。我们还通过类似于上一节的降维方法，基于[38]，展示了其二维类比。
首先，考虑在（B.1）中添加一个二维“宇宙常数”
（B.14），其中，因此对应于变形后的理论。相应的（B.6）修改为
（B.15），其中。同样地，Burgers方程（B.9）变为[153]
（B.16），其中在（B.8）中。解为
（B.17），其中是一个积分常数，它取决于的解分支。如[153]中所解释的，并在第2.4节中对低维类比情况进行了详细说明，（B.15）可以分段使用；（a）从变形开始（即在），直到变形参数的临界值（3.56），以及（b）对于，可以在保持能量谱相对于的连续性的同时切换到。考虑这种变形的动机来自于带有宇宙常数的三维爱因斯坦引力，
（B.18）然后人们可能会期望，在对偶理论中从到的流动对应于从具有的体空间到具有的体空间的转变，因此dS空间的对偶理论可能通过适当的变形与AdS空间中的理论相连，且在处有一个匹配条件。这个极限对应于将BTZ黑洞的近视界区域与其霍金-佩奇相变点（此时黑洞视界半径与AdS空间的尺度相匹配，即）以及静态补丁的近视界[155]相连。在处的匹配意味着变形后的能量谱（B.17）为
（B.19）这确实与具有狄利克雷边界条件的宇宙补丁中的准局域Brown-York能量相符[311]。它在Gibbons-Hawking熵的微观解释中的作用已在[155]中讨论。在[157]中，该处方被推广以进一步考虑体物质场，超出了模型独立的纯（半经典）引力领域。在[151]中，变形被扩展到更高维度。
B.2.1 降维到一维
与前一节类似，对2D变形进行球形降维处理，使其对应于一维量子理论的流动。3D体作用量（B.18）的降维导致一个形式为（2.1）的2D体作用量，其中没有拓扑项[194]，
（B.20）
（B.21）其中
（B.21）然后，理论的背景解变为
（B.22）其中黑化因子对应于（）一个黑洞，或者（）当时具有圆锥形亏损的空间的缩减，这在[38]中与插值模型[244, 245]相关联。带有 Dilaton 势的变形能量谱在流动方程（2.17）中为
（B.23），其中对应于，在更高维度的流动中，其中“?”符号对应于与种子理论的平滑连接解，而“”用于描述降维空间的宇宙补丁（见图1）。
附录C：将时间/类时测地线与（3.52）匹配
在这个附录中，我们展示了在变形后的DSSYK模型中，Krylov扩散复杂度（3.52）描述了连接黑洞有限截断边界的类时和类时测地线长度，这些在图3中有所说明。我们定义测地线长度为
（C.1）其中是一个通用参数化，表示左/右补丁，而
（C.2）在这里，我们感兴趣的是黑化因子
（C.3）尽管我们保留了一些一般情况下的表示，除非另有说明。存在一个守恒电荷
（C.4）注意是一个微分同胚不变函数，因此可以将其固定为任何值。在文献中，人们通常选择，其中对应于类时情况，而对应于类时情况[312]。然而，由于是微分同胚不变的，不需要做任何特定的规范选择，所有选择都会得到相同的结果，因此，无论测地线是类时还是类时的，它们都将具有相同的函数表达式，我们通过在（C.2）中结合（C.4）来展示这一点。这给出了
（C.5）然后，我们可以评估测地线长度函数为
（C.6）其中是边界截断值的参数化，其中，表示转折点，即当在（C.5）中
（C.7）这里我们使用是一个守恒电荷。同时，使用（C.2）中的关系，我们有，即，
（C.8）我们现在可以在感兴趣的（C.3）黑洞情况下进行专门化，其中（C.6）和（C.8）给出
（C.9a）
（C.9b）注意，在类时测地线的情况下（C.9a）变为复数值，而保持实数值；而对于类时测地线，和都保持实数值。可以通过从（C.9a）中反转，将其代回（C.9b）并使用双曲三角恒等式来简化上述表达式，这给出了
（C.10）这确实与（3.52）中的Krylov扩散复杂度相符，其中时间包括了相应的红移因子。在有限截断处的测地线长度之前已经在[42, 159]等文献中注意到。
附录D：有限截断处的正弦Dilaton引力
在这个附录中，我们探讨了DSSYK模型的变形与有限截断全息图中的正弦Dilaton引力之间的假定对偶性。我们对理论的现实性质感兴趣。最近关于正弦Dilaton引力与DSSYK弦模型的关系的进展可以在[66, 71, 82, 92, 109, 113, 285]等文献中找到。正弦Dilaton引力（在类欧几里得签名中）由（2.1）描述，其中Dilaton势的形式为
