内部加热对流中普朗特数(Prandtl number, Pr)与旋转效应的数值研究

《Journal of Fluid Mechanics》：Prandtl number dependence of rotating internally heated convection

　　

摘要：研究人员采用直接数值模拟(Direct Numerical Simulation, DNS)方法研究了三维内部非均匀加热对流(Internally Heated Convection, IHC)中普朗特数(Pr∈[0.1,100])及系统旋转(Ekman数E∈[10??,10?3], Rossby数Ro)对流动形态、热输运及耗散分布的影响。IHC系统由上、下等温刚性壁构成，内部体积热源维持稳态温度梯度，底部形成稳定分层(stably stratified)而顶部为不稳定分层(unstably stratified)。研究发现：无旋转时，体积平均温度?T?￣受顶部热边界层控制而对Pr不敏感(?T?￣～R??·2)，但垂直热通量?wT?￣及底部边界层特性显著依赖于Pr——低Pr下底部活跃湍流产生"对称性恢复"，高Pr(≥10)底部出现准静止"死区(dead zone)"；旋转引入后，垂直热通量?wT?￣在所有Pr下均有增强(低Pr可达30%)，而整体换热效率(类比Rayleigh-Bénard对流Nusselt数Nu)仅在Pr≥1时因Ekman抽吸(Ekman pumping)机制获得提升。热耗散(thermal dissipation)主要由顶部边界层贡献，粘性耗散(viscous dissipation)则主导于块体区(bulk)；强旋转下热耗散重心向块体转移。结果表明IHC的热输运瓶颈受控于顶部热边界层，Pr通过改变底部稳定分层状态影响流场非对称性与垂直热通量，旋转通过重组流场拓扑(柱状体columnar structures)调制上下边界层不对称度。

论文解读：内部加热对流中Prandtl数与旋转效应的数值研究

本文发表于《Journal of Fluid Mechanics》，研究对象为内部加热对流(Internally Heated Convection, IHC)——即流体层内存在均匀分布体积热源、上下边界分别维持冷(top, T=0)和热(bottom, T=1)等温条件的热对流系统。与经典Rayleigh-Bénard对流(Rayleigh-Bénard Convection, RBC)不同，IHC的顶部边界层为热不稳定(unstably stratified)，底部为热稳定(stably stratified)，导致流场天然缺乏镜像对称性，且全局热平衡由内部产热与上边界散热决定。已有IHC研究多局限于Pr=1或二维情形，对Pr变化及Coriolis力(旋转)耦合效应的三维系统性认知尚缺，尤其Pr对底部稳定分层穿透深度、旋转下Ekman泵送与Pr的交互作用不明。本研究旨在量化Pr∈0.1,100及Pr∈0.1,10、Rayleigh数R∈[10?,101?]、Ekman数E∈[10??,10?3]下IHC的响应，阐明Pr与旋转如何调控边界层、耗散与热输运。

主要技术方法：

研究人员采用谱法直接数值模拟(Direct Numerical Simulation, DNS)求解Boussinesq近似下的不可压Navier-Stokes方程（含Coriolis项?2Ω×u），无量纲化以内部加热时间尺度κ/d2及温度尺度ΔT=Qd2/(2κρc_p)。计算域为矩形周期水平方向、上下无滑移等温壁，网格分辨率2882×144至3842×512不等，满足耗散平衡判据|?|?T|2?￣ ? ?T?￣|/?T?￣ ≤1%。初场由邻近Pr或R的稳态场继承，统计量经足够长瞬态衰减后采集(t_av确保?T?￣与?wT?￣波动<1%)。Pr=0.1,100分别从Pr=0.3,10继承初始化。参照Ostilla-Mónico & Arslan (2025)及Stevens et al. (2010b)分辨率标准，最大网格间距≤1.5倍Kolmogorov尺度η_K，无旋转时顶部热边界层至少6个网格点。

研究结果：

3. 无旋转IHC(Non-rotating IHC)

3.1 流场可视化(Flow visualisation)： 通过R=101?下不同Pr的温度场体绘制发现：Pr=0.1与1时底部稳定分层被下行羽流(plumes)强烈搅动，具高湍流度；Pr=10出现细长连贯羽流；Pr=100羽流极细且底部近静止——表明Pr增大强化底部稳定分层抑制效应。

3.2 全局量(Global quantities)： 底部分热流分数F_B=1/2??wT?￣随R增大单调下降(更多热从上边界逸出)，Pr减小使F_B略增(低Pr垂直换热略弱但因底部受扰动大)。体积平均温度?T?￣～R??·2对各Pr基本重合，仅Pr=0.1微偏高。风Reynolds数Re_w=U_wd/ν随R增大、Pr减小，幂律Re_w～R^α(0.38<α<0.5)，高Pr近似Re_w～Pr?1。

