非线性时滞奇异初值问题的块边界值方法

《Applied Numerical Mathematics》：Block boundary value methods for nonlinear delay singular IVPs

　　

本工作旨在处理非线性时滞奇异初值问题（Initial Value Problems, IVPs）的解析性质与数值理论。研究人员研究了这些问题理论解的存在性、唯一性与连续性。随后，研究人员采用一类块边界值方法（Block Boundary Value Methods, BBVMs）对上述问题进行离散化。在若干适当假设下，研究人员详细研究了所适应方法的唯一可解性、收敛性与稳定性。若干数值实验展示了所适应方法的计算精度与效率。

## 一、研究背景与问题提出

奇异微分方程能够描述来自力学、天体物理学、生态学、化学等领域的众多自然与科学现象。由于奇异点的存在，获取其精确表达式存在困难，因此各类数值方法被发展用于刻画其解的性态。针对奇异初值问题，de Hoog和Weiss构造了线性多步法（Linear Multistep Methods, LMMs）、预估-校正格式以及显式龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法；Koch、Kofler和Weinmüller研究了隐式欧拉方法的收敛阶，并在此基础上研究了迭代缺陷校正方法的误差估计；Kutniv等人通过指数变换处理了显式单步法；Deng、Cao和Pang提出了针对随机奇异初值问题的欧拉-丸山方法。

时滞微分方程（Delay Differential Equations, DDEs）在控制系统、机械工程、化学和生物学中有着广泛应用，已吸引众多学者关注。研究人员考虑如下d维非线性时滞奇异初值问题：y^′(t)=M_ty(t)+f(t,y(t),y(t?τ)), 00为常数时滞，M为d×d矩阵，f:(0,T]×R^d×R^d→R^d和φ:[?τ,0]→R^d假定在其各自定义域上充分光滑。关于二阶时滞奇异初值问题，其解的存在性已在文献中研究，但设计高效数值格式逼近这些问题仍具有重要意义。将求解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的离散化方法用于逼近时滞奇异初值问题是一种自然模式，例如RK方法、LMMs、一般线性方法、边界值方法（Boundary Value Methods, BVMs）及块边界值方法（BBVMs），这些方法也已应用于求解DDEs。在这些数值方法中，BVMs及其块版本不仅具有优异的稳定性，而且具有高一致性阶，已成功扩展至离散化各类模型，如分数阶微分方程、中性类延迟方程、弱奇异沃尔泰拉（Volterra）积分微分方程及沃尔泰拉时滞积分微分方程。受BBVMs对正则微分方程的满意性能以及研究人员此前将这类方法应用于求解奇异初值问题的探索之激励，本文致力于引入所适应的BBVMs用于上述问题并研究其数值理论。

目前研究中存在的问题在于：时滞奇异初值问题兼具奇异性和时滞性双重特征，这使得理论分析和数值处理均面临挑战；现有数值方法对此类问题的研究尚不充分，尤其缺乏系统的数值理论分析；如何构造具有良好稳定性、高精度的数值格式并建立其完整的理论框架，是有待解决的重要问题。

## 二、主要技术方法

研究人员为开展此项研究，主要采用了以下关键技术方法：

第一，理论分析技术：利用不动点定理和Gronwall不等式等经典分析工具，建立了时滞奇异初值问题理论解的存在性、唯一性与连续性理论；通过引入适当的函数空间，对解的正则性进行刻画。

第二，块边界值方法（BBVMs）的构造与适应技术：将经典的BBVMs扩展应用于时滞奇异初值问题，设计离散化格式时需同时处理奇异性和时滞项。具体包括：选取适当的块步长划分策略；构造包含额外初始条件和最终条件的块边界格式；对时滞项进行合理的插值逼近。

第三，数值理论分析技术：采用分段分析策略，先在奇异区间[0,δ]上建立数值理论，其中δ=t_N1（11≤N）为与所解问题及离散化方案相关的小量；在正则区间[t_n-1,t_n]（N₁+1≤n≤N）上，利用问题的正则性完成理论分析。通过矩阵分析、范数估计等技术，证明所适应方法的关键性质。

第四，数值验证技术：选取六种具体的BBVMs方法进行数值实验，包括1阶广义向后差分公式（GBDF-1）、2阶扩展梯形法则（ETR-2）、3阶广义Adams方法（GAM-3）、4阶扩展梯形法则2（ETR2-4）、5阶GBDF（GBDF-5）和6阶Toplitz边界值方法（TOM-6），通过全局误差和收敛阶的数值验证来检验理论结果。

## 三、研究结果

**问题的解析性质**：在假设A1（Mφ(0)=0，矩阵M有唯一特征值λ=σ+iρ∈C且σ<0或λ=0）和假设A2（f满足关于第二、三变量的利普希茨（Lipschitz）条件，常数分别为L₁, L₂>0）下，研究人员证明了时滞奇异初值问题理论解的存在性、唯一性和连续性。具体而言，利用逐步迭代法和压缩映射原理，在适当的函数空间中建立了解的唯一存在性；通过估计解的先验界，证明了解对初值和右端函数的连续依赖性。

**所适应的BBVMs**：研究人员将BBVMs扩展至时滞奇异初值问题的离散化。对于标量常微分方程y^′(t)=v(t)y(t)+f(t,y(t))，设定整数s, k, k₁, k₂满足s≥k且k=k₁+k₂。预先确定离散解的初始k₁个元素y₀,y₁,…,y_k1-1和最终k₂个元素y_s-k2+1,…,y_s。通过引入适当的块结构，将时滞项y(t?τ)在离散点上进行插值处理，构造了完整的离散化格式（3.7）-（3.8）。

**所适应BBVMs的数值理论**：研究人员深入探究了所适应BBVMs（3.7）-（3.8）求解问题（1.1）时的唯一可解性、收敛性和稳定性。在区间[0,δ]上，利用与文献[33]类似的技术（参见[7]），结合问题的特殊结构和BBVMs的块特性，证明了数值解的存在唯一性；通过细致的误差分析，建立了方法的收敛阶估计；在适当的步长条件下，证明了方法的稳定性。在区间[t_n-1,t_n]（N₁+1≤n≤N）上，由于问题已具有正则性，数值理论的分析相对直接。

**数值实验**：本节给出了若干数值例子以验证所适应方法的精度和效率。选取了前述六种BBVMs方法进行测试，包括GBDF-1、ETR-2、GAM-3、ETR2-4、GBDF-5和TOM-6，其系数可参见Brugnano和Trigiante的著作[18]及相关工作[23]-[28]。数值结果显示，所适应方法的全局误差和收敛性与理论分析一致，验证了理论结果的正确性，同时展示了不同阶数方法的计算特性。

## 四、讨论与结论

**结论**：本文深入研究了一阶非线性时滞奇异初值问题的解析性质与数值分析。研究人员构造了一类所适应的BBVMs用于求解这些问题。在一定适当条件下，研究了所适应方法的唯一可解性、收敛性和稳定性。此外，数值实验展示了这些所适应方法的计算精度和效率。

该研究的重要意义在于：首次系统地将BBVMs应用于时滞奇异初值问题，建立了完整的数值理论框架；所发展的方法具有高阶精度和良好的稳定性，能够有效处理奇异性和时滞性的耦合困难；为相关应用领域中的实际问题提供了可靠的数值工具和理论保障。论文发表于《Applied Numerical Mathematics》，体现了该工作在应用数学与科学计算领域的学术价值。