确定具有非正弦波形电路中基本源电流的方法

《IEEE Access》：Method of Determining the Essential Source Current in Electrical Circuits With Non-Sinusoidal Waveforms

　　摘要：本文提出了一种方法，用于确定具有周期性非正弦电压和电流波形的单相线性交流电路中的基本源电流。源在初级电路中的瞬时功率表示为使用傅里叶级数确定的电压和电流的乘积。在时间上移动源电压和电流波形并将其分解为偶数和奇数分量后，源的有功功率被分解出来。区分了基本源电流和有害源电流，以及与这些电流相关的有功功率，即基本源有功功率和有害源有功功率。基本源电流确保将基本有功功率传递给负载。这种功率在负载中不可逆地转换为另一种形式的功率。源电流的其余分量是有害分量，会恶化源的工作条件，应从源电流中消除。为了消除在负载中转化为热量的有害源有功功率，需要向补偿器提供有功功率。推导出用于确定补偿后源、补偿器和负载的电流和有功功率的公式。研究发现，补偿后源的工作条件得到了改善。文中给出了计算基本源电流和补偿器电流以及相关量的示例。CCBY - IEEE 并非该材料的版权所有者。请通过 https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 遵循说明以获取全文文章和 API 文档中的规定。

第一部分 引言
为了改善具有周期性非正弦电压和电流波形的电路中源的工作条件，消除源电流中的不希望存在的成分是许多出版物的研究主题 [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31]。这些出版物可以分为两大类。其中一类与保守功率理论（CPT）[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [24], [32], [33] 相关，该理论基于 C. I. Budeanu 对功率的定义。在单相交流电路中，有功功率的值由以下关系描述：
$$P=\sum \nolimits _{n=1}^{\infty }{V_{n}I_{n}\cos \varphi _{n}} \tag {1}$$
其中：$V_n$ 和 $I_n$ 分别是电压和电流的第 n 次谐波的有效值，$\varphi_n$ 是电压和电流的第 n 次谐波之间的相位差。1927 年，Budeanu 提出了无功功率 $Q_B$ 和失真功率 $D$ 的定义：
$$Q_B=\sum \nolimits _{n=1}^{\infty }{V_{n}I_{n}\sin \varphi _{n}} \tag {2}$$
$$D=\sqrt {S^{2}-P^{2}-Q_{B}^{2} \tag {3}$$
$$S=VI=\sqrt {\sum \nolimits _{n=1}^{\infty } V_{n}^{2} }\sqrt { \sum \nolimits _{n=1}^{\infty } I_{n}^{2}} \tag {4}$$
其中：$S$ 是等于电压和电流有效值乘积的视在功率。Budeanu 的功率分解的一个显著缺点是，无功功率 $Q_B$ 和失真功率 $D$ 都无法赋予任何物理解释 [25], [34]。

第二类出版物与 L. Czarnecki 的电流物理分量理论（CPC）[10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [35], [36], [37], [38] 相关，其基础是根据 S. Fryze 的方法对源电流进行分解。1931 年，Fryze 提出将负载电流 $i(t)$（由具有周期性波形和有效值 $V$ 的电压 $v(t)$ 供电）分解为两个分量：有功分量 $i_a(t)=\frac{Pv(t)}{V^2}=Gv(t)$，其中 $P$ 是负载的有功功率，$G$ 是具有功率 $P$ 的负载等效电导；非有功分量 $i_b(t)=i(t)-i_a(t)$。根据 Fryze 的功率方程为：
$$S^{2}=P^{2}+Q_F^{2} \tag {5}$$
Fryze 的非有功功率 $Q_F$ 没有物理解释。非有功功率 $Q_F$ 的定义不能用于确定负载的类型 [25], [34]。

原则上，这两类出版物都忽略了电源电压谐波的相位对源瞬时功率分解各分量的影响（表 1）。即使是最近发表的关于功率定义的文章 [39] 也忽略了由于电源电压高次谐波的初始相位影响而产生的源有功功率分解。只有在少数关于计量学的文章 [25], [34], [40] 中，基于 CPT 的功率分解，才关注了电压谐波的相位对电路中能量过程的影响。在那里提出了瞬时功率分解的概念，“目的是识别能够全面描述功率特性的新量” [34]。新的功率量是基于瞬时功率的分量定义的，或者更确切地说，是基于选定组瞬时功率分量的有效值平均值定义的。通过这种方式间接考虑了初始相位对新功率量分解各分量的影响。上述出版物 [25], [34], [40] 关注电源电压谐波的初始相位对电路中能量过程的影响是一个基本且有价值的优势。然而，以下几点值得怀疑：使用瞬时功率的有效值 $Prms$ 作为定义新功率量的基础，导致了对瞬时功率分量的高程度处理；定义功率因数时忽略了电压和电流有效值的乘积；忽略了电源电压谐波的初始相位对源有功功率的影响。

表 1 参考文献的特征
根据文章的目标，我们的目标是：
- 证明只有我们称之为“基本电流”的“部分”源有功电流需要传递给负载，以提供所谓的“基本有功功率”；基本有功功率的特点是它在负载中不可逆地转换为另一种形式的功率。
- 证明源电流中除了基本源电流之外的其他分量会恶化源的工作条件，应作为有害分量从源电流中消除。
- 证明在具有周期性非正弦电压和电流波形的电路中，源有功功率的分解取决于该电路电源电压谐波的初始相位。

