基于偏微分方程调频率估计的区域自适应瞬时频率重建技术，用于控制交叉多分量信号处理

《Digital Signal Processing》：Region-Adaptive Instantaneous Frequency Reconstruction for Controlled Crossing Multicomponent Signals via PDE-Based Chirp-Rate Estimation

　　连江|王全峰|吴兰欣|程雄|王新远 中国四川省成都，成都理工大学，四川省几何数学重点实验室，610059 摘要 为解决受控三分量幅频调制多分量信号瞬时频率重建精度下降以及保持分量对应关系困难的问题，本文提出了一种基于区域自适应偏微分方程的二维频谱图瞬时频率重建方法。该方法利用局部频谱图可分离性指导各分量的频率点选择，通过逆向性筛选保留有效点对以用于啁啾率估计。在完全可分离和弱可分离区域采用自适应点选择，而在不可分离区域则采用对称等距点选择并结合交叉窗口交换规则。在数值积分重建瞬时频率轨迹之前，通过对估计得到的啁啾率序列进行局部修正和全局总变分正则化处理。数值实验表明，在受控交叉条件下，该方法在完全可分离、弱可分离和不可分离区域均能实现相对稳定的瞬时频率重建。在当前测试条件下，其最终瞬时频率重建误差低于Ridge Path Regrouping方法和Viterbi算法。尽管基于峰值的方法在逐点评估指标下具有更低的全局平均误差，但本文方法在不可分离区域的交叉窗口附近展现出更大优势，因为在该区域保持分量对应关系和轨迹连续性更为困难。在加性高斯白噪声环境下的交叉窗口处针对啁啾率阶段的针对性消融实验进一步表明，交换规则主要体现在与对应关系相关的指标上，而自适应点选择则在相同交换条件下能降低啁啾率的中位数绝对误差。引言 瞬时频率是描述非平稳信号时变频率特性的关键参数[1]，广泛应用于雷达、声纳、地震勘探、结构振动监测以及生物医学工程领域[2]-[7]，因为瞬时频率轨迹能为识别、诊断和检测提供重要信息。然而，在多分量信号的二维频谱图中，分量交叉会加剧交叉邻域周围的局部重叠，降低脊线的可识别性，使得分量对应关系和轨迹连续性更难维持[8]-[9]。这些现象会导致那些依赖局部峰值或脊线连续性的时频分析方法产生不稳定的瞬时频率轨迹[10]-[11]，因此有必要研究二维频谱图中受控交叉幅频调制多分量信号的瞬时频率重建问题。近年来，多分量信号的瞬时频率估计方法主要分为参数法和非参数法两类。参数法通常使用多项式相位或正弦频调模型来表示信号分量[12]-[13]，虽然当假设的模型合适时这类方法能获得较高精度，但其性能容易受到模型不匹配、分量数量假设以及局部重叠条件的影响[14]。非参数法则对信号模型的明确假设较少，通常通过局部峰值跟踪或能量脊线提取等方式从时频表示中估计瞬时频率[15]。为提高分量可分离性和时频能量集中度[16]，人们采用了分数傅里叶变换[17]和自适应方向脊线预测跟踪器[18]等方法，或者对现有方法进行改进。此外，Viterbi算法[19]-[20]和Ridge Path Regrouping方法[21]也被用来提升轨迹连续性和关联稳定性。对于存在分量交叉的情况，人们还基于啁啾子变换或小波-啁啾子变换开发了三维时频-啁啾率表示方法，例如同步挤压啁啾子变换[11]、X射线小波-啁啾子变换[22]及其相关变体。总体而言，这些非参数方法通过增强时频表示、优化轨迹关联以及建立时频-啁啾率模型，提升了交叉条件下的瞬时频率估计精度。