基于极大似然(Maximum Likelihood)、Anderson–Darling及最小间距(Minimum Spacing)估计方法对幂指数二次拉姆达分布(Power Exponentiated Quasi Lindley Distribution, PEQLD)的参数推断研究

《Scientific African》：A flexible statistical model with skewed densities and monotone hazard rates: Formulation, statistical inferences, and analyzing real datasets

　　

摘要：研究人员提出了一种新型三参数寿命分布——幂指数二次拉姆达分布(Power Exponentiated Quasi Lindley Distribution, PEQLD)，该分布在基线Quasi-Lindley分布基础上引入形状参数δ>0与指数化参数γ>0，具备更灵活的概率密度函数(Probability Density Function, PDF)与累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)形态，可有效刻画各类单调与非单调失效率(Hazard Rate, HR)模式。针对PEQLD的参数推断问题，研究人员系统比较了极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)、Anderson–Darling估计(Anderson–Darling Estimation, ADE)、Cramér–von Mises估计(Cramér–von Mises Estimation, CVME)、最小乘积间距估计(Maximum Product of Spacings Estimation, MPSE)、普通最小二乘估计(Ordinary Least Squares Estimation, OLSE)、右尾Anderson–Darling估计(Right-Tail Anderson–Darling Estimation, RTADE)、加权最小二乘估计(Weighted Least Squares Estimation, WLSE)、左尾二阶Anderson–Darling估计(Left-Tail second-order Anderson–Darling Estimation, LTADE)、最小间距绝对距离估计(Minimum Spacing Absolute Distance Estimation, MSADE)、最小间距绝对对数距离估计(Minimum Spacing Absolute-log Distance Estimation, MSALDE)、Anderson–Darling二阶估计(Anderson–Darling Second-Order Estimation, ADSOE)、Kolmogorov–Smirnov估计(Kolmogorov–Smirnov Estimation, KE)、最小间距平方距离估计(Minimum Spacing Square Distance Estimation, MSSDE)、最小间距平方对数距离估计(Minimum Spacing Squared-log Distance Estimation, MSSLDE)及最小间距Linex距离估计(Minimum Spacing Linex Distance Estimation, MSLNDE或MSLD)共十四种估计方法在多种样本量(n=30,80,150,225,300)与不同真值参数组合下的表现。通过Monte Carlo模拟，采用偏差(Bias)、均方误差(Mean Squared Error, MSE)、平均相对误差(Mean Relative Error, MRE)、平均绝对差异(Dabs)、最大绝对差异(Dmax)及平均平方绝对误差(Average Squared Absolute Error, ASAE)六项评价指标对各估计量进行排名。模拟结果表明极大似然估计(MLE)总体表现最优，其次为Anderson–Darling估计(ADE)；并将优选方法应用于两个实际数据集以验证PEQLD的拟合优度。

【论文解读】

■ 研究背景与意义

传统寿命分布（如指数分布、Weibull分布、Lindley分布及其扩展）在刻画复杂非单调失效率（Hazard Rate, HR）模式——尤其是先增后减或先减后增的浴盆形失效率曲线——时存在局限。Quasi-Lindley分布虽在一定程度上增强了灵活性，但仍难以充分适应重尾或强偏斜的实际寿命数据特征。为此，研究人员引入形状参数δ>0与指数化参数γ>0构造了三参数幂指数二次拉姆达分布（Power Exponentiated Quasi Lindley Distribution, PEQLD），其PDF与CDF具备更广泛的形态适应性，可描述递增、递减、单峰及浴盆形等多种失效率行为，适用于可靠性工程、生存分析及气象、环境等领域的极端或偏态数据建模。

然而对于此类三参数新型分布，何种参数估计方法在不同样本量与参数配置下具有更优的小样本性质（更小偏差、更低均方误差、更强尾部拟合能力）尚未明确。论文通过系统的Monte Carlo模拟比较十四种经典与新兴估计方法在PEQLD上的表现，为实际应用中的估计方法选择提供依据。该研究成果发表于《Scientific African》。

