具有不精确噪声协方差的强跟踪型变分创新自适应鲁棒卡尔曼滤波器

《Digital Signal Processing》：Strong tracking-based variational innovation adaptive robust Kalman filter with inaccurate noise covariances

　　乔双虎|范云生|王国锋|邢华峰
中国山东省菏泽市274015，菏泽大学机电工程学院

摘要
传统滤波算法在噪声协方差矩阵不确定的实际环境中，其估计性能可能会下降。为解决这一问题，本文提出了一种基于强跟踪的变分创新自适应鲁棒卡尔曼滤波器。该算法将多个衰落因子引入计算效率较高的变分自适应卡尔曼滤波器中，从而在提高估计精度的同时确保运算效率。随后，算法中引入了自适应因子以消除异常值并提升其鲁棒性。最后，将创新滤波与变分自适应卡尔曼滤波相结合，并基于预测误差模型设计了自适应窗口长度调整方法，以提高算法的适应性及估计性能。仿真与实验结果表明，所提算法的性能优于其他现有滤波算法。

引言
状态估计是通过测量获得的实际数据建立状态变量之间的关系，同时消除状态不确定性，以实现系统状态的精确估计[1]。卡尔曼滤波作为一种能够递归估计时变状态的随机推理方法[2][3]，常被用于处理具有已知高斯噪声协方差矩阵的系统状态估计问题[4]，因此也被广泛应用于机器学习[5]、重建[6]、目标跟踪[7][8]以及检测[9]等领域。卡尔曼滤波通过最小化均方误差为系统提供最优状态估计，从而实现当前状态的估计及未来状态的预测[10][11]。然而，卡尔曼滤波往往需要先验知识，且依赖于对测量模型的精确建模才能发挥效用，这使得它难以适应复杂环境[12]。

在现实场景中，测量噪声协方差矩阵和过程噪声协方差矩阵往往未知，这会导致卡尔曼滤波的性能显著下降。为此，人们提出了多种能够处理时变且不确定噪声协方差矩阵的实际环境的自适应卡尔曼滤波算法，如衰落型自适应卡尔曼滤波[13]、基于创新的自适应卡尔曼滤波[14]、Sage-Husa自适应卡尔曼滤波[15]、多模型自适应卡尔曼滤波[16]以及变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波[17]。然而，这些算法在噪声协方差矩阵不确定的情况下性能较差，甚至可能出现发散现象。此外，程等人[18]提出了最大似然方法的在线探索方法，构建了用于估计噪声协方差矩阵的小批量坐标下降框架，但该方法仅适用于数据充足且系统相对稳定的情况。程等人[19]通过将先验分布和似然分布指定为高斯分布，并引入改进的自然梯度方法，提出了一个鲁棒卡尔曼滤波器，但该算法主要针对似然模型不匹配的问题。

VBAKF在处理时变噪声协方差矩阵的影响方面表现出优于其他算法的性能。为了解决基于不准确噪声协方差矩阵的VBAKF在运算效率方面的问题，有人提出了现有变分自适应卡尔曼滤波器的高效计算版本[20]。为进一步提升VBAKF的估计性能，黄等人[21]提出了一种新的VBAKF，用于处理时变的预测误差协方差矩阵和噪声协方差矩阵（VBAKF-PR）。为进一步增强自适应性能，人们设计了由前向卡尔曼滤波器和后向卡尔曼平滑器组成的滑动窗口变分自适应卡尔曼滤波器（SWVAKF）[22]。为了解决因系统模型或噪声统计不准确而导致历史测量值直接影响当前状态估计精度、进而可能引发滤波器发散的问题，有人提出了基于多重衰落因子的强跟踪VBAKF（MST-VBAKF）[23]。还有一种基于平滑变量结构的变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波算法，该算法利用平滑边界层的最优递归形式来调整增益并减少系统模型误差，从而提高算法的精度和鲁棒性[24]。此外，还有一种基于随机自然梯度的VBAKF算法，可用于直接优化难以处理的非共轭目标函数，该算法通过将优化目标分解为共轭部分和非共轭部分，分别对这两部分应用共轭计算和随机自然梯度下降，从而实现高效且灵活的贝叶斯推断[25]。张等人[26]提出了一种改进的变分贝叶斯自适应鲁棒卡尔曼滤波器，该滤波器能够估计过程噪声协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵的统计特性，以应对信号丢失、动态噪声以及测量异常值等问题。为了解决测量噪声协方差矩阵性能不佳的问题，薛等人[27]提出了一种基于多状态约束卡尔曼滤波器的自适应滤波框架，该框架将标量形式的测量噪声协方差矩阵系数与状态向量一起建模为高斯广义逆高斯分布，以实现测量噪声协方差矩阵的自适应调整。还有研究提出了两种自适应卡尔曼滤波器，用于提高小幅度测量噪声协方差矩阵的估计精度，同时还提出了一种非相邻状态转移模型，用于将多个小幅度的测量噪声协方差矩阵合并为一个等效的大幅度测量噪声协方差矩阵[28]。然而，这些算法在计算效率、估计精度或同时估计测量噪声协方差矩阵与过程噪声协方差矩阵方面均存在不足。另外，于等人[29]提出了两种基于变分贝叶斯的鲁棒卡尔曼滤波器，它们将乘性噪声的未知协方差建模为逆伽马/Wishart分布。郑等人[30]则提出了一种自适应IMM滤波器，用于处理未知的加性噪声协方差矩阵和乘性噪声方差。高等人[31]提出了一种新方法，利用迁移学习技术来解决马尔可夫跳变线性系统状态估计中的模型不确定性问题。

