基于四叉树网格与SBFEM-PD耦合方法的动态裂纹扩展仿真研究

《Mechanics of Materials》：A simulation study on dynamic crack propagation based on quadtree mesh and SBFEM-PD coupling method

　　郑义江|刘军|冯图根|干磊|叶文斌|王海波|王奕欣|何云勇中国大连理工大学基础设施工程学院水利工程系，辽宁大连116024摘要动态裂纹扩展涉及分支、弯曲等复杂现象，给传统数值方法带来了挑战。近年来，以裂纹为导向的局部-全局耦合策略为高效模拟动态断裂提供了有效途径。其核心思想是在裂纹尖端等局部区域采用高精度断裂描述，而在远离裂纹的体域区域则保持高效的连续介质模型。基于这一理念，本文提出了一种基于四叉树网格的自适应SBFEM-PD耦合方法，用于动态裂纹扩展模拟。在该框架中，缩放边界有限元法用于描述裂纹区域外的连续变形行为，而遍历动力学则用于模拟裂纹的起始与扩展过程。通过构建全局刚度矩阵和集中质量矩阵，并结合显式时间积分方案，可得到耦合系统的动态响应。为提高计算效率与几何适应性，本文引入了自适应四叉树细化策略和动态节点转换技术，使得在裂纹扩展过程中能够动态更新遍历动力学区域，从而减少不必要的非局部计算，同时保持裂纹尖端附近的精度。此外，还预算了六种标准单元的刚度矩阵和质量矩阵，进一步降低重复计算量。通过四种数值算例对所提方法进行了验证，包括悬臂梁、预切槽板、Kalthoff-Winkler冲击试验以及带孔板中的裂纹扩展问题。结果表明，所提方法能够有效模拟裂纹起始、扩展、分支、停止以及高速冲击破坏等动态断裂行为，且具有良好的数值稳定性、物理一致性和计算效率。这些研究结果表明，所提方法能够在保持精度的同时降低计算成本，为复杂动态裂纹扩展问题提供了一种可行的自适应耦合方案引言在工程结构与材料科学领域，动态裂纹扩展是决定构件在冲击、爆破、地震活动及循环载荷等复杂作用下的使用安全性与耐久性的关键因素。该领域的研究对于航空航天结构中的裂纹监测与安全保障（Xiong等人，2023；Guan等人，2024）、土木与水利工程中的结构安全（Yang等人，2025a,b,c；Bian等人，2026）以及动力载荷下地质材料的稳定性分析都具有重要的工程价值。目前的研究方法主要分为实验法和数值法两类。虽然实验法可以直接观察裂纹扩展过程，但往往受限于技术难题，如难以实现高裂纹速度、事件持续时间极短以及重复性差（Ng等人，2024）。相比之下，数值模拟能够显著降低实验成本，并提供在多时空尺度上难以通过实验获得的裂纹尖端场量，因此已成为研究动态裂纹的常用工具。然而，数值方法仍面临诸多挑战，包括处理移动奇点、裂纹路径偏转与分叉、网格更新困难，以及材料非线性和速率相关效应带来的计算复杂性（Nishioka，2003）。从计算角度而言，动态裂纹扩展存在一个根本矛盾：裂纹尖端及断裂过程区需要高分辨率的局部描述，以应对不断变化的不连续性，而远离裂纹的体域区域则需以尽可能低的计算成本进行处理，以确保全尺寸分析的可行性。为解决这一问题，人们开发出了多种数值方法。基于连续介质偏微分方程框架的方法，如黏结区模型（CZM）（Zhou等人，2005）、扩展有限元法（XFEM）（Xiao等人，2023；Chen和Zhou，2019）、边界元素法（BEM）（Agrawal，2002；Lei等人，2008）以及相场法（Dinachandra和Alankar，2020），已被广泛用于裂纹模拟。这些方法具有完善的理论基础和较强的工程应用性。然而，它们本质上依赖于位移场的空间导数或连续场变量，因此在处理如裂纹这类持续演变的不连续性时，通常需要特殊的富集函数、正则化技术、重网格化流程或额外的裂纹演化准则（Dorduncu等人，2024）。为克服传统基于连续介质的方法在表示不连续性方面的缺陷，人们还开发了受原子或粒子概念启发的数值方法，包括分子动力学（MD）、物质点法（MPM）和离散元法（DEM）（Zhou等人，1996；Su等人，2026；Yang等人，2011；Adibaskoro等人，2024）。其中，遍历动力学作为一种非局部理论，用积分方程替代了经典连续介质力学中的偏微分方程，因此不需要位移场具备空间可微性。