《Forest Science》：A Two-Stage Fitting Method for Truncated Stem Diameter Distributions
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胸径分布是全球森林经营规划与资源清查实践的基础，但固定样地连续清查（permanent sample plot, PSP）数据常因可采性限值和胸径上限而被截断。截断密度函数通常是处理此类问题的标准方法，但这类形式往往缺乏充分文献记录，且常用软件也较少直接支持，
胸径分布是全球森林经营规划与资源清查实践的基础，但固定样地连续清查（permanent sample plot, PSP）数据常因可采性限值和胸径上限而被截断。截断密度函数通常是处理此类问题的标准方法，但这类形式往往缺乏充分文献记录，且常用软件也较少直接支持，因此实践中常退而采用带有偏倚的完整形式拟合。研究人员提出了一种两阶段加权最小二乘（weighted least-squares）工作流程，该流程在保留常见完整形式实现方式的同时，能够恢复截断拟合的精度。第一阶段在估计密度参数的同时估计一个缩放因子；第二阶段固定该归一化常数，以获得对形状参数和尺度参数的无偏估计。将该方法应用于加拿大 Québec 的固定面积样地后发现，在 32 个树种组/盖度类型组合上，两阶段估计量能够紧密追踪截断 Weibull 分布和 Gamma 分布的拟合结果（单阶段截断拟合与两阶段完整形式拟合之间的均方根误差为 \(2\times 10-5\)–\(3.7\times 10-2\)），并且在 32 个案例中的 25 个案例中获得最低的第二阶段 AICc（small-sample Akaike information criterion，小样本赤池信息准则）。配套代码仓库提供了重建全部图、表和 LaTeX 结果所需的计数数据、脚本和 notebooks。
该文发表于《Forest Science》，聚焦于森林调查中一个十分常见但长期被低估的方法学问题，即胸径分布（stem diameter distribution）的拟合对象往往并非完整总体，而是经过经营与调查规则裁剪后的截断数据。胸径分布是森林结构刻画、蓄积评估、经营规划和资源动态分析的基础工具，传统做法通常将样地胸径观测拟合为 Weibull 分布或 Gamma 分布等参数分布。然而，在永久样地清查（PSP）中，为提高外业效率并满足经营应用需求，调查规则往往剔除较小径级木，设置较大胸径上限，并按固定径阶汇总计数。这样得到的数据本质上属于双侧截断且分组化的林分表（grouped stand table）。如果仍使用定义域为 \((0,\infty)\) 的完整形式概率密度直接拟合，就会在截断边界附近产生系统偏倚，导致尾部拟合失真、残差和无法收敛到合理水平，从而影响参数解释与模型选择。现有标准补救方式是构建截断分布形式，但其闭式表达式并非对所有候选分布都易于获得，且常用软件工作流对此支持有限，导致许多实际分析仍采用存在偏差的完整形式拟合。因此，该研究的核心动机在于：在不放弃常见完整形式实现便利性的前提下，建立一种可逼近截断拟合精度、同时便于推广应用的替代方案。
研究人员围绕这一目标，提出了一个两阶段完整形式估计器（two-stage complete, 2sc），并将其与两类基线方法系统比较：其一是单阶段完整形式拟合（one-stage complete, 1sc），其二是单阶段截断拟合（one-stage truncated, 1st）。研究以加拿大 Québec 省固定面积永久样地资料为基础，构建树种组/郁闭类型（cover type）组合层面的 meta-plot 数据，分别在 Weibull 与 Gamma 两个两参数分布族下进行拟合。论文的主要结论是：两阶段方法在多数经验数据场景下可重现截断拟合的结果，并且在模型优度评价上通常优于直接完整形式拟合；同时，它避免了为每一种候选分布单独推导截断密度的复杂性，因此具有明显的方法推广价值。文章意义在于为森林清查与林分结构分析提供了一条兼顾统计准确性与实现简洁性的技术路径，尤其适用于历史清查资料、规则化林分表以及软件工具受限的应用环境。
就主要技术方法而言，研究基于 Québec 省固定面积 PSP 样地数据，将各树种组/盖度类型组合的计数汇总为 10–60 cm 胸径（DBH, diameter at breast height，胸高直径）范围内、组距为 2 cm 的径阶频数，并使用样地扩展因子构建标准化截断经验密度。随后在各径阶中点上，以加权非线性最小二乘（weighted non-linear least squares）拟合 Weibull 与 Gamma 概率密度函数（PDF, probability density function），优化算法采用 Levenberg–Marquardt 算法。研究设置 1sc、1st 与 2sc 三种拟合流程，并利用 AICc 进行模型选择；同时，对全部 32 个真实组合按经验直方图形态进行分层汇总，并设计包含 inverse-J、mid-unimodal、near-flat 与 right-shifted 四类情景的规范化合成数据鲁棒性检验，以比较不同方法在多种信息条件下的稳定性。
