重力作用下三角形弹性薄膜的弹性毛细提升与水的包裹

《Soft Matter》：Elastocapillary lifting and encapsulation of water by a triangular elastic film under gravity

　　

研究人员研究了薄弹性薄膜对水的包裹，作为弹性毛细自折叠（elastocapillary self-folding）与流体输运（fluid transport）的最小模型。将等边三角形聚二甲基硅氧烷（PDMS）薄膜准静态地从水面提起，同时系统改变其边长和厚度。根据这些参数，薄膜表现出三种不同的形态：折叠（folding）、回缩（recoiling）和液体包裹（encapsulation）。研究表明，形态由表面能（surface energy）、重力能（gravitational energy）和弯曲能（bending energy）的相互作用决定，并且包裹仅发生在弹性毛细长度（elastocapillary length）、弹性重力长度（elastogravity length）和毛细长度（capillary length）尺度相当的狭窄参数区域内。这为弹性薄膜包裹液体提供了一个简单的物理判据。

**研究背景与问题**
在毛细长度（capillary length）以下，界面张力（interfacial tension）主导重力效应，驱动毛细上升、液滴自发爬升等现象。当固体边界柔顺且可变形时，界面张力可引发显著弹性变形，产生弹性毛细（elastocapillary）现象，如弹性细丝因液体排液而自发扭转。毛细折纸（capillary origami）利用弹性与毛细的耦合，使二维弹性薄膜自发形成三维结构，从而实现液滴捕获与提升。然而，液体包裹与自折叠起始的物理判据仍不清楚，尤其是弹性、表面张力与重力之间的竞争关系。为此，研究人员以等边三角形弹性薄膜为最小模型，系统改变边长和厚度，构建变形形态相图，并用特征长度尺度解释包裹条件。研究发表在《Soft Matter》。

**研究内容与意义**
研究人员通过实验和简化能量分析，发现薄膜在提升过程中呈现折叠、回缩和液体包裹三种形态，包裹仅出现在弹性毛细、弹性重力与毛细长度尺度相当的交叉区域。这一发现提供了不依赖特定几何设计的通用物理判据，有助于理解弹性薄膜中的液体操控机制。

**关键技术方法**
研究人员制备了厚度38–160 μm的PDMS弹性薄膜，裁剪为等边三角形，边长w系统变化。液相当选用纯水（γ_w = 72 mN·m^?1）或30 mM Triton X溶液（γ_T = 30 mN·m^?1，高于临界胶束浓度）。实验装置将薄膜中心接铁丝，以1 mm·s^?1恒速垂直提升，用CMOS相机记录变形过程，并用测力传感器测量提升液体重量。通过改变提升速度（0.1–30 mm·s^?1）和液体粘度（1–50 mPa·s），确认形态选择为准静态过程，惯性效应（Weber数10^?4–10^?1）与粘性效应（毛细数10^?6–10^?1）可忽略。

**研究结果**

**3.1 弹性薄膜的变形形态**
通过实验观察，薄膜从水面提起后，根据厚度h与边长w呈现三种最终形态：薄时沿三重对称轴自发折叠（折叠态），液体逐渐排出；厚时回缩至近乎平坦（回缩态），仅底部保留小液滴；中间参数范围发生液体包裹（包裹态），液体被薄膜自发性包裹。

**3.2 薄膜形态相图**
相图（图2a,c）以h和w为变量，明确划分折叠、回缩、包裹三个区域，包裹态位于折叠与回缩之间。对于固定边长w = 10 mm，包裹态对应的提升液体重量mg最大，随h增大先增后减。降低表面张力（Triton X溶液）使相图向左下角偏移，包裹区缩小。提升速度与液体粘度对最终形态无显著影响，表明准静态平衡主导。

**4.1 弹性薄膜的变形模式**
将变形分解为三种特征模式：模式I（折叠态初期，沿导线到各边中点形成高曲率脊线）；模式II（回缩态，顶点向下弯曲）；模式III（折叠态后期脊线移动）。包裹态由模式I–II混合过渡到模式II主导，三顶点靠近形成瞬态液桥，随后毛细断裂形成封闭胶囊。

**4.2 能量竞争与形态选择**
简化能量估计：弯曲能U_b ~ Bκ²A，重力能U_g ~ ρgVΔz，表面能U_s ~ γ_iS。回缩态主导表面能U_r ≈ ζγ_iw²；折叠态弯曲能沿脊线局域化U_f ≈ ξBw/?_ridge；包裹态U_c ~ αρgw⁴ + εB。基于几何估计构建能量最小相图（图5），半定量重现实验相图及其随表面张力降低的偏移，证实包裹出现在弯曲、毛细与重力效应相当的交叉区域。

**4.3 特征长度尺度的涌现**
定义弹性重力长度L_eg = (B/ρg)^1/4和弹性毛细长度L_ec = (B/γ_i)^1/2。当特征变形尺度L ? L_eg时，重力主导，薄膜易折叠；L ? L_eg时，弯曲刚度抑制大变形，薄膜回缩。类似地，L ? L_ec时毛细力强，薄膜弯曲；L ? L_ec时毛细力不足，回缩。包裹出现在L ≈ L_ec且L ≈ L_eg的交叉区，此时毛细长度L_cg = (γ_i/ρg)^1/2也与之相当。由于B ∝ h³，L_eg ∝ h^3/4，L_ec ∝ h^3/2，两曲线在有限h范围内相交，对应实验包裹区（图4）。使用Triton X溶液后交叉区向左下角移动，与相图一致。

**讨论与结论**
讨论部分指出，系统为准静态，形态选择由能量竞争主导，但提升过程中铁丝的约束使变形途径受限于中心点对称，因此精确相图需进一步考虑力平衡与动力学效应。结论中翻译总结：“本研究通过系统改变薄膜边长、厚度和表面张力，确定了液体被薄膜包裹的有限参数区间（包裹）。在包裹区外，观察到折叠（薄膜对称变形并逐渐排液）和回缩（毛细分离后薄膜回到近乎平坦构型）两种形态。基于简化几何假设，证实包裹出现在弹性重力、弹性毛细与毛细长度尺度相当的交叉区。尽管能量估计简化，所得相图与实验半定量吻合。”研究还指出未来可探索液池极浅（~1 mm）或高粘度（1 Pa·s）条件下的动态效应，以及非牛顿流体的操控。