本文以我们认为原创和全面的方式（在我们感兴趣的有功功率范围内）考虑了电源电压谐波的初始相位对电路中能量过程的影响。在我们所知的所有出版物中，无论它们与哪种功率理论相关，源有功电流都被视为一个不可分割的整体（表 1）。我们的工作表明情况并非如此。我们的原创概念是将有功电流分解为两个分量，本文中称为基本源有功电流和有害源有功电流。在本文中，源有功电流被假设为确保从源向负载传递有功电流的分量之和。其余的源电流分量是非有功分量。

我们知道的讨论用于改善源或负载工作条件的补偿方法的出版物（无论是否包含在参考文献中）都没有考虑对有功电流分量的补偿（表 1）。在本文中，我们展示了如何使用我们的概念在假设负载工作条件不变的情况下改善源的工作条件。改善负载工作条件超出了本文的范围。

文章的结构如下：第二章介绍了具有周期性非正弦电压和电流波形的单相线性交流电路中源瞬时功率的分量。第三章展示了在未应用补偿之前的初级电路中源有功功率的分解。第四章确定了基本源电流，第五章确定了补偿后的电路中的电流和功率。第六章讨论了源电流的功率因数和谐波失真因数。第七章使用本文提出的方法给出了计算基本源电流和补偿器电流以及相关量的示例。文章最后提出了结论。

第二部分 初级电路中源瞬时功率的分量
周期性非正弦源电压 $v_0(t)$ 可以用傅里叶级数表示为正弦或余弦函数之和，其中第一次谐波的有效值占主导地位。假设：
$$v_0(t)=\sqrt{2} \sum \nolimits _{m=1}^{\infty }{V_m}\sin(m\omega t+\psi_m) \tag {6}$$
其中：$V_m$ 是第 m 次电压谐波的有效值，$\omega=2\pi/T$ 是第一次电压谐波的角频率，$T$ 是第一次谐波的周期，$\psi_m$ 是第 m 次电压谐波的初始相位。在线性负载由串联电阻 $R$ 和电感 $L$ 组成的情况下（图 1a），在这个由电压 $v_0(t)$ 供电的初级基本电路中，电流波形为：
$$i_0(t)=\sqrt{2} \sum \nolimits _{n=1}^{\infty }{I_n}\sin(n\omega t+\psi_n-\varphi_n) \tag {7}$$
其中：$I_n$ 是第 n 次电流谐波的有效值，
$$\tan\varphi_n=\frac{V_n}{R^2+(n\omega L)}$$
$$I_n=\frac{V_n}{\sqrt{R^2+(n\omega L)^2}, \cos \varphi_n=\frac{R}{\sqrt{R^2+(n\omega L)^2}, \tan \varphi_n=\frac{n\omega L}{R}=n\tan \varphi_1 \tag {8}, \tag {9}, \tag {10}$$
$\phi_n$ 是电压（6）和电流（7）的第 n 次谐波之间的相位差。在采用的简化假设下，该电路中第 n 次电流谐波的初始相位由第 n 次电压谐波的初始相位和电路元件的参数唯一确定。图1. a) 原始电路；b) 补偿后的电路（K-补偿器）。
原始电路中电源的瞬时功率 p0(t) 是根据电压 v0(t) (6) 和电流 i0(t) (7) 的乘积来确定的：
p0(t) = v0(t) * i0(t) = ∑∞m=1 Vm * sin(mωt + ψm) / (2√) + ∑∞n=1 In * sin(nωt + ψn ? φn) / (2√)。(11)
经过变换后得到：
p0(t) = ∑∞m=1 ∑∞n=1 Vm * In * [cos((m ? n)ωt + ψm ? ψn) ? cos((m + n)ωt + ψm + ψn ? φn)]。(12)
瞬时功率 p0(t) 像任何函数一样，可以唯一地分解为偶数分量 p0p(t) 和奇数分量 p0n(t)：
p0p(t) + p0n(t) = ∑∞m=1 ∑∞n=1 Vm * In * [cos((m ? n)ωt + ψm ? ψn) ? cos((m + n)ωt + ψm + ψn)] = ∑∞m=1 ∑∞n=1 Vm * In * [sin((m ? n)ωt + ψm ? ψn) ? sin((m + n)ωt + ψm + ψn)]。(13)
根据瞬时功率 (12)、(13) 和 (14) 计算的有功功率 P0、P0p 和 P0n 分别为：
P0 = 1/T * ∫T0 p0(t) dt = ∑∞n=1 Vn * In * cos(φn)；P0p = 1/T * ∫T0 p0p(t) dt = 0；P0n = 0。(15)
只有电源瞬时功率的偶数分量 p0p(t) 能确保将有功功率 P0 从电源传递到负载，而奇数分量 p0n(t) 可以从电源瞬时功率 p0(t) 中消除。然而，使用公式 (14) 消除这个分量并不简单。为了方便处理电源瞬时功率的奇数分量 p0n(t)，文章中提出了另一种确定其分量的方法。
电源瞬时功率 p0(t) (12) 及其偶数分量 p0p(t) (13) 和奇数分量 p0n(t) (14) 也可以表示为电压 (6) 和电流 (7) 的偶数分量和奇数分量的乘积之和：
p0(t) = v0(t) * i0(t) = [v0p(t) + v0n(t)] * [i0p(t) + i0n(t)] = p0p(t) + p0n(t)。(18)
考虑到两个偶函数或两个奇函数的乘积是偶函数，而一个偶函数和一个奇函数的乘积是奇函数，我们得到：
p0p(t) * p0n(t) = v0p(t) * i0p(t) + v0n(t) * i0n(t) = v0p(t) * i0n(t) + v0n(t) * i0p(t)。(19)
根据电源瞬时功率分解的唯一性，对应于公式 (19) 和 (20) 的有功功率 (16) 和 (17) 与公式 (13) 和 (14) 定义的电源功率分量是相同的，但公式 (19) 和 (20) 的形式更便于实现电压和电流分量的补偿。用于消除这些分量的电力电子设备可以作为电流或电压源。