（D.1）由于这个模型中的度量和Dilaton都是复数值，全息字典意味着变形后的DSSYK模型中的变形参数可以是复数。因此，我们特别感兴趣的是变形后理论的能量谱为实数的条件，以及其在洛伦兹签名体空间中的相应解释。我们还在复平面上寻找模型具有正曲率和近似恒定曲率的位置，这对应于首先实施变形，然后对DSSYK模型进行UV三重缩放极限，我们在前面的章节中应用了这种方法。
D.1 现实条件
人们可能会担心，当能量谱通常是复数值时，理论的欧几里得路径积分可能不会收敛。例如，考虑分区
（D.2）其中[193]，是一个常数；并且出现在（3.14）中。原则上，由于复数谱（D.2）可能会在流动过程中发散。毕竟，这种情况在JT引力（和其他设置）中确实会发生，当有限截断达到体中的黑洞视界时，需要考虑瞬子效应[37]。然而，我们研究的模型是UV有限的，即使积分的指数是复数，（D.2）也是明确定义的。
出于上述原因，我们现在通过考虑径向体流动由HJ方程（2.12）描述来分析恢复单位能量谱（2.21）的约束。图D.1,43展示了一个生成这些流动的路径图，我们选择黑洞和宇宙拉伸视界作为边界理论的最终径向位置（在（D.10）和（D.11）中）。为了更明确地描述轨迹，例如，可以使用
（D.3）将（渐近边界）与连接起来。同时，从黑洞视界到边界位置的轨迹可以表示为
（D.4）
图D.1 在图查看器中打开
通过根据字典条目（2.18）变形DSSYK模型，在复平面中移动边界。种子DSSYK模型最初位于，它可以在指示的轮廓（虚线橙色线条）中移动，接近（a）和（b）处的视界。这两种方法都可以用来探测黑洞和宇宙视界之间的正曲率区域（见图D.3中的相应Penrose图）。这里是允许我们在宇宙视界的位置（即在）和黑洞视界的位置（即在）之间插值的参数化。当我们将边界理论从流动到图D.1中的通用位置时，能量谱（2.22）变为复数；然而，应该注意的是，度量（2.32）沿此流动也是复数，并且没有洛伦兹解释，我们无法将复数能量谱与例如耗散过程联系起来。一旦我们到达实线，我们必须研究我们可以对系统进行热力学描述的位置。首先，注意到如果我们使用（D.10）中拉伸视界的参数化作为边界位置，我们需要考虑的功能依赖性。我们可以看到，黑化因子
（D.5）对于和，如图D.2所示，保持正值。图D.2 在图查看器中打开
在（D.10）中定义的拉伸视界处评估黑化因子（D.5），根据参数（图中显示的不同值）。它保持正值。接下来，我们寻找（2.21）中单位演化的现实约束，意味着
（D.6）为了具体起见，考虑。因此，我们根据条件（D.6）列出不同的位置可能性。当，
（D.7）然而，在这种情况下，度量（D.5）中的黑化因子是，因此是一个类时坐标，而是一个类时坐标。因此，量（2.21）将与系统的守恒动量相关，而不是能量谱。人们可能会尝试在和中进行双重Wick旋转，但在这种情况下，。因此，我们不会考虑这种情况。注意，如果我们取，我们将面临类似的问题。当，没有限制，。然后我们可以在度量（2.32）中进行Wick旋转，以便在实线上（2.21）中的确实可以解释为守恒能量。为了绘制Penrose图，我们考虑类时Eddington-Finkelstein坐标
（D.8）其中是乌龟坐标，我们选择使得。然后我们为Penrose图的第一象限定义Kruskal坐标
（D.9），对于图D.3的第四象限；对于第二象限；对于第三象限；对于第四象限。最后，我们定义紧凑坐标和来生成Penrose图。注意视界的 ??是，图的周期性特征与（扩展的）全缩减时空有相似之处（例如，见[314-316]）。图D.3 在图查看器中打开
在（D.9）下的坐标中，所有象限的Penrose图。对偶变形后的DSSYK模型（3.14）的能量谱具有相对的（a）?和（b）符号。我们在(a)（D.10）和(b)（D.11）中放置了狄利克雷边界（紫色），这些边界对应于各自的体径向流动路径。灰色区域代表在体解释中已经被切除的部分，而拉伸地平线与黑洞和宇宙地平线（虚线蓝色）之间的浅蓝色区域代表体正曲率区域。图(b)中的虚线黑色仅用于分隔各个象限，点表示时空的周期性。D.2 探索体内部
我们现在使用两种宇宙和黑洞拉伸地平线的配置来探索图D.3（以及D.1）中的正曲率区域，我们将边界移动到相应的位置
（D.10）
