Lipschitz有界深度Koopman方法用于鲁棒建模以及受干扰的有机朗肯循环系统的无偏移预测控制

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Lipschitz bounded deep Koopman for robust modeling and offset-free predictive control of disturbed Organic Rankine Cycle system

　　鲍占鹏|史瑶|王一添|吴夏来|孙恩涛|苏洪业|谢雷
中国浙江大学工业控制技术国家重点实验室，杭州，310027

**摘要**
有机朗肯循环（ORC）在低温废热回收领域获得了广泛应用。尽管具有这种潜力，但由于其强烈的非线性特性以及实际应用中废热源的变异性，ORC系统的有效建模和控制仍然具有挑战性。为了解决这个问题，我们提出了Lipschitz有界深度Koopman建模框架，该框架有助于构建与线性模型预测控制（MPC）完全兼容的模型。所提出的框架通过利用历史控制输入和系统输出数据来识别基于Koopman的非线性ORC动态的线性近似，从而增强了数据驱动建模。通过在Koopman框架中嵌入Lipschitz约束的循环神经网络，该方法在保证测量噪声和废热源变异性下的有界输出的同时，捕获了非线性动态。此外，还结合了状态观测器来消除稳态偏移并减轻变异性带来的影响。数值模拟证实，所提出的方法能够有效捕获非线性动态，并在具有变异性和测量噪声的现实运行条件下实现无偏移的稳健性能。

**引言**
近年来，由于对能源的需求增加，减少消耗和提高效率受到了广泛关注（Xu等人，2019年；Ping等人，2022年）。在各种能源回收技术中，有机朗肯循环（ORC）因其高热效率和简单的配置而在低品位废热回收中变得流行（Shi等人，2022年）。ORC从工业和发电过程中回收低温废热，利用太阳能、生物质能和地热能等可再生能源（Fatigati等人，2022年）。除了技术优势外，ORC系统还因其经济可行性和环境效益而具有吸引力，特别是在提高能源效率和减少温室气体排放方面。当前的ORC研究集中在热力学分析（Fergani和Morosuk，2023年）、工作流体选择（Pan等人，2024年）、系统建模（Zuo等人，2025年；Ping等人，2023a年）和优化策略（Alrbai等人，2024年）上。然而，关于ORC系统控制的研究仍然不足。
ORC系统最常见的控制策略是比例-积分-微分（PID）控制（Dubuc和Tona，2020年）和模型预测控制（MPC）（Shi等人，2023a年）。与仅在稳态条件下表现良好的传统PID控制器相比，MPC提供了显著更好的动态性能和能源效率（Liu等人，2017年）。然而，MPC在ORC系统中的应用存在两个主要限制：首先，其控制性能严重依赖于ORC模型的准确性；其次，高保真模型会带来沉重的实时计算负担，尤其是对于非线性MPC（NMPC）。
这些限制的根本原因在于难以获得准确且计算上可行的ORC模型。基于第一原理的ORC系统建模方法通常依赖于简化假设，这阻碍了捕捉真实ORC系统的全部复杂性（Sun等人，2025年）。为了克服这些限制，越来越多地采用数据驱动方法来提高模型精度和预测系统性能，特别是在详细机械模型不可用或实际系统与理论系统之间存在差异时（Wang等人，2020年；Tao等人，2025年）。
在数据驱动方法中，神经网络（NN）因其通用函数逼近能力而受到越来越多的关注，这使得它们能够有效捕获ORC系统的非线性和多变量动态（Oyekale和Oreko，2023年）。Yang等人（2018年）使用人工神经网络（ANN）构建了ORC系统的预测模型。Tian等人（2022年）引入了一种基于遗传算法（GA）优化的反向传播神经网络（BPNN），提高了模型拟合性能。Wu等人（2024年）提出了一种基于循环神经网络的快速MPC方法，在建模精度和控制性能方面取得了显著改进。这些方法展示了NN在ORC建模中的潜力，但实际应用仍面临重大挑战。当训练数据受到废热和测量噪声波动的影响时，传统NN难以准确建模ORC系统。此外，大多数现有模型具有很强的非线性，将它们与MPC等控制算法结合通常会引入过重的计算负担，阻碍实时实现。
为了解决ORC系统数据中的不确定性和噪声带来的挑战，通常采用稳健方法来构建神经网络架构。在ORC建模的背景下，Ping等人（2023c；Ping等人，2023b）提出了一种模糊神经网络，可以自动去除冗余神经元，提高对噪声的鲁棒性。Flores-Tlacuahuac等人（2022年）使用高斯神经网络预测均值和方差，从而在噪声测量下提供预测置信区间。类似地，区间界限传播（IBP）已被引入以获得可证明的鲁棒性界限，提高了训练稳定性和可扩展性（Gowal等人，2018年）。然而，这些方法不能提供数学上保证的鲁棒性界限，因为它们没有对神经网络的行为施加明确的约束。Lipschitz有界方法（Ravanbakhsh和Sankaranarayanan，2019年）已被探索用于通过强制模型对输入扰动的敏感性有界来提高鲁棒性。此外，考虑到ORC系统的动态和噪声特性，Lipschitz连续性提供了一个稳健的理论框架，通过提供对输入扰动敏感性的数学上合理的界限来确保模型稳定性。
这些稳健方法通常会带来相当大的计算开销，因此开发结合强鲁棒性和高计算效率的建模方法对于ORC系统的实时MPC至关重要。为了实现实时控制应用，Koopman算子（Koopman，1931年）提供了一个算子理论框架，将非线性动态转换为适合ORC建模的更高维线性空间（Shi等人，2023b）。基于这一概念，已经开发了几种基于Koopman的MPC方案（Xiong等人，2024年；Wang等人，2022年）。然而，Koopman算子的提升函数通常是手动设计的，这使得控制性能高度依赖于人类选择，从而推动了数据驱动建模策略的发展。
考虑到在不确定性下建模和实现ORC系统实时控制的挑战，本文提出了一种新颖的Lipschitz有界深度Koopman（LDK）建模框架，并为ORC系统设计了一种无偏移且计算效率高的MPC控制器。在该框架内，训练了一个在Koopman公式下受Lipschitz约束的RNN，以明确捕获废热波动和测量噪声，从而从控制输入和系统输出数据中获得非线性ORC动态的稳健线性表示。虽然标准MPC提供了出色的动态性能，但由于模型不匹配或未测量的干扰，它存在稳态偏移（Chen等人，2022年；Pannocchia，2015年）。这些问题在废热条件波动的实际ORC系统中很常见（Li等人，2023年）。为了解决这个问题，工业控制中广泛采用了无偏移MPC（Pannocchia等人，2015年）。它通过添加干扰观测器来消除由废热变化引起的跟踪偏移，并在减少计算负担的同时实现更好的闭环性能（Maeder等人，2009年）。

