一种混合基函数方法及其在复杂单元阵列求解中的应用

《Chinese Journal of Electronics》：A Hybrid Basis Function Method and Application in Solving Arrays of Complex Elements

　　

等宽单元（Constant-width element）是一类广泛应用于天线和雷达罩（Radome）领域的阵列单元，可通过三种基本几何元素的组合近似：直线段（Straight-line segment）、弧线段（Arc segment）和角段（Corner segment）。基于V-偶极子基函数（V-dipole basis function），研究人员在本文中提出了一类定义域灵活、适用于等宽单元的基函数。这些基函数的定义域可通过单元轮廓的控制点（Control points）轻松确定，继承了V-偶极子基函数的优点，更便于建模且适用于复杂形状。通过多个典型算例测试了这些基函数对复杂等宽单元的性能，结果表明：当定义域合理划分时，低阶基函数即可获得高计算精度。由于定义域可通过单元轮廓控制点快速确定，该类基函数可方便地用于单元形状优化。该方法能有效加速复杂单元电磁特性的求解速度，还可用于辅助特定频段超表面（Metasurface）或特定功能雷达罩的快速设计。

论文解读文章

频率选择表面（Frequency Selective Surface, FSS）作为电磁波滤波器，广泛应用于天线、雷达罩（Radome）和分频器等领域。实际FSS结构的设计高度依赖于对结构电性能的快速计算。目前，FSS电性能计算方法主要有两类：全波分析法（如体积-表面积分方程/矩量法VSIE/MoM、有限元法FEM）和高频法（如局部平面技术LPT及基于周期矩量法PMM的高频迭代法）。PMM虽只能近似应用于有限弯曲FSS结构，但因快速高效，在FSS设计阶段仍不可或缺。基函数（Basis function）在全波法和PMM中均至关重要：子域基函数（如屋顶基函数、Rao-Wilton-Glisson（RWG）基函数）适应性强，但未知量多、计算量大；全域基函数（Entire-domain basis function）未知量少、计算量小，但难以定义在拓扑形状复杂的单元上。Bozzi等人将FSS单元视为波导，利用波导理论中的电流或磁模作为全域基函数，但计算量随单元复杂度急剧增加。Poulsen提出的V-偶极子基函数（V-dipole basis function）适用于简单直线和角组成的单元，具有良好的收敛性，并有潜力扩展至复杂单元。为结合两类基函数的优势，研究人员基于V-偶极子基函数提出了一种混合基函数设计方法，该方法将复杂单元分解为若干相对独立的子区域，在每个子区域内应用类似全域基函数的函数，特别适用于通过简单几何规则生成的FSS单元，也对其他等宽复杂单元具有规整的分解可行性。该研究的重要结论是：通过合理划分定义域，低阶基函数即可获得高计算精度，且定义域可基于单元轮廓控制点快速确定，便于单元形状优化，从而有效加速复杂单元电磁特性的求解，可用于特定频段超表面或雷达罩的辅助快速设计。该论文发表在《Chinese Journal of Electronics》。

主要关键技术方法（不超过250字）：研究人员基于控制点（Control points）生成基函数：先将等宽单元轮廓分解为直线段、弧线段和角段，定义沿长度方向（l）和宽度方向（w）的标量基函数（如三角函数、勒让德多项式等），并组合成矢量基函数。对含分支或多连通拓扑的复杂单元，依据孔径电场或表面电流的弱区域进行子区域分解。该方法无需离散结构单元，仅需从控制点确定轮廓并内扩生成区域，再填充角段保证连续性，最终等效为在虚构直线段上定义基函数。算例中使用了特定几何参数（如环形外径3.45 mm、宽度0.3 mm、周期7.5 mm）和介质参数（ε_r=4.6, tanδ=0.01, 厚度1.0 mm），未注明样本队列来源。

研究结果（保留原文每个小标题并简要说明）：
1. 简单区域上的基函数定义（Basis Function Definition on Simple Region）：在直线段、弧线段和角段上分别定义了宽度方向和长度方向的基函数，通过组合各分段基函数得到完整的m n阶基函数。设计要点包括：环状单元需满足f_n(0)=f_n(1)；边界处场应垂直于导体边界；可引入奇异因子改善近边界精度。
2. 基于轮廓控制点的基函数生成规则（Generating Rules of Basis Functions Based on Outline Control Points）：从控制点出发，依次确定轮廓、内扩生成区域、填充角段，然后沿各段定义基函数。该规则使基函数可快速生成，每个分段相当于一个传统基函数，分段数影响Floquet展开或积分计算时间。
3. 复杂单元上基函数定义域的划分（Division of Definition Domain of Basis Function on Complex Elements）：对于带分支或多连通单元，需分割为子区域，在每个子区域内应用上述基函数。分割原则：孔径单元在电场为零或弱处断开/重叠；贴片单元在电流为零或弱处断开/重叠。通过多孔环单元（三臂均分环结构）和“耶路撒冷”十字单元的算例，验证了子区域分解的合理性与可行性。
4. 效果与讨论（Effects and Discussion）：通过多个典型算例对比验证：
- 多孔环单元（图5）：采用12个三角基函数（每子区域4个），计算结果与FEM及测试吻合较好。
- “耶路撒冷”十字单元（图6）：采用4个子区域，每子区域6个三角基函数（共24个未知量），在2-25 GHz范围内与MoM及FEM结果一致，尤其在15 GHz透射零点附近匹配良好，而改进屋顶基函数需2448个未知量。
- 方形螺旋单元（图9）：使用170个三角全域基函数（85阶正弦+85阶余弦）和729个Floquet模，计算19个频点用时271秒，而RWG基函数法需3001个基函数、4489个Floquet模、4113秒，内存消耗从895 MB降至7 MB。
- 分支型方形螺旋单元（图11）：采用6个子区域、222个三角基函数和729个Floquet模，计算结果与FEM差异略大，可通过域分解或阶数筛选改善精度。
- 四臂螺旋单元（图13）：分为6组螺旋臂，每组分24部分，使用48个三角基函数（8个基函数×6组）和729个Floquet模，计算结果与文献[29]测量值吻合良好。

讨论部分总结（翻译研究结论）：
上述算例表明，本文提出的基函数生成方法对复杂等宽单元具有良好的适应性。通过合理划分单元，少量基函数即可有效表征复杂表面场分布，同时达到与MoM和FEM相当的计算精度。此外，一旦确定了单元的基本拓扑形状，即可基于单元控制点便捷地构造这些基函数，使其适用于控制点和单元形状的优化。然而，该方法也存在一定局限性：①由于重叠区域存在，不能保证所有基函数构成正交函数系列；②角区被修改为扇形过渡，导致基函数定义域与实际单元略有差异；③过长的折线定义域可能削弱基函数表征表面场的能力，使阻抗矩阵条件数增大、计算精度下降。对于问题①，本文提出的基函数仍能保证完备性，虽不能严格正交，但基函数间相关性较弱，对求解过程影响极小；当重叠区域很小或其中场强较弱时，其影响可忽略。对于问题②，可将角段扩展以匹配设计几何，虽增加计算成本但影响不大；仿真显示，即使去除圆角改用精确形状，传输特性等电参数基本不变。对于问题③，一种有效且低成本的解决方案是用多个分段低阶基函数替代长折线段上的高阶基函数，能显著改善数值行为。