《Artificial Intelligence in Geosciences》：Estimation of interval P-wave velocities from Dix slowness using implicit neural representation
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将时间偏移速度映射Washam迁移速度至深度域层间速度在存在横向变化的情况下对地震勘探具有重要意义。该过程的第一步，即从时间偏移速度计算Dix速度，是一个简单的时间微分过程。然而，一个主要挑战在于Dix速度同时依赖于层间速度和时深转换中隐含的图像射线几何扩散。
将时间偏移速度映射Washam迁移速度至深度域层间速度在存在横向变化的情况下对地震勘探具有重要意义。该过程的第一步，即从时间偏移速度计算Dix速度，是一个简单的时间微分过程。然而，一个主要挑战在于Dix速度同时依赖于层间速度和时深转换中隐含的图像射线几何扩散。在横向速度变化引起的图像射线焦散现象下，分离层间速度与几何扩散这两个量是一个非平凡的问题。研究人员提出了一种从Dix慢度估计地下层间速度的新方法。该方法不受横向速度变化的限制，且对图像射线焦散具有鲁棒性。其基本思路是通过反演一个近似函数来表示与观测Dix慢度对应的地下速度分布。为构建该近似，地下速度场采用隐式神经表示（Implicit Neural Representation, INR）进行参数化，具体实现为一个基于坐标的深度神经网络，该网络定义了从笛卡尔坐标到层间速度的映射。网络参数经伪随机初始化后，通过基于随机梯度的迭代优化来更新，以最小化观测Dix慢度与通过在网络生成速度上追踪图像射线所模拟的合成Dix慢度之间的最小二乘差。研究人员通过四个数值算例验证了该方法的有效性：三个使用合成数据，一个使用来自北海（North Sea）的野外数据集。结果表明，该方法能够成功恢复复杂地下构造中的层间速度，在强横向速度变化和图像射线焦散存在时保持稳定。
研究背景与问题提出。地震勘探项目通常始于生成时间域地下图像，因为该过程计算效率高且不需要可靠的深度域层间速度模型。相比之下，深度域成像方法如深度偏移（Depth Migration）、逆时偏移（Reverse-Time Migration, RTM）和全波形反演（Full-Waveform Inversion, FWI）虽然至关重要，但通常需要足够精确的初始层间速度模型。构建此类模型资源密集且颇具挑战，尤其对于陆上地震噪声数据和勘探早期阶段而言，因其需要迭代的地震数据处理和反演，并辅以区域地质和测井资料等先验信息，而这些信息往往尚未获取。因此，时间域成像在地震勘探工业中继续发挥重要的补充作用，通过快速提供地下图像和初始速度估计信息来指导持续的地震数据采集并支持后续的深度域成像工作流。时间偏移速度作为其有效的运动学参数，与不同偏移距的源-检波器对在中点处的双程绕射时间函数的曲率相关。时间偏移速度通过偏移速度分析等地震数据处理获得，其目标是优化时间偏移图像的质量。尽管时间偏移对时间偏移速度的不准确性具有鲁棒性，但其对层间速度的横向变化高度敏感。时间偏移速度仍是估计地下层间速度以构建运动学一致速度模型的根本信息来源，这类模型被常规用于将地震图像从时间域转换至深度域，并为深度偏移、RTM和FWI等高级成像和反演工作流提供起始模型。
近年来，时间偏移速度的作用已扩展至模型初始化之外，研究者证明了其在新的叠前和叠后波动方程时间偏移框架中的直接应用，以生成深度域图像，这显示了时间偏移速度在现代地震数据处理和地下成像中的持续相关性。Hubral（1977）引入了图像射线（Image Ray）来描述时间域和深度域坐标之间的联系。图像射线代表地下潜在散射点的连续集合，其以垂直于采集面的慢度向量进入地下，沿射线上任意点相关的旅行时对应于地震波向上传播至地表的时间。深度域的层间速度可以通过追踪图像射线与时间偏移速度相关联。然而，这种映射不易逆转，且不能显式揭示时间偏移速度与层间速度之间的关系。
