基于本征模追踪拓扑优化方法的声音超材料设计

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Design of acoustic metamaterials using an eigenmode-tracking topology optimization approach

　　潘汉涛|赵思培|张明辉|高伟|罗震
澳大利亚新南威尔士州悉尼市，悉尼科技大学工程与信息技术学院机械与机电工程系，2007

**摘要**
声学超材料的诸多特殊性能源于其能带隙，这一特性促使人们致力于设计具有更宽能带隙的新型单元结构。然而，现有的优化框架仅关注直接能带隙，而忽视了潜在的振动本征模式，这些模式可能导致能带隙较窄，甚至出现收敛性差的振荡行为。为解决这一问题，本研究提出一种新的本征模式跟踪拓扑优化框架，用于最大化声学超材料的能带隙。该方法在布里渊区波矢扫描过程中持续跟踪本征模式，并在色散图中对其分类。这种分类使得优化过程始终聚焦于决定能带隙边界的本征模式，从而避免本征模式切换，进而从声学超材料的振动本征模式出发设计和优化能带隙。该框架不仅提升了优化的稳定性，还在多个本征模式阶数上实现了更宽的能带隙。同时，本文还分析了不同本征模式对应的物理机制。通过二维周期性晶格的数值模拟验证了所提方法的可行性与有效性，结果表明该方法显著拓宽了各本征模式阶数下的可实现能带隙宽度。

**引言**
声学超材料是一种人工设计的周期性异质复合材料，其最小重复单元被称为单元结构[1][2]。通过精心设计这些单元结构，声学超材料能够展现出天然材料无法实现的宏观特性，如能带隙[3][4]和负折射率[5][6]。这些独特性质使其广泛应用于声音吸收[7][8][9]、传感[10][11][12][13]、噪声控制[14][15][16][17]、波导传输[18][19][20]、振动隔离[21][22][23][24]、亚波长成像[25][26]以及基于缺陷的能量收集[27][28][29][30][31]等领域。

声学超材料的物理特性很大程度上取决于其组成材料的空间排列，而对于大多数声学超材料而言，这一排列方式即对应于其单元结构的配置。因此，为了系统地获得最优化的声学超材料结构，将拓扑优化算法与声学超材料设计相结合的研究受到了广泛关注[32][33]。其中，最广泛且重要的研究集中在工程声学能带隙超材料的系统拓扑优化方面[34][35][36][37][38][39][40][41][42][43][44][45][46]。例如，2003年Sigmund和Jensen首次将拓扑优化与声学超材料设计相结合[34]，他们利用有限元方法计算现有声学超材料的色散图，再通过移动渐近线法逐步扩大目标能带隙。在此基础之上，研究人员提出了许多改进方案。比如，Li等人[47]将BESO方法与有限元方法结合，分别用于最大化平面、垂直平面及混合波情况下相邻能带的相对能带隙宽度。随后，Chen等人[35]将该方法扩展到定向声学超材料设计中。为获得特定的能带隙频率，Chen等人[45]提出了基于水平集的拓扑优化方法，Gómez-Silva和Huang[48]则为二维单材料晶格结构设计了三场FPTO方法，Yan等人[49]则将三场FPTO方法扩展到三维晶格结构中。基于非梯度拓扑优化方法，Gazonas等人[50]采用了遗传算法进行声子能带隙优化设计。这类非梯度拓扑优化方法虽减少了对初始结构的依赖，但需要大量的计算资源。为加快收敛速度，Dong等人[51]采用了多精英遗传算法，并结合自适应模糊适应度量化方法来降低计算负担。此外，Zhang等人[44]提出了一种非梯度拓扑优化方法，用于实现超宽的低频能带隙。针对多材料声学超材料中的能带隙优化问题[52][53][54]以及三维声学超材料中的相关问题[36][55][56]，也已有研究开展。

尽管在优化声学超材料的声波能带隙方面已取得显著进展，但目前几乎所有研究都存在一个共同特点：在优化过程中，仅考虑色散图中目标能带隙宽度的位置，而未考虑声学超材料中能带隙形成的基本原理。换句话说，这些研究没有考虑能带隙上下边界处的本征模式形状。但实际上，声学超材料的能带隙边界由两种不同的本征模式形状决定[57][58][59]，忽略这些本征模式会导致优化算法无法准确把握决定能带隙边界的声学超材料振动行为。因此，许多现有方法可能无法稳定收敛到最优设计，或容易陷入不良的局部最小值。另一个关键问题是，如果不考虑声学超材料的本征模式，一些不可激发[60][61][62]或呈指数衰减[44][63][64]的“暗模式”可能在优化过程中被误认为是有效模式，这同样会导致能带隙变窄。

