超出李雅普诺夫时间的壁湍流自维持过程中扰动的增长

《Journal of Fluid Mechanics》：Perturbation growth over self-sustaining process in wall turbulence beyond the Lyapunov time

　　

研究人员考察了施加于湍流库埃特流的小扰动在长时间范围内的演化，直至扰动流场与原始状态完全解相关。为阐明所涉及的基本物理过程，研究聚焦于最小流动单元（minimal flow unit），其中相干结构的动态已通过自维持过程（self-sustaining process，SSP）得到充分理解（Hamilton et al. J. Fluid Mech. vol. 287, 1995, pp. 317–348）。如预期所示，在短期内，扰动表现出由主导李雅普诺夫指数（leading Lyapunov exponent）控制的指数增长。该机制由流向依赖流场驱动，已知其涉及自维持过程中的强烈湍流耗散事件，这与先前的发现一致。在初始指数增长阶段之后，研究人员观察到扰动在长时间内——跨越数十个积分时间尺度——呈现缓慢、持续的增长，最终达到饱和。在此阶段，扰动能量随时间近似线性增长。虽然该行为与其他湍流中的观测和预测相似，但其背后的物理过程在此处根本不同。具体而言，此期间的扰动场由条带状结构（streaky structures）主导，且增长机制与壁面法向条纹长度尺度在流动几何所允许的最大尺寸（即槽道高度）处达到饱和相关。最后，对主导产生项各分量的评估表明，著名的升力效应（lift-up effect）是这些条带状扰动增长的主要原因。

湍流系统对初始条件具有极高敏感性，即所谓"蝴蝶效应"，这一特性使得精确预测湍流演化成为长期以来困扰学术界的核心难题。在数学上，Lyapunov于1963年通过构建低自由度非线性模型证实，不稳定混沌解对初始条件的敏感性使其处于奇异吸引子中，而Deissler在1986年进一步证明该特性同样适用于纳维-斯托克斯方程的湍流解。根据经典理论，湍流中小扰动的短期演化由其最大李雅普诺夫指数（leading Lyapunov exponent）控制，表现为指数增长；而当扰动幅度变得有限时，则会出现代数增长阶段。在各向同性湍流中，此阶段伴随扰动的自相似演化及通过惯性子区的逆级串过程。然而，壁湍流由于其高度各向异性特征，以及由条带（streaks）和准流向涡（quasi-streamwise vortices）等相干结构主导的复杂能量传输机制，使得扰动增长的动力学行为与其根本不同。现有研究虽已揭示壁湍流中扰动短期指数增长特性，但对其在超过李雅普诺夫时间（Lyapunov time）后的长期演化机制，特别是与自维持过程（SSP）中相干结构动态的关联，尚缺乏深入理解。因此，开展此项研究旨在系统刻画壁湍流中小扰动在完整时间范围内的增长行为，阐明其与SSP中控湍结构的内在联系，为深化对壁湍流混沌本质的认识提供关键理论支撑。该论文发表于《Journal of Fluid Mechanics》。

为开展此项研究，研究人员主要采用了以下关键技术方法：基于最小流动单元（minimal flow unit）框架的直接数值模拟（DNS），利用开源软件Channelflow 2.0进行计算；采用谱方法——壁面平行方向使用Fourier-Galerkin方法、壁面法向采用Chebyshev-tau方法进行空间离散，时间积分采用三阶半隐式向后差分格式；通过将流场分解为平均场（U）、流向平均的脉动场（u₁，表征条带结构）和流向依赖脉动场（u₂，表征条带失稳及准流向涡）三部分，构建各分量的扰动能量收支方程；对65个样本进行系综平均以滤除不可预测的局部流动模式。模拟参数设定为：雷诺数Re=400，计算域尺寸L_x=1.75π，L_z=1.2π，网格分辨率为16×33×16（去混叠后），摩擦雷诺数Re_τ=34。

研究结果部分主要包括以下内容：

一、小扰动时间演化的三阶段特征

通过对扰动能量E_Δ随时间演化曲线的分析，研究人员将整个演化过程划分为三个阶段：初始瞬态响应阶段（t?40）、短期指数增长阶段（40?t?300）和长期缓慢增长阶段（t?300至饱和）。通过拟合短期指数增长区的数据，估算得到主导李雅普诺夫指数λ≈0.025，该值与Inubushi等人的结果（λ≈0.021）基本吻合。在长期阶段，扰动能量持续缓慢增长直至t≈3000时饱和，这一时间跨度达到数十个积分时间尺度，远超过由λ^-1≈40所表征的李雅普诺夫时间。