（D.11）从图D.3可以看出，通过将边界位置设置为，在（D.10）中，变形后的DSSYK模型可以位于非常接近宇宙（）或黑洞（）的位置，此时与边界位置相关的体热力学可以与相应的黑洞或宇宙地平线相关联。通过取，该区域具有正的且几乎恒定的标量曲率[66]。这相当于在DSSYK模型中进行变形后实施UV三重缩放极限，我们在前面的章节中已经应用了这种方法，尽管没有假设正弦膨胀子引力与DSSYK模型之间的对应关系。本节中的程序使我们能够更明确地探索有限截断全息图的结构，并为其能量谱范围提供具体的体对偶。附录E：另一种弦数基础
在这个附录中，我们定义了一种新的弦数基础，作为变形DSSYK模型中Krylov基础（3.33）的替代方案，这是由有限截断全息图激发的。具体来说，考虑
（E.1）其中是种子理论（3.9）的零粒子弦哈密顿量，是一个递归定义的多项式函数
（E.2）其中是一个依赖于变形参数的常数，我们将其作为初始条件[47]
（E.4）不同弦数基础之间存在一个映射，由下式给出
（E.5）其中
（E.6）任意参数与体径向截断之间的显式全息字典将在下文中确定。使用基础（E.1），种子理论哈密顿量可以表示为
（E.8）其中
（E.9）弦哈密顿量（E.8）的结果表示与[42]中的最新发现相关，因为如下面所看到的，弦哈密顿量的三重缩放极限恢复了规范量化的JT引力ADM哈密顿量[42]。然而，我们强调，只有在我们研究变形后的哈密顿量（3.29）时，弦哈密顿量表示（E.8）才与有限截断全息图相关联，无论是使用弦数基础还是其他基础。相比之下，第3.3节中为变形DSSYK构建的Krylov基础没有结合与体中的时空分层相关的辅助参数，实际上Krylov扩散复杂性在有限截断时再现了最小测地线长度（3.52）。正如我们将在下一节的半经典分析中看到的，基础中的弦数与连接具有狄利克雷边界条件的有限径向截断黑洞的爱因斯坦-罗森桥有关[42]（另见附录C）。E.1 概述
我们在附录E.2中研究了该理论的路径积分，并评估了弦数的期望值，这再现了体中的虫洞长度。在附录E.3中，我们研究了弦哈密顿量的三重缩放极限，并展示了它在与正文中发现的不同的系综中再现了有限截断处的规范量化的JT引力ADM哈密顿量。最后，附录E.4包含了使用弦数基础对代数纠缠熵（5.6）的评估，这在IR/UV三重缩放中分别再现了体对偶中的JT和dS JT引力中的膨胀子。E.2 路径积分公式
我们使用表示（E.8）研究了变形DSSYK弦理论的路径积分，即
（E.10a）
（E.10b）其中将表示为变形后的HH状态中弦数的半经典期望值，即
（E.11）而是相应的共轭动量。然后（E.10a）的鞍点解为
（E.12a）
（E.12b）注意我们使用了链式法则。使用（E.8）中的显式形式，我们得到
（E.13a）
（E.13b）其中
（E.14）特别是对于变形（3.30），我们有红移因子为，对于。方程（E.13）中的微分方程由边界条件补充
（E.15）同时，在（E.15）中的是一个从初始条件和能量守恒确定的数值常数。即考虑（E.13a）和（E.15）中的第二个初始条件对于，意味着
（E.16）然后，通过引入（E.16）和（E.15）-（E.10b）中的第一个初始条件，可以得出
（E.17）结合它们，我们得到
（E.18）上述常微分方程的解在边界条件（E.15）下为
（E.19）这正是有限截断黑洞之间的类空间测地线长度[42, 159]，其中黑洞地平线在坐标中为
（E.20）实际上，我们展示了（E.19）也适用于描述有限截断黑洞内部连接有限径向截断的类时测地线（E.20），见附录C。E.1 概要
我们在附录E.2中研究了该理论的路径积分，并评估了弦数的期望值，这再现了体中的虫洞长度。在附录E.3中，我们研究了弦哈密顿量的三重缩放极限，并展示了它在与正文中发现的不同的系综中再现了有限截断处的规范量化的JT引力ADM哈密顿量。最后，附录E.4包含了使用弦数基础对代数纠缠熵（5.6）的评估，这在IR/UV三重缩放中分别再现了体对偶中的JT和dS JT引力中的膨胀子。E.2 路径积分公式
我们使用表示（E.8）研究了变形DSSYK弦理论的路径积分，即
（E.10a）
（E.10b）其中将表示为变形后的HH状态中弦数的半经典期望值，即
（E.11）而是相应的共轭动量。然后（E.10a）的鞍点解为
（E.12a）
（E.12b）注意我们使用了链式法则。使用（E.8）中的显式形式，我们得到
（E.13a）
（E.13b）其中
（E.14）特别是对于变形（3.30），我们有红移因子为，对于。方程（E.13）中的微分方程由边界条件补充
