广义Poincaré-Lyapunov方法及其在含两个幂零点的Z2-等变三次切换系统中的应用

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Generalized Poincaré-Lyapunov method and its application in Z2-equivariant cubic switching systems with two nilpotent points

　　

研究人员将适用于线性型中心系统的Poincaré-Lyapunov方法推广至切换多项式系统中的幂零中心研究，并将其应用于一类含有两个对称幂零奇点的平面Z2-等变三次切换系统。通过构造合适的扰动，得到了该类多项式系统的6个显式双中心条件。在此基础上，利用一般扰动下的Bogdanov-Takens分支理论，证明了一类Z2-等变三次切换系统在幂零双中心邻域内至少可分支产生20个小振幅极限环。这是该类三次多项式系统循环性（cyclicity）的新下界，从原有12提升至20。

该研究发表于《Bulletin des Sciences Mathématiques》，针对非光滑动力系统中切换系统的定性行为展开深入探索。近年来，非光滑动力系统在生物学、非线性振荡、机械干摩擦及电力电子等领域的广泛应用推动了相关研究的发展，其中切换系统因区域间向量场的不连续性，其中心问题与极限环分支问题比光滑系统更为复杂。已有研究在初等奇点（特征值为一对纯虚数）的中心判定与小振幅极限环下界估计方面取得进展，但在幂零奇点（Jacobian矩阵特征值为零但矩阵非零）情形下的结果十分有限，尤其是三次切换系统中，此前最优结果为12个极限环。为此，研究人员开展了对含两个对称幂零奇点的Z₂-等变三次切换系统的双中心与分支问题研究。

在技术方法上，研究人员首先推广Poincaré-Lyapunov方法，提出了适用于切换幂零系统的广义Lyapunov常数计算方法；随后，结合Z₂-对称性简化系统参数，推导双中心存在的代数条件；在此基础上，采用Bogdanov-Takens分支理论构造一般扰动，并通过伪Hopf分支引入额外极限环，验证分支数量下界。

研究结果分为以下几个部分：

Simplification of system (2) and the main results

研究人员假设系统奇点位于(±1,0)，利用对称性和奇点孤立性条件化简系统参数，得到幂零奇点的必要条件，并明确区分三阶临界点与二阶临界点的情形，为后续中心条件推导奠定基础。

The generalized Poincaré-Lyapunov method

将经典Poincaré-Lyapunov方法由线性型中心推广至幂零型中心，定义广义Lyapunov常数用于判定切换系统中幂零奇点是中心还是焦点，解决了非光滑情形下高阶临界点的判定难题。

The proof of Theorem 2.2

分别针对三阶与二阶临界点的两种情形，利用广义Lyapunov常数推导出6个显式双中心条件，确保(±1,0)同时为幂零中心。

The proof of Theorem 2.3

在6个中心条件下施加一般扰动，结合Bogdanov-Takens分支分析，证明每个幂零中心邻域可产生9个小振幅极限环，再借助对称伪Hopf分支额外获得2个，总计20个极限环。

Conclusion

研究结论表明，广义Poincaré-Lyapunov方法有效解决了Z₂-等变三次切换系统中幂零双中心的判定与分支问题，并将极限环数量下界由12提升至20，显著推进了切换系统循环性问题的研究。该成果不仅丰富了非光滑动力系统的分支理论，也为相关工程与物理模型中的复杂振荡现象分析提供了数学基础。