还有一些研究专门致力于处理异常值问题[32][33][34]。虽然某些算法也具备处理异常值、加性噪声和乘性噪声的能力，但并未将解决这些问题作为重点。因此，为同时提升计算效率与估计精度，本文提出了一种基于多重衰落因子的强跟踪变分创新自适应鲁棒卡尔曼滤波器（MST-VIARKF）。本文的主要贡献可总结如下：
1）将具有多重衰落因子的强跟踪滤波器与计算效率较高的变分自适应卡尔曼滤波相结合，从而在保持算法计算效率的同时提高估计精度。
2）将鲁棒卡尔曼滤波中的自适应因子引入计算效率较高的VAKF中，用以修正误差协方差矩阵，进而提升其鲁棒性及估计精度。
3）将基于创新的自适应卡尔曼滤波融合到计算效率较高的VAKF算法中，使VAKF能够同时估计测量噪声协方差矩阵和过程噪声协方差矩阵，从而提高算法的适应性。
4）设计了自适应窗口长度调整方法，根据异常值的严重程度动态调整基于创新的自适应卡尔曼滤波器的窗口长度，进而进一步提升算法的估计精度。

本文的其余结构安排如下：第2节阐述问题建模；第3节介绍所提出的MST-VIARKF算法的整体结构及理论背景；第4节通过目标跟踪仿真及实验案例，验证所提算法的可行性及其相较于其他对比算法的优越性；第5节为结论部分。

问题建模
线性高斯系统的线性空间模型的离散形式可表示为：
{xk=Fkxk?1+wk?1zk=Hkxk+υk}
其中，xk、xk?1∈Rn分别表示时刻k和k?1时的系统状态；Fk∈Rn×n和Hk∈Rn×m分别表示观测矩阵和相应的状态转移矩阵；过程噪声和测量噪声均服从高斯分布，可表示为：wk～N(0, Qk)和υk～N(0,Rk)，其中Rk和Qk分别为测量噪声协方差矩阵和过程噪声协方差矩阵。

具有多重衰落因子的强跟踪滤波
存在不确定性的模型可能导致滤波器的状态估计偏离实际系统状态，从而使传统卡尔曼滤波器中的残差序列不再正交，进而影响滤波器的估计性能[35]。为加快收敛速度、提高滤波精度，同时降低估计误差的影响[36]，人们在VAKF中引入了多个衰落因子，用以修正预测误差协方差矩阵Pk|k?1。Pk|k?1可通过以下方式修正：
P^k|k?1=?kFk?1Pk?1

仿真与实验研究
通过类似于[21][22][23]中所示的、具有不准确测量噪声协方差矩阵的时变目标跟踪示例，验证了所提出的MST-VIARKF算法的可行性和有效性。目标状态向量包括位置(xk, yk)和速度(x˙k,y˙k)，可表示为XkΔ=[xk,yk,x˙k,y˙k]T。观测矩阵和状态转移矩阵分别表示为Hk=[I2,0]，Fk?1=[I2,ΔtI2;0,I2]，其中Δt=1s表示系统的离散采样时间。真实的Qk和Rk也可被确定。

结论
本文提出了一种基于多重衰落因子的强跟踪变分创新自适应鲁棒卡尔曼滤波器（MST-VIARKF），用于处理时变的测量噪声协方差矩阵和过程噪声协方差矩阵。该算法将强跟踪滤波算法和鲁棒滤波算法整合到计算效率较高的变分自适应卡尔曼滤波算法中，从而提升了算法的估计精度和鲁棒性。同时，还将创新滤波技术与该算法相结合。

CRediT作者贡献声明
乔双虎：概念设计、方法论、原始稿撰写。范云生：监督指导、资金筹集。王国锋：可视化处理。邢华峰：数据调研、软件开发。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。