磁电弹性材料中的分数阶纵波动力学：一种基于神经网络的方法

《Fractal and Fractional》：Fractional Longitudinal Wave Dynamics in Magneto-Electro- Elastic Materials: A Neural Network-Based Approach

　　

分数阶导数（Fractional Derivative）为描述记忆效应、长程相互作用及反常输运过程提供了有效的数学结构，这些现象难以用传统整数阶模型准确表征。本文提出单向分数阶纵波方程作为控制方程，用以建立磁电弹性（Magneto-Electro-Elastic, MEE）圆形杆中孤立波稳态传播的解释模型。磁电弹性物质是一类突破性的先进功能材料，因其高效的多场能量转换与温度响应性，在纳米技术与生物医学工程领域具有广阔前景。为求解该复杂的分数阶非线性方程，研究人员引入了一种新的计算—分析方法：Riccati子方程神经网络（Riccati Subequation Neural Network, RSENN）法。该混合解法将解析解构造与神经网络结构（含输入层、隐含层、输出层，神经元间通过权重连接与激活函数耦合）协同结合。需注意第一隐含层中每个神经元均与Riccati方程解相耦合，从而可系统性地采用新型试探函数。借助所提方法，获得了单向分数阶纵波方程的时空分数阶偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）以三角函数、双曲函数及有理函数形式的精确解析解。本文首次尝试将Riccati子方程法与神经网络模型相结合，得到了新型孤立波解。通过三维、二维及等值线图可视化这些解的动态特性，展示了丰富的非线性波行为。研究结果表明该方法的有效性与鲁棒性，且深化了对先进多功能材料中非线性波现象的理解，可为未来能量采集及生物医学器件设计提供参考。

论文解读：磁电弹性材料中的分数阶纵波动力学——基于Riccati子方程神经网络（RSENN）法的研究

一、研究背景与意义

非线性波动力学广泛应用于物理、工程及生物领域，其中孤子（Soliton）作为色散与非线性平衡形成的定域波，在光通信与海洋学中有重要应用。传统非线性偏微分方程（PDE）多采用修正Riccati映射法、Lie对称分析法等求解析解，而分数阶PDE因能描述记忆效应与长程作用更具优势。现有分数阶物理信息神经网络（fPINNs）依赖数值离散化与迭代训练，存在近似误差与易陷局部最优的问题，且多给出数值而非精确解析解。磁电弹性（Magneto-Electro-Elastic, MEE）材料兼具压电与压磁效应，其圆形杆中的非线性纵波传播模型尚未被系统地用统一框架求取多族精确解。为此，研究人员提出Riccati子方程神经网络（RSENN）法，将解析Riccati解嵌入神经网络结构，通过代数方程组直接获得分数阶PDE的精确解析孤波解，并以保形分数阶导数（Conformable Fractional Derivative, CFD）描述MEE介质中的分数阶纵波方程。该文发表于《Fractal and Fractional》。

二、主要关键技术方法

研究人员采用保形分数阶导数（CFD, 阶数ν∈(0,1]）定义时空分数阶MEE圆形杆纵波方程，通过行波变换ξ = x - c t 将其化为常微分方程。提出RSENN架构：输入层接收空间X与时间T变量，第一隐含层激活函数取Riccati子方程的三种通解（F(ξ) = -λ/(μ)tanh(μξ)、-λ/(μ)tan(μξ)、-λ/(A) coth(Aξ + h)等），第二隐含层用恒等及平方函数，输出层加权求和构成试探函数u(ξ)。将该试探函数代入约化后方程，令各幂次项系数为零得代数方程组，用待定系数法求解网络权重与偏差，从而获得精确解析解。选取2–2–2–1 RSENN结构（两输入、两首隐层神经元、两次隐层神经元、单输出），按Riccati参数λ2 - 4μ > 0（双曲/双曲余切）、< 0（三角/余切）、= 0（有理函数）分情形讨论，并用MATLAB绘制三维、二维及等值线图分析分数阶参数影响。

