《Aerospace Science and Technology》：A Global Aerodynamic Optimization Design Method Based on Geometric Dimensionality Reduction and a Delaunay-Based Infill-Sampling Surrogate Model
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基于代理模型的方法在高维优化问题中面临一个关键挑战：所需样本数量随维度增加呈指数级增长。这一现象通常被称为"维度灾难"，显著降低了优化效率。为应对这一挑战，研究人员提出了两种互补策略：优化问题的降维与基于代理模型的填充采样。在降维方面，采用本征正交分解（Pro
基于代理模型的方法在高维优化问题中面临一个关键挑战：所需样本数量随维度增加呈指数级增长。这一现象通常被称为"维度灾难"，显著降低了优化效率。为应对这一挑战，研究人员提出了两种互补策略：优化问题的降维与基于代理模型的填充采样。在降维方面，采用本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition, POD）从参数化设计空间中提取主导几何模态。通过选取若干主导基函数来表示原始设计空间，实现在保持探索潜在最优设计能力的同时降低维度。在自适应采样方面，提出了一种基于Delaunay三角剖分的高效全局优化算法，记为DTEGO。其核心思想是利用Delaunay三角剖分对设计空间进行几何划分，从而生成多个近似局部凸的子空间用于代理模型构建。在此基础上，以填充准则为目标函数进行基于梯度的优化以获取新样本点。动态填充采样与局部代理模型构建降低了对大样本集的依赖，并缓解了维度灾难的影响。最终，通过整合这两种策略，建立了一套完整且高效的气动优化框架。标准基准函数和翼型优化问题的结果表明，所提算法在解的质量和优化效率方面均优于其他全局优化算法。此外，在机翼优化中也获得了良好结果，进一步证实了所提方法在实际气动设计应用中的有效性。
气动外形优化（Aerodynamic Shape Optimization, ASO）近年来发展迅速。研究人员已开发出高保真计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）仿真方法与高效的ASO框架，将先进优化算法与高性能计算相结合以实现气动设计的自动化。在这些组成部分中，优化算法在ASO中起着至关重要的作用。为实现自动化设计流程，优化算法的选择至关重要，因为它直接决定了收敛速率和CFD模拟的总计算开销。
在传统ASO设计流程中，通常采用基于梯度的优化算法和无梯度/元启发式优化算法。常用的基于梯度的算法包括拟牛顿法，即Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno算法、序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）方法以及序列最小二乘规划（Sequential Least Squares Programming, SLSQP）方法等。基于梯度的优化算法具有收敛快、解精度高的优点，但也存在一定局限性；例如，对初始样本点高度敏感，容易陷入局部最优。无梯度优化算法通常具有鲁性强和全局探索能力强的特点，代表性算法包括进化算法、粒子群优化和禁忌搜索等。然而，它们通常需要更大的计算资源且收敛较慢。如果直接采用高保真CFD模拟进行需要大量迭代的优化设计，将导致计算成本过高。
代理模型最初作为大量数值模拟的廉价近似被引入以降低计算成本，它们首先应用于结构优化，随后随着多学科设计优化的发展被扩展至气动优化。在代理模型方法的研究中，已发展了多种代理模型，包括多项式响应面模型、径向基函数、神经网络、支持向量回归、多元插值与回归、多项式混沌展开等。与这些模型相比，Kriging模型能够计算任意位置的预测函数值和预测方差。基于这一特性，Jones等人于1998年提出了期望改进最大化准则，标志着高效全局优化（Efficient Global Optimization, EGO）算法的诞生。与进化算法相比，EGO所需的昂贵函数评估次数少得多，因此受到了广泛关注。
