一种求解半导体器件漂移扩散模型的三阶隐显超弱间断Galerkin方法

《Applied Numerical Mathematics》：A third order implicit-explicit ultra-weak discontinuous Galerkin method for the drift-diffusion model of semiconductor devices

　　

摘要部分翻译：

半导体器件的漂移扩散（Drift-Diffusion, DD）模型将电子浓度方程与电势方程耦合。研究人员提出了一种超弱间断Galerkin（Ultra-Weak Discontinuous Galerkin, UWDG）方法，结合三阶隐显（Implicit-Explicit, IMEX）时间离散化求解电子浓度方程，并采用间断Galerkin（Discontinuous Galerkin, DG）方法求解电势方程。该方法从两个方面降低了计算成本：首先，所有空间导数都从试函数转移到测试函数，无需引入辅助变量；其次，时间步长与空间步长无关，允许使用更大的时间步长。通过超弱投影和先验假设，得到了最优L²误差估计为（h^k+1+Δt³）。数值结果验证了理论分析。研究人员还展示了GaAs n⁺-n-n⁺二极管结构的模拟结果。

论文解读：

研究背景与动机：半导体器件的数值模拟在微电子工业中具有重要意义，而漂移扩散（Drift-Diffusion, DD）模型作为玻尔兹曼方程（Boltzmann equation）的线性近似，是描述半导体器件中电子输运现象的核心数学模型。该模型将描述电子浓度演化的对流扩散方程与描述电势分布的泊松方程（Poisson equation）耦合在一起，形成一类非线性的偏微分方程组。随着半导体器件尺寸的微缩和集成度的提高，对数值方法的精度、效率和稳定性提出了更高要求。近年来，多种数值方法被应用于求解DD模型，包括有限体积法（Finite Volume Method, FVM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）、局部间断Galerkin（Local Discontinuous Galerkin, LDG）方法、超弱间断Galerkin方法以及弱Galerkin方法等。其中，DG方法由Reed和Hill于1973年首次提出用于中子线性输运问题，后经Cockburn和Shu等人发展成熟，成为求解时变高阶偏微分方程的重要工具。1998年，Cockburn和Shu提出了LDG方法，通过引入辅助变量将方程改写为一阶形式。同年，Cessenat等人提出了UWDG方法，通过分部积分将所有空间导数从试函数转移到测试函数。与LDG方法相比，UWDG方法无需引入辅助变量，从而节省了计算成本。UWDG方法已被成功应用于对流扩散方程、Korteweg-de Vries（KdV）方程、薛定谔方程（Schr?dinger equation）等多种问题的求解。

在该研究团队的前期工作中，他们曾分析了针对DD模型电子浓度方程的UWDG方法，并结合了三阶总变差递减Runge-Kutta（Total Variation Diminishing Runge-Kutta, TVDRK）显式时间推进算法，对电势方程采用了连续方法处理。然而，显式时间离散化存在严格的时间步长限制，即满足库朗-弗里德里希斯-列维（Courant-Friedrichs-Lewy, CFL）条件，这限制了计算效率的进一步提升。为克服这一瓶颈，该研究团队开展了本项研究工作，旨在开发一种结合隐显时间离散化的UWDG方法，以实现时间步长与空间步长的解耦，从而允许使用更大的时间步长，同时保证方法的精度和稳定性。

关键技术方法：研究团队在空间离散上采用UWDG方法求解电子浓度方程，采用DG方法求解电势方程，确保了方法论上的一致性。在时间离散方面，采用三阶IMEX格式，对线性扩散项进行隐式处理，对非线性耦合项进行显式处理。为处理模型非线性耦合带来的误差困难，引入了超弱投影（Ultra-Weak Projection）以消除数值通量惩罚项引起的误差，并利用先验假设以及导数与跳量项之间的关键关系来处理非线性耦合项导致的误差。此外，利用对称性和耗散性构造了围绕扩散部分隐式离散化的负定二次型，以获得最优L²误差估计。数值实现中，初始值离散化采用L²投影，数值通量参数取λ?=C?h，其中C?=1。

研究结果：

准确性验证：通过在区域I=[0,2π]×J=[0,1]上的精度测试，验证了所提方法能够达到理论预期的三阶时间精度和最优空间收敛阶，数值结果与理论分析中的（h^k+1+Δt³）最优L²误差估计相符。

对流主导问题求解：针对对流扩散方程中的对流主导情形进行了数值求解，检验了方法在 Peclet 数较大时的表现，数值结果表明UWDG方法能够有效处理对流占优问题。

半导体器件稳态模拟：开展了直到稳态（Steady State）的GaAs n⁺-n-n⁺二极管结构模拟。通过与三阶显式TVDRK时间离散化方法的对比，展示了IMEX格式在允许采用更大时间步长方面的优势，验证了该方法在实际半导体器件模拟中的有效性和计算效率。

讨论与结论：研究人员开发了一种三阶IMEX-UWDG方法来求解半导体器件的DD模型。该方法在空间上采用UWDG离散处理电子浓度方程、DG离散处理电势方程，在时间上采用IMEX格式实现线性扩散项的隐式处理和非线性耦合项的显式处理。该IMEX方法具有无条件稳定性，允许采用更大的时间步长Δt，从而节省了计算成本。通过超弱投影和先验假设等关键技术，得到了半离散和全离散格式下的最优L²误差估计。数值实验验证了理论分析的正确性，并在GaAs n⁺-n-n⁺二极管结构模拟中展示了方法的实际应用价值。该论文发表于《Applied Numerical Mathematics》期刊，为半导体器件数值模拟提供了一种高效、稳定且具备严格理论保证的数值方法。