《Journal of Fluid Mechanics》：Derivation of a consistent shallow-flow model for viscoplastic fluids and application to the dam-break problem and flow stoppage
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针对沿倾斜平面传播的Herschel-Bulkley流体，研究人员推导出了一组一致的三方程浅水流（shallow-flow）模型。严格的渐近方法被用于将材料的复杂流变性质纳入模型之中。推导的难点在于流动内部同时存在剪切层（sheared layer）——其中材
针对沿倾斜平面传播的Herschel-Bulkley流体，研究人员推导出了一组一致的三方程浅水流（shallow-flow）模型。严格的渐近方法被用于将材料的复杂流变性质纳入模型之中。推导的难点在于流动内部同时存在剪切层（sheared layer）——其中材料严重超出屈服阈值，以及伪塞层（pseudoplug layer）——其中材料恰好处于屈服临界状态。模型推导分为两个步骤：首先，流动变量在剪切层和伪塞层中均按流动的长宽比（aspect ratio）展开至一阶精度；研究人员提出了一种特定的本构关系张量推广形式，使得在整个区域内能够实施正则扰动方法。其次，质量、动量和能量平衡方程在流深方向上进行形式平均，由此得到三个耦合方程，分别描述流体深度、平均流速以及第三个变量——涡量（enstrophy），后者与流动内部的剪切作用相关。最终模型具有完全双曲型系统（fully hyperbolic system）的结构，并包含松弛源项（relaxation source terms），能够适应干前沿（dry fronts）和材料停滞（material stoppage）的表征。线性稳定性分析表明，塑性具有稳定化效应，这与实验结果高度吻合。研究人员提出了一个简单的平衡型数值格式（well-balanced numerical scheme），并模拟了多种流动构型，包括滚波（roll waves）和溃坝问题，系统考察了塑性、剪切稀化（shear-thinning）以及伪塞层内剪切作用的相对影响。
该研究发表于《Journal of Fluid Mechanics》，旨在建立能够准确描述粘塑性流体自由表面流动的一致浅水流模型。粘塑性流体在应力低于屈服应力时表现为固体，超过该阈值后则表现为粘性流体。这类材料广泛存在于众多地球物理流动（如雪崩、泥石流和熔岩流）以及工程应用（如喷墨打印、巧克力制作和混凝土浇筑）中。传统的直接数值模拟需要极大的计算资源，并在屈服面附近需要极精细的网格划分，因此降维近似模型具有重要意义。
现有浅水流模型主要包括单方程、两方程和三方模型。单方程模型结构简单但可能产生发散或非物理解；两方程模型包含惯性效应但通常与功-能定理不兼容；三方程模型通过引入涡量（enstrophy）变量描述内部剪切，保证了与功-能定理的兼容性，并具有完全双曲型结构，确保问题的适定性和计算的高效性。对于粘塑性流体，现有的一致模型十分稀少，且多限于Bingham流体；扩展至Herschel-Bulkley流体面临额外困难，包括粘性应力张量的奇异性以及幂律流变学的非线性行为。此外，大多数实际应用中的模型采用非一致性的启发式封闭，虽能预测前沿速度和自由表面形状，但通常无法准确捕捉平衡流的不稳定性阈值。
推导一致Herschel-Bulkley浅水流模型的主要困难在于渐近展开的复杂性。在leading-order，速度展开描述流动底部为剪切层、自由表面附近为刚性塞层的结构；但在下一阶，该塞层实为伪塞层，其应变率为O(ε)量级，且应变率在伪塞层与剪切层界面处发散，导致速度剖面不光滑。虽然可基于此展开推导一致模型，但所得模型数学结构复杂，且在大倾角下预测出非物理的塑性失稳效应。研究人员团队此前提出了一种替代路径，基于Herschel-Bulkley定律的替代张量扩展，构造了光滑的速度渐近展开。本研究即基于此展开，结合Richard等人的三方程方法，推导一致的三方程浅水流模型。
