基于物理信息的神经网络，采用Caputo-Fabrizio导数方法处理非线性分形-分数延迟方程和混沌系统

《Scientific Reports》：Physics-informed neural networks with caputo-fabrizio derivatives for nonlinear fractal-fractional delay equations and chaotic systems

　　

摘要

复杂的动态系统，从异常扩散和忆阻器电路到旋转腔体内的对流流体运动，都表现出非局部记忆性、长程相互作用以及由分形-分数微分方程（FFDEs）控制的比例延迟现象。本研究提出了PINN-CF（一种基于物理信息的神经网络框架），该框架将Caputo-Fabrizio（CF）分数导数与Adam优化器相结合。CF算子通过L1有限差分方案得到了精确的近似。与依赖奇异核分数算子的标准PINN不同，PINN-CF采用了非奇异指数核，从而避免了初始奇异性，并能更好地捕捉平滑的记忆衰减过程。PINN-CF成功解决了四个FFDEs基准问题，包括潘塔格夫型延迟方程、基于忆阻器的神经电路以及旋转腔体内的对流流体运动FFDE系统。所提出的PINN-CF方法在残差误差方面表现优异，其误差可低于\(\:1{0}^{-4}\)，在接近经典极限的情况下甚至可降至\(\:1{0}^{-6}\)。通过收敛曲线和表格化结果验证了该方法的可重复性和有效性。与传统数值求解器相比，PINN-CF具有更高的灵活性、可扩展性和计算效率，并且能够轻松应用于非线性、多延迟、分布式阶数或随机模型。