第三节：原始电路中电源有功功率的分解
确定补偿后电源电流和补偿器电流的方法基础是分解原始电路中的电源有功功率。
根据电源电压的形式，可以区分两种情况来确定非正弦波形电路中补偿后电源电流和补偿器电流的波形：特殊情况和一般情况。
特殊情况是指周期性非正弦电源电压仅是偶函数或仅是奇函数，这意味着傅里叶级数中各谐波的初始相位等于零 (ψn=0) [31]。假设电源电压 v0(t) (6) 是奇函数（即 v0(t) = v0n(t)），则电压的偶数分量 v0p(t) = 0，公式 (19) 和 (20) 简化。要消除电源瞬时功率的奇数分量 p0n(t)，只需补偿电源电流的偶数分量 i0p(t)。补偿后的电源电流等于电源电流的奇数分量 i0n(t)。当电源电压是偶函数时，情况类似。
在一般情况下，当电源电压是偶函数和奇函数之和时，要消除电源瞬时功率的奇数分量 p0n(t) (20)，需要补偿电压的偶数分量和电流的偶数分量或电压的奇数分量和电流的奇数分量。然而，补偿这些分量中的任何一个也会影响电源瞬时功率的偶数分量 p0p(t) (19)，从而影响有功功率向负载的传输。
为了确定这种情况下所需的电源电流波形，采用了对电源电压波形进行时间移位的方法，使得该电压的第一谐波的初始相位为零。由于电路的线性，电流波形也会随之时间移位。对电源电压波形 v0(t) (6) 和电源电流波形 i0(t) (7) 同一时间间隔（角度）的移位不会影响基于瞬时电源功率 p0(t) (12) 计算出的电源有功功率。通过时间移位使电压的第一谐波的初始相位为零，可以识别出对第一（主导）谐波有贡献的电源电压、电流和有功功率的分量，以及仅依赖于电源电压、电流和有功功率的高次谐波的分量。
时间移位后的电源电压波形 v0(t) (6) 和电源电流波形 i0(t) (7) 表示为：
v(t) * i(t) = ∑∞n=1 √2 Vn * sin(nωt + ψn ? nψ1)；
i(t) = ∑∞n=1 √2 In * sin(nωt + ψn ? nψ1 ? φn)。(21)
定义时间移位后电路状态的量不再带有上标 “0”。
电源电压 v(t) 和电源电流 i(t) 的偶数分量 vp(t) 和 ip(t) 以及奇数分量 vn(t) 和 in(t) 分别为：
vn(t) = vp(t) * in(t) = ∑∞n=1 √2 Vn * sin(nωt) * cos(ψn ? nψ1)；
in(t) = vp(t) * ip(t) = ∑∞n=1 √2 Vn * cos(nωt) * sin(ψn ? nψ1) = ∑∞n=1 √2 In * [cos(φn * cos(ψn ? nψ1) + sin(φn * sin(ψn ? nψ1)]。(23)
源电流 i(t) 的奇数分量 in(t) (25) 和偶数分量 ip(t) (26) 可以表示为两个分量的和：
in(t) = in1(t) + in2(t)。(27)
其中：
in1(t) = ∑∞n=1 √2 In * sin(nωt) * cos(φn ? nψ1)；
ip1(t) = ∑∞n=1 √2 In * sin(nωt) * sin(ψn ? nψ1)；
ip2(t) = ∑∞n=1 √2 In * cos(φn * sin(ψn ? nψ1)。(28)
源电流在原始电路中的有功功率分量为：
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 = 1/T * ∫T0 vn(t) * in1(t) dt = ∑∞n=1 Vn * In * cos(φn * cos(2ψn ? nψ1)；
P4 = 1/T * ∑∞n=2 Vn * In * sin(φn * sin(2ψn ? nψ1) = 0；
P5 = 0；
P6 = 0；
P7 = 0；
P8 = 0。(33)
电源的有功功率为：
P = ∑8k=1 Pk = P1 + P5 = ∑∞n=1 Vn * In * cos(φn * cos(2ψn ? nψ1) + ∑∞n=2 Vn * In * cos(φn * sin(2ψn ? nψ1)。(41)
在原始电路中，电源有功功率分量 P2 + P3 + P4 + P6 + P7 + P8 的总和为零。只有有功功率分量 P1 和 P5（即电源电压的奇数分量 vn(t) (23) 与电源电流的分量 in1(t) (29) 的乘积以及电源电压的偶数分量 vp(t) (24) 与电源电流的分量 ip1(t) (31) 的乘积的平均值）决定了电源的有功功率 P (41)。只有电源电压 vn(t) 和 vp(t) 的谐波与相应的电源电流分量 in1(t) 和 ip1(t) 的谐波成正比。在原始电路中，这两个电源电流分量确保了有功功率 P 从电源传递到负载，其中这部分功率可以转化为热能或其他形式的能量。这些电流的总和即为电源的有功电流 ia(t)：
ia(t) = in1(t) + ip1(t)。(42)