各种单点填充采样准则被提出，包括目标函数最小准则（Minimum of the Objective Function, MSP）、最大均方根误差准则（Root Mean Square Error, RMSE）、下置信界准则（Lower Confidence Bound, LCB）、最大期望改进准则（Expected Improvement, EI）以及最大改进概率准则（Probability of Improvement, PI）等。并行填充采样是提高多目标贝叶斯优化（Multi-objective Bayesian Optimization, MOBO）效率的有效方法。采用并行填充准则的MOBO方法能够在每次迭代中确定多个填充样本，从而加速优化搜索过程。并行计算允许同时模拟多个样本，缩短整体优化时间。
复杂工程问题的优化通常依赖于高保真模拟，其高昂的计算成本推动了多保真代理模型的发展。基于代理模型的优化（Surrogate-based Optimization, SBO）的功效已在广泛的气动研究中得到验证。在工程实践中，多保真策略通常将有限的高保真数据与丰富的低保真数据相结合，以平衡预测精度与计算效率。在气动设计优化中，代理模型在降低昂贵CFD评估成本方面显示出强大潜力。近期研究表明，该领域正从静态近似向自适应和动态更新建模演进。代表性进展包括自适应局部代理构建、基于神经网络的序列采样、梯度增强贝叶斯优化、不确定性下的鲁棒代理辅助优化，以及针对机翼和串翼构型的多保真气动设计框架等。尽管取得了这些发展，许多现有方法仍依赖于具体问题，或仅强调某一方面，如局部细化、鲁棒性或保真度融合。因此，对于涉及多工况、强非线性和昂贵模拟的问题，仍需要更通用、高效的代理辅助气动优化框架。具体而言，EGO已成功应用于翼型表面修形、减阻以及包含配平约束的全局飞行器布局设计。为处理增加的几何复杂性，Liu等人通过并行填充采样策略将这些方法扩展至三维情况，如ONERA M6和DLR-F4机翼。近期研究进一步将SBO与先进计算技术相结合以满足复杂的运行需求；例如，Karali等人利用基于深度学习的代理模型进行无人机优化，在气动效率、隐身性和结构重量之间取得了精细平衡。类似地，Parekh等人通过将不确定性量化与主采样SBO技术相结合建立了自然层流翼型设计框架，在转捩延迟和减阻方面表现出优于传统确定性方法的性能。此外，Ji等人成功调和了飞翼布局气动与隐身性能之间的固矛盾。通过采用自适应采样和空间扩展策略，他们有效缓解了电磁计算中固有的高数值噪声，从而增强了多学科全局优化的可靠性。
韩忠华教授的团队对SBO进行了系统研究，提出了一种面向工程应用的多轮高效全局气动优化方法，并在宽体客机超临界机翼上验证了其性能。此外，利用EGO算法，他们在升力、升阻比、最大应力和变形约束下最小化了高亚音速运输翼身组合体的质量。最后，该团队基于Kriging模型对高效全局ASO方法进行了全面综述。
在气动优化设计领域，尽管基于代理模型的优化算法已得到广泛应用，但大多数仍依赖于经典EGO算法。然而，这类优化方法在实践中仍可能表现出若干局限性：其效率强烈依赖于代理模型预测均值和方差的准确性。当不确定性估计存在偏差或模型在局部过度拟合时，搜索容易陷入局部最优；反之，在某些情况下，该方法可能无法识别具有实际优化潜力的区域，导致优化性能不佳。很少有研究提出创新的基于代理模型的填充策略，并在实际工程优化问题中证明其有效性。对于高维气动优化问题，全局优化极易受到维度灾难的影响，显著降低优化效率。
基于类函数/形状函数变换（Class function/Shape function Transformation, CST）参数化方法，该研究生成大量几何样本并采用POD分析降低设计变量的维度。利用特征值作为几何变形贡献的度量，选取与主导特征值对应的特征向量作为设计变量，从而获得降维的几何参数化方法。在处理设计变量范围较大的气动布局优化问题时，目标函数常表现出复杂的多峰特性。这使得传统优化算法容易陷入局部最优而难以达到全局最优，从而限制了完整设计潜力的探索。因此，增强代理辅助优化算法的全局搜索能力至关重要。此外，增强全局搜索能力与提高计算效率之间存在固有矛盾。一般而言，更强的全局探索意味着需要更多的CFD模拟，这不可避免地导致优化周期延长和计算成本急剧增加。平衡计算资源消耗与全局搜索能力已成为该领域的核心问题。
