粘弹性地基上磁致伸缩功能梯度(FGMT)梁的阻尼横向振动研究：一种耦合FEM–Galerkin–ANN框架

《Next Materials》：Damped transverse vibrations of magnetostrictive functionally graded (FGMT) beams on viscoelastic foundations: A coupled FEM-Galerkin-ANN framework

　　

摘要：本文研究了含Terfenol-D层、置于Kelvin–Voigt粘弹性地基上的磁致伸缩功能梯度(magnetostrictive functionally graded, FGMT)梁的阻尼横向振动问题。力学模型考虑了材料梯度分布、磁致伸缩阻尼及地基的弹性与粘性效应，基于Euler–Bernoulli梁理论并应用Hamilton原理推导控制方程。为获取不同边界条件下的阻尼固有频率、振型及瞬态响应，建立了有限元模型(finite element method, FEM)作为主数值工具，同时采用基于Galerkin法的半解析公式进行验证。此外，利用FEM生成的数据训练人工神经网络(artificial neural network, ANN)代理模型，可在宽参数范围内快速准确预测振动特性。结果表明：梁的动力行为受边界条件、材料梯度、地基刚度及粘弹性阻尼的显著影响；FEM、Galerkin与ANN结果吻合良好，相对误差极低。所提出的耦合FEM–Galerkin–ANN框架为置于粘弹性地基上的智能FGMT结构的分析、设计与优化提供了高效可靠的工具。

论文解读：粘弹性地基上磁致伸缩功能梯度(FGMT)梁阻尼横向振动的FEM–Galerkin–ANN耦合框架研究

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一、研究背景与意义

智能结构（smart structures）中功能梯度材料(functionally graded materials, FGMs)因可连续过渡力学性能而受关注，嵌入Terfenol-D等磁致伸缩(magnetostrictive)材料形成的功能梯度磁致伸缩梁(functionally graded magnetostrictive beams, FGMT beams)可用于主动振动控制。实际工程中梁常置于土壤或介质上，Kelvin–Voigt粘弹性地基可同时表征刚度(Winkler刚度k_w)与耗能(粘滞阻尼系数c_f)。已有研究多限于无阻尼解析解或微分求积法(differential quadrature method, DQM)，未系统考虑Kelvin–Voigt地基、磁致伸缩内阻尼β及数据驱动预测模型。本研究由Brahim Echouai等完成，发表于《Next Materials》，旨在建立统一耦合框架——FEM数值解、Galerkin半解析验证及ANN代理模型——以分析FGMT梁在粘弹性地基上的阻尼振动特性，填补现有研究空白。

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二、主要技术方法概述

研究人员采用Euler–Bernoulli梁理论，通过Hamilton原理推导含Terfenol-D层FGMT梁在Kelvin–Voigt地基上的运动方程，引入等效弯曲刚度D₁₁、平动惯量I₀、转动惯量I₂及磁致伸缩阻尼系数β。关键技术方法包括：(1)有限元法(finite element method, FEM)——基于Hermite三次形函数推导单元质量、阻尼、刚度矩阵（含地基Winkler刚度与粘性阻尼贡献），组装后求解二次特征值问题获取复特征值得到阻尼固有频率ω_d与模态阻尼比；(2)Galerkin法——选取满足边界条件的试函数（简支时用正弦级数）进行模态投影验证FEM；(3)人工神经网络(artificial neural network, ANN)——以{D₁₁, I₀, I₂, β, k_w, c_f}为输入、前10阶阻尼固有频率为输出，构建双隐层MLP(6–10–10–N_m)，Levenberg–Marquardt算法训练，Min–Max归一化，80%/10%/10%划分数据集，早停法防过拟合；(4)四种FGMT构型(FGMT1–FGMT4)对应不同Terfenol-D层位置与梯度分布，四种边界条件(C–C、C–F、S–S、S–C)。材料参数取自Patil和Kadoli文献。

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三、研究结果

(1) 网格收敛性研究(Mesh convergence study)

对FGMT1梁C–C边界，比较20～100个Euler–Bernoulli梁单元的结果。前两阶固有频率在60单元后基本稳定（第1阶238.9196 rad/s），故全篇采用100单元以保证数值精度与独立性。

(2) FEM结果对照Navier解与文献验证(Validation of FEM results against Navier solution and literature)

