一种用于分数阶微分方程奇异初值问题的新离散方法

《Advances in Applied Mathematics》：A new discrete method for fractional differential equations' singular initial value problems

　　吴国成|香港|黄兰兰
中国重庆市重庆邮电大学数学与统计学院，邮编400065

摘要：本文提出了一种新的离散方法，用于解决分数微分方程的弱奇异问题。该数值方案基于离散分数微积分构建，通过延迟型离散Gronwall不等式给出了收敛阶及条件，并以分数松弛方程为例进行了验证。通过对线性化系统的渐近稳定性分析，探讨了数值稳定性问题。由于该方法无需平滑假设或正则化条件，因此可广泛用于求解分数微分方程的初值问题。

引言：分数微分方程作为一种高效的建模工具已被广泛应用。然而，由于算子的记忆效应，其在数值计算中仍存在一些问题。即便对于简单的线性分数微分方程，数值方法在收敛性分析方面也面临挑战。例如，考虑初值问题{DtαaCx(t)=λx(t), λ≠0, t>a, x(a)=1}，其中DtαaCx(t)为x的Caputo导数[11][17]，0< /><α<1时，x仅属于c1(a,b]，而非c1[a,b]。 对于时间分数偏微分方程，通常采用分级网格法来处理初始奇异性。文献[8]采用alikhanov方案在时间分级网格上离散化caputo导数，同时运用petrov-galerkin谱方法进行空间近似。尽管在特定条件下该算法具有较高精度，但其适应性较差。另一种方法是das等人[19]结合l1方案进行时间离散化、有限差分法处理空间导数，以及复合梯形法则处理分数积分。他在[18][20]中还提出了其他方法。然而，初始值的奇异性在理论上仍难以处理，只有极为特殊的分数微分方程才能满足相关条件。 近年来，离散分数微积分理论得到了快速发展。它在不施加任何平滑假设的情况下，定义在孤立的时间尺度{a, a+h,?}上。随后，人们开始研究分数差分方程的初值问题，如拉普拉斯变换[10]、稳定性理论[2]、分形动力学[21]以及分岔现象[26]。这些研究成果证明了分数差分方程在离散建模中的高效性。文献[12][13]指出，分数和可以近似riemann-liouville分数积分。这一新特性促使我们探究分数微分方程与nabla分数差分方程之间的关系：{dtαacx(t)=f(x,t), t>a, 0<α≤1, x(a)=c}和{?aαhCx?(t)=f(x?,t), t∈(hn)a+h, x?(a)=c}。假设方程(2)的初值问题有解，由于方程(3)中不存在可导性，我们可以将其作为数值方案，从而避免传统数值方法中的平滑假设。因此，该方法可用于求解分数微分方程的初值问题。不过，所提出的数值方案(3)为隐式形式，在非线性问题中容易加剧截断误差。为避免此类问题，我们引入了一种显式方案，即类似delta型的分数差分方程{ΔaαhCx?(t)=f(x?,t+(α?1)h), t∈(hn)a+(1?α)h, x?(a)=c}。接着我们试图证明当h→0时该方程的收敛性，并探讨差分方程(4)与连续时间系统(2)之间的关系。此外，还针对不同的分数阶α给出了x(t)和x?(t)的误差估计。 章节节选： 初步知识：分数导数的定义源于一个初值问题：{x(n)(t)=φ(t), x(i)(a)=0, i=0,?, n?1}。其解可表示为x(t)=>< />
结论：尽管已有多种数值方法被用于求解分数微分方程，但由于其对平滑性的要求，这些方法在应用上存在局限。本研究提出将离散分数微积分作为一种新方法，用于离散化连续分数算子，并给出新的数值方案。在此基础上，我们在无需平滑假设或可导性条件的情况下，完成了收敛阶和稳定性的分析。这一创新特性解决了传统方法中的诸多问题。

致谢：本研究得到了四川省青年科学技术基金（项目编号2022jdjq0046）的资助。 结论：尽管已有多种数值方法被用于求解分数微分方程，但由于其对平滑性的要求，这些方法在应用上存在局限。本研究提出将离散分数微积分作为一种新方法，用于离散化连续分数算子，并给出新的数值方案。在此基础上，我们在无需平滑假设或可导性条件的情况下，完成了收敛阶和稳定性的分析。这一创新特性解决了传统方法中的诸多问题。>
结论：尽管已有多种数值方法被用于求解分数微分方程，但由于其对平滑性的要求，这些方法在应用上存在局限。本研究提出将离散分数微积分作为一种新方法，用于离散化连续分数算子，并给出新的数值方案。在此基础上，我们在无需平滑假设或可导性条件的情况下，完成了收敛阶和稳定性的分析。这一创新特性解决了传统方法中的诸多问题。

致谢：本研究得到了四川省青年科学技术基金（项目编号2022jdjq0046）的资助。>