在结果部分，论文首先通过图示比较展示了代表性 meta-plot 上 Weibull 与 Gamma 拟合曲线的差异。结果表明，在 SPFL-S、Birch-M 和 Maple-H 等代表性组合中，1st 与 2sc 曲线在整个胸径范围内高度接近，而 1sc 在较小径阶与中部径阶偏离经验频率更明显。该结果说明，两阶段方法有效纠正了直接完整形式拟合在截断数据上的系统失真，并在视觉拟合层面与截断基线保持一致。
在“参数估计、AICc 与 1st–2sc 诊断比较”这一部分，作者基于 32 个树种组/盖度类型组合汇总了参数估计、AICc 值以及 1st 与 2sc 的差异指标。结果显示，2sc 的第二阶段 AICc 在 32 个组合中的 25 个达到最优，其余 7 个则仅由 1sc 略占优势，而 1st 未在任何组合中成为最佳模型。1st 与 2sc 之间的均方根误差介于 \(2\times 10
-5\) 和 \(3.7\times 10
-2\) 之间，说明两者数值结果总体非常接近。此外，1st 在 CHCE–R 和 ERS–R 两个案例中出现拟合失败并产生无穷大的 AICc，而 2sc 工作流仍能实现收敛。这一结果支持了作者的核心论点：两阶段方法不仅能逼近截断拟合精度，还在部分复杂情形下具有更好的操作稳健性。
在“经验形态分层鲁棒性总结”部分，研究人员将 32 个 PSP 组合的经验直方图经轻度平滑后，依据峰值位置划分为 inverse-J-like、mid-unimodal 和 right-peaked/flat 三类。结果表明，当前 PSP 数据以内逆 J 型结构为主，但也包含非逆 J 型样本，这些样本对方法评价具有补充价值。附录中的分层统计显示，不同方法的优胜次数和拟合差异并非在所有形态类别中完全一致，这提示两阶段方法虽然总体表现优越，但其适用性仍应结合林分结构背景作有界解释，而不应脱离数据形态简单泛化。
在“规范化合成模拟鲁棒性评估”部分，作者进一步构建了四类典型林分结构情景：inverse-J、mid-unimodal、near-flat 和 right-shifted，并在固定随机种子和不同样本量条件下重复执行 1sc/1st/2sc 工作流。结果显示，在多数重复中 2sc 与 1st 仍保持高度一致，只有在信息量较低的 near-flat 和 right-shifted 场景、以及较小样本量设置下，二者分歧更为集中。该发现与真实数据分析形成呼应，说明两阶段方法在典型情境下具有较好的稳定性，但在低信息场景中方法优劣依赖具体数据条件。
讨论部分围绕方法解释、参数异常、候选分布选择和适用边界展开。首先，作者强调，两阶段估计器在多数 meta-plot 上重现了截断拟合结果，并在三种备选方案中最常获得最低 AICc；相比之下，1sc 在截断边界附近持续表现出偏倚。由此可见，2sc 通常能够在不构造专门截断密度实现的条件下，达到与参考截断程序相当的效果。不过，作者也明确指出，仍有少数案例中 1sc 在 AICc 上略优，因此 2sc 应被视为经过验证的实用替代方案，而不是无条件适用于一切情形的通用替代物。
其次，针对 white pine–mixedwood 和 red pine–mixedwood 两个 meta-plot 中出现的异常大尺度参数，论文给出了基于数据形状的解释。这两个组合的截断直方图近乎平坦，因此优化过程会将形状参数推向小于 1 的区域，并通过放大尺度参数维持面积归一化。由于 1st 与 2sc 在这些组合中收敛到相同状态，作者认为这是一种数据驱动效应，而非两阶段方法本身的弱点。这一说明有助于区分“参数值异常”与“方法失效”之间的概念差异。
再次，在候选分布的设定上，研究仅纳入两参数 Weibull 与 Gamma 分布。作者指出，二者均属于广义 Gamma 家族（generalised gamma family）的特例，既能覆盖常见林分结构，又保持较低参数维数，从而使比较重点集中于“截断拟合”与“两阶段拟合”的方法学替换，而非模型灵活性的额外提升。文中提到，带位置参数的三参数 Weibull 分布可作为处理左截断的另一种思路，但由于其改变了参数化形式并提高了模型灵活性，会削弱当前 1st 与 2sc 直接比较的清晰性，因此被留作后续研究方向。
最后，作者结合配套代码仓库和附录鲁棒性表格强调，2sc 在多数测试情境下与截断基线相当或更优，并普遍优于未经修正的 1sc。然而，上界 \(b\) 的解释具有应用情境依赖性，因此该工作流在推广到其他截断规则或其他分布形状前，仍需进一步压力测试。当前分析主要聚焦于由 PSP 导出的 inverse-J 型林分表，其他结构形态仍值得后续研究深入检验。总体而言，讨论部分并未夸大两阶段方法的普适性，而是将其定位为在已测试条件下具有较强实践价值的方案。
研究结论部分指出：将完整形式分布直接拟合到截断清查数据会产生有偏估计。截断似然基线方法虽然精确，但需要针对每一种候选分布专门构造截断概率密度函数。研究提出的两阶段方法保留了完整形式拟合的简洁性，同时能够达到与截断拟合相匹配的效果。在本文的计算实验中，该方法与截断基线相当或更优，并明显优于朴素的完整形式拟合方案。此外，研究建立的工作流实现了数据预处理、模型拟合和论文构建的自动化，配套代码与匿名化中间结果均随文提供，便于重复利用与再分析。
