基于分数阶神经网络的自适应单连杆柔性机械臂状态约束轨迹跟踪控制

《Sensors》：Adaptive Neural Network-Based Tracking Control for a Single-Link Flexible Manipulator Under State Constraints

　　

柔性机械臂因其轻量化结构、高柔顺性及能效优势，适用于精密与高精度作业，但其强非线性与不确定性使控制设计颇具挑战。针对单连杆柔性机械臂(SLFM)系统的轨迹跟踪控制问题，研究人员提出了一种考虑对称时变全状态约束的分数阶自适应神经网络控制方案。首先，建立分数阶动力学模型以更好地捕捉SLFM固有的记忆性与非线性特征。其次，在反步(Backstepping)框架下设计基于径向基函数(RBF)自适应神经网络的控制律，并引入对称时变Barrier Lyapunov函数(BLF)以保证所有系统状态始终位于预设边界内；同时引入指令滤波器(Command Filter)以避免反步法中的"微分爆炸"问题。随后，基于Lyapunov稳定性理论进行理论分析，证明闭环系统所有信号有界且跟踪误差收敛至零的小邻域内。最后将该法应用于SLFM仿真，结果表明所提控制器具有优良控制性能——跟踪误差小于0.02 rad，系统末端偏转角(Tip Deflection Angle)不超过0.045 rad；与近期动态面控制(DSC)及滑模控制(SMC)方法对比，所设计控制器跟踪误差更小，验证了该控制策略的有效性与优越性。

论文解读：基于分数阶神经网络的自适应单连杆柔性机械臂状态约束轨迹跟踪控制

《Sensors》期刊刊登的该研究针对单连杆柔性机械臂(Single-Link Flexible Manipulator, SLFM)在存在强非线性、未知动态及安全相关的全状态时变约束条件下难以实现高精度轨迹跟踪的问题展开。传统刚性机械臂控制方法无法有效处理SLFM的弹性振动与欠驱动特性，且现有多数研究采用整数阶(IOC)建模忽略系统固有记忆效应，亦未充分考虑全状态约束。为此，研究人员建立分数阶(Fractional-Order, FO)动力学模型以更精确描述SLFM的记忆与非线性行为，并在反步(Backstepping)框架中融合自适应径向基函数(Radial Basis Function, RBF)神经网络与对称时变Barrier Lyapunov函数(BLF)，引入指令滤波器(Command Filter)避免复杂度爆炸，严格证明了闭环信号有界及状态约束不被违背，仿真验证了方法在跟踪精度与抑振方面的优越性。

研究人员采用的主要关键技术方法包括：基于Lagrange方程结合假定模态法(Assumed Mode Method)推导SLFM整数阶模型并经全局坐标变换解耦为两个二阶子系统，采用Caputo型分数阶微积分描述系统分数阶动力学；采用RBF神经网络在线逼近未知非线性函数；在反步各步构造含对称时变BLF的Lyapunov函数保证全状态处于预设时变界内；引入二阶指令滤波器估算虚拟控制量的导数以消除反步微分爆炸；设计自适应律估计NN权值范数上界及扰动上界；基于分数阶Lyapunov稳定性引理完成稳定性证明；最后在Matlab中进行SLFM数值仿真并与动态面控制(Dynamic Surface Control, DSC)及滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)做对比。

1. Introduction（引言）

研究人员指出SLFM具轻量、低能耗、高灵活度优势，但柔性引发残余振动、强非线性耦合及不确定动态，且安全工况要求关节角与末端偏转角满足预设约束。现有整数阶建模不能体现记忆特性，多数先进控制未考虑全状态时变约束。受此启发，本文贡献为：建立FO-SLFM模型；设计带BLF的自适应RBF NN反步控制器处理未知动态并保证全状态约束；严格Lyapunov稳定性分析；仿真验证。