（E.15）同时，在（E.15）中的是一个从初始条件和能量守恒确定的数值常数。即考虑（E.13a）和（E.15）中的第二个初始条件对于，意味着
（E.16）然后，通过引入（E.16）和（E.15）-（E.10b）中的第一个初始条件，可以得出
（E.17）结合它们，我们得到
（E.18）上述常微分方程的解在边界条件（E.15）下为
（E.19）这正是有限截断黑洞之间的类空间测地线长度[42, 159]，其中黑洞地平线在坐标中为
（E.20）实际上，我们展示了（E.19）也适用于描述有限截断黑洞内部连接有限径向截断的类时测地线（E.20），见附录C。在解释中，（E.19）对应于有效度量中的径向截断参数。因此，虽然原始的弦哈密顿量在规范变量中测量的是相对于边界的长度/动量[58]，我们可以在哈密顿量（E.8）中实施规范变换到新的弦数基础（E.1）来描述变形理论。50
在推导半经典弦数（E.19）时，我们没有对的具体形式做出任何假设；该表达式适用于有限截断全息图中的所有一般变形。特别是，和变形之间的区别包含在因子（E.14）中，这取决于变形的具体形式。此外，从体的角度来看，我们将对的情况感兴趣，在这种情况下，对于，结果是实数值和纯虚数值的长度。E.3 IR/UV 三重缩放极限和变形
为了更仔细地研究基础中的弦数，我们现在定义IR/UV三重缩放极限以进一步检验其属性
（E.23a）
（E.23b）其中算子、和的特征值固定为。我们注意到，通过减去基础（E.8）中弦哈密顿量的零能量贡献并考虑领先阶项，在IR和UV极限中，我们得到
（E.24a）
（E.24b）
与[42]中有限截断长度及其规范共轭的规范量化JT引力哈密顿量同构，而是其对应物，它是沿dS JT引力中的空间平移生成元的边界算子对偶[82, 99]，作为空间的s波维度缩减[82]。注意，两者都是显然的厄米的，因为的谱是纯虚数。重要的是，（E.23）中因子的重要性在于，在三重缩放极限中，人们定义的是两个渐近边界之间的双向测地线长度。相比之下，正如我们在第3.3节中发现的，描述连接一个渐近边界到物质粒子或特定ETW膜的测地线长度的三重缩放极限不需要在描述有限截断测地线的规范变量中实施规范化。在IR/UV极限中的任何一种情况下，我们都可以考虑一系列和变形，一旦截断边界达到相应的黑洞和宇宙地平线（3.28a），即
（E.25）我们用参数和在相应的三重缩放极限中引入能量谱，以便变形后的能量谱变为
（E.26）其中出现在（3.56）中。E.3.1 弦数
我们还在变形后的HH状态（）中定义了IR和UV长度算子的期望值（E.23），表示为
（E.27）这可以看作是基础（E.19）中弦数期望值的UV和IR极限。为了进行它们的评估，我们使用（E.19）中虫洞长度的显式解，其中将边界截断确定为黑洞度量（E.20）在IR和UV三重缩放极限（E.23）中，分别描述JT（）和dS JT引力（）。使用反项（2.3）（对应于）和通过（2.18）的变形参数，我们有
（E.28）同时，对于变形，我们在IR和UV情况下都反转了的符号（2.24），结果得到
（E.29）因此，在相应的三重缩放极限（E.27）中的虫洞长度（E.19）变为51
（E.30a）
（E.30b）注意对于变形，和分别是实数和纯虚数，而对于流动，它们交换为纯虚数和实数。结果表明，在IR三重缩放极限中，弦数无限增长，而在情况下，根据参数化，增长是有限的。在这两种情况下，变形参数改变了的增长速率。这反映了体中的Tolman温度是伴随的热尺度。在情况下，随着我们接近黑洞地平线，增长速率增加，因为截断表面接近黑洞地平线，Tolman温度增加。同时，在描述黑洞内部的情况下，的虚数值可以解释为类时测地线的增长。注意当（E.30a）中的arcsin参数大于1时，增长停止（我们将在第6.3节中进一步讨论）。这表明在Rindler空间中的测地线达到了，因为这对应于图3中描述的重整化长度的最大值。类似的结果也出现在空间中，如第6.4节所讨论的。接下来，可以看到（E.30）的形式与（3.52）相同，只是在时间参数中进行了重新缩放
（E.31）其中不同的时间参数化在[42]中的JT引力情况下进行了解释。与我们的分析类似，（E.31）中的左侧对应于包含由于固定能量（4.21）而产生的红移因子的微正则系综，而右侧对应于规范系综，其中Krylov复杂性增长中没有红移因子。因此，如果人们在微正则系综中评估Krylov扩散复杂性，则需要在重新缩放的时间中包含红移因子。E.4 代数纠缠熵