■ 主要关键技术方法

研究人员采用Monte Carlo模拟实验设计：从PEQLD中生成随机样本，设置两组真值参数组合(δ=1.5, ξ=0.5, γ=0.25)与(δ=0.9, ξ=1.5, γ=0.7)，样本量n取30、80、150、225、300，各条件下重复L次独立抽样。对每种样本分别用十四种估计方法求解参数(δ, ξ, γ)：极大似然估计（MLE，通过似然方程数值求解）、Anderson–Darling估计（ADE，最小化A?D统计量）、Cramér–von Mises估计（CVME）、最小乘积间距估计（MPSE，Cheng–Stephens准则最大化∑ln I_i）、普通最小二乘估计（OLSE，最小化∑[F(x_(i))?(i/(n+1))]2）、右尾A?D估计（RTADE，加权右尾）、加权最小二乘估计（WLSE，加权ECDF偏差平方和）、左尾二阶A?D估计（LTADE，加重左尾小顺序统计量的A?D型加权）、最小间距绝对距离估计（MSADE，最小化∑|I_i?1/(n+1)|）、最小间距绝对对数距离估计（MSALDE，最小化∑|ln I_i+ln(n+1)|）、A?D二阶估计（ADSOE）、Kolmogorov–Smirnov估计（KE，最小化sup|F_n(x)?F(x;θ)|）、最小间距平方距离估计（MSSDE，最小化∑(I_i?1/(n+1))2）、最小间距平方对数距离估计（MSSLDE，最小化∑[ln I_i+ln(n+1)]2）、最小间距Linex距离估计（MSLNDE/MSLD，引入非对称Linex损失∑{exp(I_i?1/(n+1))?(I_i?1/(n+1))?1}）。性能评价指标包括：平均绝对偏差|Bias(·)|、均方误差(MSE)、平均相对误差(MRE)、平均绝对CDF差异(D_abs)、最大绝对CDF差异(D_max)、平均平方绝对误差(ASAE)。各方法在每个指标上赋予秩次并加总得到综合秩和(ΣRanks)，据此排序。优选方法进一步用于两个实际数据集的拟合优度检验（Kolmogorov–Smirnov检验、Anderson–Darling检验及AIC/BIC比较）。

■ 研究结果

数值模拟（Numerical simulation）

研究人员报告了两种参数组合、五种样本量下各估计方法的Bias、MSE、MRE、D_abs、D_max、ASAE值及ΣRanks综合排名。结果显示：(1)在所有样本量与参数设置下，极大似然估计（MLE）的ΣRanks综合排名始终位列第1或第2，整体表现最佳，尤其在MSE与Bias方面优势明显；(2)Anderson–Darling估计（ADE）综合排名稳定居第2，对尾部拟合敏感，在大样本下接近MLE；(3)最小乘积间距估计（MPSE）与最小间距平方距离估计（MSSDE）在某些指标上表现尚可但综合排名中等；(4)Cramér–von Mises估计（CVME）、最小间距Linex距离估计（MSLNDE）及Anderson–Darling二阶估计（ADSOE）综合排名靠后；(5)所有估计方法随样本量增大呈现一致性（Consistency），即Bias与MSE随n增大而减小，符合大样本理论预期。综合排名表表明MLE > ADE > MSSDE ≈ WLSE ≈ RTADE > LTADE > … > ADSOE > MSLNDE。

实际数据应用（Real data application，原文简述）

研究人员将PEQLD结合MLE与ADE拟合两个实际数据集（原文未详述具体来源但进行了拟合优度对比），并与Exponentiated Exponential分布、Weibull分布、Lindley分布、Quasi-Lindley分布等竞争模型比较。PEQLD的AIC与BIC值最低，K?S与A?D检验统计量p值最大（不拒绝原假设），表明PEQLD较竞争分布对该实际数据具有更优的拟合能力，验证了模型的实用性与所推荐估计方法的有效性。

■ 讨论与结论

研究人员得出结论：所提出的幂指数二次拉姆达分布（PEQLD）为一灵活的三参数寿命分布模型，可刻画多种失效率形态。在十四种考察的估计方法中，极大似然估计（MLE）是PEQLD参数推断的首选方法，具有最小综合偏差与均方误差；Anderson–Darling估计（ADE）作为对分布尾部敏感的替代方案表现次优，适用于重视左尾或右尾拟合精度的场景。最小间距类方法（MPSE、MSSDE、MSALDE等）可作为MLE初值敏感情形下的稳健备选。模拟还证实所有估计量具一致性。PEQLD结合MLE或ADE可成功应用于实际寿命与偏态数据的建模与推断。该研究为新型寿命分布的参数估计方法选择提供了量化依据，拓展了生存分析与可靠性领域的分布工具箱。

【研究结论翻译】

The Power Exponentiated Quasi Lindley Distribution (PEQLD) is a new three-parameter lifetime model which generalizes the Quasi-Lindley distribution and can accommodate increasing, decreasing, unimodal and bathtub-shaped hazard rate functions. Among the sixteen estimation methods (including variants) investigated via extensive Monte Carlo simulation, the Maximum Likelihood Estimator (MLE) is found to be the most efficient and consistent across all sample sizes and parameter settings, followed closely by the Anderson–Darling Estimator (ADE). Spacing-based estimators such as MPSE and MSSDE show moderate performance, whereas CVM and Linex-based spacing estimators are less competitive. All estimators satisfy the consistency property. Application to two real data sets confirms that the PEQLD provides a superior fit compared with several existing lifetime distributions. MLE and ADE are recommended for parameter estimation of the PEQLD in practical applications.