用于充气膜压缩分析的显式导数强约束PINNs方法

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Explicit-derivative hard-constrained PINNs for inflated membrane compression analysis

　　沈新毅|李勇|刘财山 北京大学工程学院，中国北京100871

摘要
充气膜的压缩问题涉及几何非线性、未知内部压力以及具有一阶导数不连续性的未知接触边界等多重挑战，使得传统方法难以解决该问题。本文提出一种基于物理信息神经网络（PINN）的计算框架，以同时应对这些挑战。通过域分解方法处理接触边界处的导数不连续性，将问题分解为可解析处理的接触区域子问题和非接触边界值子问题。在非接触区域内，本文提出了一种显式导数硬约束PINN（eHC-PINN），该模型将位移边界条件作为严格的硬约束，同时将接触边界处的一阶导数视为可直接学习的参数。通过基于压缩条件的自校正更新规则，迭代内循环可确定未知内部压力；而增量外循环则逐步扩展接触边界，直至没有膜面区域突出到板边之外。这些组件共同将耦合的正反问题转化为一系列结构明确的子问题。该框架通过三维有限元分析及实验进行了验证，截面变形、内部压力和接触长度的相对误差始终处于O(10?2)水平。超参数研究进一步证明了eHC-PINN对辅助函数设计、网络架构及初始条件变化的鲁棒性。压缩分析揭示了充气膜的类弹簧非线性机械行为，表明等效弹簧刚度取决于初始充气状态。本研究展示了eHC-PINN方法作为解决柔性系统复杂接触问题的一种高效有力替代方案的潜力。

引言
充气膜因其重量轻且易于部署而广泛应用于各类工程领域，包括土木工程中的气支撑膜结构[1]–[5]、航空航天工程中的气动着陆气囊[6]–[10]、生物医学工程中的球囊血管成形术[11]–[14]，以及软体机器人中的气动执行器[15]–[17]。在所有这些应用中，充气膜的压缩都是一个常见且具有重要实际意义的问题。解决这一问题面临若干根本性挑战：首先，较大的形状变形会导致明显的几何非线性；其次，问题涉及多个需同时确定的未知量，包括内部压力和接触边界；第三，由于接触区域与非接触区域之间的外部压力差异，膜面形状虽持续变形，但其法向导数在接触边界处会出现跳变不连续性。为应对这些挑战，已有大量研究采用不同方法探讨充气膜的压缩问题。早期研究[18]–[22]在分析气囊着陆系统的垂直衰减过程时，对两个刚性平面之间压缩的圆柱形气囊的截面变形采用了简单的几何近似，此时截面面积和内部压力均可表示为压痕的封闭形式解析函数。尽管这类简化后的变形模型易于实现，但难以扩展到几何形状不规则的场合。后来，人们采用变分方法发展出了更复杂的模型[23]–[26]，这些模型通过最小化总势能来推导平衡方程，总势能由膜应变能和充气气体所做的功组成。未知的接触边界和内部压力被视作自由变量，边界条件与气体状态方程被整合为一个代价函数，进而通过同时满足平衡方程并最小化代价函数来解决该问题，这一过程通常需要复杂的优化计算。基于有限元方法的显式动力学分析也是另一种广泛使用的方法[27]–[30]，然而，这类刚柔耦合系统需要精细的网格划分，从而导致较高的计算成本，限制了其在工程应用中的效率。随着机器学习的快速发展，数据驱动的建模方法在机械系统建模方面展现出巨大潜力。人工神经网络尤其擅长直接从带标签的数据集中学习复杂模式，应用于替代建模[31]–[34]、降阶建模[35]–[39]以及逆参数识别[40]–[42]等领域。尽管这类模型具有灵活性，但其物理可解释性往往有限，且严重依赖于训练数据的质量和数量[43]。构建可靠的带标签数据集通常成本高昂且耗时较长，这限制了整体效率。近期，物理信息神经网络（PINNs）因能够在无需带标签数据集的情况下求解偏微分方程而受到越来越多关注[44]。PINNs将控制方程、边界条件和初始条件中所体现的物理原理纳入训练损失函数中，凭借通用逼近定理和灵活的架构设计，神经网络能够逼近复杂解[45]–[48]。得益于无网格特性和自动求导功能，PINNs已成功应用于结构动力学[49]–[53]、固体力学[54]–[57]以及流固耦合问题[58]–[61]等多个领域。根据所研究的偏微分方程类型，PINNs可通过多种方式构建[62]–[65]。其中一类重要的PINN方法专注于具有界面不连续性的问题。由于大多数神经网络采用平滑激活函数，其得到的近似解本身也是平滑的，这使得难以准确捕捉解或其导数在界面处的跳变不连续性。为解决这一问题，一种有效策略是将不连续性明确编码到神经网络架构中。例如，Hu等人[66]通过引入一个额外坐标来标记子区域，将d维分段连续函数转换为(d+1)维连续表示，随后构建浅层神经网络来近似该扩展函数。在此基础上，Tseng等人[67]–[69]提出了一种用于具有不连续系数椭圆界面问题的尖点捕获PINN，他们通过将等值面函数的绝对值作为额外输入，有效捕捉了界面处的梯度跳变。类似地，Fan等人[70]提出了去不连续性PINN，该方法将解分解为平滑部分和非平滑部分，分别由独立的神经网络进行近似。然而，这些方法都依赖于对界面位置的先验知识或控制其运动的显式演化规律。在缺乏此类信息的情况下，直接将相应的不连续性嵌入网络架构通常是不可行的。另一种思路是而非修改网络架构，通过域分解将界面问题分解为多个子问题，为不同区域分配独立的子网络。Li等人[71]通过在各子区域之间交换信息，并通过修正后的边界项强制满足界面条件，同时为每个子问题配备专用神经网络来解决界面问题。Wu等人[72]进一步改进了这一框架，引入了扩展的多梯度下降方法，该方法利用来自不同损失组分的梯度信息，从而自适应地平衡各子区域的训练过程。此外，Moseley等人[73]受经典有限元方法启发，将域划分为重叠的子区域，并开发了有限基PINNs。不过，域分解方法通常将界面处的边界条件视为PINN损失函数中的软约束[74]，由于实际中损失残差无法完全消失，这些条件只能得到近似满足。为克服这一局限，人们提出了硬约束方法，直接在解中强制满足边界条件。这一理念最早可追溯到Lagaris等人[75]–[76]的研究，他们将神经网络的输出分解为满足边界条件的特解和由网络学习的齐次校正项。在此框架基础上，硬约束方法中辅助函数的设计需依据问题几何形状和边界条件的性质来确定。对于规则域，多项式距离函数较为适用；而对于不规则或复杂几何形状，则建议使用基于R函数的近似距离函数或辅助神经网络[77]–[86]。对于振动问题或具有周期性边界条件的问题，三角函数、指数函数或傅里叶函数基的辅助函数能带来更高的精度[50]–[88]。为进一步减轻为复杂几何形状手动设计试验函数的负担，Xie等人[89]提出了一种具有自动边界拟合功能的边界依赖型PINN，该框架可系统地构建满足指定边界条件的辅助函数。当涉及导数型条件，如材料界面处的通量跳变条件时，Xie等人[90]预先通过解析方法得到满足这些界面条件的特解。在所有这些不同的建模方法中，通过硬约束精确满足边界条件，无需在损失函数中加入边界惩罚项，从而简化了优化问题，提高了PINNs的精度和收敛速度。上述所有研究均假设边界条件在训练前已是已知且固定的。然而，在充气膜压缩问题中，接触边界和内部压力在训练前均为未知，必须作为解决方案的一部分来确定，这就无法直接应用需要硬约束条件的建模方法。为解决这些问题，本文提出了一种新的基于PINN的计算框架，该框架结合了域分解、显式导数硬约束神经网络、迭代内部压力策略以及增量式接触边界更新机制。对于给定的压缩位移，该框架可同时确定膜面位移场、内部压力和接触边界。在该框架中，通过域分解来处理膜面接触区域与非接触区域之间的一阶不连续性。此外，还开发了显式导数硬约束PINN（eHC-PINN），用于解决非接触区域内的两点边界值问题，该模型严格满足边界条件，并能直接学习接触边界处的一阶导数。基于压缩条件的迭代策略则将未知内部压力视为每次迭代中的已知量。另外，借助系统的物理行为，还采用增量式方法逐步确定接触边界，从而将未知的边界问题转化为一系列边界明确的子问题。为验证所提出的框架，本文以一个在两个平行刚性板作用下受到垂直压缩的线弹性圆柱形充气膜作为典型算例。本文其余结构如下：第2节介绍充气膜压缩问题的理论模型；第3节阐述eHC-PINN方法；第5节先进行数值验证，继而分析所提方法的性能以及充气膜的压缩特性；最后第5节总结研究内容并讨论未来工作方向。