第四节：必要的电源电流
为了区分确保有功功率传递到负载所必需的电源电流分量，确定了电源电流分量 in1(t) 和 ip1(t) 之间的关系，以及电源有功功率分量 P1 和 P5 之间的关系。还确定了电源电压第一谐波的最小有效值 V1min，在该值下有功功率分量 P1 (33) 等于有功功率分量 P5 (37)。研究发现，1(t) 和 ip1(t) 中的源电流分量是正交的，因为：∫T0in1(t)ip1(t)dt=0。（43）然后满足以下关系：∫T0[in1(t)+ip1(t)]2dt=∫T0i2n1dt+∫T0i2p1dt。（44）关系（44）意味着消除其中一个源电流分量不会影响另一个分量的值。为了负载的正常运行，我们关注的是能够提供更大有功功率的分量。根据（33）和（37），有功功率分量 P1 和 P5 之间的差值为：P1?P5=∑∞n=1VnIncosφncos2(ψn?nψ1)?∑∞n=2VnIncosφnsin2(ψn?nψ1)=V1I1cosφ1+∑∞n=2VnIncosφncos2(ψn?nψ1)?∑∞n=2VnIncosφnsin2(ψn?nψ1)。（45）在电阻-电感电路中（cosφn>0），公式（45）最后部分的求和是非负的：∑∞n=2VnIncosφncos2(ψn?nψ1)≥0。（46）当满足以下条件时，源的有功功率分量 P1（33）的值大于分量 P5（37）的值：P1?P5=V1I1cosφ1?∑∞n=2VnIncosφn>0。（47）不等式（47）表示在主电路中，源的第一项有功功率大于电压和电流的高次谐波的有功功率之和。根据（47），可以确定电压第一谐波的有效值 V1min，使得分量 P1 的有功功率等于分量 P5 的有功功率：V1min=∑∞n=2VnIncosφnI1cosφ1。（48）如果电源电压第一谐波的有效值（6）大于 V1min，则只有源的有功功率分量 P1 能够向负载提供有功功率，这种功率可以根据负载的类型转换为热能（例如，RL 负载）或其他形式的能量（例如，机电转换器）。因此，这个分量在主电路和补偿电路中是必要的，以确保负载的正确运行，我们将其称为源的基本有功功率 Pe=P1（33）。Pe=P1=∑∞n=1VnIncosφncos2(ψn?nψ1)=V1I1cosφ1+∑∞n=2VnIncosφncos2(ψn?nψ1）。（49）源的基本有功功率 Pe 是电压和电流第一谐波及更高谐波的有功功率之和（n≥1），其值受电源电压谐波的初始相位影响。只有源电流分量 in1(t)=ie(t) 是源有功电流 ia(t)（42）的基本组成部分，它确保了源的基本有功功率 Pe 传递到负载，并且在主电路和补偿电路中应该具有相同的形式。基本源电流等于：ie(t)=in1(t)=∑∞n=12–√Insin(nωt)cosφncos(ψn?nψ1)=∑∞n=12–√Iensin(nωt）。（50）其中：Ien=Incosφncos(ψn?nψ1）。（51）源的有功功率分量 P5（37）是基于源电压的偶数分量 vp(t）（24）和源电流分量 ip1(t）（31）的乘积确定的。源电流分量 ip1(t) 与基本源电流 ie(t)（43）正交。这个分量增加了源电流的有效值和源的视在功率，视在功率定义为源电压和源电流的有效值的乘积。在源的基本有功功率 Pe（49）相同的值下，视在功率的增加会导致源的工作条件恶化，因为会降低功率因数。因此，我们将分量 ip1(t) 称为源有功电流的有害分量，其形式为：ip1(t)=∑∞n=22–√Incos(nωt)cosφnsin(ψn?nψ1)=∑∞n=22–√Ip1ncos(nωt）。（52）其中：Ip1n=Incosφnsin(ψn?nψ1）。（53）由于这个电流与有功功率分量 P5 之间的关系，我们将这种功率称为源的有害有功功率 Pd=P5（37）：Pd=1T∫T0vp(t)ip1(t)dt=∑∞n=2VnIncosφnsin2(ψn?nψ1）。（54）有害的源有功功率仅来自电压和电流的高次谐波，其值也受电源电压谐波的初始相位影响。有害有功功率仅在负载中转换为热能。这种功率会恶化源的工作条件，应该通过补偿有害源电流 ip1(t) 来消除它。在主电路中源电压谐波的初始相位为零的特殊情况下，有害源电流 ip1(t) 和源的有害有功功率 Pd 的值为零，源的有功功率 P（41）等于基本有功功率 Pe（49）。在一般情况下，当源电压谐波的初始相位不为零时，主电路中的源有功功率是基本有功功率 Pe 和有害有功功率 Pd 之和。对于电阻-电感负载，主电路中的基本和有害源有功功率都会在负载电阻中转换为热能。第五节：补偿电路中的电流和功率通过使用与源并联连接的电流源形式的补偿器（图 1b），可以消除电源电流的特定分量，从而改善源的工作条件。为了确定补偿器电流，使用了基本源电流 ie(t) 的形式（50）。如前所述，这个电流确保了基本有功功率 Pe（49）传递到主电路中的负载。补偿后，电路中也应该向负载提供相同的基本有功功率。主电路中的源电流 i(t）（22）是分量 in1(t）（29）、in2(t）（30）、ip1(t）（31）和 ip2(t）（32）的总和。由于源电流分量 in1(t) 等于基本源电流 ie(t）（50），因此：i(t)=ie(t)+in2(t)+ip1(t)+ip2(t）。（55）基本源电流 ie(t) 与源电流分量 ip1(t）（43）以及 ip2(t）正交，因为：∫T0ie(t)ip2(t)dt=0。（56）此外，源电流分量 ie(t)（50）和 in2(t）（30）作为时间变量和初始相位差 Θn=ψn – nψ1 的函数也是正交的，因为：∫2π0∫T0in1(t,Θn)in2(t,Θn)dtdΘn=0。（57）然后满足等式：∫2π0∫T0[in1(t,Θn)+in2(t,Θn)]2dtdΘn=∫2π0∫T0i2n1(t,Θn)dtdΘn+∫2π0∫T0i2n2(t,Θn)dtdΘn。（58）因此，源电流分量 ip1(t)、ip2(t) 和 in2(t) 与基本源电流 ie(t) 正交。消除这些分量不会影响基本源电流，但会恶化源的工作条件——它们是源电流的有害分量。这些有害电流的总和是有害源电流 id(t)，等于：id(t)=in2(t)+ip1(t)+ip2(t）。（59）补偿器电流是源电流与基本源电流 ie(t) 之间的差值，等于源电流的有害分量：ik(t)=i(t)?ie(t）。（60）使用（30）、（31）和（32），补偿器电流的形式为：ik(t)=∑∞n=22–√Insin(nωt)sinφnsin(ψn?nψ1)+∑∞n=12–√Incos(nωt)cosφnsin(ψn?nψ1)?∑∞n=12–√Incos(nωt)sinφncos(ψn?nψ1）。（61）基于补偿器的瞬时功率计算的补偿器有功功率 Pk 等于电源电压 v(t）（21）和补偿器电流 ik(t）（61）的乘积，考虑到（33）到（40）之间的关系，其形式为：Pk=1T∫T0v(t)ik(t)dt=1T∫T0[vn(t)+vp(t)][ip1(t)+ip2(t)+in2(t)]dt=P2+P3+P4+P5+P6+P8=P5=∑∞n=2VnIncosφnsin2(ψn?nψ1）。（62）提供给补偿器的有功功率等于有害有功功率 Pd（54），并且不超过来自电压和电流高次谐波的有功功率之和。在极限情况下，当电压谐波的初始相位为零时，这个功率等于零。在补偿电路中，即消除了电流 in2(t)、ip1(t) 和 ip2(t) 之后，源电流等于基本电流 ie(t）（50）。然后源的瞬时功率 p(t) 的形式为：p(t)=[vn(t)+vp(t)]ie(t）。（63）根据瞬时功率（62）确定的源有功功率是积分（33）和（39）的总和，等于主电路中的基本有功功率 Pe（49）。根据公式（49），在补偿后的电路中，来自电压和电流第一次谐波的电源的有效有功功率与初级电路（15）中的相同，而来自电压和电流更高谐波的有功功率不会大于初级电路中相应谐波的有功功率。在补偿了电源电流中的有害成分in2(t)、ip1(t)和ip2(t)之后，负载电流是基本电源电流ie(t)（50）和补偿器电流ik(t)（61）的总和，并且等于初级电路中的负载电流i(t)（22）。同样，补偿后的负载有功功率是基本有功功率Pe（49）和补偿器有功功率Pk（62）的总和，其值与补偿前相同，即：
$$P = Pe + Pk = \sum_{n=1}^{\infty} V_n I_n \cos \varphi_n.$$（64）
因此，补偿后负载的有功功率、视在功率以及电流的功率因数和总谐波失真（THD）因子与初级电路中的相同。