三、研究结果

2. Fractional Derivatives（分数阶导数）

研究人员选用CFD而非Caputo或Riemann–Liouville导数，因其保留乘积法则、链式法则且在行波约化下分析可处理性强，适合构造非线性分数阶演化方程的闭式半解析波解，虽不描述强遗传记忆但仍可引入分数阶行为以研究MEE系统中孤子结构。

3. Description of the Riccati Subequation Method（Riccati子方程法描述）

阐述标准Riccati子方程F'(ξ)=λ+μF2(ξ)及其三类通解（λ2-4μ的正负与零情形），作为后续神经网络第一隐含层激活函数的基。

3.1. Neural Network Model（神经网络模型）

定义前馈网络各层输入输出关系：隐含层神经元z_j^(l)=σ(∑w_ij^(l)z_i^(l-1)+b_j^(l))，输出u=∑w_kσ(·)+b，其中σ为激活函数，此处拟用Riccati解替代常规Sigmoid/ReLU。

3.2. Riccati Subequation Neural Network Method（Riccati子方程神经网络法，RSENN）

给出RSENN六步流程：选Riccati方程为目标→以Riccati解作首隐层激活函数构建网络→前向传播得试探函数→代入分数阶PDE化为代数方程→令各幂次系数为零得代数方程组→解之回代得精确解u(x,t)。该法无需训练、无数据依赖，仅做前馈计算与代数求解。

4. Studied Equation and Application of the Neural Network Method（研究对象方程与神经网络方法应用）

MEE圆形杆整数阶非线性纵波方程 u_tt-αu_xx-β(u3)_xx=0 被推广为CFD形式 D_t^νu - α D_x^2νu - β D_x^ν(u3)=0（ν为CFD阶数），经行波变换得 (c2-α)w'' - β(w3)''=0（w=u(ξ), ξ=κx^ν/ν - c t^ν/ν + ξ?）。应用2–2–2–1 RSENN得如下结果：

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  Case I（λ2-4μ > 0）：获暗孤子解u(x,t)=A?+A?tanh(μξ)形式（式16）、奇异解（式17）、亮–暗组合孤子（式18）、另一孤子解（式19）；当λ=0, μ=-A2/4时得组合奇异–暗孤子（式20）及显式孤立波解（式21–22）。图形显示分数阶参数ν改变波宽、幅值与局域化程度，ν→1退化为经典孤子。
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  Graphs of the Obtained Solutions and Applications：对式16、18、22绘制3D、2D截面及等值线图，表明暗孤子在MEE介质中传播稳定，可用于优化能量采集器设计与振动抑制控制器。
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  Case II（λ2-4μ < 0）：获三角函数形式周期解（式23–26，λ2-4μ<0情形）及λ2-4μ<0另一组周期解（式27–29）。图形显示低分数阶ν增强非局域记忆效应致波分裂与幅值调制，ν接近1抑制记忆效应呈经典周期行波，对分数阶介电与磁性材料电磁波调控有参考价值。
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  4.3. Comparison of the Solutions with the Already-Existing Literature（与已有文献解的比较）：RSENN较传统tanh函数展开法等可获得更多族解且具统一框架，相较fPINNs免去迭代训练且无数值离散误差，解的精度与理论严格性更高。

四、讨论与结论（翻译自Concluding Remarks）

本研究提出Riccati子方程神经网络（RSENN）法以获取分数阶偏微分方程的解析解，并将其应用于磁电弹性（MEE）圆形杆的分数阶非线性纵波方程。本工作主要科学创新在于首次将Riccati子方程法与神经网络架构相结合，在第一隐含层中引入基于Riccati方程解的试探函数，通过系统性地将分数阶偏微分方程转化为代数方程组来获得精确解析解。所得分数阶孤立波解显示其动态行为明显依赖于分数阶参数、非线性系数及电磁–机械耦合常数，并通过三维、二维及等值线图予以详述。所发展的RSENN法具有普适性，可推广至其他分数阶偏微分方程，未来可拓展至Caputo–Fabrizio及Atangana–Baleanu分数阶导数定义、与物理信息神经网络（PINNs）结合求解反问题及参数识别，并在实际弹性杆或层合板中验证，有望促进智能材料理论、波基信号处理及无损检测技术的发展。