《Scientific Reports》：Exact noise influenced soliton solutions of a high-order stochastic nonlinear Schr?dinger equation with weak nonlocal nonlinearity in a non-Kerr medium
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本研究研究了一种具有弱非局域非线性的高阶随机非线性Schr?dinger方程（SNLSE），该方程描述非Kerr律介质中的非线性光学行为。该模型用于描述在随机效应和高阶非线性相互作用共同作用下，非线性光学光纤中孤子的传播特性。为获得解析解，研究人员采用了波变换
本研究研究了一种具有弱非局域非线性的高阶随机非线性Schr?dinger方程（SNLSE），该方程描述非Kerr律介质中的非线性光学行为。该模型用于描述在随机效应和高阶非线性相互作用共同作用下，非线性光学光纤中孤子的传播特性。为获得解析解，研究人员采用了波变换结合符号计算以及修正扩展映射法（MEMM）的方法。由此推导出多种精确波解，包括亮孤子（bright soliton）、暗孤子（dark soliton）、奇异孤子、周期孤子和有理型孤子。通过微扰理论（perturbation theory）和色散关系分析进行了严格的线性稳定性分析，证明所得解在小扰动下具有线性稳定性。研究还通过不同参数设置下解的图形化行为展示了模型的动力学特征。结果证实了所提方法在处理高阶随机非线性Schr?dinger型方程时的有效性和可靠性。
非线性偏微分方程（NPDEs）在量子力学、化学物理、数学物理和光纤通信等多个科学领域具有广泛应用，用于模拟多种科学过程。其中，孤子解（soliton solution）的研究尤为重要，这类解现在可以通过符号计算程序系统性地提取。利用光纤进行波传播的研究对于理解和控制通信网络至关重要。目前已发展出多种积分技术用于处理非线性偏微分方程，包括扩展直接代数法、Sardar子方程法、$(G'/G)$展开法以及改进的广义Riccati方程映射法等。非线性Schr?dinger方程（NLSE）是研究光纤中波传播最常用的模型之一。噪声对各种动力学模型的影响是应用科学中，特别是物理学中的重要研究领域。随机偏微分方程（SPDEs）被用作分析具有不可预期结果的系统的数学工具，可以模拟复杂系统中广泛出现的随机动力学，无论是自然发生还是人工构建的系统。SPDEs的理论建立在现代随机分析和确定性偏微分方程科学的基础之上。
目前研究中存在的主要问题在于：高阶项与随机效应耦合的复杂模型缺乏系统性的解析求解方法；现有研究多集中于确定性版本的高阶非线性Schr?dinger方程，而对同时包含高阶色散、高阶非线性以及随机扰动的综合模型研究不足；特别是非Kerr律介质中弱非局域非线性与随机效应共同作用下的孤子动力学行为尚不明确。因此，开展此项研究旨在填补这一空白，为理解复杂环境下光孤子的传播特性提供理论支撑。
研究人员应用修正扩展映射法（MEMM）结合波变量变换，对该高阶随机非线性Schr?dinger方程进行了系统研究，成功提取了该模型的光学孤子解，得出了一系列包括亮孤子、暗孤子、奇异孤子、周期孤子、奇异周期孤子和有理型解在内的多种随机精确解，并通过线性稳定性分析证明了这些解的稳定性，同时通过数值模拟展示了噪声强度对孤子动力学行为的影响规律。该成果发表于《Scientific Reports》期刊，对于理解噪声环境下非线性光纤中的孤子传播具有重要意义，为相关实验设计和光学器件优化提供了理论基础。
研究人员采用的关键技术方法包括：首先建立一个行波变换$\mathcal{R}(x,t)=\vartheta(\xi) e^{i(-\beta x+\omega t-\varrho^2 t+\varrho W(t))}$，其中$\xi=x-\nu t$，将原随机偏微分方程转化为常微分方程组；其次应用修正扩展映射法（MEMM），假设解具有$\vartheta(\xi)=a_0+a_1\hbar(\xi)+b_1/\hbar(\xi)+d_1\hbar'(\xi)/\hbar(\xi)$的形式，其中辅助函数$\hbar(\xi)$满足特定的六阶非线性常微分方程；然后通过平衡最高阶导数项$\vartheta^{(4)}$与最高阶非线性项$\vartheta^5$得到$N=1$；最后利用Wolfram Mathematica软件求解 resulting 代数方程组，并通过线性稳定性分析中的微扰理论和色散关系分析验证解的稳定性。
**非线性随机波**
该部分详细推导了六组参数条件下的精确解析解：
结果一（Set-1，$\iota_0=\iota_1=\iota_3=\iota_6=0$）：通过设定参数$a_0=b_1=d_1=0$以及特定的$a_1$和$\iota_2$表达式，研究人员推导出了随机亮孤子解、随机奇异周期解（包括sec型和csc型）。其中方程(13)给出了一个随机亮孤子解，而方程(14)和(15)则给出了两种随机奇异周期解。