从时间偏移速度估计层间速度的研究由来已久。Dix（1955）针对由平面水平界面分隔的等速层状介质提出了精确反演方法，其中图像射线垂直传播，时间偏移速度等于层间速度的均方根（Root-Mean-Square, RMS）。但在非均质介质中，即使层间速度的微小横向变化也会导致图像射线偏离垂直路径，降低经典Dix反演方法的精度。Cameron等人（2007, 2008）发展了二维（2D）和三维（3D）介质中时间偏移速度与层间速度之间的理论关系，指出在2D介质中Dix速度等于层间速度与图像射线几何扩散之比。尽管后续研究基于这些理论关系提出了多种方法，但大多数方法都假设不存在图像射线焦散，只有少数水平集公式在焦散附近具有计算稳定性，但在强横向层间速度变化区域其精度仍会下降。
现有方法的主要局限在于：分离层间速度和几何扩散这一非平凡问题在强横向速度变化下尤为困难；图像射线焦散的存在导致现有大多数方法失效；以及从Dix速度反演像素级层间速度值的问题本身是 pleasethink continue ill-posed（不适定），数值上不稳定。因此，开发一种对图像射线焦散具有鲁棒性、在强横向速度变化下保持精度的新方法十分必要。
主要技术方法。研究人员提出的新反演方法克服了上述局限，其核心在于使用Dix慢度（Dix Slowness，即Dix速度的倒数）作为输入数据，从而将几何扩散项|Q|移至分子位置，避免了焦散处的数值不稳定性。该方法采用隐式神经表示（Implicit Neural Representation, INR）对地下速度场进行参数化，具体实现为一个基于坐标的深度神经网络（Deep Neural Network, DNN），该网络将输入的笛卡尔坐标映射至层间速度。网络参数经伪随机初始化后，通过基于随机梯度的迭代 doors optimize 来最小化观测Dix慢度与模拟Dix慢度之间的最小二乘差。模拟Dix慢度通过在当前网络生成速度上追踪图像射线获得。梯度计算借助自动微分（Automatic Differentiation, AD）实现，参数更新采用Adabelief优化器。
网络架构方面，输入层接收地下网格点坐标张量（x,z）；随后通过高斯傅里叶特征映射（Gaussian Fourier Feature Mapping）将2维坐标扩展至200维特征；接着经过16个密集层（Dense Layer，每层256个神经元），使用参数化修正线性单元（Parametric ReLU, PReLU）激活函数；最后两个 dense 层后接平均池化（Average Pooling）层，最终输出层采用带缩放因子7的Sigmoid激活函数，将速度约束在[0,7] km/s范围内。网络参数总数为1,089,809个。图像射线追踪采用Dormand-Prince 5/4方法求解运动学和动力学射线追踪的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs），其中速度和导数的计算使用均匀三次B样条（Cubic B-splines）以保证光滑性。
研究方法与实现细节。反演过程首先从观测的时间偏移速度计算Dix速度，再取其倒数得到Dix慢度作为输入。通过LeCun正态初始化设置网络参数的初始值，生成初始速度模型。每次迭代中，前向传播生成当前速度模型，据此追踪图像射线并模拟Dix慢度；随机均匀抽取部分数据点形成小批量（Mini-batch），计算观测与模拟Dix慢度的L2差；通过自动微分计算目标函数对网络参数的梯度，使用Adabelief优化器更新参数。迭代直至收敛。所有数值实验均在GPU架构上运行，使用JAX框架及其FLAX包实现神经网络，Diffrax包求解ODEs，OptGeo Clim包装优化器，并用Madagascar软件处理北海野外数据集。
研究结果。正弦模型实验：该模型速度场由公式v(x,z)=2+(1/2)cos(πx/3)sin(πz/3)定义，在0≤x≤12 km、0≤z≤5 km范围内，网格间距50 m。生成的观测Dix慢度中，图像射线存在焦散，几何扩散|Q|低至5×10
-5。经反演后，得到的速度模型与真实模型吻合良好，相对误差普遍不超过10%，仅在边缘三个区域因图像射线覆盖不足而误差较大。目标函数收敛历史显示优化过程稳定。