研究人员采用的关键技术方法包括：（1）提出Herschel–Bulkley本构定律的替代张量扩展，通过四个条件定义屈服应力张量，避免经典张量公式的奇异性，并允许在整个区域实施正则扰动；（2）采用长波渐近展开方法，将流动变量按长宽比ε展开至一阶精度，在伪塞层中引入"Bingham平台"正则化参数δ以处理幂律指数n<1时的有效粘度发散问题；（3）对质量、动量和能量方程进行流深方向的形式平均，引入涡量φ作为描述内部剪切的第三变量；（4）构造双曲型松弛系统，使模型在h≤h
p（h
p为伪塞层厚度）时通过过渡函数f平滑过渡到幂律流体极限，从而正确处理流动停滞；（5）采用Godunov型格式结合Rusanov求解器进行数值求解，将静水压视为源项以构建平衡型格式，并实施离散化的屈服准则判断流动启停。
研究结果部分，"线性稳定性"方面，研究人员对均匀平衡流进行线性稳定性分析，推导出色散关系，得到临界雷诺数Re
c的解析表达式。分析表明塑性具有稳定化效应：随Bingham数Bi增加，Re
c增大。当δ=0时，结果与Balmforth & Liu (2004)的零伪塞层剪切模型完全一致。剪切稀化效应（n减小）在低屈服应力时 destabilizing，在高屈服应力时 stabilizing。与Noma等人的实验对比显示良好吻合，且伪塞层剪切参数δ的影响很小。
"滚波模拟"方面，对受扰动的均匀平衡流进行数值模拟，系统考察了不同n、Bi和δ值下的滚波演化。结果表明：增大Bi减小滚波的振幅和波长；n的影响取决于Bi值，在Bi=0.35时n减小减小振幅和波长，在Bi=0.05时n减小增大振幅但减小波长；δ增大导致滚波振幅轻微减小，归因于伪塞层剪切引入的额外能量耗散。与Fiorot等人的实验对比显示，波后区域吻合较好，但模拟波幅大于实验，归因于O(ε)模型缺少扩散效应。
"溃坝模拟"方面，模拟了经典的粘塑性溃坝问题。结果显示两个主要流动阶段：早期的惯性主导阶段（约1秒内）和后期的缓慢蠕变阶段。通过比较发现，将静水压作为源项的平衡型格式能更好地保持前沿的90°接触角，而非平衡格式在低速时会产生数值抹平。与Ancey & Cochard (2009)的实验对比表明，三方程模型能很好捕捉早期惯性和过渡阶段，与润滑模型在后期基本重合；在小倾角时理论与实验偏差可能源于底部滑移。
"流动停滞"方面，研究重点考察了溃坝流动的长时间演化和最终形态。结果表明，通过将静水压作为源项，模型能恰当描述低速行为及材料停滞。最终静态堆积有两种典型情形：（1）缓慢停止，最终形态满足经典静力平衡方程（4.30）；（2）突然停止，由于惯性较大导致驱动力骤降，形成非平凡堆积形态。数值结果显示了stop-and-go运动模式：前沿停止后，后部物质继续推进堆积，压力梯度逐渐增大直至再次达到屈服阈值而引发新的位移。
在"模型选择"部分，研究人员指出从同一渐近展开可导出无限多种形式上O(ε)等价的一致模型，关键在于源项的选择。通过比较稳态涌浪（steady-state surge）的解，建立了以能否复现润滑模型解为选择准则。研究发现，粘性摩擦项采用与Herschel-Bulkley应力张量相似的非线性形式（∝(U/h)|U/h|
n-1）时，结果与润滑模型及实验数据高度吻合；而采用线性依赖U的形式则在大n值时显著偏离。这一发现对发展简化的两方程模型具有指导意义。
研究结论部分，研究人员总结指出：基于替代张量表述的Herschel-Bulkley本构定律，通过光滑渐近展开推导出了粘塑性流体流动的一致浅水流模型。该三方程模型（质量守恒、动量平衡和涡量方程）具有完全双曲型结构，源项经过特殊设计以捕捉干前沿和流动停滞。数值求解基于将静水压视为源项的Godunov格式，这对于描述近塑性极限的低速行为至关重要。模型包含的伪塞层剪切参数δ影响甚小，支持在实际应用中采用δ=0的简化处理。线性稳定性分析确认了塑性的稳定化效应，并与已有理论和实验结果一致。滚波、稳态涌浪和溃坝问题的数值模拟表明模型能定量复现实验数据，特别是正确计入惯性效应，这是润滑模型所不具备的优势。研究同时指出，未来可在模型中纳入扩散项以改善滚波和尖锐前沿的预测，并考虑非平整底部地形。该模型可作为进一步发展和评估更简单、计算更实用的模型的参照基准。