为增强全局搜索能力，研究人员提出了一种基于Delaunay三角剖分的高效全局优化算法（DTEGO）。该算法的核心思想如下：首先，采用Delaunay三角剖分将设计空间划分为一系列互不重叠的单纯形。在此基础上，利用单纯形顶点处的目标函数值识别相应的近似局部凸区域。随后，利用可用样本数据构建代理模型，并采用WB2s准则作为填充优化的目标函数。通过执行局部基于梯度的优化，可以快速定位局部最优点并将其加入样本池，从而动态丰富和更新样本信息。该过程迭代进行，直到算法收敛并成功识别全局最优。该方法有效平衡了全局探索和局部开发，避免了传统优化算法容易陷入局部最优的缺陷。因此，所提出的算法在复杂高维气动优化问题中显示出强大潜力。
尽管该研究以翼型和机翼气动优化作为验证算例，但基于POD的降维策略及其与所提全局优化框架的整合并不局限于特定几何构型。它们也适用于更广泛的一类复杂工程优化问题，其特征为高维冗余设计变量和昂贵的函数评估。
基于POD的气动外形参数化方法
经典翼型参数化方法主要包括参数化截面法（PARSEC）、Hicks–Henne参数化方法、自由形式变形（Free-form Deformation, FFD）方法以及基于类函数/形状函数变换（CST）的参数化方法等。Hicks–Henne参数化方法提供较强的形状控制能力，但不适用于涉及基线翼型大变形的场合。PARSEC方法和CST方法各有特点，而POD方法通过从大量样本中提取主导模态，能够有效捕捉几何特征并实现降维。研究人员基于CST参数化生成大量几何样本，通过POD提取主导特征模态，以特征值衡量各模态对几何变形的贡献。选取贡献较大的主导模态对应的特征向量作为新的设计变量，实现设计空间维度的显著降低，同时保留描述关键几何变化的能力。
基于Delaunay三角剖分的高效全局优化算法
代理模型从有限次数的函数评估中构建，随后利用代理模型而非直接评估昂贵的目标函数来求解原始优化问题。这种基于代理的策略最初被引入以替代大规模数值模拟并降低计算成本。随着优化问题日益复杂，设计变量的维度相应增加。DTEGO算法利用Delaunay三角剖分将设计空间几何划分为多个单纯形，基于单纯形顶点信息识别近似局部凸区域，并在各区域内构建局部代理模型。WB2s准则被用作填充准则以指导新样本点的选取，该准则平衡了利用当前最优信息和探索不确定性较大区域的需求。通过局部基于梯度的优化快速定位填充点，动态更新样本集与代理模型，迭代直至收敛。
气动优化中的应用与结果分析
在该部分研究中，首先采用ONERA M6机翼验证CFD求解器的准确性。基于此验证，将基于POD的降维参数化方法与DTEGO算法相结合，建立高效的气动优化框架。该框架旨在显著降低高维设计问题的计算成本，同时保持高优化精度和收敛效率。为验证其有效性，将其应用于跨音速翼型和机翼的减阻优化。
研究结果验证与讨论
基准函数测试结果表明，DTEGO算法在解的质量和收敛效率方面均优于传统EGO算法及其他对比算法。在RAE2822翼型减阻优化中，结合POD降维的框架将设计变量维度从原始CST参数化的较高维度有效降低，优化后的翼型阻力系数显著降低，且优化效率明显提升。ONERA M6机翼优化进一步验证了该方法在三维复杂问题中的有效性，优化后的机翼在保持升力约束的同时实现了阻力减小。研究表明，POD降维策略与DTEGO算法的结合能够有效应对高维气动优化中的维度灾难问题，所建立的框架具有良好的通用性和工程应用价值。
结论
在高维优化问题中，传统全局优化算法往往容易陷入局部最优，因而可能无法识别全局最优解。为应对这一挑战，研究人员提出了一种基于Delaunay三角剖分的动态代理辅助优化方法。这种混合优化方法采用几何引导策略来平衡局部开发和全局探索。通过重新划分设计空间并在区域层面进行优化，该方法有效避免了维度灾难带来的效率下降，在保持较高全局搜索能力的同时显著降低了计算成本，为复杂气动外形优化问题提供了一种高效可靠的解决方案。