**本文的主要贡献总结如下：**
• 一种考虑废热波动和测量噪声的ORC系统Lipschitz有界建模框架。
• 一种将非线性ORC动态转换为线性表示的全局Koopman基线性模型，显著降低了计算复杂性，实现了更快的预测和控制。
• 基于预测模型开发了一种计算效率高的无偏移MPC方案，确保了ORC系统的实时最优控制，并实现了更好的跟踪性能。

**本文的其余部分组织如下：**
第2节提供了Koopman算子和Lipschitz神经网络的理论背景。第3节介绍了基于第一原理的ORC模型。第4节详细介绍了所提出的LDK框架。此外，还提出了一种计算效率高的无偏移控制方案，以在变异性下实现稳健跟踪。第5节从理论上证明了LDK模型在废热源和测量噪声的变异性下仍然是有界的。第6节验证了所提出模型和控制算法的有效性。

**符号说明**
在本文中，算子‖?‖表示欧几里得（?2）范数。σmax(A)和σmin(A)分别表示矩阵A的最大和最小奇异值。类似地，λmax(A)和λmin(A)分别表示A的最大和最小特征值。我们将矩阵的对称部分定义为Asym=1/2(A+A?)。符号diag[200,600]表示主对角元素为200和600的对角矩阵，所有非对角元素为零。

**部分片段**
**初步**
在本节中，我们概述了Koopman算子的基本原理，回顾了有限维逼近技术，重点是扩展动态模式分解（EDMD）（Korda和Mezi?，2018年），并介绍了Lipschitz神经网络的基本定义。

**有机朗肯循环系统的系统描述和建模**
在本节中，我们基于移动边界方法提出了ORC的机械模型，该方法也用于生成后续建模所需的数据。

**Lipschitz有界深度Koopman鲁棒建模和计算效率高的控制**
在本节中，我们提出了一种从控制输入和系统输出数据中学习的LDK鲁棒模型，这些数据是在ORC系统的测量噪声和废热源变异性下获得的。该模型确保在这些影响下输出是有界的。基于建立的模型，我们进一步开发了一种无偏移MPC控制器，确保了准确和稳定的控制性能，并且比非线性方法运行得更快。

**LDK在变异性和噪声下的鲁棒性分析**
本节建立了LDK模型输出在输入扰动下的有界性，并解释了损失函数方程（31）和方程（32）中惩罚项的动机和必要性。

**定理1 LDK模型的输入到输出界限**
设LDK模型的扰动输入为x?k=xk+ηk，h?k和y?k分别表示在扰动输入下的网络隐藏状态和输出。定义隐藏状态误差ek?h?k?hk和输出误差δyk?y?k?yk在每个时间步k。假设满足以下条件：对称部分

**案例研究**
为了验证LDK模型的准确性并评估无偏移MPC的性能，进行了一系列实验。在这些模拟中，将废热源和测量噪声的波动纳入数据集中，以更好地反映实际运行条件。如第3.4节所述，ORC系统必须满足其组件的物理要求，以确保安全和高效运行。系统受到多种约束，包括限制

**结论**
本文提出了一种Lipschitz有界深度Koopman线性建模方法和一种无偏移的模型预测控制框架，用于ORC系统。与传统的数据驱动方法相比，所提出的方法明确考虑了废热源和测量噪声的变异性影响，使得获得的模型更加稳健和实用。由于Koopman算子引入的线性结构，控制优化的计算负担较低。

**作者贡献声明**
鲍占鹏：撰写——原始草稿、验证、软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。
史瑶：撰写——审阅与编辑、可视化、软件、概念化。
王一添：可视化、方法论、概念化。
吴夏来：软件、资金获取、数据整理。
孙恩涛：可视化、概念化。
苏洪业：撰写——审阅与编辑、资金获取、形式分析。
谢雷：撰写——审阅与编辑、可视化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
本工作得到了中国工业控制技术国家重点实验室开放研究项目（项目编号ICT2025D13和ICT2025B71）、中国湖州自然科学基金（项目编号2025YZ39）、湖州关键研究与发展计划项目（项目编号2025ZD2048）以及湖州工业系统智能感知与最优控制关键实验室（项目编号2022-17）的支持。