这一特性使得遍历动力学非常适合模拟裂纹起始、扩展、分支和聚合等不连续现象（Bobaru和Zhang，2015）。不过，与其他基于粒子的方法类似，遍历动力学通常也具有较高的计算成本。这一成本主要源于需要在非局部相互作用域内评估大量物质点之间的相互作用。此外，要获得高精度通常还需要精细的离散化处理以及相对较大的时间步长，这使得遍历动力学的整体计算效率远低于传统有限元方法。为解决对高局部精度与较低总体计算成本之间的矛盾，人们广泛开发了针对裂纹问题的局部-全局数值框架。尽管这些方法的具体实现方式有所不同，但都遵循相同的原理：仅在裂纹尖端、损伤区或其他响应梯度较大的区域引入高精度局部描述，而远离裂纹的体域结构则仍由计算效率较高的全局模型来表示。因此，这些方法之间的主要区别并不在于目标，而在于若干方法学层面：局部模型如何嵌入全局模型、局部区域与全局区域之间如何交换机械信息，以及高精度局部区域是预先定义的、随着裂纹演化而更新，还是根据损伤状态自适应激活的。现有的以裂纹为导向的局部-全局方法可大致分为几类。第一类包括基于叠加或覆盖的局部增强方法。例如，Kishi等人（2020）采用了s版有限元方法，即在裂纹尖端附近将精细的局部网格叠加在粗糙的全局网格之上，同时结合节点力释放技术来模拟动态裂纹扩展，从而在降低自由度总数的同时提高裂纹尖端应力的精度。He等人（2024）进一步将这一思路应用于三维板结构中的高速表面裂纹扩展问题，引入了海维赛德富集修正机制，以解决当局部网格延伸到结构自由面之外时的界面不兼容问题。第二类为非侵入式的全局/局部方法。例如，Sabbagh-Yazdi和Najar-Nobari（2020）提出了一种非侵入式的迭代全局/局部耦合算法，以Galerkin有限体积法作为全局求解器，以无单元Galerkin法作为局部裂纹求解器，通过边界数据映射实现两种独立求解器之间的信息交换。该策略避免了對全局模型和求解器的侵入式修改。第三类包括基于重叠域、单位分解权重函数以及弱相容性约束的多尺度耦合框架。一个典型例子是Dhia和Rateau（2005）提出的Arlequin方法，该方法通过重叠域和单位分解权重函数，在粗糙的全局模型与精细的局部模型之间实现能量一致的耦合，从而使裂纹、孔洞或不同的力学模型能够灵活地嵌入到现有的全局分析中。Han和Lubineau（2011）进一步将这一概念拓展到了局部连续介质模型与非局部连续介质模型之间的耦合。除了上述具有相对固定或预先指定局部区域的框架外，近期还有研究开发出了能够根据裂纹或损伤演化动态更新高精度局部区域的自适应局部-全局方法。例如，Giannakeas等人（2020）提出的XFEM-PD自适应重定位策略，允许PD区域在裂纹尖端附近扩张与收缩，并根据裂纹尖端的移动情况进行更新。Ou等人（2023）基于形态学方法开发了一种自适应局部/非局部耦合模型，使得非局部区域能够随着动态裂纹的扩展而逐步激活。Sun等人（2026）提出了一种叠加式自适应PD-FEM耦合框架，仅在潜在裂纹区域按需激活PD粒子，与固定耦合方案相比可减少约36%的计算时间。Bie等人（2024）则开发了一种基于双时间步长遍历动力学单元与有限元之间的自适应切换耦合方法，用于渐进式材料失效分析。这些研究表明，作为以裂纹为导向的局部-全局框架的重要实现形式，自适应局部-非局部耦合方法能够在裂纹演化区域引入非局部断裂描述，同时在其他区域保持高效的连续介质模型，因此特别适用于裂纹路径无法事先确定的动态裂纹扩展问题。从这个角度来看，本研究并未偏离一般的以裂纹为导向的局部-全局框架，更具体地说，它属于自适应局部-非局部耦合策略这一类别，即在裂纹演化区域引入非局部模型，而在其他区域保留高效的连续介质模型。本研究的独特之处在于，将这种自适应局部-非局部断裂描述与本身具备层次化局部细化能力的全球背景离散化方法相结合。作为一种高效的空间分解数据结构，四叉树能够递归地将正方形区域划分为四个子象限，从而实现对计算域的多分辨率离散化（Peng等人，2022）。其最大优势在于能够根据解域内物理量梯度的变化进行局部自适应细化：在裂纹尖端和应力集中等非线性较强的区域自动生成更细的单元，而在远离损伤区域的区域则保持较粗的网格，从而在不牺牲解精度的前提下显著降低自由度总数和计算成本（Wijesinghe等人，2023）。