面向数据中心冷却的节能自适应鲁棒MPC：一种具有干扰抑制功能的凸二次规划方法

《Energy》：Energy-efficient Adaptive Robust MPC for data center cooling: A convex QP approach with disturbance rejection

　　徐铁晓|郑红|朱向东|李震中国北京清华大学工程力学系，教育部热科学与动力工程重点实验室，邮编100084

摘要：为解决数据中心冷却控制中模型与实际系统不匹配以及计算复杂度两大难题，本文提出了一种自适应鲁棒模型预测控制（ARMPC）框架。在线雅可比线性化方法将优化问题转化为凸二次规划问题，从而避免了混合整数模式切换带来的巨大计算负担。同时，通过集成扩展状态观测器，可实时估计并抵消整体干扰效应。基于某大型数据中心的历史运行数据进行的仿真验证表明，ARMPC能够弥补88.4%的模型误差，相比传统控制方法可降低5.58%的能耗。该二次规划形式的计算速度是混合整数二次规划方法的47倍，再加上相应的数据预处理流程，为未来实现闭环监控控制留下了充足的计算空间。

引言：作为数字经济的重要支撑，数据中心是巨大的能源消耗者，带来了严重的经济与环境问题[1]。随着数据流量和计算需求的飞速增长，预计2025年至2027年间全球电力消耗量将增加3500太瓦时[2][3]。其中，耗能极高的冷却系统往往占据总能耗的40%，因此对其优化对于提升现代计算的可持续性具有重要意义[4]。典型的数据中心冷却系统由多个相互关联的子系统组成，如冷水机组、冷却塔、泵类以及热存储装置等。这些系统必须在不断变化的IT负载和环境条件下协同工作，以在尽可能降低能耗的同时有效排出大量热量。而热存储技术的存在使得负荷转移策略成为可能，进一步增加了优化难度。尽管引入热存储是一种常见的提升冷却能效的架构改进方式，但其核心挑战仍在于如何通过先进的控制策略实现其实时优化[5]。模型预测控制作为一种先进的解决方案，因其能够处理复杂的系统约束并在未来时间段内优化性能而备受重视[6][7]。在数据中心冷却领域，MPC被广泛用于通过协调设备设定值调整、热存储操作以及不确定性处理等方式，最大限度地降低总电能消耗[4][5][8][9]。然而，尽管MPC具有巨大潜力，但在实际数据中心中的应用仍然面临诸多困难，因为控制性能在很大程度上依赖于预测模型，且会受到参数偏差、传感器噪声以及执行器延迟等多种不确定因素的影响[10][11][12][13]。

第一种方法是基于模型的模型预测控制（MB-MPC），它依赖于明确定义的高精度系统动态模型。在数据中心冷却系统中，这意味着需要根据热力学和流体力学原理为冷水机组和冷却塔等组件建立第一性原理模型[9][14]，或者通过系统辨识技术推导出数学模型[15]。不过，这两种方法都难以完全捕捉实际数据中心的复杂性。第一性原理模型需要大量的时间和专业知识来进行开发和校准，而且很难准确量化由于设备老化、管道污垢积累或制冷剂逐渐泄漏等因素导致的时间变化型不确定性，这一问题在混合冷却系统等复杂应用中会显著影响控制性能[16]。而系统辨识方法则对传感器噪声和运行数据的质量极为敏感，随着设备性能下降，往往无法保持长期准确性，这种现象被称为模型漂移。对于那些由众多相互作用的组件构成的高度动态环境——即数据中心而言，模型与实际系统行为之间的这种持续差距，也就是所谓的模型与实际系统不匹配现象，会严重削弱MB-MPC的控制效果和可靠性。这一参数不匹配问题不仅是数据中心系统面临的重大挑战，其他复杂的能源系统也同样存在这一问题[17]。为了解决这些不确定性问题，人们开发了鲁棒模型预测控制方法，这类方法能够直接考虑参数不确定性和各种干扰因素。例如，已有研究将鲁棒模型预测控制策略应用于热能存储系统，以提高其在存在不确定性条件下的控制性能[11]。同样，也有研究者提出随机优化方法来应对区域温度预测和冷却负荷调度中的不确定性问题[18]。不过，这些方法通常需要明确的不确定性模型或概率分布，而在实际应用中很难准确获得此类模型。为每一个潜在的误差来源——从传感器漂移到换热器污垢积累——设定具体的界限，会大大增加系统的复杂性，还可能导致控制措施过于保守，进而影响能效。

