一类具有分数噪声的非线性混合随机系统的自抗扰控制方法

《Mathematics》：An ADRC Approach for a Class of Nonlinear Hybrid Stochastic Systems with Fractional Noise

　　

本文将自抗扰控制（ADRC）方法拓展至一类具有不确定分数扰动和未知参数的非线性混合系统，旨在研究ADRC方法在存在状态突变和复杂噪声结构情形下的适用性。通过采用分数Wick-It?-Skorohod（fWIS）积分，研究人员构建了一种扩展状态观测器（ESO）及其基于ESO的控制策略。结果表明，所得到的闭环混合随机系统在分数噪声下实现了均值平方稳定性。此外，所提出的方法被进一步推广，以实现对具有突变的白噪声扰动的观测、跟踪和补偿。数值模拟验证了所提方法的有效性。

本文围绕一类具有分数噪声的非线性混合随机系统的自抗扰控制问题展开研究。研究背景方面，分数布朗运动（fBm）作为具有长记忆特性的随机过程，在温度动态建模、电力市场建模及金融市场建模等领域得到了广泛应用。然而，fBm路径具有无界变分特性，且其非半鞅性质使得经典Lebesgue-Stieltjes积分和标准It?随机分析无法直接适用，这制约了其在控制理论中的深入应用。与此同时，实际工程系统往往同时面临两类复杂性：一是由马尔可夫切换描述的随机突变现象，二是具有记忆特性的分数噪声扰动。现有基于滤波方法的扰动观测技术主要针对白噪声或高斯扰动，尚无法处理分数噪声情形。因此，拓展ADRC框架以适应分数噪声环境下的混合随机系统控制，具有重要的理论意义和应用价值。

研究人员针对目标系统（1）及其外部扰动系统（2），开展了一系列理论分析与方法设计工作。该系统具有马尔可夫切换模态，并由一维fBm驱动，其中Hurst参数H满足1/2 < H < 1。系统函数f、g等可能未知，随机积分采用fWIS积分定义。研究得出以下核心结论：第一，设计了非线性扩展状态观测器（NLESO），在适当假设条件下证明其收敛性；第二，构建了基于ESO的输出反馈控制律，建立了闭环系统均值平方渐近稳定的充分条件；第三，将ADRC方法推广至均值平方有界扰动情形，并考虑来源于潜在无界模型的扰动，放松了传统扰动约束。

该研究的意义在于：首次将ADRC框架拓展至分数噪声驱动的混合系统，填补了现有滤波方法无法处理具有记忆效应噪声的空白；建立了基于fWIS积分的稳定性分析框架，将ADRC稳定性结果从白噪声推广至分数噪声情形；通过考虑更广泛的扰动类型，扩展了ADRC在非线性不确定系统中的应用范围。论文发表在《Mathematics》期刊。

关键技术方法包括：基于fWIS积分的随机分析方法（利用文献[6,27]发展的扩展It?型公式）；非线性扩展状态观测器设计技术（借鉴文献[34]）；Lyapunov稳定性分析方法（结合文献[33]的Hurwitz多项式判据）；以及均值平方稳定性分析框架。样本来源方面，数值仿真中马尔可夫链取状态空间S = {1, 2}，生成元Q矩阵给定。

研究结果部分按照原文结构展开如下。

**非线性扩展状态观测器**：研究人员设计了形如系统（3）的NLESO，其中包含适当选取的连续实值函数h?、h?。在假设1（函数光滑性与线性增长条件）、假设2（函数有界性条件）和假设3（Lyapunov型正定性条件）下，定理1证明了NLESO的收敛性，即对于任意初值和初始时间，估计误差在均值平方意义下一致收敛于零。证明中利用了fBm的自相似性进行尺度变换（式7），将误差系统转化为式（8），再应用扩展It?公式和引理1，通过构造适当的Lyapunov函数完成证明。具体而言，设定尺度参数ε，令z? = (x?? - x?)/ε，z? = x?? - x?，利用引理1得到微分不等式（9），进而通过积分估计证得收敛性。

