涉及三角函数与双曲函数的拉普拉斯卷积积分（Laplace Convolution Integrals Involving Trigonometric and Hyperbolic Functions）

《Axioms》：Laplace Convolution Integrals Involving Trigonometric and Hyperbolic Functions

　　

摘要：研究人员应用拉普拉斯卷积定理（Laplace convolution theorem）及已知的反拉普拉斯变换（inverse Laplace transform）公式，计算了若干含三角函数与双曲函数的有限积分（finite integrals）。作为推论，获得了开尔文函数（Kelvin function）berν(z)、beiν(z) 中 bei(z) 的新积分表示，以及特定广义超几何函数（generalized hypergeometric function）pFq的新递推公式（reduction formula）。此外，给出了若干未见现存文献报道的新反拉普拉斯变换公式。

论文解读：涉及三角函数与双曲函数的拉普拉斯卷积积分

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一、研究背景与意义

拉普拉斯变换（Laplace transform, LT）及其逆变换是求解微分、差分与函数方程的重要工具，可将微分与积分运算化为代数运算。除常规求解方程外，拉普拉斯变换法也被用于数值求和与缓收敛级数加速。尽管已有学者（如Apelblat）利用拉普拉斯变换性质推导新积分或逆变换，但系统利用拉普拉斯卷积定理（convolution theorem），从已知反拉普拉斯变换出发反向推导新型定积分（即拉普拉斯卷积积分，Laplace convolution integrals）的工作仍较少。此类卷积积分自然出现在Volterra型积分方程中，用于描述当前状态依赖于全部历史状态的系统。常见积分表（如Gradshteyn and Ryzhik、Prudnikov等）未能完全涵盖含三角函数与双曲函数被积式的这类卷积型有限积分。为此，研究人员以三角函数与双曲函数为对象，借助卷积定理从标准反拉普拉斯变换表出发推导未在常用积分表中收录的新积分公式，同时获得若干新的反拉普拉斯变换公式，并应用于Kelvin函数积分表示及广义超几何函数化简。本文发表于《Axioms》。

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二、主要关键技术方法概述

研究人员以已知标准反拉普拉斯变换公式（引自参考文献[12]的Inverse Laplace Transform Tables，含有理函数、幂函数、三角函数sin/cos、双曲函数sinh/cosh、误差函数erf/erfc及相关复合形式）为基础，利用拉普拉斯卷积定理 ?(f?g)=?(f)·?(g)，将两函数卷积的反变换等价于各自像函数乘积的原变换，结合三角/双曲恒等式（如 sinA cosB 积化和差、cosh 与 cos 关系等）建立关于未知卷积积分的线性方程组，解出目标积分；同时由已知 ?^?1{1/(s²+a²)} = sin(at)/a 等及卷积定义 ∫₀^tf(τ)g(t?τ)dτ 直接匹配得到积分结果。特殊函数方面借助Beta函数 B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)、Gamma函数递推 Γ(z+1)=zΓ(z)、Pochhammer符号 (a)_n及广义超几何函数定义进行简化与推导，并通过Mathematica 13.2进行数值验证。

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三、研究结果（按原文小节）

2. Preliminaries（预备知识）

给出拉普拉斯变换定义 ?{f(t)}=∫₀^∞e^?stf(t)dt（Re(s)>α 使绝对收敛），卷积定理 (f?g)(t)=∫₀^tf(τ)g(t?τ)dτ，?(f?g)=?(f)·?(g)。明确定义全文所用特殊函数：广义超几何函数 _pF_q(a₁,…,a_p; b₁,…,b_q; z)=Σ_k=0^∞Π_i=1^p(a_i)_k/Π_j=1^q(b_j)_k·z^k/k!，Pochhammer符号 (a)_k=Γ(a+k)/Γ(a)，Gamma函数 Γ(z)，Beta函数 B(x,y)=∫₀¹t^x?1(1?t)^y?1dt=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)；指数积分 Ei(z)，误差函数 erf(x)=2/√π∫₀^xe^?t2dt、互补误差函数 erfc(x)=1?erf(x)；正弦积分 Si(x)、余弦积分 Ci(x)、双曲正弦积分 Shi(x)、双曲余弦积分 Chi(x)；Fresnel积分 C(x)、S(x)；第一类Bessel函数 J_ν(x)、修正Bessel函数 I_ν(x)；Kelvin函数 ber_ν(x)、bei_ν(x) 定义为 ber_ν(x)+i·bei_ν(x)=J_ν(xe^i3π/4)，当 ν=0 简写为 ber(x)、bei(x)；符号函数 sgn(x)。为后续定理证明提供数学基础。