结果二（Set-1续）：采用另一组参数选择，得到了另一类随机亮孤子解以及相应的随机奇异周期解。这些解的结构与前一结果类似，但参数约束条件有所不同，适用于不同的物理参数范围。
结果三（Set-2，$\iota_1=\iota_3=\iota_6=0,\iota_0=\iota_2^2/(4\iota_4)$）：在此条件下，研究人员获得了随机暗孤子解和单周期解。方程(19)代表了一个随机暗孤子解，而方程(20)则给出了一个单周期解。这些解的存在需要满足一系列严格的不等式约束条件。
结果四（Set-3i，$\iota_0=\iota_3=\iota_4=\iota_6=0$）：分为两个子结果。Result 1在$b_1=\eta_4=d_1=0$的条件下，获得了基于sinh和sin函数的随机双曲型和三角函数周期解。Result 2则进一步放宽条件，得到了更为复杂的双曲型和三角函数解。
结果五（Set-3ii，$\iota_1=\iota_3=\iota_4=\iota_6=0$）：在此情形下，Result 1得到了包含csch和csc函数的随机奇异孤子和随机奇异周期解；Result 2则获得了基于sinh和sin函数的解，参数约束涉及$\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_5,\eta_7$的不同符号组合。
结果六（Set-4，$\iota_0=\iota_1=\iota_2=\iota_6=0$）：得到了一个重要的随机有理型解，该解以有理函数形式呈现，分母为$\eta_1^2(x-\nu t)^2-4\eta_2^2$，具有典型的有理函数奇点结构。
结果七（Set-5，$\iota_0=\iota_1=\iota_6=0$）：获得了随机奇异孤子解和随机奇异周期解，这两类解通过csch和csc函数表达，涉及复杂的参数组合$\aleph$和$\mathcal{H}$。
结果八（Set-6，$\iota_1=\iota_3=0$）：最终获得了一组基于sech
2和sec
2函数的解，其中方程(32)提供了随机亮孤子解，而方程(33)则给出了随机奇异周期解。
**白噪声对部分获得孤子的影响**
该部分通过数值模拟研究了加性白高斯噪声对所获得解析解的影响。模拟在MATLAB环境中进行，通过在不同网格点上叠加标准正态随机变量来引入噪声扰动。研究发现，随着噪声强度$\varrho$的增加，亮孤子（方程13）和暗孤子（方程19）的峰值幅度逐渐降低，波面趋于平滑，显示出噪声对孤子结构的阻尼效应。具体而言，对于亮孤子解，参数设置为$\eta_1=1.84,\eta_2=0.29,\eta_4=\eta_5=2,\eta_6=1.27,\omega=-0.64,\iota_4=-2$；对于暗孤子解，参数设置为$\eta_1=-0.45,\eta_2=0.08,\eta_4=-0.17,\eta_5=-0.38,\eta_6=-0.49,\omega=0.86,\iota_4=1.1$。数值结果与确定性情况（$\varrho=0$）的对比验证了所推导解析式的正确性，同时定性行为与文献中类似非线性波模型的结果一致。
**线性稳定性分析**
该部分采用微扰理论对常数背景解$R_0$进行了严格的线性稳定性分析。通过引入小扰动$\mathcal{R}=R_0+\epsilon\phi(x,t)$，将其代入原方程并线性化，假设扰动具有平面波形式$\phi(x,t)=ae^{i(kx-\omega t)}$，推导出了色散关系$\omega=R_0^4\eta_4-k(k^2\eta_1+k^3\eta_2-kR_0^2\eta_5+\eta_6+R_0^2(2\eta_7+\eta_8))$。该色散关系对于实数波数$k$是光滑且纯实的，表明扰动在时间上保持纯振荡性，系统在线性水平上不存在调制不稳定性，即常数背景解是线性中性稳定的。数值绘制的色散曲线进一步证实了扰动以分散波的形式传播。
**结论**
本文旨在研究具有弱非局域非线性的非Kerr律介质中的高阶随机非线性Schr?dinger方程。通过结合修正扩展映射法和波变量变换，准确提取了该模型的光学孤子解。研究结果表明，修正扩展映射法在处理高阶非线性Schr?dinger问题方面具有卓越能力，所发展的方法提供了包括周期解、奇异周期解、双曲型解、有理型解、亮孤子、暗孤子和奇异孤子在内的多种随机解。通过二维和三维图形展示了不同解类型的物理特征。与确定性结果相比，随机解揭示了由于噪声强度导致的孤子振幅、宽度和稳定性的显著变化，突显了随机扰动对光学孤子的影响。尽管修正扩展映射法提供了推导显式解的多功能框架，但也存在一些局限性：在强非线性或高度随机 regimes 中可能无法捕捉所有解分支；需要仔细的参数选择以确保物理相关性；对于更高平衡（即解拟设中$N$的较大值），该方法会变得越来越复杂，使得解析计算更具挑战性。与先前研究结果相比，所得结果证明了所提方法对数学物理中Various nonlinear partial differential equations的有效性和准确性。
