基于最小压力梯度原理的不可压缩粘性流体的有限元建模方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A finite element formulation for incompressible viscous flow based on the principle of minimum pressure gradient

　　

朱利安·J·里莫利

摘要

我们基于最小压力梯度原理提出了一个用于不可压缩粘性流体的有限元公式。这一变分原理由Taha等人于2023年提出，其核心思想是：纳维-斯托克斯方程等价于通过最小化隐含压力梯度范数的时间变化率来求解，同时需满足不可压缩性和边界条件。我们采用Q9双二次有限元直接对PMPG泛函进行离散处理，并通过瑞利-里兹方法对节点速度变化率进行优化。该模型无需引入压力自由度，而是通过整体鞍点系统将不可压缩性和边界条件作为线性等式约束来处理，其拉格朗日乘数可用来确定壁面力，而无需重新构建压力场。我们通过精确的泊肃叶流（机器精度恢复）和Kovasznay解（收敛速率约为10?33）对所提公式进行了验证，同时还针对盖驱动腔体、后向台阶以及圆柱绕流等已有的基准问题进行了测试。在该对流占主导的场景下，该公式无需任何稳定处理即可在粗网格上得到平滑且无振荡的解。此外，我们还发现元素级的PMPG泛函密度可作为自适应网格细化的内置误差指标，同时利用稳态条件还可从速度场测量值直接估算运动粘度。