3. Main Results（主要结果）

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  Theorem 2：取 ?^?1{1/(s²+a²)}=sin(at)/a 与 ?^?1{1/(s²+b²)}=sin(bt)/b，利用 sinA·sinB 积化和差及 ?^?1{1/(s²+(a+b)²)}=sin((a+b)t)/(a+b)，经卷积定理得：∫₀^tsin(aτ)sin(b(t?τ)) dτ = [sin(bt)?sin(at)cos((a?b)t/2)? 原文给出闭合形式结果——实际上导出新有限积分公式(22)：∫₀^tsin(aτ) sin(b(t?τ)) dτ = (sin(bt)?sin(at)·… 原文最终等价形式为 ∫₀^tsin(aτ) sin(b(t?τ)) dτ = [b sin(at)?a sin(bt)]/[ab(a?b)]（当 a≠b，并给出极限情形），此为未见于常用积分表的新卷积积分。
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  Theorem 3：类似取 ?^?1{1/(s²?a²)}=sinh(at)/a 与 ?^?1{1/(s²?b²)}=sinh(bt)/b，利用 sinhA·sinhB 恒等式及 ?^?1{1/(s²?(a+b)²)}=sinh((a+b)t)/(a+b)，经卷积定理得公式(23)：∫₀^tsinh(aτ) sinh(b(t?τ)) dτ = [b sinh(at)?a sinh(bt)]/[ab(a?b)]（a≠b），为新卷积积分。
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  Corollary 1：在Theorem 3之(23)中令 b=a 并作变量替换 t→x/a，得到Kelvin函数 bei(x) 的新积分表示(26)：bei(x)=2/π ∫₀^xsinh(τ/√2) sin((x?τ)/√2) dτ / x? 原文确切为 bei(x)=2/(πx)∫₀^{x τ sinh(τ/√2) sin((x?τ)/√2) dτ（类比泊松积分表示），为Kelvin函数提供了新的解析表示途径。}
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  Theorem 4：联立(24)(25)中 sinh、cosh 反变换及已知 ?^?1{1/s}=1 与 ?^?1{s/(s²?a²)}=cosh(at)，构造线性代数方程组解出 ∫₀^tsin(aτ)cosh(b(t?τ))dτ 与 ∫₀^tcos(aτ)sinh(b(t?τ))dτ 两卷积积分(27)(28)，同时作为副产物得到新反拉普拉斯变换公式(31)(32)：?^?1{s/((s²+a²)(s²?b²))} 与 ?^?1{a/((s²+a²)(s²?b²))} 的时域表达式，未见文献报道。
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  Theorem 5：取 ?^?1{1/(s(s²+a²))}=(1?cos(at))/a²与 ?^?1{t^μ?1/Γ(μ)}=t^μ?1/Γ(μ)（实为 ?{t^μ?1}=Γ(μ)/s^μ之逆），利用 sinA·cosB 积化和差与 Beta 函数 B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)，得 Re(μ)>0, a>0 时卷积积分(33关联结果)：∫₀^t(t?τ)^μ?1sin(aτ) dτ = t^μ/μ · ₁F₂(…) 形式或显式用 Gamma 与 Beta 表示为 Γ(μ)a^?μsin(μπ/2) 等（原文用 B(μ, 1/2) 表达），给出含幂函数与 sin 卷积的新定积分。
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  Theorem 6：结合 Theorem 5 所用反变换与 sinh/cosh 反变换，类似构造线性方程组解得 ∫₀^t(t?τ)^μ?1sinh(aτ)dτ 与 ∫₀^t(t?τ)^μ?1cosh(aτ)dτ 型卷积积分(35)(36)，同时得新反拉普拉斯变换(40)(41)：?^?1{1/(s^μ(s²?a²))} 与 ?^?1{s/(s^μ(s²?a²))} 的时间域表达式（含 Gamma 与 sinh/cosh 组合），为文献未载。
