广义傅里叶级数：一种适用于非周期函数的扩展形式，通过N log 2(N)的方法消除了吉布斯振荡（Gibbs oscillations）现象

《Mathematics and Computers in Simulation》：Generalized Fourier Series: An N log 2 ( N ) extension for aperiodic functions that eliminates Gibbs oscillations

　　

Narsimha Reddy Rapaka | Mohamed Kamel Riahi

摘要

本文介绍了广义傅里叶级数（Generalized Fourier Series，GFS），这是一种新颖的谱方法，它将经典的傅里叶级数扩展到了非周期函数上。GFS通过将函数分解为周期性和非周期性成分，解决了诸如吉布斯现象（Gibbs phenomenon）和非周期性环境中的收敛性差等问题。周期性成分使用标准的傅里叶模式表示，并通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）高效计算。非周期性成分则采用一组低秩的自适应正弦函数，这些函数具有非谐波的复数模式，能够动态调整以捕捉域边界处的不连续性和导数跳变，同时支持振荡和指数（增长/衰减）行为。

与传统傅里叶扩展方法不同，GFS无需扩展计算域即可实现高精度，为非周期函数提供了紧凑且高效的表示方式。自适应的低秩方法在保证精度的同时，将计算开销降至最低，通常只需要为非周期性成分添加少量的额外复数模式。此外，GFS具有高分辨率能力，其自由度与周期性域中的FFT相当，并且保持了较低的计算复杂度。数值实验验证了GFS的有效性，证明了其在非周期域中准确逼近函数及其导数的能力。凭借其强大的框架和较低的计算成本，GFS在数值偏微分方程（numerical PDEs）、信号处理、机器学习和计算物理等领域具有巨大潜力，为高精度函数逼近提供了强大而高效的工具。