为减少对精确物理模型的依赖，第二种方法——数据驱动的模型预测控制（DD-MPC）逐渐受到重视。这类方法利用机器学习技术为关键组件构建替代模型。例如，神经网络和长短期记忆网络已被用于预测大型商业建筑未来的热动态和冷却负荷情况[19]，而基于Transformer的架构也被提出作为替代模型，用以加快数据中心冷却系统的优化速度[20][21][22]。数据驱动方法还被应用于风冷式数据中心，通过学习得到的预测模型来提升能效[23]。虽然这些经过机器学习强化的模型能够在熟悉的环境条件下提高预测精度，但它们的“黑箱”特性以及对历史数据的依赖，给关键任务型数据中心的稳定运行带来了很大的稳定性挑战。它们的性能会受到训练数据质量和范围的限制，而这些数据可能无法反映未来可能出现的情况，比如突然出现的巨大工作负荷峰值或意外的天气变化。在那些运行条件可能突然变化的建筑控制系统里，这一问题尤为突出，会导致模型泛化能力下降和控制效果变差[24][25][26]。此外，虽然诸如冷却负荷区间预测之类的不确定性量化方法能够为预测误差设定范围，但它们并不能从根本上提升控制策略实时抵消这些不确定性的能力。还有一些方法试图完全避开显式建模，例如利用威尔姆斯基本引理[28]。尽管从概念上来看这种方法很有吸引力，但实际上它往往需要在历史数据中存在丰富且持续的激励信号——而注重运行稳定的实际数据中心很少具备这样的条件。此外，当系统遭遇大规模的意外干扰，或是因未被监测到的系统变化而进入非线性运行状态时，这类方法的性能往往会急剧下降[29]。为寻求折中方案，人们还探索了结合物理原理与机器学习的混合方法[17][30][31]，这类融合框架试图发挥经验模型和数据驱动方法各自的优点。然而，要处理所有未建模的动态特性以及参数不匹配问题，依然面临巨大挑战。当考虑到参数不确定性时，这些方法的局限性就更加明显了。有研究表明，在配备热存储的数据中心冷却系统中，参数不匹配可能会导致高达70%的模型预测误差率[7]，这会严重扭曲控制决策。这表明，在复杂系统中，单独处理每一个不确定性来源往往并不现实。一种更可行的做法是将这些因素的综合影响视为一个整体状态，然后直接对其进行补偿。这一思路与主动干扰抑制控制的核心理念相一致，后者将未建模的动态特性、参数变化以及线性化误差共同视为“总干扰”。采用这种方法后，原本需要处理的复杂任务——即对各个不确定性因素进行建模——就被简化为通过扩展状态观测器实时估计并抵消这些因素的综合影响。这种控制理念已广泛应用于各种工业热系统中[32][33]，将其与模型预测控制相结合，也为解决复杂能源系统中的不可量化干扰问题带来了希望[34]。不过，目前尚未针对配备热存储的数据中心冷却系统进行深入研究。

此外，“总干扰”并非唯一的挑战。冷却系统的底层动态特性具有高度的非线性和时变性。因此，一个有效的控制器必须具备双重功能：一方面要能够抵消那些导致模型与实际系统不匹配的、规模较大且变化缓慢的干扰；另一方面还要能够不断调整自身的预测模型，以适应系统当前的局部运行状态。众所周知，像线性参数变模型对应的模型预测控制以及基于扩展状态观测器的干扰抑制控制等方法，已经在更广泛的先进控制理论研究中得到了成熟的应用和充分验证[35][36]。线性参数变模型为捕捉这些变化的动态特性提供了一种很有前景的方法[37][38]。然而，尽管这类模型在一般应用场景中已经具备了成熟的理论基础，但现有的线性参数变模型对应的模型预测控制实现方法仍然依赖于精确的模型，而且并未像主动干扰抑制控制理念所要求的那样，专门针对数据中心冷却系统这种约束条件极为严格的特殊环境来解决持续存在的模型与实际系统不匹配问题。

除了建模方面的挑战之外，实际应用还面临着另一个重大障碍——计算复杂性。配备热存储的数据中心冷却系统需要在不同运行模式之间进行切换，比如充电模式和放电模式。传统的模型预测控制方法是通过引入二元变量来处理这种切换逻辑的，而这通常会导致组合优化问题的出现，进而形成混合整数规划问题[6]。对于那些需要快速做出控制决策、且计算资源有限的数据中心应用来说，这样的计算负担实在难以承受。在实际的数据中心运行过程中，由于计算任务的不断变化，即使在10分钟的优化时间窗口内，冷却系统的热负荷仍可能发生显著变化。因此，为了能够与现场传感、执行和控制监测系统实现稳定集成，仍然需要具备可预测且足够短的求解时间。正因如此，人们开始寻求使用更为轻量的二次规划形式。也就是说，需要一种能够避免沉重整数规划负担的控制方法。