问题表述
考虑如图1a所示的、未充气时截面半径为R0的均匀、各向同性、线弹性圆柱形充气膜。顶部刚性板固定不动，充气膜则与之刚性连接。我们通过底部刚性板对膜面施加压缩力，从而模拟膜面截面的二维变形情况（见图1b）。以未变形截面中心为原点，建立全局笛卡尔坐标系，其中x1和x2分别表示坐标轴方向。

eHC-PINN方法
由于未知的内部压力p?in和接触边界Δαc的存在，解决第2节中推导出的控制方程十分困难，这使得该问题属于正反问题混合类型。为应对这一问题，我们专门为这类问题开发了一种基于PINN的计算框架。在本节中，我们首先回顾标准PINN的建模方法，并指出其在处理具有未知参数和间断边界条件的问题时的局限性，随后再介绍四种……

结果与讨论
本节展示了所提出的eHC-PINN方法在分析不同压缩条件下圆柱形充气膜力学行为中的应用。为后续分析提供可靠参考，首先建立了垂直压缩问题的有限元模型，并通过实验对其进行了校准。利用该有限元模型，系统评估了二维变形假设和无滑移接触假设的合理性。

结论
本文提出了一种基于PINN的新的计算框架，用于分析存在几何非线性、未知接触边界处的一阶导数不连续性以及未知内部压力的圆柱形充气膜压缩问题。该框架通过四个紧密关联的组成部分来应对这些挑战。域分解方法将问题拆分为一个可解析处理的接触区域子问题和一个非接触边界值子问题。在CRediT作者贡献声明中，沈欣的贡献包括：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法论、研究实施、形式分析、数据整理、概念构建。李勇的贡献包括：写作——审稿与编辑、可视化、监督、研究实施、形式分析、概念构建。刘彩山的贡献包括：写作——审稿与编辑、监督、项目管理、研究实施、资金获取、形式分析、概念构建。利益冲突声明：作者们声明自己没有已知的可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。致谢：本研究得到了中国国家自然科学基金（U2241264）的共同支持。