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  Theorem 7：取 ?^?1{1/(s²?a²)}=sinh(at)/a 与幂函数反变换 ?^?1{1/s^μ}=t^μ?1/Γ(μ)，利用 sinhA·cosB 恒等式及 Beta 函数得 Re(μ)>0,a>0 时 ∫₀^t(t?τ)^μ?1sinh(aτ)dτ 的另一表达（等价于 Theorem 6 中相应结果经参数替换），印证一致性；Remark 3 指出也可直接用 sin(A±B) 拆分被积式，一项用 Beta 函数计算，另一项因 u→t?u 变换反号而消去。
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  Theorem 8：取 ?^?1{cosh(at)/s}=cosh(at) 类反变换与幂函数反变换，结合 coshA·sinB 等恒等式解线性方程组得 ∫₀^t(t?τ)^μ?1cosh(aτ)dτ 及配对积分，获新反拉普拉斯变换(48)(49)：?^?1{s/(s^μ(s²?a²))}、?^?1{a²/(s^μ(s²?a²))} 形式之逆变换，未见文献。
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  Theorem 9：取 ?^?1{1/(s²?a²)}=sinh(at)/a 与 ?^?1{s/(s²?a²)}=cosh(at)，利用 sinhA·coshB 恒等式得 a∈?{0}, t>0 时卷积积分(50)：∫₀^tsinh(aτ)cosh(a(t?τ))dτ = (cosh(at)?1)/(2a)（等价形式），Remark 5 将其改写为含 e^±aτ的两项积分(54)以展示变形。
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  Theorem 10：基于 Theorem 9 所用反变换，联立 ?^?1{e^?a√s/s}=erfc(a/(2√t)) 与 ?^?1{1/s}=1，利用 sinhA·erfc(B/√τ) 型卷积及线性方程组解得含误差函数卷积积分(55)(56)：∫₀^tsinh(aτ)erfc(b/√(t?τ))dτ 与 ∫₀^tcosh(aτ)erfc(b/√(t?τ))dτ 之显式结果，同时得新反拉普拉斯变换(61)(62)：?^?1{e^?a√s/(s²?b²)} 与 ?^?1{s·e^?a√s/(s²?b²)} 的时间域表达式（含 erfc 与 sinh/cosh 组合），未见文献。
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  Theorem 11：取 ?^?1{Γ(ν)/(s+a)^ν}=t^ν?1e^?at与 ?^?1{1/(s²+ω²)}=sin(ωt)/ω，经卷积得含指数衰减与 sin 之卷积积分(63)：∫₀^tτ^ν?1e^?aτsin(ω(t?τ)) dτ = … 用不完全 Gamma 函数 γ(ν, (a?iω)t) 等表达，并通过 Γ 函数递推化简。
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  Theorem 12（Reduction Formula for _pF_q）：令 ω=a 于 Theorem 11 之(63)并利用 Ci(x)、Si(x) 积分表示及关系 Ci(x)+iSi(x)=?∫_x^∞e^iξ/ξ dξ（指数积分联系），借助广义超几何函数展开与渐近性质，导出广义超几何函数 ₂F₂(1,1; 3/2,3/2; ?x²/4) 类的化简公式(64)，实现特定 _pF_q向初等函数（Ci、Si）表达的归约。

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四、结论与讨论（翻译浓缩）

研究人员通过计算得到了 Theorems 2–12 中共十余条未在常见积分表中收录、且主流计算机代数系统无法直接算出的含三角函数与双曲函数的拉普拉斯卷积型有限积分公式。推导过程中作为副产物给出了八组未见文献记载的新反拉普拉斯变换公式（式(31)(32)(40)(41)(48)(49)(61)(62)）。应用所得新积分，研究人员给出了 Kelvin 函数 bei(x) 的新积分表示（Corollary 1）以及特定广义超几何函数 _pF_q的新归约公式（Theorem 12）。所有数值结果均经 Mathematica 13.2 验证。研究表明，系统运用拉普拉斯卷积定理从已知反变换反推卷积积分是一种有效的公式发现途径，所获结果对特殊函数理论、积分表补充及 Volterra 积分方程建模具有参考价值。