第六节：电源电流的功率因数和THD因子
初级电路中的电源功率因数为λ0，补偿电路中的功率因数为λe，它们之间的关系为：
$$\lambda_0 = \frac{P_0}{V_0 I_0} = \lambda_e = \frac{P_e}{V_0 I_e}.$$（65）（66）
其中：$P_0$和$P_e$分别是初级电路（15）和补偿电路（49）中的有功功率；$V_0$是电源电压的有效值，$V_0 = \left(\sum_{n=1}^{\infty} V_{2n}\right)^{\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \int_{T_0}^{T} v_0(t)^2 \, dt$；$I_0$和$I_e$分别是初级电路和补偿电路中电源电流的有效值。根据（7）和（50）以及负载参数，初级电路中的电源电流有效值$I_0$和补偿电路中的电源电流有效值$I_e$可以表示为：
$$I_0(t) = \sqrt{2 - \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} V_n R_n^2 + (n\omega L)^2} \sin(n\omega t + \psi_n - \phi_n} = \sqrt{2 - \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} V_n R_n^2 (1 + \frac{n^2}{\tan^2 \phi_1}) \cos(\phi_n - n\phi_1) \sin(n\omega t)} = \sum_{n=1}^{\infty} V_n R_n^2 \left(1 + \frac{n^2}{\tan^2 \phi_1}\right)^2 \cos^2(\psi_n - n\phi_1)}.$$（67）（68）（69）（70）
$$i_0(t) = \sqrt{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{V_n}{\sqrt{R_n^2 + (n\omega L)^2}} \sin(n\omega t + \psi_n - \phi_n),$$
$$i_e(t) = \sqrt{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{V_n}{R_n \left(1 + \frac{n^2}{\tan^2 \phi_1}\right)} \cos(\phi_n - n\phi_1) \sin(n\omega t),$$
$$I_0 = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{V_n^2}{R_n^2} \frac{1}{1 + \frac{n^2}{\tan^2 \phi_1}},$$
$$I_e = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{V_n^2}{R_n^2 \left(\frac{1}{1 + \frac{n^2}{\tan^2 \phi_1}\right)^2}} \cos^2(\psi_n - n\phi_1)}.$$（70）
假设可以忽略有害有功功率$P_d$（54）相对于基本有功功率$P_e$（49）的影响，那么有：
$$P = P_e + P_k = \sum_{n=1}^{\infty} V_n I_n \cos \varphi_n.$$（64）
因此，补偿后负载的有功功率、视在功率以及电流的功率因数和总谐波失真（THD）因子与初级电路中的相同。

