具有泄漏项和混合时滞的随机非整数阶忆阻双向联想记忆系统的耗散性与稳定性

《Fractal and Fractional》：Dissipativity and Stability for Stochastic Non-Integer-Order Memristive BAM System with Leakage Terms and Mixed Delays

　　

本文研究一类具有泄漏项和混合时变时滞（包括离散时滞与分布时滞）的随机分数阶（fractional-order）忆阻双向联想记忆（bidirectional associative memory, BAM）神经网络的均方全局耗散性与全局渐近稳定性问题。研究人员利用微分包含理论（differential inclusion theory）、随机分析（stochastic analysis）、矩阵测度方法（matrix measure approach）以及结合线性矩阵不等式（linear matrix inequalities, LMIs）的Lyapunov稳定性理论（Lyapunov stability theory），推导出若干新的充分条件，以保证所研究系统的均方全局耗散性和全局渐近稳定性。与现有结果相比，由于采用了矩阵测度和分数阶微分不等式，所得到的稳定性与耗散性判据具有更低的保守性。所提出模型同时纳入随机扰动、忆阻不连续性、泄漏效应以及混合时滞，因此与模式识别和智能控制等实际工程场景更加一致。最后，研究通过一个数值算例说明了理论结果的有效性与正确性。

该文发表于《Fractal and Fractional》，围绕具有泄漏项与混合时滞的随机非整数阶忆阻双向联想记忆（bidirectional associative memory, BAM）神经网络，系统讨论了均方全局耗散性与全局渐近稳定性两个核心动力学问题。研究背景在于：分数阶（fractional-order）微积分能够刻画系统的记忆性与遗传性，忆阻神经网络能够反映突触可塑性和状态依赖切换行为，二者均在复杂神经动力系统建模中具有重要价值；与此同时，实际神经电路与智能控制系统中普遍存在随机扰动、泄漏效应以及离散与分布并存的混合时滞，而这些因素共同作用时会显著增加系统分析难度。已有研究多集中于整数阶、确定性或仅含单类时滞的BAM网络，对于同时包含随机摄动、非整数阶动力学、忆阻突触不连续、泄漏项和混合时变时滞的统一模型，相关耗散性与稳定性结果仍较少，这构成了本文开展研究的直接动因。

研究人员据此建立了一个更一般的随机分数阶忆阻BAM模型，在模型中同时纳入随机噪声、忆阻型不连续突触权值、泄漏项以及混合时变时滞，并在Filippov解（用于处理不连续系统的广义解）框架下对系统进行重构。研究表明，在给定Lipschitz条件和矩阵不等式约束下，可分别获得保证系统均方全局耗散以及均方全局渐近稳定的充分条件。论文的重要意义在于：一方面，它将BAM神经网络的定性分析拓展到更贴近工程实际的随机分数阶忆阻系统；另一方面，借助矩阵测度（matrix measure）替代传统范数估计，所得判据保守性更低，且稳定性条件可转化为线性矩阵不等式（LMIs）形式，便于借助计算工具检验。

就主要技术方法而言，研究首先基于Caputo分数阶导数（Caputo fractional derivative）与Mittag–Leffler函数建立非整数阶系统分析框架；其次利用Filippov微分包含理论处理忆阻突触权值的状态依赖不连续性；再次结合随机分析、Lyapunov函数与Lyapunov–Krasovskii泛函研究均方意义下的耗散性与稳定性；最后引入矩阵测度和线性矩阵不等式（LMIs）推导可验证的充分条件。文中还通过数值仿真对理论结论进行验证，未涉及样本队列来源问题。

在“Introduction”部分，论文首先回顾了分数阶微积分、忆阻神经网络与BAM网络的发展脉络，指出分数阶模型适于描述记忆与遗传特征，忆阻器（memristor）引入的状态依赖切换可更好模拟生物突触，而BAM网络因其双层双向联想存储与检索能力，在模式识别、控制设计和信号处理中具有重要应用。研究进一步梳理现有成果后指出，以往工作大多分别讨论分数阶稳定性、时滞影响、忆阻网络同步或随机系统鲁棒性，但较少将随机扰动、忆阻不连续、泄漏项和混合时滞整合进同一非整数阶BAM框架，因此有必要建立统一模型并给出新的耗散与稳定判据。

在“Preliminaries and Model Description”部分，研究人员给出了所考虑的随机非整数阶忆阻BAM系统及其初值条件，明确系统包含U层与V层神经元状态、Caputo导数、偏置项、输出反馈函数、时变离散时滞与分布时滞、扩散系数矩阵以及定义在完备概率空间上的Brown运动。随后，论文具体刻画了忆阻突触权值的电流—电压特性及其开关跳变性质，指出相关权值函数是不连续的，并通过凸包与集合值映射将系统转化为微分包含形式。为后续证明服务，文中依次给出集合值映射、上半连续性、选择子、Filippov解、Euler Gamma函数、分数阶积分、Caputo导数、双参数Mittag–Leffler函数以及矩阵测度的定义，并列出若干引理，包括分数阶导数关系、不等式估计以及带时滞分数阶微分方程稳定性结论。最后，研究提出两个关键假设：其一是激活函数满足Lipschitz条件，其二是存在满足要求的正定矩阵，从而为后续定理建立奠定基础。