然而，当将四叉树网格与有限元法等连续介质力学方法结合使用时，会出现一个根本性问题：四叉树分解不可避免地会产生大量悬挂节点。这些悬挂节点违背了传统有限元法所依赖的网格相容性要求，导致单元边界处的位移场出现不连续，进而需要引入复杂的多点约束方程或额外的插值处理，才能确保解的收敛性与精度（Saputra等人，2016）。为更好地与四叉树网格相结合，本文提出了缩放边界有限元法。SBFEM是一种从有限元法与边界元素法发展而来的半解析数值方法，既继承了两者的核心优势，又规避了它们的主要局限性（Wolf和Song，2000）。与传统有限元法相比，SBFEM最显著的优势在于其与网格悬挂节点具有固有的兼容性：由于SBFEM仅需对单元边界进行离散化，且其形函数定义在单元的缩放边界上，因此四叉树分解产生的悬挂节点可以直接纳入求解框架，无需引入额外的多点约束方程或特殊插值处理。这从根本上解决了将有限元法与四叉树网格结合时遇到的网格不相容问题（Gravenkamp和Duczek，2017；Ooi等人，2016）。与边界元素法相比，SBFEM的另一优势在于，与边界元素法需要满足域内控制方程的基解不同（Yang等人，2025a,b,c），SBFEM完全不依赖于控制方程的基解，仅基于标准的有限元形函数和加权残差法即可推导得出（Wolf和Song，2000）。自提出以来，SBFEM已在众多工程与科学领域得到广泛应用，包括热力学耦合分析（Ye等人，2026a,b；Liang等人，2026；Ji等人，2026）、流固耦合与渗流分析（Ye等人，2026a,b；Huang等人，2025，2026）以及岩土工程中的大变形分析（Zhang等人，2026）。此外，许多研究人员对SBFEM的数值方法改进、理论完备性分析以及数据驱动的扩展进行了深入研究（Nie等人，2025年；Jiang等人，2024年；Jia等人，2020年）。这些优势使得SBFEM成为与四叉树网格结合使用的理想数值框架，为高效模拟动态裂纹扩展奠定了坚实基础。基于SBFEM的计算效率以及peridynamics（PD）的断裂描述能力，研究人员提出了SBFEM-PD耦合框架。然而，现有的大多数SBFEM-PD耦合框架主要适用于静态或准静态问题，存在一定的局限性。Yu等人（2025a）采用了分区耦合策略，将计算域划分为独立的SBFEM和PD子域，并通过公共节点处的力平衡条件实现耦合。不过，该方法采用固定分区耦合而非自适应耦合：PD子域必须预先设定，在整个分析过程中保持不变，无法根据实际的裂纹扩展路径进行动态调整。这不仅要求用户预先识别潜在的裂纹区域，还会导致较高的计算成本。此外，Yu等人（2025b）进一步提出了另一种与SBFEM形状函数相结合的peridynamic方法（Peri-SBFEM），该方法利用SBFEM形状函数重构PD位移插值方案，以提高对复杂网格的适应性。但这种方法要求在整个计算域内都使用PD，从而导致计算效率较低，且缺乏自适应切换能力。基于上述分析，本文提出了一种基于四叉树网格的自适应SBFEM-PD耦合框架以及一种动态节点转换技术，用于高效模拟动态裂纹扩展。在所提出的框架中，SBFEM用于构建具有分层细化能力的全球背景模型，而PD模型则通过节点转换在裂纹发展区域局部激活。结合显式时间积分和预计算的单元矩阵，这一策略降低了整体计算成本。因此，本研究的目标不仅仅是简单地将SBFEM和PD结合起来，而是要在以裂纹为导向的局部-全局框架内建立一种自适应的局部-非局部耦合方法，使得通过节点转换在局部激活的PD描述能够与四叉树-SBFEM全球背景模型协同工作。这样一来，既能有效捕捉局部裂纹的发展情况，又能保证整体计算效率。此外，所提出的方法具有良好的可扩展性，可以与其他加速技术如并行计算和神经网络相结合，从而为大规模二维动态裂纹扩展的高效模拟提供新的技术途径（Yang等人，2024年，2025a、b、c年）。本文的其余部分结构如下：第2节介绍PD和SBFEM的基本理论；第3节阐述耦合方法的实现方式；第4节通过四个数值算例验证所提方法的有效性和效率；最后，第5节对全文进行总结。