第七节：计算示例
一个频率为$f=50$ Hz的周期性非正弦电压施加在一个由串联电阻$R=10 \Omega$和电感$L=31.85 \muH$组成的负载上（图1a），其电压波形为：
$$v_0(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{6}) + 20\sqrt{2} \sin(3\omega t + \frac{\pi}{4}) + 10\sqrt{2} \sin(5\omega t - \pi\frac{3}).$$（75）
在电源电压$v_0(t)$下，初级电路中的电源电流和负载电流波形如下：
$$i_0(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t + \frac{\pi}{4} - 1.249) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t - \pi\frac{3} - 1.373).$$（76）
电压的有效值$V_{1\min}$为：
$$V_{1\min} = 20 \cdot 0.63 \cdot \cos(1.249) + 10 \cdot 0.196 \cdot \cos(1.373) = 0.874 \, \text{V}.$$（77）
因此，本文描述的方法可以用于实际应用。
电源的有功功率等于负载的有功功率，即：
$$P = \sum_{n=1}^{\infty} V_n I_n \cos \varphi_n = 504.37 \, \text{W}.$$（78）
将电压波形时间移动，使得第一次谐波的初始相位为零后，可以表示为：
$$v(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 20\sqrt{2} \sin(3\omega t - \pi\frac{4}) + 10\sqrt{2} \sin(5\omega t - 7\pi\frac{6}).$$（79）
奇次分量$v_n(t)$和偶次分量$v_p(t)$分别为：
$$v_n(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 14.14\sqrt{2} \sin(3\omega t) - 8.68\sqrt{2} \sin(5\omega t) = -14.14\sqrt{2} \cos(3\omega t) + 5\sqrt{2} \cos(5\omega t).$$（80）（81）
电压波形$v_0(t)$（75）、$v(t)$（79）和电压的第一次谐波$v_1(t)$（79）如图2所示。图2显示了初级电路中的电源电压$v_0(t)$（红色）、时间移动后的电源电压$v(t)$（蓝色）以及时间移动后的电压第一次谐波$v_1(t)$（绿色）。
在电源电压$v(t)$下，电源电流和负载电流的波形由以下关系描述：
$$i(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t - \pi\frac{4} - 1.249) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t - 7\pi\frac{3} - 1.373).$$（82）
根据（25）和（26），电流$i(t)$的奇次和偶次分量相等：
$$i_n(t) = i_p(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t) \left[ \cos(1.249) \cos(-\frac{\pi}{4} + \sin(-\pi}{4}) \right] + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t) \left[ \cos(1.373) \cos(-7\pi\frac{6} + \sin(-7\pi}{6}) \right] = 4.999.$$（83）
（84）
根据（71）和（74），消除电源电流中的有害成分可以提高电源的工作条件，因为功率因数值增加，电源电流的总谐波失真因子降低。