2. Problem Statement and Preliminaries（问题描述与预备知识）

研究人员在电机轴与机械臂同轴、忽略电气动态、转子惯量远小于连杆惯量、小变形忽略剪切与重力四项假设下，用Lagrange方程建立SLFM动能与势能表达式，导出整数阶动力学并改写为状态空间。引入全局坐标变换将欠驱动系统解耦为两二阶子系统，采用Caputo定义分数阶α阶导数(0<α<1)描述FO-SLFM模型：Dtαx1=x2,Dtαx2=f1(X)+g1u+Δ1,Dtαx3=x4,Dtαx4=f2(X)+Δ2，其中X=[x1,x2,x3,x4]T，状态变量x1=q（关节转角Joint Angle），x3=δ（末端挠曲Tip Deflection），f1,f2为未知光滑非线性函数，Δ1,Δ2为有界未知扰动。控制目标为：输出y=x1+x3跟踪期望轨迹yd，全状态满足∣xi(t)∣<kci(t),i=1,2,3,4（kci(t)为对称时变约束界）。给出Caputo导数定义、Mittag-Leffler函数及引理1–4（分数阶Leibniz法则、Young不等式推广、BLF性质、Caputo导数有上界则函数有界）。说明RBF NN可任意精度逼近未知连续函数f(X)=W?TΦ(X)+ε，理想权值W?由最小化重构误差定义，W^为估计值。

3. Controller Design（控制器设计）

假设参考轨迹yd及其分数阶导Dαyd,D2αyd有界，fi(?)满足Lipschitz条件。引入指令滤波器：ω¨j=?2ξωnω˙j?ωn2(ωj?xcj)，输入为虚拟控制律xcj，输出ωj近似其滤波值。定义跟踪误差z1=y?yd，补偿信号yr=ωi及补偿跟踪误差si=zi?yr+yri?1（经误差反馈修正）。

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  Step 1：取对称对数型BLF V1=21lnkc12(t)?s12kc12(t)+2γ11(∥W^1∥2?W1?TW1?)，设计虚拟控制xc2与自适应律W^˙1=…使V˙1≤?c1V1+Θ1。
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  Step i(i=2,3)：类似构造含BLF的Vi，设计虚拟控制xc(i+1)与自适应律，得V˙i≤?ciVi+Θi。
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  Step 4：设计实际控制输入u(t)=g11[?k4s4?W^4TΦ4(X)?θ^1sgn(s4)?2s3(…)]及自适应律W^˙4,θ^˙1，最终合成总Lyapunov函数V=∑i=14Vi+2η11θ~12满足V˙≤?cV+?。

4. Stability Analysis（稳定性分析）

研究人员将V˙不等式整理为DαV≤?cV+Ψ，依据Lemma 4(Caputo比较原理)推得V(t)有界且指数趋近紧集，故si,xci,W^i,θ^1均有界。由BLF定义及∣si(0)∣<kci(0)推知∣si(t)∣<kci(t)，再结合∣zi∣=∣si+补偿项∣及指令滤波器误差有界，得原始状态∣xi(t)∣<kci(t)全程满足。跟踪误差e(t)=y?yd收敛至原点小邻域，所有闭环信号半全局一致最终有界(Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded, SGUUB)。

5. Simulation Results and Discussions（仿真结果与讨论）

参数按表取值，RBF NN中心网格取[-1,-0.5,0,0.5,1]八维，高斯宽度取1，初值零，参考轨迹yd=0.5sin(πt)+sin(0.5πt)。图4–图7显示四状态x1,x2,x3,x4均严格位于时变约束±kci(t)内，输出y跟踪yd良好，跟踪误差≤0.02 rad。图6显示末端偏转角被抑制在0.045 rad内。图8–图12展示自适应参数∥W^i∥,θ^及补偿信号有界、控制输入平滑。与DSC、SMC对比（图13转角跟踪，图14跟踪误差），本文方法RMSE最小，证实更优跟踪性能。

6. Conclusions（结论——翻译）

本文研究了对称时变全状态约束下分数阶单连杆柔性机械臂(SLFM)的轨迹跟踪控制问题。在反步(Backstepping)设计的每一步中引入对称时变Barrier Lyapunov函数(BLF)以确保所有状态保持在规定边界内从而提升系统安全性。设计了带指令滤波器的自适应RBF神经网络控制器以处理不确定性并避免复杂度爆炸问题。Lyapunov理论证明闭环所有信号半全局一致最终有界(SGUUB)，仿真验证了所提方法的有效性。仿真结果表明所提控制器具有优良控制性能——跟踪误差小于0.02 rad，系统末端偏转角(Tip Polarization/Deflection Angle)不超过0.045 rad；与近期动态面控制(DSC)及滑模控制(SMC)方法对比表明所设计控制器跟踪误差更小、控制性能更优，验证了该控制策略的有效性与优越性。未来工作将聚焦于通过物理柔性机械臂实验平台进行实验验证，并建立更精细模型以更好捕捉系统动力学特性并进一步提升控制性能。