综述：OpenFOAM中的线性求解器：技术综述与SIMPLE收敛性研究

《Fluids》：Linear Solvers in OpenFOAM: A Technical Review and SIMPLE Convergence Study

　　

本文回顾了OpenFOAM中可用的线性求解器，并评估了它们对SIMPLE算法收敛行为的影响。在计算流体力学（CFD）中，输运方程的离散化导致大型稀疏线性系统，线性求解器的选择强烈影响计算时间。尽管求解器不会改变最终的离散解，但不同求解器在速度和鲁棒性上的差异可超过一个数量级。本文简要概述了OpenFOAM中速度和压力场的解耦方式，随后详细回顾了主要线性求解器族，包括直接法、基本迭代法、多重网格法和Krylov子空间法，并关注了它们的实际优缺点。最先进求解器的性能在一个包含230万个单元的工业规模非反应回转窑案例上进行了评估。压力校正方程被识别为SIMPLE算法的主要瓶颈。研究发现，共轭梯度（CG）求解器结合多重网格（MG）预条件子是最快且最稳定的方法，与较慢的先进方法相比，加速比可达7倍。使用MG作为预条件子也提高了双共轭梯度稳定法（Bi-CGStab）的鲁棒性。

本文首先介绍了计算流体力学（CFD）中速度和压力场的解耦方法。基于不可压缩稳态Navier-Stokes方程，半隐式压力连接方程算法（SIMPLE）通过分离动量方程和连续性方程来推导压力方程，从而迭代校正速度场和压力场。SIMPLE算法的具体步骤包括：动量预测步（求解基于前次压力梯度的速度方程）、压力校正步（通过将系数矩阵^[A]拆分为对角阵^[D]和残差向量^[H]，推导出关于压力的泊松方程，即压力校正方程）、速度显式校正步，以及重复迭代直至收敛。该算法可扩展至可压缩流动。

在求解方法部分，本文详细讨论了线性方程组的求解技术。离散化后得到的线性系统可写为^{[A][x] = [b]}，其中^[A]是系数矩阵，^[x]是未知向量，^[b]是源项。直接法（如LU分解和Cholesky分解）由于稀疏矩阵分解时的填充现象，对于大规模CFD问题计算成本过高，但可用作预条件子。基本迭代法（BIM）通过对矩阵^[A]进行^{[A] = [M] - [N]}分解，迭代公式为^{[x](k+1) = [M]-1[N][x](k) + [M]-1[b]}。OpenFOAM中的smoothSolver实现了Jacobi和Gauss-Seidel方法，但BIM作为独立求解器仅能有效消除高频误差分量，对低频分量收敛缓慢。

多重网格法（MG）通过先在细网格上进行预平滑（使用BIM），然后将残差限制到粗网格，在粗网格上求解误差方程，再将误差延拓回细网格并进行后平滑，从而加速BIM的收敛。该过程称为粗网格校正（CGC），递归进行则形成多重网格循环（如V-cycle、W-cycle）。OpenFOAM采用广义几何-代数多重网格法（GAMG），默认作为几何多重网格（GMG）求解器，通过配对共享最大面积的单元进行几何聚集。GAMG可设置平滑器（常用Gauss-Seidel）以及预/后平滑次数等参数。

Krylov子空间法基于Krylov子空间^{[K]_i([A], [r](0)) = span{[r](0), [A][r](0), ..., [A]i-1[r](0)}}。共轭梯度法（CG）适用于对称正定（SPD）矩阵，通过^[A]-正交搜索方向实现最小化二次型，收敛速度取决于矩阵的条件数。预条件子用于加速收敛，通过变换系统为^{[M]-1[A][x] = [M]-1[b]}，其中^[M]近似于^[A]且易于求逆。对于SPD矩阵，常用不完全Cholesky分解（如OpenFOAM中的DIC预条件子）。对于非对称矩阵，双共轭梯度法（BiCG）通过引入影子残差和搜索方向，但收敛不稳定。双共轭梯度稳定法（Bi-CGSTAB）通过修改递推关系避免转置乘法，并具有半最优性，是OpenFOAM中最先进的Krylov子空间方法，可采用不完全LU分解（DILU）作为预条件子。其他Krylov子空间方法包括广义最小残差法（GMRES）、广义共轭残差法（GCR）以及混合方法如GMRESR、GCRO和诱导降维法（IDR(s)），其中IDR(s)在s取合适值时接近全GMRES的收敛率，是未来OpenFOAM线性求解器的候选。

在SIMPLE算法收敛性影响部分，本文通过数值实验评估了OpenFOAM中先进线性求解器的性能。内循环中线性求解器需达到指定相对容差后进入下一个方程，外循环对应SIMPLE的迭代步。以二维稳态热传导问题为例，最有效的求解器可在单次外迭代内完成。对于流体问题，采用松散的相对容差（如^10-3代替^10-6）可加快收敛，但可能引起振荡。本文针对一个三维全尺寸非反应回转窑案例（230万单元，采用笛卡尔六面体主导网格）进行了测试，求解器为rhoSimpleFOAM（稳态可压缩湍流求解器）。结果显示，压力方程是主要瓶颈，通常需要比其它变量多一个数量级的内迭代。BIM求解器在压力方程上表现极差，无法在千次内迭代内收敛。使用DIC预条件子的CG法效率最低，GAMG法显著更好，而CG法结合GAMG预条件子最为高效，平均内迭代次数最少。在整体收敛时间上，MGCG-DILUBiCGSTAB组合（压力方程使用带MG预条件子的CG法，其它变量使用带DILU预条件子的Bi-CGSTAB法）达到5000次外迭代所需时间最短，且收敛所需外迭代次数也最少，与较慢的先进方法相比加速比可达7倍。当相对容差从^10-4放宽至^10-3时，MGCG-DILUBiCGSTAB保持稳定，进一步加速25%，而其它组合可能发散。此外，使用MG作为Bi-CGSTAB法的预条件子也增强了鲁棒性。最后，本文提到OpenFOAM的MG预条件子在大规模并行（>2000核）时扩展性较差，而PETSc库中的更先进求解器可解决此问题。结论部分重申了不同线性求解器在速度和鲁棒性上的巨大差异，压力方程是瓶颈，CG法结合GAMG预条件子是最有效方法，加速比可达7倍以上。但由于SIMPLE的迭代特性，更快求解器在本案例中显得冗余，且并行配置会影响相对性能。