在实践中，模型与实际系统不匹配问题与计算复杂性这两个挑战是紧密相连的。提高模型的精确度往往会增加计算负担，而为了降低计算量而简化模型，则可能会加剧两者之间的不匹配，进而降低控制性能。这就导致了现有研究中的一个明显空白：目前仍然缺乏这样一种控制方法，它既能够保持较高的计算效率，又能够主动补偿与模型与实际系统不匹配相关的整体干扰效应。为填补这一空白，本文提出了一种自适应鲁棒模型预测控制算法。为了在确保冷却水供应能够满足IT设备的散热需求、维持安全运行温度的同时，实现最小化总冷却能耗的目标，并解决上述各项问题，本文提出的ARMPC算法与现有的各类预测控制方法有着显著区别，具体差异如表1所示。ARMPC能够同时应对这两大挑战：在线雅可比线性化方法可以生成一种无需二元变量的轻量级凸二次规划模型，而扩展状态观测器则能够实时估计并补偿包括线性化误差以及其他未建模效应在内的剩余“总干扰”。本文的主要贡献如下：

1. 针对模式切换带来的计算负担问题，本文提出了一种基于二次规划的线性化策略。该方法基于在线雅可比矩阵更新，为数据中心冷却系统构建了一种集成了线性参数变模型的状态空间模型，从而将现有的线性参数变模型方法与扩展状态观测器相结合，用于实现主动干扰抑制控制。通过将问题表述为一种凸二次规划问题，该方法能够利用连续变量隐式地处理模式切换问题，从而避免了传统混合整数二次规划方法所带来的高计算成本。

2. 为了解决模型与实际系统不匹配的问题，本文在模型预测控制框架中嵌入了扩展状态观测器，以实现主动干扰抑制功能。该观测器能够实时估计包括参数不确定性以及外部负荷波动在内的“总干扰”效应。实验验证结果表明，这种设计能够弥补88.4%的模型预测误差，而且在未经测试的新的工况条件下，其控制性能也优于那些经过测试的“黑箱”机器学习方法。

3. 总体而言，这些设计举措不仅提升了系统的能源利用效率，还提高了控制算法的计算速度。在某大型数据中心上的验证结果表明，ARMPC在保持精确温度控制的同时，能够将总能耗降低5.58%，而且其求解时间相较于传统的基于混合整数二次规划的方法快约47倍。本文的其余部分结构如下：第2节介绍系统建模方法，第3节详细阐述ARMPC控制算法的原理，第4节说明实验设置，第5节分析实验结果，第6节进行讨论，第7节对全文工作进行总结。关于约束条件转换和二次规划公式推导的详细内容则放在附录中。

系统描述与建模：本文的控制目标是在最小化能耗的同时，协调数据中心的各类冷却设备——包括冷水机组、泵类以及热存储装置——以满足IT设备的散热需求。本节首先介绍这些关键组件的非线性物理模型，随后详细说明用于构建适用于模型预测控制的线性状态空间表示的参数调度方法。图1展示了所研究的数据中心冷却系统结构示意图。该系统由两台冷水机组组成。

提出的ARMPC算法：本文提出的ARMPC算法的工作原理如图2所示。在每个离散时间步长k处，首先通过在线雅可比矩阵更新将非线性系统动态在当前工作点附近线性化，从而得到一个随时间变化的线性模型，然后将更新后的模型参数传递给观测器。接着，扩展状态观测器（ESO）利用系统测量值y(k)和模型参数来估计包含原始系统状态及其他信息的扩展状态x?a(k|k)。

实验设置
本节介绍了用于评估ARMPC的数据中心设施、数据收集流程、仿真平台以及控制参数设置。

模型验证与精度
MPC的性能直接取决于预测模型的质量。因此，本节将对本文中使用的核心组件模型进行评估，包括非线性冷水机组COP模型以及基于亲和律的泵和冷却塔风扇模型。图3展示了冷水机组15项系数多项式COP模型的验证结果。该模型是通过历史运行数据拟合得到的，决定系数（R2）为0.872，平均绝对百分比误差（MAPE）为……

研究结果解读
主要结果表明，ARMPC能够在提升计算效率的同时增强系统的鲁棒性。47倍的加速主要得益于用凸型二次规划形式替代了二进制决策方式，这不仅减少了平均求解时间，还降低了不同控制步骤间的差异。与此同时，ESO能够弥补由于模型与实际系统不匹配而导致的持续预测偏差，使最终预测的均方误差降低了88.4%。在现有的15天数据集上，这两项特性共同提升了模型在样本外数据上的稳定性。

结论
本文提出了一种自适应鲁棒MPC（ARMPC）框架，该框架结合了在线雅可比矩阵线性化技术与扩展状态观测器（ESO）。与MIQP基准方法相比，所提出的方案将求解时间减少了47倍，且其计算性能适合用于实时监控系统。ESO将模型不匹配视为整体扰动，可弥补88.4%的预测误差，进而提升了模型在样本外测试中的鲁棒性。

作者贡献说明
徐铁晓：原文撰写、可视化、模型验证、软件开发、方法设计、概念构建。郑鸿：资源协调、研究开展、数据整理。朱向东：资源协调、项目管理、研究开展、数据整理。李震：文章审阅与编辑、监督工作、资源协调、资金筹措。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。