对S–S边界FGMT1与FGMT4，FEM结果与Navier解析解及Patil和Kadoli的DQM和解析解对比，相对误差FGMT1约0.099%、FGMT4约0.0076%，证实FEM公式与等效参数正确，且可扩展至含阻尼与地基情形。

(3) FEM对照Galerkin法验证(Validation of FEM results against the Galerkin method)

对FGMT2、FGMT3在C–C边界，FEM与Galerkin缩阶模型前四阶频率偏差<0.03%；首阶与二阶归一化模态形函数曲线几乎重合，满足端部约束、无伪振荡，证明FEM准确捕捉位移场与曲率连续性。

(4) ANN模型验证(Validation of the ANN model)

回归分析显示ANN预测值与FEM参考值沿y=x分布，相关系数近1；训练、验证、测试集MSE同步下降，12轮后早停。独立样本外测试(H1–H4)相对误差≤0.000535%，表明网络无过拟合且具强泛化能力，可作快速替代模型。

(5) 地基刚度k_w的影响(Effect of foundation stiffness k_w)

随Winkler刚度k_w增大，一阶阻尼固有频率ω_d1显著升高，归因于地基提供附加弹性约束使整体抗弯刚度增加，符合经典梁理论。

(6) 阻尼系数c_f的影响(Effect of damping coefficient c_f)

随粘弹性地基粘性阻尼c_f增大，ω_d1微幅下降，反映耗能机制对振动相位的轻微影响；曲线光滑连续、无非物理振荡，确认阻尼矩阵构造合理及复特征值求解数值稳健。

(7) 材料梯度(FGMT1–FGMT4)的影响(Effect of material gradation (FGMT1–FGMT4))

从FGMT1到FGMT4，等效弯曲刚度D₁₁递增(4.78→6.90×103 N·m2)、磁致伸缩阻尼β递减(39.83→13.28 N·s)，Terfenol-D层越靠近高应力表层的构型刚度更大、固有频率更高，表明铺层位置可有效调谐动力特性。前三阶归一化模态形函数平滑连续，满足边界条件，无寄生模态。

(8) FEM–ANN对比(FEM–ANN comparison)

对FGMT1在不同k_w(40000–60000 N/m2)、c_f(0–50 N·s/m)及四种边界条件下，ANN预测基频与FEM偏差多低于0.01%（个别S–S高阶工况略大但仍<1.5%），证明ANN代理模型在全参数域与多边界条件下均保持高精度。

(9) 边界条件的影响(Effect of boundary conditions)

C–C、C–F、S–S、S–C四种边界下ANN与FEM预测的ω_d散点紧密分布于y=x线附近，R2≈1，说明框架对各约束形式均适用，边界约束越强频率越高(C–C > S–C > S–S > C–F趋势符合理论)。

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四、讨论与结论

研究表明：置于Kelvin–Voigt粘弹性地基上的FGMT梁，其阻尼横向振动特性受材料梯度(D₁₁, β)、Winkler地基刚度k_w（提升固有频率）、地基粘滞阻尼c_f（促进耗能并微降ω_d）及边界条件共同影响；Terfenol-D层位置通过改变等效刚度与内阻尼实现动态响应调谐。本文建立的耦合有限元法(FEM)–Galerkin–人工神经网络(ANN)框架经相互验证，能高效可靠地分析、设计并优化此类智能FGMT粘弹性地基结构，ANN代理模型可将计算成本大幅降低同时保持极高精度。未来工作可拓展至几何非线性、大振幅振动及基于Terfenol-D的主动控制策略。

结论原文译文：

本研究深入探讨了置于Kelvin–Voigt粘弹性地基上磁致伸缩功能梯度(FGMT)梁的阻尼横向振动。基于Euler–Bernoulli梁理论与Hamilton原理的模型纳入了材料梯度、磁致伸缩阻尼及地基粘弹效应。数值结果表明：增大地基刚度显著提高阻尼固有频率，粘弹性阻尼系数主要影响振动幅值衰减，材料梯度和Terfenol-D层位置强烈影响动力响应并可有效调谐，边界条件对固有频率与模态形函数均有显著影响。本研究核心优势在于三重互补方法——FEM作数值基准、Galerkin公式作半解析验证、ANN代理模型实现快速高精度预测，三者结果高度一致，证实了所提框架的稳健性与准确性。可进一步拓展至几何非线性及基于磁致伸缩效应的主动振动控制。