在“Dissipativity Design and Stability Analysis”部分，论文构建了本文最核心的理论结果。首先，在“Theorem 1”中，研究人员针对均方全局耗散性建立充分条件。该部分通过构造Lyapunov函数，并结合Dini导数、分数阶积分—微分恒等式以及矩阵测度估计，证明当若干矩阵测度不等式成立时，系统状态将进入并保持在某一不变且全局吸引的集合U中。由此得到的结论是：所研究忆阻随机非整数阶BAM系统在均方意义下具有全局耗散性，即系统能量在随机扰动与时滞存在时仍受控并趋于有界。

随后，在“Theorem 2”中，研究人员进一步给出了均方全局渐近稳定性的判据。该部分先以系统平衡点构造误差系统，再建立Lyapunov–Krasovskii泛函（用于处理时滞系统稳定性的泛函工具），并利用It?公式（It? formula）对分数阶随机系统的无穷小生成元进行估计。结合假设H1与H2、Jensen不等式以及时滞条件，作者将稳定性问题归结为一个对称矩阵小于零的LMI可行性问题。证明表明，只要相关正定矩阵和标量满足定理中的LMI条件，则系统平衡点在均方意义下是全局渐近稳定的。该结果说明，不论初值、随机噪声或混合时滞如何变化，只要满足所列充分条件，系统轨线最终均收敛至平衡状态。

在“Remark 1”部分，研究人员讨论了若去除随机扰动项、泄漏项或分布时滞后系统所退化得到的特殊情形，并指出本文模型能够覆盖若干已有分数阶忆阻网络模型，从而体现了所建框架的广泛性与统一性。文中同时强调，与以往集中于时滞BAM网络、整数阶系统或不含忆阻因素的分数阶网络研究相比，本文所考察的忆阻随机分数阶模型更能反映现实系统可能出现的复杂随机动力学行为。

在“Simulation Example”部分，论文通过一个具有具体系数设定的数值例子，对理论结果进行了仿真验证。仿真结果从多个角度展示了系统动力学行为：平衡点状态轨线表明不同初值下系统状态保持有界并逐步衰减，支持了Theorem 1关于均方全局耗散性的结论；二维相图与三维轨迹进一步显示系统轨线最终收敛到平衡点，验证了Theorem 2关于均方全局渐近稳定性的结论。研究人员据此说明，所提出判据在混合时滞与随机环境共同作用下仍然有效，并且具有较好的鲁棒性和较低保守性。

讨论部分的核心内容在于，本文从建模与方法两方面拓展了忆阻BAM网络理论。就建模而言，该研究首次在同一框架下并行考虑分数阶记忆效应、忆阻突触不连续、泄漏衰减、随机环境噪声以及离散—分布混合时滞，使模型更接近真实神经电路、忆阻硬件和复杂信号处理场景。就方法而言，矩阵测度方法相较传统范数法降低了判据保守性，而Filippov微分包含理论则使不连续忆阻连接的严格分析成为可能；LMIs表达形式又增强了结论的可计算性和工程应用可操作性。因此，本文不仅丰富了非线性神经动力系统尤其是随机分数阶忆阻网络的稳定性理论，也为模式识别、联想记忆、智能控制和忆阻电路设计提供了分析基础。

研究结论部分可译为：本文研究了具有泄漏项和混合时滞的随机分数阶忆阻BAM神经网络的均方全局耗散性与全局渐近稳定性问题。通过运用微分包含理论、矩阵测度方法、Lyapunov稳定性理论以及线性矩阵不等式，推导出若干充分条件，以保证所研究系统的均方全局耗散性和全局渐近稳定性。所得结果在以下方面改进并拓展了现有工作：（1）模型同时考虑随机扰动、分数阶动力学、忆阻不连续性、泄漏效应和混合时滞，因此更具一般性与实用性；（2）矩阵测度方法降低了稳定性判据的保守性；（3）稳定性条件以线性矩阵不等式形式给出，可借助MATLAB R2018a LMI工具箱方便验证。数值算例和仿真结果证实了理论结果的正确性与有效性。未来研究将关注具有Markov切换（Markovian switching）的随机分数阶忆阻神经网络的同步与状态估计、具有不连续激活函数的分数阶忆阻系统动力学分析，以及模式识别、智能机器人和忆阻电路设计等实际工程应用。