神经网络中的癫痫样快慢复合波：树突振荡的机制及非突触参与机制

《Neurocomputing》：Epileptiform fast-slow compound waves in neural networks: Mechanisms of dendritic oscillations and non-synaptic recruitment

　　李彦成|沈庆茹|邱建龙|孙向东|陈向勇

摘要
本文研究了在部分通信通道故障下，具有输出导数耦合的多权重复杂网络中的固定时间输出同步问题。与以往的研究不同，本文关注了动态网络的输出导数耦合，由于技术挑战，这一领域在当前研究中尚未得到足够的重视。此外，本文还考虑了多权重拓扑结构和部分通信通道故障，从而更准确地描述了实际网络。基于这一框架，设计了一种有效的控制器，并推导出充分条件以确保固定时间输出同步，通过分层分析方法来处理不完整的信息交换。此外，还提出了一种新颖且可行的自适应控制器，该控制器能够自动调整每个通信拓扑和每个子信息层中的控制增益。最后，通过数值模拟验证了理论结果的有效性。

引言
复杂动态网络（CDNs）因其能够有效捕捉实际系统的结构和动态特性而引起了广泛关注，例如交通网络、电力系统和通信系统[1]、[2]、[3]。在CDNs的各种行为中，同步是最基本和最重要的行为之一，其中相互连接的节点通过交互将它们的动态行为调整到共同的轨迹[4]、[5]、[6]。在许多实际系统中，全状态同步既不是必需的也不可行。一方面，某些场景不需要所有状态变量来实现同步；另一方面，全状态观测在技术上具有挑战性或在经济上不可行。因此，输出同步最近受到了越来越多的关注，而以状态耦合为特征的网络则主要被研究[7]、[8]、[9]、[10]。
关于同步的性能，收敛速度是一个关键考虑因素。渐进同步通常对于应用来说太慢。虽然有限时间控制可以保证更快的收敛速度，但其稳定时间严重依赖于初始条件。为了克服这些问题，提出了固定时间同步作为一种更好的方法，因为其收敛时间与初始状态无关。这一特性使其特别适用于初始状态未知或难以定义的场景。固定时间同步已广泛应用于各种网络分析中，例如受脉冲效应影响的网络[11]、具有时变延迟的不连续神经网络[12]、[13]、具有信号量化的多层网络[14]以及T-S模糊复杂网络[15]、[16]。探索复杂网络的固定时间同步具有重要意义。

在复杂动态网络中，节点之间的信息交换是一个基本现象。然而，现有文献中的一个常见且重要的限制是假设了一个理想的通信环境，其中所有传输的数据都保持完好无损。实际上，网络容易受到带宽限制、外部干扰或恶意攻击的影响。尽管一些研究开始考虑通信约束，但它们通常假设通道完全中断（例如，在DoS攻击下）[17]、[18]、[19]。在实践中，节点传输的信息包含多个维度成分。部分通信通道故障——即某些维度通道正常工作而其他通道失效的情况——在现实世界的网络中非常普遍[20]、[21]、[22]。受此现实启发，一些研究探索了在这种实际通信约束下的同步[23]、[24]、[25]。李等人[23]首次提出了一种基于状态分层的方法来实现这种约束下的有限时间同步。黄等人[24]考虑了马尔可夫切换通道，并使用重组策略获得了渐进同步结果。尽管有这些有价值的尝试，但关于部分通信通道故障的研究仍然非常有限，而在这种约束下的固定时间同步基本上尚未被探索。受此差距的启发，本文研究了在部分通信通道故障下复杂动态网络的固定时间输出同步。

从控制的角度来看，在这种通信约束下实现同步而不消耗过多能量是另一个关键考虑因素。[23]、[24]、[25]依靠固定增益控制或耦合机制解决了部分通信通道故障问题。实际上，自适应机制通过动态调整控制增益，表现出显著的灵活性和鲁棒性，以应对严重的不确定性[26]、[27]、[28]。目前，自适应控制器通常生成一个统一的自适应增益来同时调节所有维度的演变。然而，部分通信通道故障表明不同维度之间的故障高度不对称。对这种不对称的通信故障应用统一的增益可能会导致健康通道不必要的能量浪费或对失败通道的补偿不足。因此，开发一种分层自适应控制策略来克服这种结构冲突并实现固定时间同步仍然是一个重要且具有挑战性的问题。受此限制的启发，本文研究了一种分层自适应控制策略，在不对称的部分通道故障下为每个维度分配独立的增益。

与状态耦合不同，输出耦合仅限制交互作用于输出变量，从而更真实地反映了CDNs中的信息约束[29]、[30]、[31]、[32]。此外，在许多实际网络中，节点交互不仅依赖于输出变量，还依赖于它们的变化率——这种机制称为导数耦合。一个典型的例子是智能交通网络，其中车辆的加速度直接影响相邻车辆的行为。因此，输出导数耦合——节点仅通过部分输出测量的变化率进行交互——代表了一种更为现实的机制，解决这个问题具有重要的实际意义。已经为具有导数耦合的网络建立了一些结果[33]、[34]、[35]、[36]、[37]；然而，这些研究仅限于状态导数耦合。尽管有一些开创性的研究考虑了输出导数耦合，但它们的同步目标通常是实现渐进同步或有限时间同步[38]、[39]、[40]。据我们所知，实现具有输出导数耦合的网络的固定时间同步仍然是一个完全未解决的前沿问题，本文旨在解决这一问题。