计算示例
一个频率为$f=50 \, \text{Hz}$的周期性非正弦电压施加在一个由串联电阻$R=10 \Omega$和电感$L=31.85 \muH$组成的负载上，其电压波形为：
$$v_0(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 20\sqrt{2} \sin(3\omega t - \pi\frac{4}) + 10\sqrt{2} \sin(5\omega t - \pi\frac{3}).$$（75）
在电源电压$v_0(t)$下，初级电路中的电源电流和负载电流波形如下：
$$i_0(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t + \frac{\pi}{4} - 1.249) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t - \pi\frac{3} - 1.373).$$（76）
电压的有效值$V_{1\min}$为：
$$V_{1\min} = 20 \cdot 0.63 \cdot \cos(1.249) + 10 \cdot 0.196 \cdot \cos(1.373) = 0.874 \, \text{V}.$$（77）
因此，本文描述的方法可以用于实际应用。
电源的有功功率等于负载的有功功率，即：
$$P = \sum_{n=1}^{\infty} V_n I_n \cos \varphi_n = 504.37 \, \text{W}.$$（78）
将电压波形时间移动，使得第一次谐波的初始相位为零后，可以表示为：
$$v(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 20\sqrt{2} \sin(3\omega t - \pi\frac{4}) + 10\sqrt{2} \sin(5\omega t - 7\pi\frac{6}).$$（79）
奇次分量$v_n(t)$和偶次分量$v_p(t)$分别为：
$$v_n(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 14.14\sqrt{2} \sin(3\omega t) - 8.68\sqrt{2} \sin(5\omega t) = -14.14\sqrt{2} \cos(3\omega t) + 5\sqrt{2} \cos(5\omega t).$$（80）（81）
电压波形$v_0(t)$（75）、$v(t)$（79）和电压的第一次谐波$v_1(t)$（79）如图2所示。
在电源电压$v(t)$下，电源电流和负载电流的波形由以下关系描述：
$$i(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t - \pi\frac{4} - 1.249) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t - 7\pi\frac{3} - 1.373).$$（82）
根据（25）和（26），电流$i(t)$的奇次和偶次分量相等：
$$i_n(t) = i_p(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t) \left[ \cos(1.249) \cos(-\frac{\pi}{4} + \sin(-\pi}{4}) \right] + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t) \left[ \cos(1.373) \cos(-7\pi\frac{6} + \sin(-7\pi}{6}) \right] = 4.999.$$（83）
（84）
根据（71）和（74），消除电源电流中的有害成分可以改善电源的工作条件，因为功率因数值增加，电源电流的总谐波失真因子降低。