在这个附录中，我们展示了在弦数状态的双重缩放代数（5.6）中的纠缠熵与在变形DSSYK模型中使用Krylov基础在三重缩放极限中得到的结果相同。因此，我们的起点是
（E.32）其中出现在（E.2）中。从代数纠缠熵的一般表达式（5.6）出发，我们得到
（E.33）其中能量度量出现在（3.18）中。为了分析进展，我们研究了的三重缩放极限；参见[98]中的类似考虑，以及[99]。为了具体起见，我们关注IR三重缩放极限（E.23）；对于UV极限也可以实施非常类似的论证，我们将在第6.5节中讨论。为了研究（E.33）中不同项的IR三重缩放极限，让我们首先找到内积的解，其中代表的本征态，而代表的本征态，即
（E.34）将这些状态插入相应的哈密顿量（E.24）中，
（E.35）其中我们在IR三重缩放极限（E.23）中使用了和，因此（E.35）可以看作是一个薛定谔方程。解是与第一（）和第二（）类型的勒让德函数相关，
（E.36）其中和是常数。我们对平方可积的解感兴趣，所以我们保持并取，以便
（E.37）其中是JT引力的状态密度
（E.38）然后，（E.33）变为
（E.39）其中我们使用
（E.40a）
（E.40b）这里，（E.40a）在[58]中是已知的，而（E.40b）遵循满足递归关系（E.2）的事实，其中，而满足相同方程的IR三重缩放版本，即（E.35）。为了在分析上取得更多进展，我们应用了WKB近似方法，寻找薛定谔方程（E.35）的半经典解。我们考虑的能量尺度远离动能消失的尺度，即在（E.24）中的情况。这可以用一个截止尺度来表示
（E.41），这样（E.35）中的波函数就可以近似地描述为一个被薛定谔方程（E.35）中的势能所束缚的粒子，从而得到
（E.42），其中
（E.43）是通过反转（E.41）得到的，而（E.42）中的比例常数是为了归一化而选择的。通过在近似情况下计算积分，其中
（E.44），那么WKB近似（E.42）中的相应概率分布就变成了
（E.45）。现在我们可以基于（E.39）来评估以下熵差
（E.46），使用（E.39）中的三重缩放概率分布：
（E.47），其中
（E.48）如（E.45）所示；而（E.47）中的最后一个等式是根据前面的推导得出的。因此，对熵差（E.46）有贡献的主要项是
（E.49）。我们可以根据（E.40a）来实现以下关系：
（E.50）。因此，在半经典展开的一阶近似中，熵差（E.49）与（E.45-E.50）的结果就是
（E.51）。然后，WKB近似给出了
（E.52）。此外，由于一般来说，迹是相对于归一化选择而言是定义的，我们可以进行以下重新缩放
（E.53），这样（E.52）在重新缩放后变成了
（E.54）。整体常数的具体选择是由RT公式（5.30）所激发的。附录F：具有世界尽头膜和虫洞的变形
正如正文中强调的，哈密顿量变形会改变弦辅助理论的能量和微正则温度，同时保持热力学熵不变。还有一种互补的情况，即相对于种子理论，热力学熵会改变，但能量谱保持不变。这种情况发生在对DSSYK模型的弦希尔伯特空间施加约束时，这会导致在正弦膨胀子引力中的ETW膜哈密顿量[94]。在本节中，我们在DSSYK模型中实现了具有约束弦态的哈密顿量变形，从而得到了有限截止体积理论中的ETW膜，并发展了它与DSSYK模型和正弦膨胀子引力中的双喇叭几何形状的联系[60, 94, 113, 298, 300, 301, 319, 320]。概述
我们从附录F.1开始，简要回顾了在狄拉克量化中使用的ETW膜哈密顿量[321, 322]。在附录F.2中，我们研究了基于Al-Salam Chihara（ASC）多项式和DSSYK模型中ETW膜的两点相关函数的半经典配分函数。在附录F.3中，我们扩展了由希尔伯特空间迹得到的喇叭几何形状的结果。F.1 从变形的DSSYK模型中的物质弦作为ETW膜
我们研究了DSSYK模型中ETW膜哈密顿量的哈密顿量变形，最初由[317]研究，并随后由[60, 74, 94, 320]等人进一步研究。感兴趣的种子理论由ASC哈密顿量[74, 94, 113]描述，
（F.1）可以通过在弦希尔伯特空间（3.20）中施加约束并插入一个粒子来推导得到[74]，其中和是依赖于所考虑的具体对称性部门的常数参数。关于在（F.1）中确定和的规范程序的详细信息可以在[74]中找到，我们在这里简要总结一下以便完整性。我们首先考虑一个粒子弦态
