逆幂逆洛马克斯(Inverse Power Inverse Lomax, IPILO)分布的统计推断、模拟与应用

《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》：A modified form of the Lomax distribution with statistical analysis: Case studies in music education and radiation

　　

摘要：研究人员提出了一种新型三参数寿命模型，即逆幂逆洛马克斯(Inverse Power Inverse Lomax, IPILO)分布，通过对逆洛马克斯(Inverse Lomax)分布施加阿尔法幂变换(Alpha Power Transformation, APT)得到。研究人员推导了该模型的累积分布函数(CDF)、概率密度函数(PDF)、分位数函数(QF)、Rényi熵、Tsallis熵、Bowley偏度(ρ3)、Moors峰度(ρ4)和顺序统计量表达式。为估计模型参数，研究人员采用了四种经典与贝叶斯方法：极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)、最大乘积间距法(Maximum Product of Spacings, MPS)、最小二乘估计(Least Squares Estimation, LSE)和贝叶斯估计(Bayesian Estimation, BE)。通过广泛的模拟研究，研究人员基于偏差(Bias)和均方误差(Mean Squared Error, MSE)比较了各估计量的有限样本表现。研究人员还将IPILO分布与诱导洛马克斯(Induced Lomax, ILO)、威布尔(Weibull, We)、伽马(Gamma, Ga)、广义指数(Generalized Exponential, GEx)、扩展逆指数(Extended Inverted Exponential, EIEx)、Perk(PE)、Ishita(ISH)和Sujatha(SU)等模型，在三个实际数据集（癌症缓解时间、埃及月度税收收入、舞蹈教师评分）上进行了拟合优度比较，采用的准则包括Akaike信息准则(AIC)、贝叶斯信息准则(BIC)、Hannan?Quinn信息准则(HQIC)、Kolmogorov–Smirnov(K–S)检验、Cramér–von Mises(W*)、Anderson–Darling(A*)以及P值。结果表明IPILO分布在多数情形下优于对照模型，MLE在参数估计精度上总体最优，该模型在辐射研究、金融与教育等领域具有应用价值。

研究背景方面，现有寿命模型如洛马克斯(Lomax)分布、逆洛马克斯(Inverse Lomax)分布、逆幂逆洛马克斯(Inverse Power Lomax, IPL)等在灵活性上仍有限制，例如左尾适应性不足、风险率函数形状单一，难以同时刻画复杂数据的偏度、峰度与重尾特征，且在参数估计遇到似然奇异时表现不稳定。为克服这些局限，研究人员开展了新型三参数寿命模型IPILO（逆幂逆洛马克斯分布，由逆洛马克斯分布结合阿尔法幂变换APT得到）的构建工作，系统推导其统计性质，发展多种参数推断方法并通过模拟与实际数据验证其优势，论文发表在《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》。

关键方法上，研究人员主要采用：推导IPILO的CDF、PDF、分位数函数(QF)、Rényi熵、Tsallis熵、Bowley偏度(ρ₃)、Moors峰度(ρ₄)、顺序统计量解析表达式；采用四种参数估计方法——极大似然估计(MLE)、最大乘积间距法(MPS)、最小二乘估计(LSE)、贝叶斯估计(BE，基于独立Gamma先验与平方误差损失，通过Metropolis?Hastings within Gibbs抽样实现MCMC)；通过蒙特卡洛模拟（500次重复，样本量n=200~400，多组参数组合）以偏差(Bias)和均方误差(MSE)评价估计量有限样本性能；选用三个实际样本队列——128例癌症患者缓解时间（来源Lee and Wang, 2003）、59个月埃及月度税收收入（2006.1~2010.11，来源Shen et al., 2025）、19个音乐教育中舞蹈教师评分（来源Van Rossum, 2004），采用AIC、BIC、HQIC、K–S检验、Cramér–von Mises(W^*)、Anderson–Darling(A^*)、P值进行拟合优度比较，对照模型含ILO、Weibull(We)、Gamma(Ga)、广义指数(GEx)、扩展逆指数(EIEx)、Perk(PE)、Ishita(ISH)、Sujatha(SU)。