二、短期响应：李雅普诺夫演化阶段

通过对三个能量分量E_ΔU、E_Δu1和E_Δu2的时程分析发现，指数增长阶段的主导能量分量为E_Δu2，尽管u₂⁽¹⁾在参考场中仅占总能量的4%。从能量收支角度分析，扰动增长的生产项主要来源于-?Δu₂·(Δu₂·?)u₁⁽¹⁾?和-?Δu₂·(Δu₂·?)u₂⁽¹⁾?两项，前者表征参考场条带剪切引起的能量生产，后者则与流向依赖流的剪切相关，该机制已被确认为自维持过程中湍流耗散的核心环节。这一发现印证了前人关于壁湍流中扰动增长与耗散过程紧密关联的判断。传输项分析表明，能量在E_Δu1与E_Δu2之间的传递作用较弱，在短期响应阶段趋于线性行为。

三、长期响应：超越李雅普诺夫时间

进入长期阶段后，能量分布发生显著转变：E_Δu2于t≈600处率先饱和，而E_Δu1自t≈750起成为主导增长分量，持续上升至t≈3000方达到饱和。从能量收支分析，Δu₁的生产项中，-?Δu₁·(Δu₁·?)U⁽¹⁾?占据绝对主导地位，该项表征扰动条带与参考场平均流剪切之间的相互作用。传输项分析揭示，E_Δu1与E_Δu2之间存在能量再分配：-?Δu₁·(u₂⁽¹⁾·?)Δu₂?和-?Δu₂·(u₂⁽¹⁾·?)Δu₁?两项量级平衡但符号相反，表明能量从Δu₁向Δu₂传递并最终耗散。

四、长期能量增长的特征刻画

通过详细分析E_Δu1在t∈[1000,2500]区间的演化，研究人员发现其呈近似线性增长（E_Δu1～t），这一特征在各向同性湍流中已有理论预测和观测验证，但壁湍流中的物理机制根本不同。通过量纲分析，建立E_Δu1的生产项P_Δu1～O(E_Δu1u_τ/h)和耗散项ε_Δu1～O(νE_Δu1/l_Δ²)的标度关系，推导得出仅当扰动特征尺度l_Δ达到与槽道高度h相当的常数时，才能维持线性增长。这一理论推断通过积分尺度的统计演化和扰动流场的可视化得到了直接验证：条带结构的空间尺度在指数增长阶段持续扩展，直至受限于槽道高度而饱和，此后增长速率减缓并趋于线性。

五、升力效应作为长期扰动增长机制

对扰动场结构的深入分析表明，E_Δu1的能量主要由其流向分量E_Δu1贡献（t?400后）。主导生产项-?Δu₁·(Δu₁·?)U⁽¹⁾?可展开为-?Δu₁Δv₁(?U⁽¹⁾/?y)?-?Δw₁Δv₁(?W⁽¹⁾/?y)?，其中前者占主导地位。该表达式的形式与升力效应（lift-up effect）的数学定义高度一致：即法向速度扰动在平均流剪切作用下产生流向速度扰动，从而导致能量代数增长。这一机制原本已知在层流到湍流的转捩过程中起关键作用，并在湍流自维持中驱动条带放大，本研究首次揭示其在壁湍流长期扰动增长中的主导作用。

在讨论部分，研究人员总结了本研究的核心发现：壁湍流中小扰动的增长存在两个截然不同的阶段。短期阶段由最大李雅普诺夫指数控制，表现为指数增长，扰动主要驻留在流向依赖场Δu₂中，其增长机制与条带剪切及流向依赖结构的湍流耗散相关；长期阶段则呈现代数增长，扰动场由条带结构Δu₁主导，能量近似线性增长，直至受限于流动几何尺度。这一长期增长机制与各向同性湍流中的逆级串过程本质不同，而是源于升力效应驱动的条带放大。

研究结论部分原文翻译如下："本工作评估了库埃特流最小流动单元所捕获的自维持过程中，小扰动的时间演化。发现了扰动增长的两个不同阶段，总结如下。（i）短期阶段。短期响应阶段由主导李雅普诺夫指数谱决定的著名指数增长所表征。在此阶段，扰动被发现主要驻留在流向变化的流场Δu₂中，但随时间增长并向流向独立的条带状流场Δu₁传播。通过评估产生项，研究人员确认了先前发现，即扰动增长的主导物理机制起源于参考场中条带及其x相关结构的剪切（Inubushi et al. 2015; Nikitin 2018）。（ii）长期阶段。一旦指数响应饱和，研究人员发现扰动以代数方式增长，如同先前对其他湍流（特别是各向同性湍流）的理论预测和观测（Lorenz 1969; Leith & Kraichnan 1972; Boffetta & Musacchio 2017; Berera & Ho 2018）。"