（F.2）以及相应的单粒子弦哈密顿量（3.24）。我们可以通过研究单粒子弦空间中的对称性部门来恢复基（F.7）和ASC哈密顿量（F.1）。所谓对称性，我们指的是一种变换，它使得系统中的一组状态保持不变，即
（F.3）从一个状态集合生成物理希尔伯特空间，这些状态被相应变换的生成元（F.3）所湮灭，我们将其称为约束
（F.4）有不同的约束可以导致单粒子哈密顿量采用ASC形式（F.1），我们在下面总结这些约束（基于[74]）：
单边膜
设，，其中是一个常数，以便在约束下保持不变，即使在极限情况下也是如此；并且设，。通过应用这些约束来构建物理希尔伯特空间，其中一个弦哈密顿量（3.24）采取以下表示
（F.5）而变为常数。双边膜
我们可以取，，这样总哈密顿量可以表示为
（F.6）
接下来，我们总结了在ASC哈密顿量（F.1）作用的希尔伯特空间中状态的一般结构。上述哈密顿量中的算符可以表示为
（F.7）我们还可以寻找一个对角化哈密顿量的基
（F.8），其中是能量的参数化。接下来，通过在（F.1）中使用基和，我们恢复
（F.9）其中
（F.10）通过要求和，递归关系可以通过ASC多项式[323]来解决，这些多项式由给出
（F.11）ASC多项式满足关系
（F.12）其中
（F.13）积分测度可以表示为
（F.14）其中指的是ETW膜态，这是一种广义的q-相干态，它被定义为满足关系：54
（F.15），其中和是在（3.12）中的零粒子弦空间中的湮灭和创造算符
（F.16）
F.2 变形的ETW膜理论
我们现在考虑在弦希尔伯特空间中对相应对称性部门进行规范化后的哈密顿量变形[37, 261]。现在，我们基于（F.18）使用ETW膜来评估圆盘配分函数，其表达式为
（F.19），其中热力学熵和微正则温度分别为
（F.20），和出现在（2.26），（2.27）中。在交叉四点函数（4.21）中应用约束，存在ETW膜的情况下，相应的两点函数包含（4.18）中的红移因子，得到
（F.21）。我们在图F.1中展示了两点函数的行为。图F.1在图查看器中打开PowerPoint
两点相关函数（F.21）由（a）变形（）和（b）变形（）产生。我们展示了随着变形参数接近临界值（3.56）时，由于假温度（4.21）中的红移因子，两点函数的衰减率增强。图中的参数是，，，和，对于单边ETW膜（和在（F.21）中）。对于双边ETW膜也得到了类似的结果。从图中可以看出，正如在有限截止全息图中预期的那样[23]，一旦变形参数接近其临界值（3.56），它将经历增强的衰减率，而对于交叉四点函数（4.24）则会导致增强的增长率。这也是预期的，因为OTOCs的增长受到两点相关函数[129]的限制。我们在第4.4节和第6.4节中讨论了其在红外和紫外区域的影响。F.3 来自DSSYK模型的欧几里得虫洞
现在，我们从变形理论的角度研究喇叭几何形状。ASC哈密顿量（F.1）可以用来评估欧几里得虫洞几何形状的配分函数和相关函数[74, 94]。在本节中，我们将研究在相应的哈密顿量中实施变形后，ETW膜和欧几里得虫洞理论中的热力学和相关函数是如何改变的。
在JT引力中，最近考虑了具有非平凡拓扑的变形[37, 261]。这激发了我们研究相应的虫洞配分函数
（F.22），其中我们实现了。这个配分函数可以想象为将一个配分函数切成两半并粘合其两端，从而形成一个喇叭形状，如图F.2所示。虽然上述相关函数是奇异的，但可以定义一个规则化的版本，即喇叭配分函数
（F.23），我们在图F.3中展示了这一点。图F.2在图查看器中打开PowerPoint
（F.22）中圆柱体配分函数的构造。（a）带有ETW膜（蓝色实线）的圆盘拓扑被映射到（b）一个矩形。其两条边之间的识别代表了希尔伯特空间迹，它们被粘合在一起形成（c）圆柱体，这导致了（F.22）中的发散。图F.3在图查看器中打开PowerPoint
在喇叭配分函数（F.23）中实现的规则化可以看作是将图F.2中的ETW膜（实线蓝色）的长度缩短到一个有限的大小，并适当地粘合平面的边缘。上述表达式不容易评估；使用类似于JT引力类比[37]的复兴技术来完成评估将会很有趣。人们可以使用这个结果来确定体中的双喇叭振幅
（F.24），并为多边界欧几里得虫洞构建一个配分函数[74]