3.3 温度与速度统计(Temperature and velocity statistics)： 平均温度剖面?T?(z)对Pr不敏感；温度涨落?T′?在低Pr时更大且上下边界层不对称明显，高Pr底部涨落近零。水平速度涨落经Pr?1?2补偿显示：低Pr底部单调增至块体值，Pr≥0.3底部现双段结构(黏性次层+稳定分层区)，Pr=100底部完全抑制成死区。垂向速度涨落剖面基本Pr无关。

3.4 耗散率(Dissipation rates)： 热耗散率?ε_θ?剖面基本Pr无关，超半数来自顶部边界层，遵循?ε_θ?_{top BL}～R??·2支撑?T?￣标度。粘性耗散?ε_ν?低Pr时底部略升但仍远低于块体值；高Pr底部近零。总粘性耗散由块体主导，确认三维IHC为块体主导(bulk-dominated)而非边界层主导。

3.5 小结(Summary)： Pr主要通过改变底部稳定分层活跃度影响流场——低Pr湍流穿透"恢复部分对称性"，高Pr底部死区形成；?T?￣受控于顶部故Pr不敏感，?wT?￣(及F_B)呈Pr依赖。

4. 旋转影响IHC(Rotationally affected IHC)

4.1 流场可视化(Flow visualisation)： E=10??下Pr=0.1流场仍似无旋转湍流；Pr=1出现局域羽流簇；Pr=10形成竖直柱状结构(columnar convection, Taylor columns)，表明旋转组织流场效果强依赖于Pr。

4.2 全局量(Global quantities)： 归一化垂直热通量?wT?￣/?wT?￣_∞在中等旋转(0.1?1/Ro?1)先升后降，低Pr增幅~30%，Pr=10仅~10%。风Re_w/Re_w,∞单调降。平均温度比?T?￣_∞/?T?￣(类Nu增强)仅在Pr≥1时显现且限于特定R、E范围——证实Ekman抽吸增强顶边界层换热需Pr足够大克服热扩散。?wT?￣增强源于旋转加大上下边界层不对称(低Pr靠底部稳定分层加深不对称，高Pr靠顶Ekman泵送)，与?T?￣解耦。

4.3 温度与速度统计(Temperature and velocity statistics)： 旋转引入后块体温梯(d?T?/dz≠0)当1/Ro≥1出现。温度涨落在块体被旋转放大(除近底)，低Pr底边界层涨落被旋转压制而后在高旋转再升。顶热边界层厚度δ_θ,top在1/Ro≈1前恒定随后增厚；底热边界层δ_θ,bottom一般随旋转增大。顶速度边界层δ_ν,top～E^1/2符合Ekman层标度。水平速度涨落先抑(旋转稳定效应)后因Ekman层出现再增。

4.4 耗散率(Dissipation rates)： 旋转抑制块体与底边界粘性耗散、增强顶边界粘性耗散；热耗散在块体增、边界减。强旋转(E<10??)热耗散主导区从顶边界转至块体，暗示进入旋转约束态(geostrophic regime)前热输运瓶颈转移。

5. 结论(Conclusion and outlook)：

研究人员得出结论：(1) IHC中体积平均温度?T?￣对Pr具鲁棒性因其受控于顶部热边界层，但Pr深刻改变底部稳定分层状态——低Pr湍流穿透致"对称性恢复"，高Pr(→100)底部形成静止死区，暗示地质/天体物理IHC中"有效对流深度"受Pr调控。(2) 旋转提升垂直热通量?wT?￣对所有Pr成立，但整体换热效率(?T?￣降低)仅在Pr≥1因Ekman抽吸获增强，证实Ekman机制需足够大Pr克服热扩散。(3) IHC与RBC存在类比(顶部边界层标度)但底部稳定分层赋予独特Pr敏感性；热耗散主源为顶边界层(无旋)或转向块体(强旋)，粘性耗散始终块体主导。(4) 未来应探究Pr→∞饱和行为及更低E下地转(geostrophic)IHC与低Pr亚临界对流稳定性。

注：文中所用参数定义——Rayleigh数R=gβQd?/(κ2ν)，Prandtl数Pr=ν/κ，Ekman数E=ν/(2Ωd2)，Rossby数Ro=R^1/2E/Pr，内部加热Nusselt类比?T?￣?1，底热流分数F_B=1/2??wT?￣，垂直对流热通量?wT?￣，耗散平衡?|?T|2?￣=?T?￣。