平滑Marmousi2模型实验（无噪声）：使用Marmousi2基准模型的P波速度，经400 m横向和200 m纵向均值滤波器平滑7次后作为真实模型。在0≤m≤16.95 km、0≤t≤1.4 s范围内生成观测Dix慢度，图像射线间距50 m，时间采样间隔0.004 s。反演使用优化率α=2×10
-4。结果显you反演速度与真实速度接近，而与简单拉伸至深度域的Dix速度显著不同。最大相对误差达40.74%，出现在横向0-9.5 km、深度2.75-3.45 km的图像射线未覆盖区域；在有射线覆盖区域，误差从地表处的0%逐渐增至约10%。
平滑Marmousi2模型实验（含高斯噪声）：在原始Dix慢度上添加高斯噪声，噪声标准差为Dix速度期望值的10%。反演结果表明，加入随机噪声后反演结果仍然稳定，质量下降不显著，体现了深度神经网络隐式正则化的抗噪能力。
北海野外数据集实验：利用该海域的叠前时间偏移（Prestack Time-Migrated, PSTM）数据及相应时间偏移速度。研究区域中部存在盐体，导致显著的横向速度变化。从中部盐体位置看，Dix速度转换至深度后呈现低速度异常（约3.5 km/s），而周围高速体大于4 km/s，考虑到盐体层间速度通常不低于4 km/s，这表明Dix速度与实际层间速度存在显著差异。反演得到的层间速度在盐体位置未出现不合理的低速异常，与Dix速度形成明显区别。
为验证反演速度的有效性，研究人员进行了两阶段评估。第一阶段将PSTM图像分别用Dix速度和反演速度转换至深度域：基于反演速度的转换图像在盐体左下翼（约横向5 km、深度3.5 km处）聚焦性改善，反射层连续性更强、地质合理性更高，整体成像更锐利。Tenengrad、Laplacian方差和平均信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）三项图像质量指标分别提高13.64%、22.18%和18.8%。第二阶段采用反演速度进行叠后深度偏移，其结果与时深转换图像结构一致，确认了反演速度的地质合理性。
讨论部分总结。该方法通过深度神经网络参数化层间速度场，将传统的不稳定像素级反演转化为稳定的函数估计问题。网络的隐式先验（平滑性、结构连贯性和有限高频成分）起到了类似经典正则化的作用，但未显式添加到目标函数中。使用Dix慢度而非Dix速度作为主要输入，从根本上避免了几何扩散接近零时反演的不稳定性。伪随机初始化使方法弱依赖于初始模型，适用于勘探程度较低的区域。
误差随深度增加而增大，主要原因是浅层速度的累积误差会影响深层图像射线路径，且深层区域的输入数据覆盖不足。解决方案包括使用更长时的观测数据以增加图像射线穿透深度，或在目标函数中加入基于先验知识的正则化项。
方法的计算成本中等：Marmousi2和北海数据集实验分别耗时84分钟和46分钟，峰值GPU内存使用分别为2.38 GB和2.91 GB。反演完成后，通过改变输入坐标的采样间隔即可生成不同分辨率的层间速度模型，无需重新运行反演。
未来扩展方向包括：三维（3D）扩展，需将网络输入扩展为三维坐标、调整池化核维度、处理2×2的Dix慢度矩阵并使用Frobenius范数；各向异性介质扩展，建议从水平横向各向同性（Horizontal Transverse Isotropy, HTI）介质开始，网络输出v
0、δ、?三个参数。
当前局限包括：无法分辨超出射线追踪固有限制的小尺度速度变化；GPU内存占用较高源于自动微分需存储中间变量；以及确定性框架未能量化输入数据和反演结果的不确定性。对于后者，虽然对随机噪声的实验显示了一定鲁棒性，但相干噪声、偏移速度拾取误差等系统偏差的影响尚需进一步研究，概率化框架将是未来工作重点。
研究结论。研究人员开发了一种新的二维层间速度估计方法，该方法对强横向速度变化和图像射线焦散具有鲁棒性。其核心要素包括：以Dix慢度为观测输入数据，通过基于坐标的深度神经网络参数化地下速度分布，利用伪随机初始化和随机梯度优化迭代反演网络参数，图像射线追踪模拟Dix慢度用于目标函数计算。合成数据实验（正弦模型和平滑Marmousi2模型）表明，该方法能准确恢复复杂构造的层间速度，对图像射线焦散不敏感，且弱依赖于初始速度模型。北海野外数据实验进一步验证了其有效性，反演速度显著改善了叠后深度偏移和叠前时间偏移时深转换的成像质量。该方法计算成本适中，可作为一种稳健的补充手段用于构建深度域速度模型。