（F.25），这在有限截止全息图中得到了相关评估[42]。我们继续研究在喇叭配置中的未归一化热两点相关函数，通过规范对称性并实现希尔伯特空间迹
（F.26）使用（F.12）并定义，可以恢复
（F.27），其中。这可以通过插入恒等式进一步简化，得到
（F.28）可能可以使用鞍点方法来简化结果，其中半经典解采取以下形式
（F.29），其中表示相应的鞍点解。这将导致类似于[74]的一环量子校正的两点相关函数。然而，评估的细节超出了当前研究的范围，我们将其留待未来的研究方向。附录G：Almheiri–Goel–Hu模型
在这个附录中，我们探讨了在[186]中开发的模型的变形之前的结果，该模型比正文中的模型简单得多。我们对它的热力学性质、相关函数以及弦数的演化感兴趣。受到DSSYK模型高温极限的启发，[186]研究了其集合平均理论可以近似描述的极限
（G.1），其中，是谐振子的创造和湮灭算符。通过将相关函数与体测地线匹配，[186]提出了一个（非局部的）类似于膨胀子引力的理论，其由（2.1）描述，其中有一个势能
（G.2）我们对膨胀子场进行了整体重新缩放，使其与[186]中的无量纲形式一致，如（2.32）所示，现在我们有
（G.3）我们假设一个类型为（2.3）的反对项，以保持在渐近边界处的作用量为有限。热力学
在本节的其余部分，我们研究了AGH模型（G.1）的变形。我们可以直接使用[186]中的热力学结果，其中
（G.4）根据能量谱（3.14）和热力学熵（2.26）来推导变形模型的边界逆温度
（G.5）其中负热力学熵的解释与[186]中的解释类似，即相对于模型的最大混合态的相对熵。同样，状态密度（2.29b）和热容（2.30）可以计算为
（G.6）
（G.7）此外，使用字典条目（2.18），我们可以将边界位置从修改为拉伸的视界（即附近）。注意，由于势能（G.2）是通过匹配测地线长度与两点相关得到的，其边界温度将会被修改，相应的变形参数（2.18）表示为
（G.8）注意，边界温度的依赖性与[186]提出的理论的非局部性质一致，而（2.1）中的因子允许我们将（2.33）中的ADM能量和熵与DSSYK模型（3.14-2.26）中的相匹配。对于不同边界位置（即在事件视界和渐近边界之间）的（3.4）的评估显示在图G.1中。我们强调，出于分析的目的，我们允许边界逆温度有一个有限的范围，即使与DSSYK模型的联系是在高温下发生的。例如，在图G.1中可以看到，能量谱仅在有限的边界温度范围内是实数，这些边界温度不包括严格无限的边界温度。还要注意，当和发散时，存在一个非零的逆边界温度，这与拉伸视界的极限无关。同时，模型具有负热力学熵（G.4-G.5）意味着在发散的范围内状态密度的增长被抑制了。最终，在图G.1d中可以看到，对于一般的参数值，系统在热力学上是稳定的。本小节的最后提供了对结果的进一步讨论。图G.1（在图查看器中打开）PowerPoint
(a) 变形后的（2.18）能量谱，(b) 热力学熵，(c) 状态密度，以及(d) AGH模型[186]的热容，使用映射（G.8）对于不同的边界位置值。相关函数
我们现在继续评估具有共形维数的物质算符的变形热两点相关函数及其对应的OTOCs（见图G.2），以便与我们在第4.3节中对正弦膨胀子引力模型的发现进行比较。注意，在第4.3节中，我们通过鞍点方法评估相关函数，因为我们将（G.1）视为一个独立的模型；这与DSSYK模型在某些情况下的关系不一定相关，因此我们将不进行任何限制地进行评估。通常，由于某些因素，这些评估会变得复杂（除了在某些特定情况下）。幸运的是，我们注意到当参数满足某些条件时，（G.8）可以接近拉伸视界的情况，而这正是AGH模型预期用来描述DSSYK模型的高温区域。因此，在这一节中，我们主要关注微扰展开，与大多数工作不同，那些工作都是在非微扰阶进行的。图G.2（在图查看器中打开）PowerPoint
AGH模型中物质场算符的相关函数（青色）和（橙色）（分别具有共形维数和），包括从(a)边界和(b)洛伦兹签名体视角的两点相关函数；以及(c)未交叉和(d)交叉的四点相关函数。类似于恒等式（3.19），我们可以用一组完整的能量本征态来表达（G.1）中振荡器数基的（欧几里得签名）演化
（G.9）其中是阶Hermite多项式。注意
（G.10）
两点相关函数
然后我们可以按照以下方式评估图G.2a中的相关函数
（G.11）为了进行上述评估，我们首先考虑一个微扰展开，其中。在这种情况下，（G.11）与（G.10）可以表示为