第八节：计算示例
一个频率为$f=50 \, \text{Hz}$的周期性非正弦电压施加在一个由串联电阻$R=10 \Omega$和电感$L=31.85 \muH$组成的负载上，其电压波形为：
$$v_0(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 20\sqrt{2} \sin(3\omega t + \frac{\pi}{4}) + 10\sqrt{2} \sin(5\omega t - \pi\frac{3}).$$（75）
在电源电压$v_0(t)$下，初级电路中的电源电流和负载电流波形如下：
$$i_0(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t + \frac{\pi}{4} - 1.249) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t - \pi\frac{3} - 1.373).$$（76）
电压的有效值$V_{1\min}$为：
$$V_{1\min} = 20 \cdot 0.63 \cdot \cos(1.249) + 10 \cdot 0.196 \cdot \cos(1.373) = 0.874 \, \text{V}.$$（77）
因此，本文描述的方法可以用于实际应用。
电源的有功功率等于负载的有功功率，即：
$$P = \sum_{n=1}^{\infty} V_n I_n \cos \varphi_n = 504.37 \, \text{W}.$$（78）
将电压波形时间移动，使得第一次谐波的初始相位为零后，可以表示为：
$$v(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 20\sqrt{2} \sin(3\omega t - \pi\frac{4}) + 10\sqrt{2} \sin(5\omega t - 7\pi\frac{6}).$$（79）
奇次分量$v_n(t)$和偶次分量$v_p(t)$分别为：
$$v_n(t) = 100\sqrt{2} \sin(\omega t) + 14.14\sqrt{2} \sin(3\omega t) - 8.68\sqrt{2} \sin(5\omega t) = -14.14\sqrt{2} \cos(3\omega t) + 5\sqrt{2} \cos(5\omega t).$$（80）（81）
电压波形$v_0(t)$（75）、$v(t)$（79）和电压的第一次谐波$v_1(t)$（79）如图2所示。
在电源电压$v(t)$下，电源电流和负载电流的波形由以下关系描述：
$$i(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t - \pi\frac{4} - 1.249) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t - 7\pi\frac{3} - 1.373).$$（82）
根据（25）和（26），电流$i(t)$的奇次和偶次分量相等：
$$i_n(t) = i_p(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t) \left[ \cos(1.249) \cos(-\frac{\pi}{4} + \sin(-\pi}{4}) \right] + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t) \left[ \cos(1.373) \cos(-7\pi\frac{6} + \sin(-7\pi}{6}) \right] = 4.999.$$（83）
（84）
（85）
$$i_n(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t) \left[ \cos(1.249) \cos(-\frac{\pi}{4} \right) \right] + \sin(\frac{1.249) \sin(-\frac{\pi}{4}) \right] + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t) \left[ \cos(1.373) \sin(-7\pi\frac{6} \right) \right] = 4.999.$$（85）
（86）
$$i_e(t) = 7.07\sqrt{2} \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{4}) + 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t) \cos(\frac{1.249} \cos(-\frac{\pi}{4}) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t) \cos(\frac{1.373} \cos(-7\pi\frac{6} \right) = 4.999.$$（85）
（86）
$$i_{n2}(t) = 0.63\sqrt{2} \sin(3\omega t) \sin(\frac{1.249} \sin(-\frac{\pi}{4}) + 0.196\sqrt{2} \sin(5\omega t) \sin(\frac{1.373} \sin(-\frac{7\pi}{6}) = -0.423.$$（86）
应该从电源电流中消除的补偿器电流$i_k(t)$（61）是电流$i_n(t)$（80）和$i_p(t)$（81）的总和，即：
$$i_k(t) = -0.598\sin(3\omega t) + 0.136\sin(5\omega t) - 7.07\cos(3\omega t) - 0.798\cos(3\omega t) + 0.263\cos(5\omega t).$$（87）
图3显示了初级电路中的电流波形$i_0(t)$（76）和时间移动后的电流$i(t)$（82），以及补偿电路中的电源电流波形$i_e(t)$（85）和补偿器电流波形$i_k(t)$（87）。图3显示了初级电路中的电流$i_0(t)$（红色）、时间移动后的电流$i(t)$（蓝色）、补偿电路中的电源电流$i_e(t)$（绿色）和补偿器电流$i_k(t)$（粉色）。
根据图3所示的波形，可以得出在任何时刻，电流$i_k(t)$和$i_e(t)$的总和等于电流$i(t)$。
在补偿电路中，电源的有效有功功率$P_e$（49）为：
$$P_e = 707\cos(\frac{\pi}{4}) + 12.6\cos(1.249) \cos^2(-\frac{\pi}{4}) + 1.96\cos^2(-7\pi\frac{6}) = 502.205 \, \text{W}.$$（88）
补偿器的有功功率$P_k$（62）等于有害有功功率，即：
$$P_k = 12.6\cos(\frac{\pi}{4}) \sin^2(-\frac{\pi}{4}) + 1.96\cos^2(-7\pi\frac{6}) = 2.089 \, \text{W}.$$（89）
对于示例中给出的RL负载和电源电压参数，计算了初级电路和补偿电路中选定电压和电流的有效值和THD因子，并在表2中呈现。由于有功功率Pe（88）和Pk（89）之间的关系，补偿器功率对这些因素值的影响被忽略了。表2列出了电压和电流的有效值以及总谐波失真（THD）值。表3给出了来自电压和电流各次谐波的电源有功功率、电源的总有功功率、作为电压和电流有效值乘积计算出的电源视在功率，以及两种电源电流波形（即初级电路中的电流i0(t)和本质电流ie(t)）的电源功率因数。表2和表3中的数值比较显示，根据文章中给出的方法进行补偿后，电源的功率因数比初级电路中的功率因数高出40%以上，而补偿电路中电源电流的总谐波失真（2.89%）是初级电路中电源电流THD（9.33%）的三倍多。根据（49）和（41），补偿电路中由电压和电流的一次谐波产生的电源有功功率与初级电路中的相应有功功率相等；补偿电路中由电压和电流的更高次谐波产生的有功功率则小于初级电路中的相应有功功率（见表3）。根据（64），补偿后的负载有功功率P等于电源的有功功率Pe（49）和补偿器的有功功率Pk（62）之和，即：P=Pe+Pk=502.20+2.09=504.29 W（公式90）。补偿后的负载有功功率等于电源的有功功率以及初级电路中的负载有功功率。补偿前负载有功功率（表3中的504.37 W）与补偿后负载有功功率（公式90中的504.29 W）之间的差异是由于四舍五入误差造成的。补偿后的负载电流i(t)（图1b）是补偿器电流ik(t)和本质电源电流ie(t)（图3）之和，这些电流的波形与补偿前的负载电流相同。因此，初级电路和补偿电路中的负载有功功率、视在功率、功率因数和总谐波失真都是相同的。第八节 结论 关于本文提出的用于确定单相线性电路中电阻-电感负载在周期性非正弦电压下的本质电源电流的方法，最重要的结论如下：确定了本质电源电流ie(t)的波形（50），该波形确保了将必要的有功功率Pe（49）传递给负载。本质有功功率Pe的特点是它在负载中不可逆地转换为另一种形式的功率。电源的有功功率P（41）是本质有功功率Pe（49）和有害有功功率Pd（54）之和。有害有功功率在负载中转化为热量，应通过补偿电源电流中的有害分量ip1(t)（52）来消除。供电电压谐波v(t)（21）的初始相位影响电源有功功率P（41）的组成部分，即本质有功功率Pe（49）和有害有功功率Pd（54）。为了改善电源的工作条件，需要将等于有害有功功率Pd的有功功率Pk（62）提供给补偿器（图1b）。确定本质电源电流的方法的一个显著优势是可以通过提高功率因数（71）和降低补偿后电路中的总谐波失真系数（74）来改善电源的工作条件，相对于初级电路而言。