此外，需要强调的是，现实世界网络中节点之间的互连通常表现出多权重特性，使得多权重复杂网络更能代表实际系统[41]、[42]、[43]、[44]。例如，在城市交通系统中，不同的地点对通过各种交通方式（如公交车、地铁、汽车）连接。虽然这些方式具有相同的动态变量（如交通流量），但每种方式都有其独特的耦合拓扑和特定的连接权重。更重要的是，尽管现有的多权重网络研究已经开始考虑输出导数耦合[39]、[40]，但它们普遍假设了一个理想的通信环境。多权重网络中的部分通信通道故障问题尚未得到解决，这是当前网络建模中的一个重大缺陷。

受上述理论空白和架构限制的启发，本研究首次研究了在部分通信通道故障下多权重CDNODCs的固定时间输出同步。为了清楚地说明所提出工作的理论进展和优势，表1中提供了全面的比较。在这一系统比较的驱动下，下面介绍了核心贡献：
(1) 考虑了一种新颖且实用的网络模型用于CDNODCs。与现有的仅限于状态耦合、单权重拓扑或理想通信环境的模型不同，该模型同时结合了输出导数耦合、多权重拓扑和部分通信通道故障，从而显著提高了其适用于实际系统的能力。
(2) 首次研究了在部分通信通道故障下多权重CDNODCs的固定时间输出同步问题，并在三种情况下估计了稳定时间。所提出的控制器不包含任何符号函数，从而消除了抖动现象。
(3) 开发了一种新颖的分层自适应控制器，以提高CDNODCs对部分通信通道故障的可行性和鲁棒性。所提出的分层自适应控制器根据实际通信质量自动调整每个维度的耦合增益，从而确保可靠的固定时间同步，而不会消耗过多能量。

部分片段
初步概念
本节介绍了图论的初步概念，以及基本假设和引理。
G=(V,E)表示由节点集V={1,2,?,N}和边集E?V×V组成的图。Vi={j|(i,j)∈E}表示无向图G中节点i的所有邻居节点的集合。
假设1
给定任何x,y∈R，函数hq(?)(q=1,2,?,z)遵循Lipschitz条件，如下：
|hq(x)?hq(y)|≤?q|x?y|
其中?q表示一个正数。
引理1[45]：给定任何正常数x1,x2,?,xn和01，

模型构建
在许多实际网络系统中，一个节点的输出状态的时间导数可能会动态影响其他节点的行为。为了实现多权重CDNODCs的输出同步，模型建立如下：
x?i(t)=?Bxi(t)+h(xi(t))+J(t)+∑p=1k∑j=1NaijpΓpy?j(t)+ui(t)
yi(t)=Cxi(t),
i=1,2,?,N
其中i, j=1, 2, …, N表示网络节点的数量；p=1, 2, …, k表示不同通信拓扑中节点对之间的链接数量；xi(t)=(xi1(t),xi2(t),?,xi

数值示例
本节提供了数值验证，以验证定理1和定理2在部分通信通道故障下的输出同步。
示例1
考虑以下具有5个节点和两种通信拓扑的网络：
x?i(t)=?Bxi(t)+h(xi(t))+J+∑p=12∑j=15aijpΓpy?j(t)+ui(t)
yi(t)=Cxi(t),
i=1,2,?,5
其中B=diag{0.7,0.8,0.9}；J=(1.8,2.4,2.5)T；
h(xi(t))=(|xi1(t)+1|?|xi1(t)?1|4,|xi2(t)+1|?|xi2(t)?1|4,|xi3(t)+1|?|xi3(t)?1|4)T；
A1=(?0.9 0.5 0.4 0?0.6 0.3 0.3 0.5 0?0.8 0.3 0.4 0.3 0?0.8 0.1 0.3 0.1)

结论
本文建立了一个框架，用于实现多权重CDNODCs的固定时间输出同步，明确考虑了部分通信通道故障的问题。所提出的分层方法利用通道矩阵来处理部分通信通道故障，有效地将网络分解为多个独立的子信息层。然后，通过设计固定反馈和分层自适应控制器，实现了固定时间输出同步标准CRedi

作者贡献声明
沈庆茹：写作——审阅与编辑、验证、方法论。
邱建龙：可视化、软件。
孙向东：写作——审阅与编辑、监督、概念化。
陈向勇：写作——审阅与编辑、监督。
李彦成：写作——原始草稿、方法论、资金获取、概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。
李彦成于2013年获得中国聊城聊城大学的学士学位，2016年获得中国济南山东师范大学的硕士学位，2019年获得中国大连东北财经大学博士学位。她目前是中国北京化工大学经济与管理学院的副教授。她的当前研究兴趣包括忆阻神经网络、切换复杂网络。