（G.12）然后我们可以将展开视为相关函数指数中的一阶修正。为了将其解析延续到洛伦兹签名，我们取
（G.13）这样归一化的两点相关函数变为
（G.14）然后我们可以看到，在的一阶微扰下，（G.14）中的函数的时间依赖性保持不变。此外，从（G.14）可以得出，温度被定义为热相关函数的衰减率，是一个固定值
（G.15）我们注意到，即使没有微扰，系统的温度和相关函数的衰减通常也是不同的，就像在DSSYK情况[92]中一样。在变形参数的非微扰水平上进行计算（G.11）通常是复杂的；然而，为了得到任何阶的微扰理论答案，我们可以进行展开
（G.16）其中是和的多项式函数，对于1D变形（3.14）可以明确计算。然后可以使用（G.10）来评估
（G.17）并在任何阶的微扰理论中得到（G.11）。然而，为了后续计算的目的，我们发现评估指数（G.14）中的-修正更为方便，而不是相关函数本身。最后，为了找到（G.11）的完整非微扰答案，人们也可以尝试对（G.9）中对应的积分进行数值评估，并在中进行求和。然而，我们不追求这个方向，因为微扰理论是分析研究拉伸视界情况的一个很好的近似。平方关联器
我们想要评估由以下公式定义的洛伦兹签名平方关联器
（G.18）对于具有共形维数和的算符。计算的相关图技术已在[186]的附录B中阐述，因此我们在包含阶的变形后陈述结果，这本质上相当于在整体指数内的修改。这使我们能够表达未交叉的四点相关函数（图G.2c）
（G.19）以及交叉的四点相关函数（图G.2d）
（G.20）结合（G.19）和（G.20），并选择相应的值，我们可以在阶评估（G.18）为
（G.21）注意，极限再现了[186]中的一个结果
（G.22）图G.3展示了（G.21）和（G.22）的演化之间的比较，以比率的形式
（G.23）我们注意到，在拉伸视界极限下，OTOC（G.21）的增长率增加并不显著。此外，可以评估这个模型中的混乱时间，定义为与（G.21）中的指数衰减相关的时间尺度；人们发现它与（G.22）对应的混乱时间没有显著差异，因为这是一个值，它保持在和开始显著不同的时间尺度以下（见图G.3）。图G.3（在图查看器中打开）PowerPoint
（G.21）中的非时间顺序关联器与种子理论（G.22）中的关联器之间的相对差异的实部，以比率（G.23）的形式，以及与通过（G.8）相关的径向截断，当它接近位于的视界时。我们取了，，和不同的值。数值噪声是由（G.21）中的相对相位产生的。Krylov扩散复杂性
同时，状态中的弦数算符（3.38）的期望值可以直接从（G.11）中通过对其求导并取极限来评估（参见例如[71]）。这导致
（G.24）其解析延续到洛伦兹签名（G.13）允许我们评估扩散复杂性为
（G.25）注意，当（即拉伸视界极限）时，的增长率更快，这与我们在正文中得到的结果相似。相比之下，图G.1中的热力学性质在相同的极限下并没有显示出增强。也许这是预期的，因为[1]将时间中可观测量的增强与信息的超快混乱联系起来，这在像这样的通用可积模型中是不会出现的。在[92]中已经注意到，[186]中提出的模型与正弦膨胀子引力模型在极限下的可观测量有很大不同，后者在高温下仍然应该描述DSSYK模型，而不受海森堡代数极限（G.1）的影响。因此，我们在这节中的发现与第2.7节相比，进一步强调了这两种方法之间的对比，因为不同的可观测量在拉伸视界极限下表现出相当不同的行为。附录H：有限截断下的热力学第一定律
受到最近关于有限截断全息图中黑洞热力学的发展的启发[324]，我们基于第2节的结果研究了变形DSSYK模型中的热力学第一定律。我们专注于变形，其中相关的变形参数为（2.18）。让我们使用（2.26）中的半经典熵来表达（2.22）中的能量谱（）对于变形，以及（2.24）中的能量谱（）对于变形。这导致
（H.1）其中我们已经定义了。通过对（H.1）中的每个参数进行变分，我们可以写出变形DSSYK模型的扩展第一定律为
（H.2）
（H.3）
（H.4）
（H.5）而出现在（2.27）中。可以将解释为与参数（3.6）的变化相关的化学势，对于固定的变形参数；对于也是如此，其中允许变化。注意，这种表示法表明和类似于体中的热力学体积和压力[324]；然而，它们仅被视为我们分析中不同参数组合的定义。数据可用性声明
支持本研究发现的数据可以从相应作者处获得，只需提出合理请求。