**基于ESO的输出反馈**：在ESO设计基础上，研究人员选取常数k?、k?使得对应多项式满足引理2条件（即所有零点具有负实部）。设计反馈控制律u = -k?x?? - k?x?? - x??/f，其中x??为"总扰动"估计。结合系统（1）和（3），得到闭环系统（12）。定理2在假设1、假设3及假设2(ii)条件下，证明了对于任意初值，闭环系统（12）存在解且是均值平方渐近稳定的，即状态变量x?(t)和控制输入u(t)的均值平方极限均为零。证明中通过设定X = (x?, x?)^T、Z = (z?, z?)^T，将系统转化为等价形式（13），利用A为Hurwitz矩阵的性质，求解Lyapunov方程得到正定矩阵Q，构造Lyapunov函数V = X^TQX + W（W与估计误差相关），再分别对V? = X^TQX、V? = W和整体V应用It?公式，得到微分不等式（15）、（17）和（18），最终通过积分估计和定理1的结论完成稳定性证明。

**若干有用的结果**：本节将ADRC方法拓展至均值平方有界的外部扰动情形，并考虑来源于潜在无界模型的扰动。假设4要求扰动满足E[|ξ(t)|²] ≤ C(1 + t^-2α)，其中α > 0，这一条件弱于几乎处处有界性。假设5为关于x正定、关于t连续的Lyapunov型条件。研究表明，在这些弱化条件下，仍可建立类似的NLESO并证明其收敛性，进而设计ESO反馈控制实现系统的实际稳定性。备注3指出，利用假设1、3、4可仿照第3节建立NLESO并证明收敛；备注4说明借助Poisson方程或M-矩阵方法，假设5蕴含期望稳定性条件，从而可建立反馈控制；备注5强调当Hurst参数H = 1/2（即标准布朗运动）时，前述所有结果仍然有效。

**数值仿真**：研究人员给出了受文献[35]启发的数值实例。马尔可夫链r(t)取值于{1, 2}，生成元Q = [-5 5; 5 -5]，平稳分布为π = (0.5, 0.5)^T。考虑系统（19），外部扰动为ξ(t) = sin(t) + r(t) + f(t, x, r(t))(dW^H(t)/dt)，其中取H = 0.7，f ≡ r(t)x。设计NLESO（20），选取h?(x) = 3x、h?(x) = 3x满足对应多项式根为-1.5 ± 1.5i（实部为负）。增益参数取ε = 0.01，输入u = sin(t)。图1-3展示了开环输入下NLESO的跟踪性能：绿色曲线为真实状态x，蓝色曲线为估计值x?，红色曲线为估计误差。结果表明估计值快速收敛至真实状态，验证了NLESO的有效跟踪能力，但开环状态下系统状态不收敛至零。进而设计闭环控制u = -25x?? - 5x?? - x??，图4-6展示了闭环系统的状态轨迹，表明基于NLESO的反馈控制使系统快速达到实际稳定，验证了控制律的有效性。

讨论与结论部分，研究人员总结了以下核心内容。本文将ADRC方法拓展至具有分数噪声的非线性混合随机系统的反馈镇定问题，同时考虑了随机突变和长记忆效应。为实时估计参考信号并实现扰动抑制，设计了ESO并提出基于ESO的控制策略以保证系统稳定性。研究建立了具有分数噪声的混合随机微分方程（SDE）指数稳定性的新的充分条件，从而使ADRC框架适用于具有分数扰动的非线性随机系统。此外，将ADRC推广至经历大幅突变的系统，其中扰动可能是均值平方有界的，甚至来源于潜在无界模型，从而放松了传统扰动约束。

研究指出，标准ADRC的证明基于布朗运动（H = 1/2），其理论基础依赖于布朗运动的半鞅性质和经典It?分析工具，而这些工具对于H ≠ 1/2的分数布朗运动或具有马尔可夫切换的系统不再适用。所提出的基于fWIS的方法正是利用分数Wick-It?-Skorohod分析来应对这一数学挑战，其优势在于能够处理标准ADRC无法捕捉的记忆效应和突变现象。当H = 1/2且仅存在单一状态（即无切换）时，所得结果退化为标准ADRC框架，这体现了研究方法的一致性和普适性。