基于Riccati子方程神经网络方法的磁电弹性圆杆分数阶纵向波方程精确孤子解研究

《Fractal and Fractional》：Exact Dynamics and Optimization for a Discrete-Time SIR Model Using Time-Dependent Parameters

　　

分数阶导数（fractional derivatives）提供了一种有效的数学结构，用以描述传统整数阶模型难以刻画的内存效应、长程相互作用与反常输运过程。研究人员提出了单向分数阶纵向波方程作为控制方程，用以解释磁电弹性（magneto-electro-elastic, MEE）圆杆中孤立波的稳定波传播。磁电弹性物质因高效的多场能量转换与温度响应能力，在纳米技术与生物医学工程领域具有广阔前景。针对该复杂分数阶非线性方程，研究人员引入了一种新的计算分析方法：Riccati子方程神经网络（Riccati Subequation Neural Network, RSENN）方法。该混合方案将解析解结构与由输入层、隐藏层和输出层组成、通过加权连接与激活函数互联的神经网络结构协同结合；第一隐藏层每个神经元均与Riccati方程解耦合，从而系统性地启用新型试探函数。借助所提方法，研究人员获得了单向分数阶纵向波方程时空分数阶偏微分方程的三角、双曲与有理函数形式的精确解析解。本文首次尝试将Riccati子方程法与神经网络模型结合，催生了新型孤立波解。通过三维、二维与等高线图可视化了这些解的动力学特征并展示了丰富的非线性波行为。所实现技术的有效性与鲁棒性不仅由研究结果证实，也为先进多功能材料中的非线性波现象提供了更深见解，可指导未来能量收集与生物医学器件设计。

研究背景方面，非线性波动力学广泛存在于生物、海洋、量子物理、地质、等离子体、光纤与流体力学等领域，孤立波因色散与非线性平衡而保持形状与速度稳定，在海洋学与光纤通信中应用关键。传统求解非线性分数阶偏微分方程（PDEs）的解析法（如修正广义Riccati方程映射法、Adomian分解法、Lie对称法、Sardar子方程法等）各有局限；物理信息神经网络（PINNs）与分数阶PINNs（fPINNs）虽能数值求解，但依赖训练、易陷局部最优且分数算子离散化引入误差。现有方法多产出数值解，而分数阶PDE的精确解析解获取困难。为此，研究人员以磁电弹性（MEE）圆杆中的分数阶非线性纵向波方程为对象，提出一种不依赖训练、纯前馈计算的解析—计算混合框架，即Riccati子方程神经网络（RSENN）方法，旨在系统获得精确解析孤子解并揭示分数阶参数影响。

主要关键技术方法方面，研究人员采用共形分数阶导数（Conformable Fractional Derivative, CFD）定义时空分数阶，因其保留乘积律、链式法则且便于行波约化；构建2–2–2–1前馈神经网络，第一隐藏层激活函数取Riccati子方程三类显式解（λ2?4μ>0、<0、=0），第二隐藏层取恒等与平方函数，输出层生成试探函数u(X,T)；将试探函数代入约化后ODE，展开并令辅助函数各次幂系数为零，得到待定代数方程组，用待定系数法求解权重与偏置，从而获得精确解析解。全文无生物样本队列，属纯数学物理建模与符号计算。

研究结果部分，各小节结论如下：

分数阶导数节指出，CFD相较Caputo与Riemann–Liouville导数更具局部性与解析可处理性，适合构造非线性分数阶演化方程的闭式行波解，本文将其作为分析工具而非完整物理内存描述。

Riccati子方程方法节给出分数阶NLPDE的行波变换ξ=(kx^ν/ν)?(ωt^ν/ν)，并列出Riccati方程dφ/dξ=λ+μφ2的三类通解（双曲、三角、有理形式），作为NN第一隐藏层激活函数基底。

神经网络模型与RSENN方法节阐明2–2–2–1架构：输入X,T；第一隐藏层两神经元输出φ?、φ?（Riccati解）；第二隐藏层两神经元取φ?、φ?2（或φ?组合）；输出u=w?φ?+w?φ?2+w?φ?+w?φ?2+b。RSENN六步流程为选Riccati靶方程、构网络、前馈传播得试探函数、代入原方程化代数系统、同次幂系数置零解方程、代回得精确解。

磁电弹性圆杆分数阶纵向波方程及应用节，将经典方程u_tt?α2u_xx?β2u_xxxx+γ2(u2)_xx=0推广为共形分数阶形式D_t^2νu?α2D_x^2νu?β2D_x^4νu+γ2(u2)_xx=0，经ξ变换得常微分方程。Case I（λ2?4μ>0）给出暗孤子、奇异解、亮—暗复合孤子、孤子解及复合奇异—暗孤子解，式(16)(17)(18)(19)(20)等；对应Figure 5、6、7显示分数阶ν=0.9时波面仍呈相干行波，振幅稳定，2D截面窄幅振荡，等高线呈对角带，表明非局部性未破坏行波结构。Case II（λ2?4μ<0）给出周期解式(23)–(29)，Figure 8、9、10显示ν=0.85时多向分裂与幅值调制，ν=0.98时退化为经典周期行波，证实分数阶参数调控色散与内存效应强弱。

解与已有文献比较节通过表1、表2指出，RSENN相较改进tanh法、简方程法、指数有理函数法等，能在统一框架下系统生成多族解，且无训练、无离散化误差、计算效率高。

讨论与结论翻译节原文结论为：本研究提出RSENN法求解分数阶PDE并获得MEE圆杆纵向波方程精确解；创新在于Riccati子方程与NN架构结合，第一隐藏层嵌入Riccati解作试探函数，将分数阶PDE系统转为代数系统得精确解析解；所得解展示分数阶参数、非线性系数与磁电耦合常数对孤子动力学的丰富调控；RSENN可推广至其他分数阶PDE，未来可扩展至Caputo–Fabrizio与Atangana–Baleanu导数、耦合PINNs做反问题、及真实弹性杆实验验证，对智能材料、波基信号处理与无损检测具理论与工程意义。论文发表于《Fractal and Fractional》。