尽管取得了这些进展，但存在强烈局部重叠的交叉邻域仍然难以维持分量对应关系和稳定的瞬时频率重建，跨项干扰和局部耦合效应会进一步削弱这些区域的轨迹连续性[18]-[24]。现有方法通过局部能量定位、轨迹关联或高维表示建模来解决这些问题[20]-[27]。与构建三维表示不同，本研究仍局限于二维频谱图范畴，重点研究基于区域自适应的频率点选择方法，用于逐分量估计啁啾率并实现基于积分的瞬时频率重建。在本文所考虑的受控交叉条件下，如何在交叉邻域附近实现可靠的局部啁啾率估计，以及如何抑制估计得到的啁啾率轨迹中的局部尖峰、跳变和振荡，仍是影响最终瞬时频率重建稳定性的关键问题[28]。为解决上述问题，本文提出了一种基于区域自适应偏微分方程的二维频谱图中受控交叉幅频调制多分量信号瞬时频率重建方法。该方法利用频谱图各部分的局部可分离性指导各分量的频率点选择、啁啾率估计以及基于积分的瞬时频率重建。主要贡献如下：1. 将时频平面划分为完全可分离、弱可分离和不可分离区域，从而可在完全可分离和弱可分离区域采用自适应点选择，在不可分离区域采用对称等距点选择。2. 通过逆向性筛选保留的有效频率点对来获得各分量的啁啾率估计值，随后在对瞬时频率进行积分之前，再通过局部修正和全局总变分正则化处理来优化估计得到的啁啾率轨迹。3. 在不可分离区域采用交叉窗口交换规则，以减少分量对应关系的模糊性，并在加性高斯白噪声环境下对啁啾率阶段进行针对性消融实验，以此区分交换规则和自适应点选择对对应关系相关指标及啁啾率中位数绝对误差的影响。本研究聚焦于受控交叉条件下的二维频谱图瞬时频率重建，其目标并非实现完整的模式重建、分量波形恢复，或是构建通用的含噪多分量分离框架。片段内容 AM–FM MCSs的频谱图分析 根据Boashash的定义，幅频调制多分量信号可表示为[29]：f(t)=∑k=1Nfk(t)=∑k=1Nak(t)ej?k(t)，其中N为信号分量数量，j为虚数单位，ak(t)和?k(t)分别表示第k个分量的瞬时幅度和瞬时相位。该分量的瞬时频率和啁啾率分别定义为?k′(t)和?k″(t)。对于给定的信号f(t)，使用实值对称窗函数g∈L2(R)进行短时傅里叶变换。结果与讨论 本节展示了不同可分离条件下半控三分量幅频调制多分量信号的重建结果。基于第2节介绍的可分离性分析、基于区域特征的频率点选择、啁啾率估计以及瞬时频率重建流程，后续小节将首先展示典型的重建结果、交叉窗口附近的局部啁啾率估计与修正情况，以及最终瞬时频率重建结果，并与基准方法进行对比。在……条件下的交叉窗口啁啾率阶段消融实验。结论 本文提出了一种适用于二维频谱图中受控三分量幅频调制多分量信号的基于区域自适应的瞬时频率重建方法。该方法利用局部频谱图可分离性指导基于偏微分方程的逐分量啁啾率估计，通过逆向性筛选保留有效点对。在完全可分离和弱可分离区域采用自适应点选择，而在不可分离区域则采用对称等距点选择并结合交叉窗口交换规则。资助信息 本项目得到了四川省科技计划的支持，项目编号分别为2025YFNZH0004、2023NSFSC0020和2025YFHZ0149。作者贡献说明 连江：撰写——初稿，撰写——审阅与编辑，方法论，概念设计，可视化，形式分析。王全峰：概念设计，数据整理，验证，监督，资源协调，项目管理，资金获取。吴兰欣：概念设计，数据整理，形式分析，软件应用，方法论，研究实施。程雄：方法论，概念设计，形式分析，验证，监督，资源协调。王新远：形式分析。利益冲突声明 作者确认不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。