然而，据作者所知，对于现有的声学超材料优化方法而言，要明确用色散图中实际出现的本征模式来表示能带隙边界仍是一项挑战。因为下边界模式和上边界模式往往会与邻近模式发生相互作用或纠缠，这使得在优化过程中难以将其分离并可靠跟踪。这一难题使得研究人员很难将具有物理意义的本征模式直接纳入优化模型中。为解决这一问题，研究人员通常采用间接策略，将物理本征模式与设计目标联系起来。一种常用的方法是分析质量-弹簧建模技术，该方法通过等效机械系统近似描述包含矩阵的相互作用，从而为能带隙的下限和上限提供封闭形式的估算结果[60][65]。另一种方法则是通过在代表性体积元素层面分析受限与不受限特征值问题的相关共振频率来确定能带隙边界[66]。不过，这些方法都存在若干显著局限性。首先，无论是质量-弹簧近似方法还是基于代表性体积元素的建模方法，都没有对整个布里渊区进行波矢扫描，因此无法保证所得边界 truly对应全方向的能带隙。其次，这两种方法都要求单元结构在其边界上包含预定义的非设计区域，这大大限制了拓扑优化的可行域，往往导致设计结果远非最优。最重要的是，这些方法本质上仅适用于第一能带隙，因此无法探索更高阶本征模式的潜在作用。

造成这一问题的原因是，对于声学超材料的色散图，目前还没有任何研究在波矢路径上对所有本征模式进行完整的跟踪与分类，因为振动本征模式及其频率会随波矢发生显著变化。无法准确识别本征模式的交叉与偏转现象[67][68]，可能会导致不同本征模式相互混淆，进而无法准确反映色散图的物理意义。在优化过程中，这种误识别会进一步增加打开能带隙的难度，大幅增加迭代次数，有时甚至需要数百次乃至数千次迭代。在拓扑优化领域，如此高的迭代次数不仅耗费大量时间，还会带来巨大的计算负担，尤其是对于声学超材料而言，每次迭代都需要在整个波矢路径上计算完整的色散图。

作为另一种解决方案，本研究提出了一种新型的二维本征模式跟踪声学超材料拓扑优化方法，该方法采用模式重叠积分技术来跟踪随波矢变化的本征模式形状，能够准确识别色散图中本征模式的交叉与偏转现象，并对其进行正确分类。随后，通过将本征模式跟踪与拓扑优化相结合，该方法能够在特定本征模式之间生成并扩大指定的能带隙，从而实现稳定且快速收敛到最优结果的优化过程。所提方法的一个重要优势在于，将优化与模态分析相结合，可以消除那些无法被声波激发的“暗模式”[61][62]，并允许有针对性地选择不同的振动模式进行优化。此外，该方法还有助于我们更好地理解高阶本征模式，并在它们之间打开更宽的能带隙。本文通过多个案例展示了该框架在有效优化声学超材料能带隙方面的应用效果。

本文的其余部分安排如下：第2节介绍利用有限元方法计算声学色散曲线的过程，同时阐述用于识别和分类色散关系中本征模式的本征模式跟踪算法，并探讨这些本征模式在能带隙形成中的作用。第3节介绍所提方法的拓扑优化框架，第4节详细说明数值实现过程及优化结果。第5节对数值模拟结果进行分析与讨论。最后，第6节给出结论性意见。

**章节概要**
**理论分析与优化问题**：本章重点研究声学超材料中的声学色散特性以及决定能带隙形成的物理机制。通过有限元方法将控制方程转化为特征值问题，从而得到色散曲线。随后引入专门的本征模式跟踪算法，用于在布里渊区内可靠地跟踪和分类振动本征模式，以此修正计算得到的色散曲线，提升计算的稳健性。

**拓扑优化框架**：本章介绍一种拓扑优化框架，旨在将上述本征模式跟踪算法应用于针对不同本征模式的声学超材料拓扑优化。首先讨论设计参数的设定，接着阐述优化目标与约束条件，其中一些约束条件是基于本征模式跟踪过程而添加的。最后，介绍针对本征模式的敏感性分析。

**数值研究**：本章描述所提出的基于本征模式的拓扑优化框架的数值实现过程，重点介绍本征模式的分类与跟踪方法，以及如何将这些方法纳入优化目标，以实现稳定且具有物理意义的能带隙设计。通过一系列典型的数值算例，首先指出传统优化方法的局限性，然后展示所提方法如何提高优化过程的收敛速度。

**透射响应验证**：本章详细分析和验证第4节中得到的结果，以确认所提方法的有效性。通过商业软件COMSOL Multiphysics进行相应的透射损失测试，该软件的计算精度已通过大量实验研究得到充分验证[95][96][97]。数值模拟进一步证实，所设计的声学超材料在目标能带隙频率范围内具有显著的波衰减效果。

**结论**：本研究提出了一种基于本征模式的二维声学超材料拓扑优化框架，其目标是通过直接针对决定能带隙边界的物理本征模式，来实现能带隙的设计与最大化。该框架基于模式重叠积分开发出了强大的本征模式跟踪与分类算法，能够随着波矢在不可约布里渊区内的扫描而持续跟踪本征模式。通过准确识别本征模式的交叉与偏转现象，该框架实现了高效稳定的优化过程。

**CRediT作者贡献声明**
潘汉涛：撰写——初稿、方法论、研究、形式分析、概念构思。赵思培：撰写——审阅与编辑、验证、监督、方法论。张明辉：撰写——审阅与编辑、可视化、软件、研究。高伟：撰写——审阅与编辑、资金获取、概念构思。罗震：撰写——审阅与编辑、验证、监督、方法论、资金获取。

**利益冲突声明**
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

**致谢**
本文的研究工作得到了澳大利亚研究委员会项目DP210101353和DP240102559的支持。