BB-PD理论
Silling提出了peridynamic理论的基础版本（Silling和Askari，2005年）。在基于键合的peridynamic框架中，材料点x在时间t的运动由以下积分-微分方程控制：
ρu¨(x,t)=∫Hxf(u(x?,t)?u(x,t),x??x)dVx?+b(x,t)
其中，ρ表示质量密度；u¨(x,t)是时间t时点x的加速度向量，Hx表示在有限相互作用半径（即视界）内的邻近点集合；f表示成对作用力。

自适应四叉树网格
四叉树网格生成算法是一种高效的分层离散化方法。其核心思想是将计算域嵌入到一个方形边界框（即根元素）中，然后递归地将子元素分成四个相等的部分，直到满足预定的标准，如几何拟合精度或材料属性均匀性。通过引入2:1的比例规则来限制相邻元素的大小差异，该算法显著减少了……

数值算例
在本节中，首先通过悬臂梁的瞬态振动来研究所开发方法的精度和效率。随后，将该耦合方法应用于多个动态裂纹扩展问题的模拟。数值模拟是在配备以下配置的计算机上使用自定义的MATLAB程序进行的：AMD Ryzen? 9 8940HX处理器，16GB内存，Windows 11 Home中文版（64位）。

结论
本研究提出了一种基于四叉树网格与SBFEM-PD相结合的动态裂纹扩展模拟方法。在确保计算效率和几何适应性的同时，该方法具有以下特点：
(1)在SBFEM-PD耦合框架内，可以求解动态问题。通过构建全局刚度矩阵和集中质量矩阵，并将其与显式时间积分方法相结合，即可求解动态裂纹扩展过程。

CRediT作者贡献说明
Zhengyi Jiang：形式分析、方法论、软件、写作——原始稿件。Jun Liu：概念设计、方法论、写作——原始稿件。Tugen Feng：形式分析、研究、写作——审阅与编辑。Lei Gan：研究、可视化、写作——审阅与编辑。Wenbin Ye：软件、验证、写作——审阅与编辑。Haibo Wang：方法论、软件、写作——审阅与编辑。Yixin Wang：软件、可视化、写作——审阅与编辑。Yunyong He：形式分析。

利益冲突声明
作者声明没有已知的可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国自然科学基金委雅砻江联合基金 - 雅砻江流域水电开发有限公司的资助（项目编号U25B20223）。