研究结果方面，在4.分位数函数与基于分位数的度量中，研究人员由CDF反解得到闭式分位数函数(Q_X(u)=Q(u)=[λ((u)^?1/(α?1)?1)]^?1/β，代入u=0.25,0.5,0.75得到Q₁、中位数Q₂、Q₃，进而定义Bowley偏度ρ₃=(Q_0.75?2Q_0.5+Q_0.25)/(Q_0.75?Q_0.25)与Moors峰度ρ₄=(Q_0.875?Q_0.625?Q_0.375+Q_0.125)/(Q_0.75?Q_0.25)，结论为α主要控制形状（增大α使四分位数右移、偏度与峰度下降，体现从重尾到适中尾的转变），λ主要作为尺度参数（增大λ使四分位数减小），β对ρ₃、ρ₄影响很小，确认α控形状、λ控尺度。在4.5.Rényi熵中，研究人员推导得IPILO的Rényi熵I_δ(x)=1/(1?δ) log{[β^δ?1(α?1)^δλ^(δ?1)/βB(δ+(δ?1)/β, δ(α?1)?(δ?1)/β)}，结论是该熵有闭式表达式，可通过β函数表示。在4.6.Tsallis熵中，研究人员给出Tsallis熵T_q(x)=1/(1?q) log[1?β^δ?1(α?1)^δλ^(δ?1)/βB(δ+(δ?1)/β, δ(α?1)?(δ?1)/β)]（原文此处符号混用δ与q，实质为Tsallis阶数q对应δ），结论是可借助同一积分形式表示。在4.7.顺序统计量中，研究人员推导了第j个顺序统计量PDF：f_X(j)=n!/((j?1)!(n?j)!) f_X(x)[F_X(x)]^j?1[1?F_X(x)]^n?j，并给出最大X_(n)与最小X₍₁₎的PDF具体形式（代入IPILO的f与F），结论为顺序统计量有显式表达，便于可靠性分析应用。在5.估计方法中，研究人员建立极大似然估计(MLE)的对数似然?l/?α=n/(α?1)?Σlog(1+x_i^?β/λ)，?l/?λ=?n/λ+(α/λ)Σ[x_i^?β/(λ+x_i^?β)]，?l/?β=n/β?Σlog x_i+αΣ[x_i^?βlog x_i/(λ+x_i^?β)]，需数值求解；最大乘积间距法(MPS)通过最大化H(α,λ,β)=(1/(n+1))Σlog D_i估计，D_i=F(x_(i))?F(x_(i?1))；最小二乘估计(LSE)最小化Σ[F(x_(j))?j/(n+1)]²；贝叶斯估计(BE)采用独立Gamma先验π(α)∝α^a₁?1exp(?b₁α)(α>1)，π(λ)∝λ^a₂?1exp(?b₂λ)(λ>0)，π(β)∝β^a₃?1exp(?b₃β)(β>0)，后验通过MCMC(Gibbs内嵌Metropolis?Hastings)抽样，平方误差损失下估计为后验均值；结论为四类方法均无闭式解但可数值实现，MLE与MPS较稳定。在6.模拟研究中，研究人员在参数组合(α=1.2,β=0.4,λ=0.6)、(1.5,0.5,0.75)、(1.8,1.3,1.7)、(1.9,1.4,1.3)、(2,0.6,0.9)、(2.2,1.2,0.5)下，样本量n=200,250,300,350,400，500次重复，比较MLE、MPS、LSE、BE的偏差与MSE；结论为所有方法偏差与MSE随n增大而减小，MLE总体偏差与MSE最小、精度最高，MPS次之且在较大样本时表现接近MLE，LSE偏差与MSE偏大尤其小样本不稳定，BE可降低偏差但MSE常高于MLE与MPS，推荐MLE为首选参数推断方法。在7.实际应用部分，研究人员在三个实际数据集上拟合IPILO与对照模型：数据集I（128个癌症缓解时间）IPILO的AIC=825.396,BIC=833.952,K–S=0.032,P值=0.999均为最优；数据集II（59个月埃及税收）IPILO的AIC=383.589,BIC=389.821,K–S=0.066,P值=0.959最优；数据集III（19个舞蹈教师评分）IPILO的AIC=189.254,BIC=192.078,K–S=0.173,P值=0.619最优；结论为IPILO在实际数据上拟合优度一致优于ILO、Weibull、Gamma、GEx、EIEx、Perk、Ishita、Sujatha等对照模型，验证了其灵活性和适用性。

讨论与结论部分总结：研究人员讨论了IPILO分布通过引入APT成功增强了原逆洛马克斯分布的灵活性，闭式分位数函数使逆变换抽样、分位数回归无须数值反解；Rényi熵与Tsallis熵有基于β函数的闭式；模拟证实MLE为最优推断手段；实际数据应用表明该模型在辐射相关生存数据（癌症缓解时间）、经济金融数据（税收）、教育评分数据上均优于多个常用寿命与偏态模型。研究结论为IPILO分布是一类具有理论完备性与实际应用价值的新型三参数寿命模型，适用于辐射研究、可靠性、经济与教育等多领域的正偏、重尾数据建模。