双向传动平行轴外啮合线齿轮的快速设计方法

《Applied Sciences》：A Rapid Design Method for Bidirectional Transmission Parallel-Axis External Line Gears

　　

为了解决传统平行轴线齿轮在啮合方程中的设计灵活性有限、建模过程复杂以及缺乏对双向传动系统研究的问题，本文提出了一种双向传动平行轴外啮合线齿轮（BTPELG）的快速设计方法。首先，建立了多坐标系，并推导了齐次变换矩阵。其次，通过引入角度参数扩展了啮合方程，得到了广泛适用的共轭条件。然后，构建了两对共轭接触曲线和中心引导曲线，并推导了圆弧齿廓的偏移矢量。随后，以等距圆柱螺旋线作为驱动接触曲线，通过扫掠法构建了三维实体模型。最后，对3D打印样机进行了运动学仿真和实验，验证了正反转条件下的传动比。结果表明，双向传动稳定，平均传动比与理论值吻合，波动较小，证实了该方法的可行性，并为快速设计和工程应用提供了参考。

线齿轮（Line Gear, LG）是一种基于空间曲线啮合理论的新型齿轮机构，通过一对空间共轭曲线（驱动接触曲线与从动接触曲线）的连续点接触传递运动和动力，具有结构紧凑、体积小、重量轻、可实现大传动比等特点，特别适用于微型机械、机器人关节和医疗器械等应用。然而，传统平行轴线齿轮在啮合方程中规定的法向方向（主法向量）限制了设计灵活性，当需通过调整接触曲线形态优化传动性能时，固定法向方向无法满足灵活设计需求。此外，传统建模方法需先求解复杂齿面方程再通过扫掠或曲面拟合构建实体模型，过程繁琐，不利于早期快速设计验证。同时，现有双向传动线齿轮的设计方法涉及众多几何参数和复杂约束条件，设计过程较为繁琐，且缺乏对双向传动平行轴外啮合线齿轮（BTPELG）快速设计方法的系统研究。

针对上述问题，本研究提出了一种BTPELG的快速设计方法。该方法扩展了传统啮合方程，为通过调整角度参数优化传动性能提供了理论灵活性；在单个齿轮齿上定义两个接触曲线，分别对应正转和反转传动。基于啮合方程和坐标变换，推导了接触曲线和中心引导曲线，并采用直接扫掠法构建线齿轮的实体模型，避免了复杂齿面方程的推导。最后，通过运动学仿真和3D打印样机的运动学实验验证了方法的有效性。相关论文发表在《Applied Sciences》上，为线齿轮在需双向传动的机械系统中的工程应用提供了理论基础和技术支持。

本研究采用的主要关键技术方法包括：首先，建立多坐标系并推导齐次变换矩阵，为坐标变换提供数学基础；其次，引入角度参数扩展空间曲线啮合方程，得到广义共轭条件，定义共法线方向在切向和副法向量张成的整个法平面内；然后，通过坐标变换和广义啮合方程求解两对共轭接触曲线（驱动接触曲线1/2与从动接触曲线1/2）及其对应的中心引导曲线，并推导圆弧齿廓的偏移矢量；以等距圆柱螺旋线作为驱动接触曲线，采用直接扫掠法在SolidWorks中构建三维实体模型，无需推导齿面方程；通过SolidWorks Basic Motion进行运动学仿真，并采用SLA 3D打印（材料：ABS-like光敏树脂，精度±0.1 mm）制备样机，在自制实验平台上进行正反转运动学实验，采集输入输出轴转速数据，计算瞬时传动比。

研究结果方面，按论文小标题总结如下：

**4.1 运动学仿真**：在SolidWorks中设置装配约束和旋转马达（驱动齿轮转速600 deg/s），对正反转进行运动学仿真。结果显示，从动齿轮的实际输出转速严格保持在理论值200 deg/s的±1.5%容差带内。正转平均传动比为3.0014（相对误差0.0467%），标准差σ=0.0546；反转平均传动比为3.0013（相对误差0.0433%），标准差σ=0.0471。误差分布统计表明，几乎所有瞬时误差均位于3σ限度内，相对标准偏差分别控制在1.80%和1.65%。该结果表明，设计的线齿轮副在两个方向上均能精确保持设计传动比，波动极小，具有可靠且对称的传动能力。

**4.2 运动学实验**：使用SLA 3D打印样机，在不同转速（约115 rpm和约175 rpm）和正反转条件下进行实验。采用Savitzky–Golay滤波器平滑原始信号，提取宏观传动趋势。在两种转速下，平滑后的传动比趋势均紧密围绕理论值i=3.0，且严格限制在±0.05（相对误差约±1.67%）的工程容差带内。统计指标显示，所有测试工况下平均传动比与理论值偏差小于0.65%，相对标准偏差（RSD）范围为0.552%至0.89%，相对极差为2.948%至3.574%。实验证实，该线齿轮副能实现稳定双向传动，且波动随转速增加略有减小，正反转性能高度对称。

**讨论部分**总结：仿真与实验数据在传动比精度和稳定性上趋势一致。仿真平均传动比误差更小但相对标准偏差更大，可能源于理想几何模型与软件默认接触参数。实验中的波动和偏差主要来自：3D打印样机制造误差（尺寸公差±0.1 mm）、树脂材料弹性模量低导致弹性变形、安装同轴度偏差、编码器计数误差等。尽管存在误差，平均传动比误差（<0.65%）和波动范围（相对极差<3.6%）均满足运动学原理验证要求。本研究首次提供平行轴外啮合线齿轮双向传动的完整传动比数据，正反转性能高度对称；直接扫掠法简化了建模过程，提高了设计效率。局限性包括：设计实例有限、实验在空载低速下进行、树脂材料与金属差异、未考虑润滑条件。未来研究方向包括：不同齿廓参数的优化、金属材料数控加工样机的高速重载实验、长期运行磨损分析、自动化设计程序开发。

**结论部分**翻译如下：

本文提出了一种BTPELG的设计方法，涵盖了啮合方程的扩展、接触曲线与中心引导曲线的求解、三维实体建模以及仿真与实验验证。主要结论如下：
（1）提出了一种包含角度参数的广义空间曲线啮合方程。该方程将传统啮合方程中的共法线方向从主法向量扩展至切向与副法向量张成的整个法平面，为后续通过调整角度参数主动设计传动误差和优化接触性能提供了必要的理论灵活性。
（2）提出了一种无需求解复杂齿面方程的直接扫掠法。从给定的驱动接触曲线出发，利用广义啮合方程和坐标变换确定其他接触曲线及其对应的中心引导线，并结合齿廓直接扫掠生成线齿轮齿。该方法绕过了齿面方程的复杂推导，简化了设计流程，为线齿轮的快速设计和工程验证提供了新途径，同时有助于初学者快速掌握建模并入门线齿轮。
（3）验证了双向传动平行轴外啮合线齿轮的可行性和平稳性。对示例线齿轮副进行了运动学仿真和实验，结果表明本文设计的双向线齿轮副能够实现连续、准确、平稳的传动，满足设计预期。这为后续线齿轮设计的优化提供了技术基础。